2019年高考文数真题试卷（全国Ⅱ卷）

2019年高考文数真题试卷（全国Ⅱ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．（2019·全国Ⅱ卷文）已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=（　　）
A．（-1，+∞） B．（ -∞，2） C．（ -1，2） D．
2．（2019·全国Ⅱ卷文）设z=i（2+i），则 =（　　）
A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i
3．（2019·全国Ⅱ卷文）已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（　　）
A． B．2 C．5 D．50
4．（2019·全国Ⅱ卷文）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2019·全国Ⅱ卷文）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。
乙：丙的成绩比我和甲的都高。
丙：我的成绩比乙高。
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（　　）
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
6．（2019·全国Ⅱ卷文）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）= -1，则当x<0时，f（x）=（　　）
A． -1 B． +1 C．- -1 D．- +1
7．（2019·全国Ⅱ卷理）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
8．（2019·全国Ⅱ卷文）若 ， 是函数f（x）= sinωx（ω>0） 两个相邻的极值点，则ω（　　）
A．2 B． C．1 D．
9．（2019·全国Ⅱ卷理）若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则p=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
10．（2019·全国Ⅱ卷文）曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1）处的切线方程为 （　　）
A．x-y-π-1=0 B．2x-y-2π-1=0
C．2x+y-2π+1=0 D．x+y-π+1=0
11．（2019·全国Ⅱ卷理）已知α∈(0, )，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（　　）
A． B． C． D．
12．（2019·全国Ⅱ卷理）设F为双曲线C： 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的圆与圆 交于P，Q两点.若 ，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2019·全国Ⅱ卷文）若变量x，y满足约束条件 ，则，z=3x-y的最大值是　 　。
14．（2019·全国Ⅱ卷理）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　 　.
15．（2019·全国Ⅱ卷文）△ABC的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，知 ，则 =　 　
16．（2019·全国Ⅱ卷理）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有　 　个面，其棱长为　 　.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（2019·全国Ⅱ卷文）如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， 。
（1）证明： ；
（2）若 ， ，求四棱锥 的体积。
18．（2019·全国Ⅱ卷文）已知 是各项均为正数的等比数列， ， 。
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列{ }的前n项和。
19．（2019·全国Ⅱ卷文）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表。
y的分组 [-0.20，0) [0，0.20) [0.20，0.40) [0.40，0.60) [0.60，0.80)
企业数 2 24 53 14 7
附：
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）
20．（2019·全国Ⅱ卷文）已知 是椭圆C： 的两个焦点， 为 上的点， 为坐标原点。
（1）若 为等边三角形，求 的离心率；
（2）如果存在点P，使得 ，且 的面积等于16，求 的值和a的取值范围。
21．（2019·全国Ⅱ卷文）已知函数 ，证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
四、选考题 ：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（2019·全国Ⅱ卷理）[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点 在曲线 上，直线l过点 且与 垂直，垂足为P.
（1）当 时，求 及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23．（2019·全国Ⅱ卷理）已知
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时， ，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】 【解答】解; ,
故答案为：C
【分析】由集合交集的定义结合不等式的知识即可得出结果。
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】 【解答】首先求出 则 ，
故答案为：D
【分析】根据题意整理原式，再结合共轭复数的定义求出即可。
3．【答案】A
【知识点】向量的模
【解析】【解答】∵ - =(-1,1), ∴ ,
故答案为：A
【分析】首先求出两个向量之差的坐标，进而可求出 - 的模的大小即可。
4．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】 【解答】每次取出兔子的事件之间相互独立，则根据伯努利概率公式 ，
故答案为：B
【分析】每次事件之间相互独立满足伯努利概率公式代入数值求出结果即可。
5．【答案】A
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解:由题意，可把三人的预测简写如下:
甲：甲>乙.
乙：丙>乙且丙>甲.
丙；丙>乙.
∵只有一个人预测正确,
∴分析三人的预测,可知:乙、丙的预测不正确.
