2019年高考理数真题试卷（全国Ⅱ卷）

2019年高考理数真题试卷（全国Ⅱ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．（2019·全国Ⅱ卷理）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=（　　）
A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞)
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】 【解答】解出集合A的解集为 ,集合B为 ,由此可求出 .
故答案为：A
【分析】首先求出两个集合，再结合集合交集的定义即可求出结果。
2．（2019·全国Ⅱ卷理）设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】根据题意首先求出复数z的共轭复数 ,则 的共轭复数所对应的点为（-3，-2）,进而得到所对于的点在第三象限。
故答案为：C
【分析】首先求出该复数的共轭复数，然后取出其共轭复数所对应的点的坐标，从而即可判断出该点位于第三象限。
3．（2019·全国Ⅱ卷理）已知 =(2,3)， =(3，t)，| |=1，则 =（　　）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】 【解答】 , = ，求出t=3即可得出 , = .
故答案为：C
【分析】首先利用向量的减法求出向量BC的坐标，再利用向量的模的公式求出t的值，结合向量的数量积运算公式代入数值求出结果即可。
4．（2019·全国Ⅱ卷理）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R， 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的近似值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】 【解答】根据题意可得 ,等号两边同时乘以 ，可得 , ,由已知 代入可得 ， = = 由题中给出的 ，
∴ , , .
故答案为：D
【分析】利用已知的代数式整理化简即可得出结果。
5．（2019·全国Ⅱ卷理）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】 【解答】A项，中位数是以通过排序后的最中间一位数，不受最大、最小两个极端数值的影响。故A项正确，符合题意。B项，平均数是指一组数据之和再除以数据的个数，因此不论哪一个数据的变化都有可能影响一组数据的平均数，故B项错误。C项，方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。因此一组数据中的任何一个数据的变化都有可能使方差变化，故C项错误。D项，极差是指最大值减最小值后所得的数值，题中将最大，最小值除去了，故有可能影响数据的极差，故D项错误。
故答案为：A
【分析】结合中位数、平均数、方差以及极差的定义逐一判断即可得出结果。
6．（2019·全国Ⅱ卷理）若a>b，则（　　）
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】 【解答】A项，因为a>b,所以a-b>0,但不能确定是否满足a-b>1,当0故答案为：C
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性逐一判断即可得出结果。
7．（2019·全国Ⅱ卷理）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】 【解答】A选项中α面内的无数条直线不一定是两条相交直线C选项中平行于同一条直线的两个平面也可以相交D选项垂直于同一个平面的两个平面也可以相交。
故答案为：B
【分析】利用两个平面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面则两个平面平行，逐一判断选项即可得出正确答案。
8．（2019·全国Ⅱ卷理）若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则p=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】∵抛物线的焦点 ,椭圆的焦点在x轴上则有 , ∴ ，抛物线的焦点是椭圆的焦点∴ ,解出p=8.
故答案为：D
【分析】首先求抛物线的焦点坐标和椭圆的焦点坐标，令两个代数式相等求出结果即可。
9．（2019·全国Ⅱ卷理）下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是（　　）
A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
【答案】A
【知识点】三角函数的周期性；三角函数的单调性
【解析】 【解答】因为f（x）=sinx，f（x）=cosx的周期为2π，则f（x）=|cosx|， 的周期为π，故C项，D项错误。
y=│sin2x│图象如图1，可知y=│sin2x│在( ， )上单调递减，故B项错误。
图1
y=│cos2x│图象如图2，可知y=│cos2x│在( ， )上单调递增，故A项正确。
图2
故答案为：A
【分析】根据题中的四个函数结合正弦函数与余弦函数的图象逐一分析即可得出结论。
10．（2019·全国Ⅱ卷理）已知α∈(0, )，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】由二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式2sin2α=cos2α+1，4sinαcosα=2cos2α，可得到 ，代入到 ,
∵a∈（0， ）
∴ ,
∴ .
故答案为：B
【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式即可求出 ，再由同角三角函数的关系式求出 ，结合角的取值范围可判断出 的符号为正，从而求出结果。
11．（2019·全国Ⅱ卷理）设F为双曲线C： 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的圆与圆 交于P，Q两点.若 ，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】根据题意可以设出以O为圆心圆的方程为 ，联立两个圆的 ,两圆方程相减可得 ,设PQ与x轴交于M点， ,在直角三角形OMP中， ,又|PQ|=|OF|，∴ 即 ,整理化简可得 ,等式两边同时除以 , , ∵∴ .
