2019年高考文数真题试卷（北京卷）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（2019·北京）已知集合A={x|-11}，则AUB=（ ）
A．（-1，1） B．（1，2） C．（-1，+∞） D．（1，+∞）
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】因为
所以
故答案为：C.
【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A和B直接求出交集即可.
2．（2019·北京）已知复数z=2+i，则 =（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据 ，得 ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】根据z得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.
3．（2019·北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A． B．y=2-x C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】A： 为幂函数， ，所以该函数在 上单调递增；
B:指数函数 ，其底数大于0小于1，故在 上单调递减；
C：对数函数 ，其底数大于0小于1，故在 上单调递减；
D：反比例函数 ，其k=1>0，故在 上单调递减；
故答案为：A.
【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可.
4．（2019·北京）（2019 北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】【解答】k=1，s=1， s= ，k<3,故执行循环体k=1+1=2， ；
此时k=2<3，故继续执行循环体k=3， ，此时k=3，结束循环，输出s=2.
故答案为：B.
【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.
5．（2019·北京）已知双曲线 （a>0）的离心率是 ，则a=（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的离心率 ，
故 解得 ，
故答案为：D.
【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a的值.
6．（2019·北京）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若b=0，则 为偶函数，
若 为偶函数，
则 ，
所以 B=0,
综上，b=0是f（x）为偶函数的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性.
7．（2019·北京）（2019 北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1-m2= ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10-10.1
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：设太阳的亮度为 ,天狼星的亮度为 ，
根据题意 ,
故 ，
所以 ；
故答案为：A.
【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.
8．（2019·北京）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】设圆心为O，根据 可知AB所对圆心角
故扇形 的面积为 ，由题意，要使阴影部分面积最大，则P到AB的距离最大，此时PO与AB垂直，
故阴影部分面积最大值
而 ，
，
故阴影部分面积最大值
故答案为：B.
【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P到AB的距离最大，此时PO与AB垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值.
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，
9．（2019·北京）已知向量 =（-4.3）， =（6，m），且 ，则m= .
【答案】8
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得
解得m=8.
故答案为8.
【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.
10．（2019·北京）若x，y满足 .则y-x的最小值为 ，最大值为 .
【答案】-3；1
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1.
故答案为-3；1.
【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值.
11．（2019·北京）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 .
【答案】
【知识点】圆的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F（1,0），准线方程：x=-1，
焦点F到准线l的距离为2，
故圆心为（1,0），半径为2，
所以圆的方程为 ；
故答案为 .
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可.
12．（2019·北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得.其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1.那么该几何体的体积为 .
【答案】40
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积 ，
去掉的四棱柱体积 ，
故该几何体的体积V=64-24=40.
故答案为40.
【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.
13．（2019·北京）已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：
①l⊥m：②m∥α：③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 。
【答案】若②③，则①
【知识点】复合命题的真假；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】若 ，则 垂直于 内任意一条直线，
若 ，则 ；
故答案为若②③，则①.
【分析】根据空间直线与平面垂直的性质，即可得到相应的结论.
14．（2019·北京）（2019 北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 .
【答案】130；15
【知识点】函数的值
【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元，
140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；
②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，
根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，
故实际付款（120-x）元，此时李明得到 ，
故 ，解得 ；
故最大值为15.
故答案为①130；②15.
【分析】①根据已知，直接计算即可；
②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值.
三、解答题共6小题，共80分.
15．（2019·北京）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- .
（I）求b，c的值：
（II）求sin（B+C）的值.
【答案】解：（I）根据余弦定理 ，
故 ，
解得c=5，b=7；
（II）根据 ，得 ，
根据正弦定理， ，
得 ，解得 ，所以 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（I）根据余弦定理，解方程即可求出c和b；
（II）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB，结合正弦定理，求出sinC和cosC，即可依据两角和的正弦公式，求出sin（B+C）.
16．（2019·北京）设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列.
（I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.
【答案】解：（I）根据三者成等比数列，
可知 ，
故 ，
解得d=2，
故 ；
（Ⅱ）由（I）知 ，
该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，
故n=5或6时， 取最小值-30.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（I）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d，即可求出 ；（Ⅱ）由（1），求出 ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.
17．（2019·北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额 支付方式 不大于2000元 大于2000元
仅使用A 27人 3人
仅使用B 24人 1人
（I）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（II）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
【答案】解：（I）据估计，100人中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为400人；
（II）该校学生上个月仅使用B支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为 ；
（III）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到的机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付超过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化.
【知识点】用样本的频率分布估计总体分布；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（I）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可；
（II）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率；
（III）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.
18．（2019·北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.