如果乙预测正确,则丙预测正确，不符合题意。
如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确，
则有丙>乙，乙>甲,
∵乙预测不正确,而丙>乙正确,
∴只有丙>甲不正确，
∵甲>丙，这与丙>乙，乙>甲矛盾.不符合题意.
.只有甲预测正确,乙、丙预测不正确,
甲>乙，乙>丙.
故答案为：A
【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手,因为只有一个人预测正确 ,而乙对则丙必对,丙对乙很有可能对,假设丙对乙错则会引起矛盾故只有-种情况就是甲预测正确乙、丙错误,从而得出结果.
6．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】 【解答】由奇函数的定义f(-x)=-f(x),当x<0时，-x>0,即可得出f(-x)= =-f(x), ∴f(x)=- ，
故答案为：D
【分析】利用奇函数的定义整理化简即可得出结论。
7．【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】 【解答】A选项中α面内的无数条直线不一定是两条相交直线C选项中平行于同一条直线的两个平面也可以相交D选项垂直于同一个平面的两个平面也可以相交。
故答案为：B
【分析】利用两个平面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面则两个平面平行，逐一判断选项即可得出正确答案。
8．【答案】A
【知识点】三角函数的周期性
【解析】 【解答】∵x1= ，x2= ，是函数f(x)= ( >0)两个相邻的极值点，∴函数的半个周期为 , ∴ .
故答案为：A
【分析】根据题意首先求出函数的周期再由正弦函数的周期公式代入数值求出即可。
9．【答案】D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】∵抛物线的焦点 ,椭圆的焦点在x轴上则有 , ∴ ，抛物线的焦点是椭圆的焦点∴ ,解出p=8.
故答案为：D
【分析】首先求抛物线的焦点坐标和椭圆的焦点坐标，令两个代数式相等求出结果即可。
10．【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】 【解答】首先求出原函数的导函数 ,再把 代入到导函数的解析式，求出结果即为切线的斜率则k=-2，再由点斜式y+1=-2(x- )求出直线的方程化为一般式 ，
故答案为：C
【分析】根据题意求出导函数的解析式，进而求出切线方程的斜率再由点斜式即可求出答案。
11．【答案】B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】由二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式2sin2α=cos2α+1，4sinαcosα=2cos2α，可得到 ，代入到 ,
∵a∈（0， ）
∴ ,
∴ .
故答案为：B
【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式即可求出 ，再由同角三角函数的关系式求出 ，结合角的取值范围可判断出 的符号为正，从而求出结果。
12．【答案】A
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】根据题意可以设出以O为圆心圆的方程为 ，联立两个圆的 ,两圆方程相减可得 ,设PQ与x轴交于M点， ,在直角三角形OMP中， ,又|PQ|=|OF|，∴ 即 ,整理化简可得 ,等式两边同时除以 , , ∵∴ .
故答案为：A
【分析】首先设出以OF为直径的圆的方程，联立两个圆的方程可求出两圆交点的横坐标，再结合直角三角形中的勾股定理，即可求出a与c的关系式然后再由整体思想求出关于e的方程解出即可。
13．【答案】9
【知识点】简单线性规划
【解析】 【解答】根据题意做出满足已知条件的线性区域内如图所示：
将目标函数转化为直线3x-y-z=0,则z的最大值即为直线在y轴上的截距，所以当直线过点（3,0）时该直在y轴上的截距最大，代入数值求出z的值z=3 3-0=9.
故答案为：9
【分析】首先求出不等式表示平面区域，求出三条直线的交点坐标，再把目标函数转化为直线的一般式，z的最大值即为该直线的在y轴上的截距最大值，把（3,0）代入求出结果即可。
14．【答案】0.98
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】 【解答】根据题意停该站高铁列车所有车次的平均正点率为 =0.98，
故答案为：0.98.
【分析】利用平均值的求法代入数值求出结果。
15．【答案】
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】 【解答】由正弦定理可得 , ,代入原式可得 , ∵ 的内角为A，B，C，∴sinA ∴tanB=-1, ∴ .