故答案为：A
【分析】首先设出以OF为直径的圆的方程，联立两个圆的方程可求出两圆交点的横坐标，再结合直角三角形中的勾股定理，即可求出a与c的关系式然后再由整体思想求出关于e的方程解出即可。
12．（2019·全国Ⅱ卷理）设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， .若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数最值的应用
【解析】 【解答】由f(x+1)=2f(x)知，f(x+t)= ， ，即f(x)= ， ，
当 时， ，此时 ，
当-1时， ，若 ， ，则 ，
当 时， ，令 ，解得 或 ，
由于 时， ，则 。
故答案为：B
【分析】首先根据已知条件求出函数f(x)的解析式，对x分情况讨论得出每个范围内的f(x)的取值范围，并把几种情况并起来即可得出m的取值范围即可。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2019·全国Ⅱ卷理）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　 　.
【答案】0.98
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】 【解答】根据题意停该站高铁列车所有车次的平均正点率为 =0.98，
故答案为：0.98.
【分析】利用平均值的求法代入数值求出结果。
14．（2019·全国Ⅱ卷理）已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 　 　.
【答案】–3
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】 【解答】∵x>0,∴-x<0∴f(-x)=-f(x)，f(x)=-f(-x)= ,由已知 ，代入数值可得 ,
, ∴a=-3.
故答案为：-3
【分析】利用奇函数的定义求出当x>0的函数解析式，把已知条件的等式代入结合指数的运算性质即可出a的值即可。
15．（2019·全国Ⅱ卷理） 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】 【解答】由余弦定理得， ，由题得：b=6，a=2c， ，代入化简得 ，
解得 c1=2，c2=-2 （舍），则a=2c=4 ，所以
故答案为：
【分析】首先利用余弦定理代入数值求出c的值，从而求出a的值，再由三角形的面积公式代入数值求出结果即可。
16．（2019·全国Ⅱ卷理）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有　 　个面，其棱长为　 　.
【答案】26；
【知识点】构成空间几何体的基本元素
【解析】 【解答】结合图形的对称性数一数即可得到面的个数为26个。
根据题意补全该半正多面体的正方体，其俯视图为,
设该半正多面体的棱长为a,则有正方体的棱
长为 , ∴ .
【分析】利用空间想象力结合图形的对称性数出面的个数，再补全正方体借助俯视图得出几何关系进而求出该正多面体的棱长。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
17．（2019·全国Ⅱ卷理）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
【答案】（1）解：由已知得， 平面 ， 平面 ，
故 ．
又 ，所以 平面 ．
（2）由（1）知 ．由题设知 ，所以 ，故 ， ．以 为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则C（0，1，0），B（1，1，0）， （0，1，2），E（1，0，1）， ， ．设平面EBC的法向量为 =（x，y，x），则 即
所以可取 = .
设平面 的法向量为 =（x，y，z），则 即
所以可取 =（1，1，0）．
于是 ．所以，二面角 的正弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】 【分析】（1）根据题意由线面垂直的性质得出线线垂直，再由线线垂直的判定定理出线面垂直。（2）建立空间直角坐标系，分别求出各个点的坐标以及对应的向量的坐标，构造出法向量n由向量垂直的数量积为零，求出法向量n，同理求出平面 的法向量m，则两个平面垂直即为两个法向量垂直，利用数量积的运算公式即可求出两个法向量所成角的余弦值，从而求出该角的正弦值即为二面角 的正弦值。
18．（2019·全国Ⅱ卷理）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
【答案】（1）解： X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】 【分析】（1）第一问要求 的概率，即把可能出现的情况列举出来，有两种情况分别为：①甲连赢两球，②乙连赢两球，再将两种情况的概率相加求和即可。（2）第二问与第一问类似，把可能出现的情况列举出来，有两种情况分别为：
①甲赢第一球，乙赢第二球，甲赢第三球和第四球，
②乙赢第一球，甲赢第二、第三和第四球，再将两种情况的概率相加求和即可。
19．（2019·全国Ⅱ卷理）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ， .
