【精品解析】2019年高考理数真题试卷（全国Ⅲ卷）

2019年高考理数真题试卷（全国Ⅲ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．（2019·全国Ⅲ卷理）已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（　　）
A．{-1，0，1} B．{0，1}
C．{-1，1} D．{0，1，2}
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合 ，
则 ，
故答案为：A.
【分析】先求出集合B，再利用交集的运算即可得结果.
2．（2019·全国Ⅲ卷理）若z（1+i）=2i，则z=（　　）
A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵ ，则 ，
故答案为：D.
【分析】利用复数的乘除运算，即可求出复数z的代数式.
3．（2019·全国Ⅲ卷理）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（　　）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：设集合A表示阅读过《西游记》的学生，集合B表示阅读过《红楼梦》的学生，
依题意，可得学生人数分别为 ， ， ，
∵ ，
∴90= +80-60，∴ =70，
∴该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ，
故答案为：C.
【分析】利用集合中元素个数的关系式 列式，得到阅读过《西游记》的学生人数，即可求出与该校学生总数比值的估计值.
4．（2019·全国Ⅲ卷理）(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】 【解答】解：∵ 的通项公式为 ，
∴展开式中x3的系数为 ，
故答案为：A.
【分析】由已知利用 的通项公式为 ，结合 即可求出展开式中x3的系数.
5．（2019·全国Ⅲ卷理）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（　　）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】 【解答】解：∵a5=3a3+4a1，则 ，∵ ，∴ ，
解得 或 （舍），∵各项均为正数，∴ ，又∵等比数列{an}的前4项为和为15，
∴ ，解得 ，∴ ，
故答案为：C.
【分析】由已知利用等比数列的通项公式列式，得到q=2，再由前4项为和为15列式，解得 ，即可求出 的值.
6．（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线y=aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（　　）
A．a=e，b=-1 B．a=e，b=1 C．a=e-1，b=1 D．a=e-1，b=-1
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】 【解答】解：依题意，点（1，ae）在已知曲线 上，
∵ ，∴切线的斜率 ，∵切线方程为y=2x+b，
∴ ，解得 ，即 ，
故答案为：D.
【分析】由已知可得点（1，ae）在曲线 上，求导并代入x=1得到切线斜率的表达式，利用切线的斜率和点（1，ae）在切线上列式，解得 即可得结果.
7．（2019·全国Ⅲ卷理）函数 ，在[-6,6]的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】 【解答】解：∵ ，∴此函数是奇函数，排除选项C；
又∵当x=4时， ，排除选项A，D，
故答案为：B.
【分析】先利用函数的奇偶性排除选项C，再把x=4代入求值，利用特值法排除选项A，D，即可判断得到函数的大致图象.
8．（2019·全国Ⅲ卷理） 如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　）
A．BM=EN，且直线BM、EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM、EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】 【解答】解：连接BD，BE，MN，如图：
∵M，N分别是线段ED，BD的中点，∴MN∥BE，∴直线MN，BE确定一个平面，
∴直线BM，EN 是相交直线，设正方形ABCD的的边长为a，则DE=a，DB= a，
∵DE≠DB，∴△BMD与△END不全等，∴BM≠EN，
故答案为：B.
【分析】由已知可证MN∥BE，得到直线MN，BE确定一个平面，可证直线BM，EN 是相交直线，再由△BMD与△END不全等，得到BM≠EN，即可判断得结论.
9．（2019·全国Ⅲ卷理） 执行下边的程序框图，如果输入的 为0.01，则输出 的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】 【解答】解：执行已知程序框图，第1次： ，不满足条件，继续循环；第2次： ，不满足条件，继续循环；第3次： ，不满足条件，继续循环；…；第7次： ，满足条件，结束循环，输出S的值，即 ，
故答案为：C.
【分析】执行已知程序框图，进行循环计算，直到满足条件，结束循环，由 ，即可求出输出S的值.
10．（2019·全国Ⅲ卷理）双曲线 的右焦点为F,点P 在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】 【解答】解：∵双曲线C： =1，则 ，∴ ， ，渐近线方程为 ，
设P在渐进线 上，过P作 ，如图：
∵ ，∴△POF是等腰三角形，∴ ，代入渐进线方程 中，可得 ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】由已知得到 ，过P作 ，由 ，得到△POF是等腰三角形，求出 ，即可求出△PFO的面积.
11．（2019·全国Ⅲ卷理）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（　　）
A． （log3）＞ （ ）＞ （ ）
B． （log3）＞ （ ）＞ （ ）
C． （ ）＞ （ ）＞ （log3）
D． （ ）＞ （ ）＞ （log3）
【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】 【解答】解：∵ 是定义域为R的偶函数，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ 在 单调递减，∴ （ ）＞ （ ）＞ （log3 ），
故答案为：C.