【分析】利用正弦定理整理化简原式即可求出tanB=-1，进而求出角B的大小。
16．【答案】26；
【知识点】构成空间几何体的基本元素
【解析】 【解答】结合图形的对称性数一数即可得到面的个数为26个。
根据题意补全该半正多面体的正方体，其俯视图为,
设该半正多面体的棱长为a,则有正方体的棱
长为 , ∴ .
【分析】利用空间想象力结合图形的对称性数出面的个数，再补全正方体借助俯视图得出几何关系进而求出该正多面体的棱长。
17．【答案】（1）解：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE 平面ABB1A1，
故 .
又 ，所以BE⊥平面 .
（2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以 ，故AE=AB=3， .作 ，垂足为F，则EF⊥平面 ，且 .
所以，四棱锥 的体积 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】 【分析】(1)利用线面垂直的性质得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可得证。（2）由三角形全等的出 ，进而得出边的关系，再结合题意作出辅助线，得出线线垂直从而得出线面垂直即可得出四棱锥的高线，再由四棱锥的体积公式代入数值求出结果即可。
18．【答案】（1）解：设 的公比为q，由题设得
，即 .
解得 （舍去）或q=4.
因此 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，因此数列 的前n项和为 .
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。
19．【答案】（1）解：根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为 .
产值负增长的企业频率为 .
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.
（2） ，
，
，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.
【知识点】极差、方差与标准差；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】 【分析】（1）由已知的产值增长率频数分布表可计算出结果，再由样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.（2）首先算出100个样本中生产值增长率的平均值和标准差，再用样本估计总体即可估计出这类企业产值增长率的平均值和标准差。
20．【答案】（1）解：连结 ，由 为等边三角形可知在 中， ， ， ，于是 ，故 的离心率是 .
（2）由题意可知，满足条件的点 存在当且仅当 ， ， ，即 ，①
，②
，③
由②③及 得 ，又由①知 ，故 .
由②③得 ，所以 ，从而 故 .
当 ， 时，存在满足条件的点P.
所以 ， 的取值范围为 .
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【分析】（1）首先设出椭圆的坐标，再由等边三角形可得出边之间的关系，利用勾股定理再结合解三角形的知识即可求出离心率的值。（2）结合已知求出三角形面积公式的代数式，结合椭圆的定义以及直角三角形的边的关系，求出b的值再由椭圆的几何意义进而求出a的取值范围即可。
21．【答案】（1）解： 的定义域为（0，+ ）.
.
因为 单调递增， 单调递减，所以 单调递增，又 ，
，故存在唯一 ，使得 .
又当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
因此， 存在唯一的极值点.
（2）由（1）知 ，又 ，所以 在 内存在唯一根 .
由 得 .
又 ，故 是 在 的唯一根.
综上， 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】 【分析】（1）首先求出原函数的导函数，再由导函数的性质研究出原函数的单调性以及极值的情况结论即可得证。（2）利用根与方程的关系即可得证。
22．【答案】（1）解：因为 在C上，当 时， . 由已知得 . 设 为l上除P的任意一点.在 中 ， 经检验，点 在曲线 上.
所以，l的极坐标方程为 .
（2）设 ，在 中， 即 .. 因为P在线段OM上，且 ，故 的取值范围是 .
所以，P点轨迹的极坐标方程为 .
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】 【分析】（1）点 在： 上，当 时， ，根据已知条件直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P，即可求出直线l的直角坐标方程，进而求出其极坐标方程。（2） ，点 ，所以 ，根据已知条件可求出点P的轨迹。
23．【答案】（1）解：当a=1时， .
当 时， ；当 时， .
所以，不等式 的解集为 .
（2）因为 ，所以 .
当 ， 时，
所以， 的取值范围是 .