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（1）解：由题设得 ，即 ． 又因为a1+b1=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列． 由题设得 ， 即 ．
又因为a1–b1=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知， ， ．
所以 ，
．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】 【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出 ，则 是首项为1，公比为 的等比数列，再结合已知条件可推出 ．即可得出 是首项为1，公差为2的等差数列．（2）结合（1）的结论把两个数列 、 的通项公式相减，即可得出两个数列{an}和{bn}的通项公式。
20．（2019·全国Ⅱ卷理）已知函数 .
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 的切线.
【答案】（1）解： f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f（e）= ， ，
所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．
又 ， ，
故f（x）在（0，1）有唯一零点 ．
综上，f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为 ，故点B（–lnx0， ）在曲线y=ex上． 由题设知 ，即 ， 故直线AB的斜率 ．
曲线y=ex在点 处切线的斜率是 ，曲线 在点 处切线的斜率也是 ，
所以曲线 在点 处的切线也是曲线y=ex的切线．
【知识点】导数的几何意义；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）对函数f(x)解析式求导，判断导函数的正负来判断函数f(x)的单调性，由于定义域为（0，1），（1，+∞），取特殊值f(e)，f(e2)可证在在(0,1)上函数f(x)必存在唯一零点，又 ，则在（1，+∞）上函数f(x)也存在唯一零点。由此此题即解出。（2）求出曲线y=lnx在A（x0，lnx0） 的切线表达式，根据两个切线斜率相等的条件进而求出y=ex的切线表达式，最后由已知条件化简两个表达式，即证得是同一条切线。
21．（2019·全国Ⅱ卷理）已知点A( 2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为 .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
（ii）求 面积的最大值.
【答案】（1）解：由题设得 ，化简得 ，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为 ．由 得 ．记 ，则 ．于是直线 的斜率为 ，方程为 ．由 得 ．①设 ，则 和 是方程①的解，故 ，由此得 ．从而直线 的斜率为 ．所以 ，即 是直角三角形．（ii）由（i）得 ， ，所以△PQG的面积 ．
设t=k+ ，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．
因为 在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为 ．
因此，△PQG面积的最大值为 ．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（1）根据AM，BM斜率之积为 ，列出等式，即可得到曲线C为焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设出PQ解析式，联立PQ解析式与曲线C，得到P、Q两点坐标，即可得到E点坐标，根据Q、E两点坐标得到QE的解析式，联立QE与曲线C，可得G点坐标，再根据G、P点坐标，得到PG斜率。化简可得 ，得证 为直角三角形。
（ii）由（i）知， ，所以， ，由（i）分别求出， ， 化简S可得关于K的函数表达式，考虑K的取值范围，即可得出S的最大值。
四、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（2019·全国Ⅱ卷理）[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点 在曲线 上，直线l过点 且与 垂直，垂足为P.
（1）当 时，求 及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
【答案】（1）解：因为 在C上，当 时， . 由已知得 . 设 为l上除P的任意一点.在 中 ， 经检验，点 在曲线 上.
所以，l的极坐标方程为 .
（2）设 ，在 中， 即 .. 因为P在线段OM上，且 ，故 的取值范围是 .
所以，P点轨迹的极坐标方程为 .
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】 【分析】（1）点 在： 上，当 时， ，根据已知条件直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P，即可求出直线l的直角坐标方程，进而求出其极坐标方程。（2） ，点 ，所以 ，根据已知条件可求出点P的轨迹。
23．（2019·全国Ⅱ卷理）已知
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时， ，求 的取值范围.
【答案】（1）解：当a=1时， .
当 时， ；当 时， .
所以，不等式 的解集为 .
（2）因为 ，所以 .
当 ， 时，
所以， 的取值范围是 .