【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD为菱形，所以 ，又因为 ，所以 ，而 ，故 ；（Ⅱ）因为 ,所以 ，故 为等边三角形，而E为CD 的中点，故 ,所以 ,又因为 ，所以 ,因为 ，所以 ,又因为 ，所以 ；（Ⅲ）存在这样的F，当F为PB的中点时， ；取AB的中点G，连接CF、CG和FG，因为G为AB中点，所以AE与GC平行且相等，故四边形AGCE为平行四边形，所以 ,故 在三角形BAP中，F、G分别为BP、BA的中点，所以 ,故 ,因为GC和FG均在平面CFG内，且 ,所以 ，故 .
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；
（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；
（Ⅲ）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行.
19．（2019·北京）已知椭圆C： 的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
【答案】解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，
根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故 ，
所以椭圆的方程为 ；
（II）设 ，
则直线 ，直线 ，
解得 ,
故 ，
将直线y=kx+t与椭圆方程联立，
得 ，
故 ，所以 ，
故 ，
解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（I）根据焦点坐标和A点坐标，求出a和b，即可得到椭圆的标准方程；
（II）设出P和Q的坐标，表示出M和N的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM与ON，根据 ，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）.
20．（2019·北京） （2019 北京）已知函数f（x）= x3-x2+x.
（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；
（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；
（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）. 当M（a）最小时，求a的值.
【答案】解（I） ，令 ，
则 ，
因为 ，
故斜率为1的直线为y=x或 ，
整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或 ；
（II）构造函数g（x）=f（x）-x+6，
则 ，令 ，则 ，
故g（x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故g（x）的最小值为g（-2）或 ，
而g（-2）=0， ，故 ，
所以 ，故在[-2,4]上， ；
构造函数h（x）=f（x）-x，
则 ，令 ，则 ，
故h（x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故h（x）的最大值为h（0）或h（4），
因为h（0）=0，h（4）=0，
所以 ，故在[-2,4]上， ，
综上在[-2,4]上， ；
（Ⅲ）令 ，
则 ，令 ，则 ，
故 （x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 （x）的最小值为 （-2）=-6-a或 ，
最大值为 （0）=-a或 （4）=12-a，
故 其最大值 ，
故当a=3时，M（a）有最小值9.
【知识点】导数的几何意义；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（I）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；
（II）构造函数，要证 ，只需要证在[-2,4]上 和 即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；
（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M（a）的表达式，即可求出M（a）取最小值时相应的a值.
1 / 12019年高考文数真题试卷（北京卷）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（2019·北京）已知集合A={x|-11}，则AUB=（ ）
A．（-1，1） B．（1，2） C．（-1，+∞） D．（1，+∞）
2．（2019·北京）已知复数z=2+i，则 =（ ）
A． B． C．3 D．5
3．（2019·北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A． B．y=2-x C． D．
4．（2019·北京）（2019 北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2019·北京）已知双曲线 （a>0）的离心率是 ，则a=（ ）
A． B．4 C．2 D．
6．（2019·北京）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2019·北京）（2019 北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1-m2= ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10-10.1
8．（2019·北京）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，
9．（2019·北京）已知向量 =（-4.3）， =（6，m），且 ，则m= .
10．（2019·北京）若x，y满足 .则y-x的最小值为 ，最大值为 .
11．（2019·北京）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 .
12．（2019·北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得.其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1.那么该几何体的体积为 .
13．（2019·北京）已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：
①l⊥m：②m∥α：③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 。
14．（2019·北京）（2019 北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 .
三、解答题共6小题，共80分.
15．（2019·北京）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- .
（I）求b，c的值：
（II）求sin（B+C）的值.
16．（2019·北京）设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列.
（I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.
17．（2019·北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额 支付方式 不大于2000元 大于2000元
仅使用A 27人 3人
仅使用B 24人 1人
（I）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（II）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
18．（2019·北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.
19．（2019·北京）已知椭圆C： 的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
20．（2019·北京） （2019 北京）已知函数f（x）= x3-x2+x.
（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；
（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；
（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）. 当M（a）最小时，求a的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】因为
所以
故答案为：C.
【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A和B直接求出交集即可.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据 ，得 ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】根据z得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.
3．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】A： 为幂函数， ，所以该函数在 上单调递增；
B:指数函数 ，其底数大于0小于1，故在 上单调递减；
C：对数函数 ，其底数大于0小于1，故在 上单调递减；
D：反比例函数 ，其k=1>0，故在 上单调递减；
故答案为：A.
【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可.
4．【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】【解答】k=1，s=1， s= ，k<3,故执行循环体k=1+1=2， ；
此时k=2<3，故继续执行循环体k=3， ，此时k=3，结束循环，输出s=2.
故答案为：B.
【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.
5．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的离心率 ，
故 解得 ，
故答案为：D.
【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a的值.
6．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若b=0，则 为偶函数，
若 为偶函数，
则 ，
所以 B=0,
综上，b=0是f（x）为偶函数的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性.