【知识点】绝对值不等式
【解析】【分析】（1）将a=1代入，得到f(x)解析式，将绝对值去掉，可得分段函数，分别求出每一段f(x)<0的解集即可。（2）由x<0得到， 考虑x与a的大小，分类讨论即可。
1 / 12019年高考文数真题试卷（全国Ⅱ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．（2019·全国Ⅱ卷文）已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=（　　）
A．（-1，+∞） B．（ -∞，2） C．（ -1，2） D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】 【解答】解; ,
故答案为：C
【分析】由集合交集的定义结合不等式的知识即可得出结果。
2．（2019·全国Ⅱ卷文）设z=i（2+i），则 =（　　）
A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】 【解答】首先求出 则 ，
故答案为：D
【分析】根据题意整理原式，再结合共轭复数的定义求出即可。
3．（2019·全国Ⅱ卷文）已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（　　）
A． B．2 C．5 D．50
【答案】A
【知识点】向量的模
【解析】【解答】∵ - =(-1,1), ∴ ,
故答案为：A
【分析】首先求出两个向量之差的坐标，进而可求出 - 的模的大小即可。
4．（2019·全国Ⅱ卷文）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】 【解答】每次取出兔子的事件之间相互独立，则根据伯努利概率公式 ，
故答案为：B
【分析】每次事件之间相互独立满足伯努利概率公式代入数值求出结果即可。
5．（2019·全国Ⅱ卷文）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。
乙：丙的成绩比我和甲的都高。
丙：我的成绩比乙高。
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（　　）
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
【答案】A
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解:由题意，可把三人的预测简写如下:
甲：甲>乙.
乙：丙>乙且丙>甲.
丙；丙>乙.
∵只有一个人预测正确,
∴分析三人的预测,可知:乙、丙的预测不正确.
如果乙预测正确,则丙预测正确，不符合题意。
如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确，
则有丙>乙，乙>甲,
∵乙预测不正确,而丙>乙正确,
∴只有丙>甲不正确，
∵甲>丙，这与丙>乙，乙>甲矛盾.不符合题意.
.只有甲预测正确,乙、丙预测不正确,
甲>乙，乙>丙.
故答案为：A
【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手,因为只有一个人预测正确 ,而乙对则丙必对,丙对乙很有可能对,假设丙对乙错则会引起矛盾故只有-种情况就是甲预测正确乙、丙错误,从而得出结果.
6．（2019·全国Ⅱ卷文）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）= -1，则当x<0时，f（x）=（　　）
A． -1 B． +1 C．- -1 D．- +1
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】 【解答】由奇函数的定义f(-x)=-f(x),当x<0时，-x>0,即可得出f(-x)= =-f(x), ∴f(x)=- ，
故答案为：D
【分析】利用奇函数的定义整理化简即可得出结论。
7．（2019·全国Ⅱ卷理）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】 【解答】A选项中α面内的无数条直线不一定是两条相交直线C选项中平行于同一条直线的两个平面也可以相交D选项垂直于同一个平面的两个平面也可以相交。
故答案为：B
【分析】利用两个平面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面则两个平面平行，逐一判断选项即可得出正确答案。
8．（2019·全国Ⅱ卷文）若 ， 是函数f（x）= sinωx（ω>0） 两个相邻的极值点，则ω（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】三角函数的周期性
【解析】 【解答】∵x1= ，x2= ，是函数f(x)= ( >0)两个相邻的极值点，∴函数的半个周期为 , ∴ .
故答案为：A
【分析】根据题意首先求出函数的周期再由正弦函数的周期公式代入数值求出即可。
9．（2019·全国Ⅱ卷理）若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则p=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】∵抛物线的焦点 ,椭圆的焦点在x轴上则有 , ∴ ，抛物线的焦点是椭圆的焦点∴ ,解出p=8.