【知识点】绝对值不等式
【解析】【分析】（1）将a=1代入，得到f(x)解析式，将绝对值去掉，可得分段函数，分别求出每一段f(x)<0的解集即可。（2）由x<0得到， 考虑x与a的大小，分类讨论即可。
1 / 12019年高考理数真题试卷（全国Ⅱ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．（2019·全国Ⅱ卷理）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=（　　）
A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞)
2．（2019·全国Ⅱ卷理）设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2019·全国Ⅱ卷理）已知 =(2,3)， =(3，t)，| |=1，则 =（　　）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
4．（2019·全国Ⅱ卷理）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R， 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的近似值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2019·全国Ⅱ卷理）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
6．（2019·全国Ⅱ卷理）若a>b，则（　　）
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
7．（2019·全国Ⅱ卷理）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
8．（2019·全国Ⅱ卷理）若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则p=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
9．（2019·全国Ⅱ卷理）下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是（　　）
A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
10．（2019·全国Ⅱ卷理）已知α∈(0, )，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（　　）
A． B． C． D．
11．（2019·全国Ⅱ卷理）设F为双曲线C： 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的圆与圆 交于P，Q两点.若 ，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
12．（2019·全国Ⅱ卷理）设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， .若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2019·全国Ⅱ卷理）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　 　.
14．（2019·全国Ⅱ卷理）已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 　 　.
15．（2019·全国Ⅱ卷理） 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面积为　 　.
16．（2019·全国Ⅱ卷理）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有　 　个面，其棱长为　 　.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
17．（2019·全国Ⅱ卷理）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
18．（2019·全国Ⅱ卷理）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
19．（2019·全国Ⅱ卷理）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ， .
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
20．（2019·全国Ⅱ卷理）已知函数 .
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 的切线.
21．（2019·全国Ⅱ卷理）已知点A( 2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为 .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
（ii）求 面积的最大值.
四、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（2019·全国Ⅱ卷理）[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点 在曲线 上，直线l过点 且与 垂直，垂足为P.
（1）当 时，求 及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23．（2019·全国Ⅱ卷理）已知
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时， ，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】 【解答】解出集合A的解集为 ,集合B为 ,由此可求出 .
故答案为：A
【分析】首先求出两个集合，再结合集合交集的定义即可求出结果。
2．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】根据题意首先求出复数z的共轭复数 ,则 的共轭复数所对应的点为（-3，-2）,进而得到所对于的点在第三象限。
故答案为：C
【分析】首先求出该复数的共轭复数，然后取出其共轭复数所对应的点的坐标，从而即可判断出该点位于第三象限。
3．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】 【解答】 , = ，求出t=3即可得出 , = .
故答案为：C
【分析】首先利用向量的减法求出向量BC的坐标，再利用向量的模的公式求出t的值，结合向量的数量积运算公式代入数值求出结果即可。
4．【答案】D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】 【解答】根据题意可得 ,等号两边同时乘以 ，可得 , ,由已知 代入可得 ， = = 由题中给出的 ，
∴ , , .
故答案为：D
【分析】利用已知的代数式整理化简即可得出结果。
5．【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】 【解答】A项，中位数是以通过排序后的最中间一位数，不受最大、最小两个极端数值的影响。故A项正确，符合题意。B项，平均数是指一组数据之和再除以数据的个数，因此不论哪一个数据的变化都有可能影响一组数据的平均数，故B项错误。C项，方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。因此一组数据中的任何一个数据的变化都有可能使方差变化，故C项错误。D项，极差是指最大值减最小值后所得的数值，题中将最大，最小值除去了，故有可能影响数据的极差，故D项错误。
故答案为：A
【分析】结合中位数、平均数、方差以及极差的定义逐一判断即可得出结果。
6．【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】 【解答】A项，因为a>b,所以a-b>0,但不能确定是否满足a-b>1,当0故答案为：C
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性逐一判断即可得出结果。
7．【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】 【解答】A选项中α面内的无数条直线不一定是两条相交直线C选项中平行于同一条直线的两个平面也可以相交D选项垂直于同一个平面的两个平面也可以相交。
故答案为：B
【分析】利用两个平面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面则两个平面平行，逐一判断选项即可得出正确答案。
8．【答案】D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】∵抛物线的焦点 ,椭圆的焦点在x轴上则有 , ∴ ，抛物线的焦点是椭圆的焦点∴ ,解出p=8.