7．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：设太阳的亮度为 ,天狼星的亮度为 ，
根据题意 ,
故 ，
所以 ；
故答案为：A.
【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.
8．【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】设圆心为O，根据 可知AB所对圆心角
故扇形 的面积为 ，由题意，要使阴影部分面积最大，则P到AB的距离最大，此时PO与AB垂直，
故阴影部分面积最大值
而 ，
，
故阴影部分面积最大值
故答案为：B.
【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P到AB的距离最大，此时PO与AB垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值.
9．【答案】8
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得
解得m=8.
故答案为8.
【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.
10．【答案】-3；1
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1.
故答案为-3；1.
【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值.
11．【答案】
【知识点】圆的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F（1,0），准线方程：x=-1，
焦点F到准线l的距离为2，
故圆心为（1,0），半径为2，
所以圆的方程为 ；
故答案为 .
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可.
12．【答案】40
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积 ，
去掉的四棱柱体积 ，
故该几何体的体积V=64-24=40.
故答案为40.
【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.
13．【答案】若②③，则①
【知识点】复合命题的真假；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】若 ，则 垂直于 内任意一条直线，
若 ，则 ；
故答案为若②③，则①.
【分析】根据空间直线与平面垂直的性质，即可得到相应的结论.
14．【答案】130；15
【知识点】函数的值
【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元，
140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；
②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，
根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，
故实际付款（120-x）元，此时李明得到 ，
故 ，解得 ；
故最大值为15.
故答案为①130；②15.
【分析】①根据已知，直接计算即可；
②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值.
15．【答案】解：（I）根据余弦定理 ，
故 ，
解得c=5，b=7；
（II）根据 ，得 ，
根据正弦定理， ，
得 ，解得 ，所以 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（I）根据余弦定理，解方程即可求出c和b；
（II）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB，结合正弦定理，求出sinC和cosC，即可依据两角和的正弦公式，求出sin（B+C）.
16．【答案】解：（I）根据三者成等比数列，
可知 ，
故 ，
解得d=2，
故 ；
（Ⅱ）由（I）知 ，
该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，
故n=5或6时， 取最小值-30.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（I）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d，即可求出 ；（Ⅱ）由（1），求出 ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.
17．【答案】解：（I）据估计，100人中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为400人；
（II）该校学生上个月仅使用B支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为 ；
（III）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到的机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付超过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化.
【知识点】用样本的频率分布估计总体分布；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（I）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可；
（II）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率；
（III）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.
18．【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD为菱形，所以 ，又因为 ，所以 ，而 ，故 ；（Ⅱ）因为 ,所以 ，故 为等边三角形，而E为CD 的中点，故 ,所以 ,又因为 ，所以 ,因为 ，所以 ,又因为 ，所以 ；（Ⅲ）存在这样的F，当F为PB的中点时， ；取AB的中点G，连接CF、CG和FG，因为G为AB中点，所以AE与GC平行且相等，故四边形AGCE为平行四边形，所以 ,故 在三角形BAP中，F、G分别为BP、BA的中点，所以 ,故 ,因为GC和FG均在平面CFG内，且 ,所以 ，故 .
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；
（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；
（Ⅲ）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行.
19．【答案】解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，
根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故 ，
所以椭圆的方程为 ；
（II）设 ，
则直线 ，直线 ，
解得 ,
故 ，
将直线y=kx+t与椭圆方程联立，
得 ，
故 ，所以 ，
故 ，
解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（I）根据焦点坐标和A点坐标，求出a和b，即可得到椭圆的标准方程；
（II）设出P和Q的坐标，表示出M和N的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM与ON，根据 ，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）.
20．【答案】解（I） ，令 ，
则 ，
因为 ，
故斜率为1的直线为y=x或 ，
整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或 ；
（II）构造函数g（x）=f（x）-x+6，
则 ，令 ，则 ，
故g（x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故g（x）的最小值为g（-2）或 ，
而g（-2）=0， ，故 ，
所以 ，故在[-2,4]上， ；
构造函数h（x）=f（x）-x，
则 ，令 ，则 ，
故h（x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故h（x）的最大值为h（0）或h（4），
因为h（0）=0，h（4）=0，
所以 ，故在[-2,4]上， ，
综上在[-2,4]上， ；
（Ⅲ）令 ，
则 ，令 ，则 ，
故 （x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 （x）的最小值为 （-2）=-6-a或 ，
最大值为 （0）=-a或 （4）=12-a，
故 其最大值 ，
故当a=3时，M（a）有最小值9.
【知识点】导数的几何意义；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（I）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；
（II）构造函数，要证 ，只需要证在[-2,4]上 和 即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；
（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M（a）的表达式，即可求出M（a）取最小值时相应的a值.
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