故答案为：D
【分析】首先求抛物线的焦点坐标和椭圆的焦点坐标，令两个代数式相等求出结果即可。
10．（2019·全国Ⅱ卷文）曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1）处的切线方程为 （　　）
A．x-y-π-1=0 B．2x-y-2π-1=0
C．2x+y-2π+1=0 D．x+y-π+1=0
【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】 【解答】首先求出原函数的导函数 ,再把 代入到导函数的解析式，求出结果即为切线的斜率则k=-2，再由点斜式y+1=-2(x- )求出直线的方程化为一般式 ，
故答案为：C
【分析】根据题意求出导函数的解析式，进而求出切线方程的斜率再由点斜式即可求出答案。
11．（2019·全国Ⅱ卷理）已知α∈(0, )，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】由二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式2sin2α=cos2α+1，4sinαcosα=2cos2α，可得到 ，代入到 ,
∵a∈（0， ）
∴ ,
∴ .
故答案为：B
【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式即可求出 ，再由同角三角函数的关系式求出 ，结合角的取值范围可判断出 的符号为正，从而求出结果。
12．（2019·全国Ⅱ卷理）设F为双曲线C： 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的圆与圆 交于P，Q两点.若 ，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】根据题意可以设出以O为圆心圆的方程为 ，联立两个圆的 ,两圆方程相减可得 ,设PQ与x轴交于M点， ,在直角三角形OMP中， ,又|PQ|=|OF|，∴ 即 ,整理化简可得 ,等式两边同时除以 , , ∵∴ .
故答案为：A
【分析】首先设出以OF为直径的圆的方程，联立两个圆的方程可求出两圆交点的横坐标，再结合直角三角形中的勾股定理，即可求出a与c的关系式然后再由整体思想求出关于e的方程解出即可。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2019·全国Ⅱ卷文）若变量x，y满足约束条件 ，则，z=3x-y的最大值是　 　。
【答案】9
【知识点】简单线性规划
【解析】 【解答】根据题意做出满足已知条件的线性区域内如图所示：
将目标函数转化为直线3x-y-z=0,则z的最大值即为直线在y轴上的截距，所以当直线过点（3,0）时该直在y轴上的截距最大，代入数值求出z的值z=3 3-0=9.
故答案为：9
【分析】首先求出不等式表示平面区域，求出三条直线的交点坐标，再把目标函数转化为直线的一般式，z的最大值即为该直线的在y轴上的截距最大值，把（3,0）代入求出结果即可。
14．（2019·全国Ⅱ卷理）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　 　.
【答案】0.98
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】 【解答】根据题意停该站高铁列车所有车次的平均正点率为 =0.98，
故答案为：0.98.
【分析】利用平均值的求法代入数值求出结果。
15．（2019·全国Ⅱ卷文）△ABC的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，知 ，则 =　 　
【答案】
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】 【解答】由正弦定理可得 , ,代入原式可得 , ∵ 的内角为A，B，C，∴sinA ∴tanB=-1, ∴ .
【分析】利用正弦定理整理化简原式即可求出tanB=-1，进而求出角B的大小。
16．（2019·全国Ⅱ卷理）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有　 　个面，其棱长为　 　.
【答案】26；
【知识点】构成空间几何体的基本元素
【解析】 【解答】结合图形的对称性数一数即可得到面的个数为26个。
根据题意补全该半正多面体的正方体，其俯视图为,
设该半正多面体的棱长为a,则有正方体的棱
长为 , ∴ .
【分析】利用空间想象力结合图形的对称性数出面的个数，再补全正方体借助俯视图得出几何关系进而求出该正多面体的棱长。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（2019·全国Ⅱ卷文）如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， 。
（1）证明： ；
（2）若 ， ，求四棱锥 的体积。
【答案】（1）解：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE 平面ABB1A1，
故 .
又 ，所以BE⊥平面 .
（2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以 ，故AE=AB=3， .作 ，垂足为F，则EF⊥平面 ，且 .