故答案为：D
【分析】首先求抛物线的焦点坐标和椭圆的焦点坐标，令两个代数式相等求出结果即可。
9．【答案】A
【知识点】三角函数的周期性；三角函数的单调性
【解析】 【解答】因为f（x）=sinx，f（x）=cosx的周期为2π，则f（x）=|cosx|， 的周期为π，故C项，D项错误。
y=│sin2x│图象如图1，可知y=│sin2x│在( ， )上单调递减，故B项错误。
图1
y=│cos2x│图象如图2，可知y=│cos2x│在( ， )上单调递增，故A项正确。
图2
故答案为：A
【分析】根据题中的四个函数结合正弦函数与余弦函数的图象逐一分析即可得出结论。
10．【答案】B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】由二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式2sin2α=cos2α+1，4sinαcosα=2cos2α，可得到 ，代入到 ,
∵a∈（0， ）
∴ ,
∴ .
故答案为：B
【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式即可求出 ，再由同角三角函数的关系式求出 ，结合角的取值范围可判断出 的符号为正，从而求出结果。
11．【答案】A
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】根据题意可以设出以O为圆心圆的方程为 ，联立两个圆的 ,两圆方程相减可得 ,设PQ与x轴交于M点， ,在直角三角形OMP中， ,又|PQ|=|OF|，∴ 即 ,整理化简可得 ,等式两边同时除以 , , ∵∴ .
故答案为：A
【分析】首先设出以OF为直径的圆的方程，联立两个圆的方程可求出两圆交点的横坐标，再结合直角三角形中的勾股定理，即可求出a与c的关系式然后再由整体思想求出关于e的方程解出即可。
12．【答案】B
【知识点】函数最值的应用
【解析】 【解答】由f(x+1)=2f(x)知，f(x+t)= ， ，即f(x)= ， ，
当 时， ，此时 ，
当-1时， ，若 ， ，则 ，
当 时， ，令 ，解得 或 ，
由于 时， ，则 。
故答案为：B
【分析】首先根据已知条件求出函数f(x)的解析式，对x分情况讨论得出每个范围内的f(x)的取值范围，并把几种情况并起来即可得出m的取值范围即可。
13．【答案】0.98
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】 【解答】根据题意停该站高铁列车所有车次的平均正点率为 =0.98，
故答案为：0.98.
【分析】利用平均值的求法代入数值求出结果。
14．【答案】–3
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】 【解答】∵x>0,∴-x<0∴f(-x)=-f(x)，f(x)=-f(-x)= ,由已知 ，代入数值可得 ,
, ∴a=-3.
故答案为：-3
【分析】利用奇函数的定义求出当x>0的函数解析式，把已知条件的等式代入结合指数的运算性质即可出a的值即可。
15．【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】 【解答】由余弦定理得， ，由题得：b=6，a=2c， ，代入化简得 ，
解得 c1=2，c2=-2 （舍），则a=2c=4 ，所以
故答案为：
【分析】首先利用余弦定理代入数值求出c的值，从而求出a的值，再由三角形的面积公式代入数值求出结果即可。
16．【答案】26；
【知识点】构成空间几何体的基本元素
【解析】 【解答】结合图形的对称性数一数即可得到面的个数为26个。
根据题意补全该半正多面体的正方体，其俯视图为,
设该半正多面体的棱长为a,则有正方体的棱
长为 , ∴ .
【分析】利用空间想象力结合图形的对称性数出面的个数，再补全正方体借助俯视图得出几何关系进而求出该正多面体的棱长。
17．【答案】（1）解：由已知得， 平面 ， 平面 ，
故 ．
又 ，所以 平面 ．
（2）由（1）知 ．由题设知 ，所以 ，故 ， ．以 为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则C（0，1，0），B（1，1，0）， （0，1，2），E（1，0，1）， ， ．设平面EBC的法向量为 =（x，y，x），则 即
所以可取 = .