所以，四棱锥 的体积 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】 【分析】(1)利用线面垂直的性质得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可得证。（2）由三角形全等的出 ，进而得出边的关系，再结合题意作出辅助线，得出线线垂直从而得出线面垂直即可得出四棱锥的高线，再由四棱锥的体积公式代入数值求出结果即可。
18．（2019·全国Ⅱ卷文）已知 是各项均为正数的等比数列， ， 。
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列{ }的前n项和。
【答案】（1）解：设 的公比为q，由题设得
，即 .
解得 （舍去）或q=4.
因此 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，因此数列 的前n项和为 .
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。
19．（2019·全国Ⅱ卷文）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表。
y的分组 [-0.20，0) [0，0.20) [0.20，0.40) [0.40，0.60) [0.60，0.80)
企业数 2 24 53 14 7
附：
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）
【答案】（1）解：根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为 .
产值负增长的企业频率为 .
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.
（2） ，
，
，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.
【知识点】极差、方差与标准差；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】 【分析】（1）由已知的产值增长率频数分布表可计算出结果，再由样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.（2）首先算出100个样本中生产值增长率的平均值和标准差，再用样本估计总体即可估计出这类企业产值增长率的平均值和标准差。
20．（2019·全国Ⅱ卷文）已知 是椭圆C： 的两个焦点， 为 上的点， 为坐标原点。
（1）若 为等边三角形，求 的离心率；
（2）如果存在点P，使得 ，且 的面积等于16，求 的值和a的取值范围。
【答案】（1）解：连结 ，由 为等边三角形可知在 中， ， ， ，于是 ，故 的离心率是 .
（2）由题意可知，满足条件的点 存在当且仅当 ， ， ，即 ，①
，②
，③
由②③及 得 ，又由①知 ，故 .
由②③得 ，所以 ，从而 故 .
当 ， 时，存在满足条件的点P.
所以 ， 的取值范围为 .
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【分析】（1）首先设出椭圆的坐标，再由等边三角形可得出边之间的关系，利用勾股定理再结合解三角形的知识即可求出离心率的值。（2）结合已知求出三角形面积公式的代数式，结合椭圆的定义以及直角三角形的边的关系，求出b的值再由椭圆的几何意义进而求出a的取值范围即可。
21．（2019·全国Ⅱ卷文）已知函数 ，证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
【答案】（1）解： 的定义域为（0，+ ）.
.
因为 单调递增， 单调递减，所以 单调递增，又 ，
，故存在唯一 ，使得 .
又当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
因此， 存在唯一的极值点.
（2）由（1）知 ，又 ，所以 在 内存在唯一根 .
由 得 .
又 ，故 是 在 的唯一根.
综上， 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】 【分析】（1）首先求出原函数的导函数，再由导函数的性质研究出原函数的单调性以及极值的情况结论即可得证。（2）利用根与方程的关系即可得证。
四、选考题 ：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（2019·全国Ⅱ卷理）[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点 在曲线 上，直线l过点 且与 垂直，垂足为P.
（1）当 时，求 及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
【答案】（1）解：因为 在C上，当 时， . 由已知得 . 设 为l上除P的任意一点.在 中 ， 经检验，点 在曲线 上.
所以，l的极坐标方程为 .
（2）设 ，在 中， 即 .. 因为P在线段OM上，且 ，故 的取值范围是 .
所以，P点轨迹的极坐标方程为 .
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】 【分析】（1）点 在： 上，当 时， ，根据已知条件直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P，即可求出直线l的直角坐标方程，进而求出其极坐标方程。（2） ，点 ，所以 ，根据已知条件可求出点P的轨迹。
23．（2019·全国Ⅱ卷理）已知
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时， ，求 的取值范围.
【答案】（1）解：当a=1时， .
当 时， ；当 时， .
所以，不等式 的解集为 .
（2）因为 ，所以 .
当 ， 时，
所以， 的取值范围是 .
【知识点】绝对值不等式
【解析】【分析】（1）将a=1代入，得到f(x)解析式，将绝对值去掉，可得分段函数，分别求出每一段f(x)<0的解集即可。（2）由x<0得到， 考虑x与a的大小，分类讨论即可。
1 / 1