设平面 的法向量为 =（x，y，z），则 即
所以可取 =（1，1，0）．
于是 ．所以，二面角 的正弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】 【分析】（1）根据题意由线面垂直的性质得出线线垂直，再由线线垂直的判定定理出线面垂直。（2）建立空间直角坐标系，分别求出各个点的坐标以及对应的向量的坐标，构造出法向量n由向量垂直的数量积为零，求出法向量n，同理求出平面 的法向量m，则两个平面垂直即为两个法向量垂直，利用数量积的运算公式即可求出两个法向量所成角的余弦值，从而求出该角的正弦值即为二面角 的正弦值。
18．【答案】（1）解： X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】 【分析】（1）第一问要求 的概率，即把可能出现的情况列举出来，有两种情况分别为：①甲连赢两球，②乙连赢两球，再将两种情况的概率相加求和即可。（2）第二问与第一问类似，把可能出现的情况列举出来，有两种情况分别为：
①甲赢第一球，乙赢第二球，甲赢第三球和第四球，
②乙赢第一球，甲赢第二、第三和第四球，再将两种情况的概率相加求和即可。
19．【答案】（1）解：由题设得 ，即 ． 又因为a1+b1=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列． 由题设得 ， 即 ．
又因为a1–b1=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知， ， ．
所以 ，
．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】 【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出 ，则 是首项为1，公比为 的等比数列，再结合已知条件可推出 ．即可得出 是首项为1，公差为2的等差数列．（2）结合（1）的结论把两个数列 、 的通项公式相减，即可得出两个数列{an}和{bn}的通项公式。
20．【答案】（1）解： f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f（e）= ， ，
所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．
又 ， ，
故f（x）在（0，1）有唯一零点 ．
综上，f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为 ，故点B（–lnx0， ）在曲线y=ex上． 由题设知 ，即 ， 故直线AB的斜率 ．
曲线y=ex在点 处切线的斜率是 ，曲线 在点 处切线的斜率也是 ，
所以曲线 在点 处的切线也是曲线y=ex的切线．
【知识点】导数的几何意义；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）对函数f(x)解析式求导，判断导函数的正负来判断函数f(x)的单调性，由于定义域为（0，1），（1，+∞），取特殊值f(e)，f(e2)可证在在(0,1)上函数f(x)必存在唯一零点，又 ，则在（1，+∞）上函数f(x)也存在唯一零点。由此此题即解出。（2）求出曲线y=lnx在A（x0，lnx0） 的切线表达式，根据两个切线斜率相等的条件进而求出y=ex的切线表达式，最后由已知条件化简两个表达式，即证得是同一条切线。
21．【答案】（1）解：由题设得 ，化简得 ，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为 ．由 得 ．记 ，则 ．于是直线 的斜率为 ，方程为 ．由 得 ．①设 ，则 和 是方程①的解，故 ，由此得 ．从而直线 的斜率为 ．所以 ，即 是直角三角形．（ii）由（i）得 ， ，所以△PQG的面积 ．
设t=k+ ，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．
因为 在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为 ．
因此，△PQG面积的最大值为 ．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（1）根据AM，BM斜率之积为 ，列出等式，即可得到曲线C为焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设出PQ解析式，联立PQ解析式与曲线C，得到P、Q两点坐标，即可得到E点坐标，根据Q、E两点坐标得到QE的解析式，联立QE与曲线C，可得G点坐标，再根据G、P点坐标，得到PG斜率。化简可得 ，得证 为直角三角形。
（ii）由（i）知， ，所以， ，由（i）分别求出， ， 化简S可得关于K的函数表达式，考虑K的取值范围，即可得出S的最大值。
22．【答案】（1）解：因为 在C上，当 时， . 由已知得 . 设 为l上除P的任意一点.在 中 ， 经检验，点 在曲线 上.
所以，l的极坐标方程为 .
（2）设 ，在 中， 即 .. 因为P在线段OM上，且 ，故 的取值范围是 .
所以，P点轨迹的极坐标方程为 .
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】 【分析】（1）点 在： 上，当 时， ，根据已知条件直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P，即可求出直线l的直角坐标方程，进而求出其极坐标方程。（2） ，点 ，所以 ，根据已知条件可求出点P的轨迹。
23．【答案】（1）解：当a=1时， .
当 时， ；当 时， .
所以，不等式 的解集为 .
（2）因为 ，所以 .
当 ， 时，
所以， 的取值范围是 .
【知识点】绝对值不等式
【解析】【分析】（1）将a=1代入，得到f(x)解析式，将绝对值去掉，可得分段函数，分别求出每一段f(x)<0的解集即可。（2）由x<0得到， 考虑x与a的大小，分类讨论即可。
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