【分析】由已知 是偶函数，得到 ，利用 的单调性，即可比较大小.
12．（2019·全国Ⅲ卷理）设函数f（x）=sin（ωx+ ）（ω>0），已如f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0， ）单调递增④ω的取值范围[ ， ）其中所有正确结论的编号是（　　）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】 【解答】解：由已知画出函数的大致图象，如图：
由图可知 在（ ）有且仅有3个极大值点，故①正确； 在E，F之间，靠近点E，有且仅有2个极小值点，靠近点F，有且仅有3个极小值点，故②错误；令 =0，可得E，F的横坐标分别为 ，则 ，解得 的取值范围是[ )，故④正确；由④可取 的最大值 ，得到函数在 单调递增，即 在（ ）单调递增，故③正确，
故答案为：D.
【分析】由已知画出函数的大致图象，利用图象得到①正确，②错误，再利用函数 的性质得到③④正确，即可得结论.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．（2019·全国Ⅲ卷理）已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- b，则cos=　 　。
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】 【解答】解：∵ ， ，∴ ，展开整理可得 ，
又∵ ，∴ ，
故答案为： .
【分析】由已知 ，展开整理可得 ，再求出 ，代入向量的夹角公式即可.
14．（2019·全国Ⅲ卷理）记Sn为等差数列{an}项和，若a1≠0，a2=3a1，则 =　 　。
【答案】4
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】 【解答】解：∵等差数列{an}中 ，∴ ，∴ ，
故答案为：4.
【分析】由已知得到 ，利用等差数列的求和公式，代入化简即可求值.
15．（2019·全国Ⅲ卷理）设F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为　 　。
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：∵椭圆C: ，则 ，∴ ， ，
设 ，∴①，∵ 为等腰三角形，∴ ，
∴②，由①②解得 ，则M的坐标为 ，
故答案为： .
【分析】由已知M为C上一点，得到 ，再由 为等腰三角形，得到 ，利用两点间的距离公式，得到 ，由①②即可解出M的坐标.
16．（2019·全国Ⅲ卷理）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1，挖去四棱推O一EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm2，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　 　g.
【答案】118.8
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】 【解答】解：∵E，F，G，H分别为所在棱的中点， ，
∴四棱锥O —EFGH的体积 ，
又∵长方体 的体积 ，∴该模型的体积 ，
∴制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8g，
故答案为118.8.
【分析】由已知得到四棱锥O —EFGH和长方体 的体积，求出该模型的体积 ，即可求出制作该模型所需原料的质量.
三、解答题，共70分，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答：
17．（2019·全国Ⅲ卷理）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
【答案】（1）解：由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）由已知利用频率分布直方图，百分比不低于5.5的估计值为0.70列式，即可求出a，b的值；（2）由频率分布直方图平均数的计算公式，利用区间的中点值为代表列式，即可求出平均值.
18．（2019·全国Ⅲ卷理）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.
【答案】（1）解：由题设及正弦定理得 ．
因为sinA 0，所以 ．
由 ，可得 ，故 ．
因为 ，故 ，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积 ．
由正弦定理得 ．
由于△ABC为锐角三角形，故0°因此，△ABC面积的取值范围是 ．
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理列式，结合诱导公式化简，即可求出角B的值；（2）利用正弦定理列式，结合△ABC为锐角三角形得到 ，即可求出△ABC面积的取值范围．
19．（2019·全国Ⅲ卷理）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFCC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DC，如题2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.
【答案】（1）解：由已知得AD BE，CG BE，所以AD CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB BE，AB BC，故AB 平面BCGE．
又因为AB 平面ABC，所以平面ABC 平面BCGE．
（2）作EH BC，垂足为H．因为EH 平面BCGE，平面BCGE 平面ABC，所以EH 平面ABC． 由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH= ． 以H为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz， 则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0， ）， =（1，0， ）， =（2，–1，0）． 设平面ACGD的法向量为 =（x，y，z），则 即
所以可取 =（3，6，– ）．
又平面BCGE的法向量可取为 =（0，1，0），所以 ． 因此二面角B–CG–A的大小为30°．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】 【分析】（1）由已知可证AD CG，得到AD，CG确定一个平面，即可证明结论；（2）先作辅助线，可证EH 平面ABC，再建立空间直角坐标系，求出平面ACGD与平面BCGE的法向量，代入向量的夹角公式，即可求出二面角B–CG–A的大小.
20．（2019·全国Ⅲ卷理）已知函数f（x）=2x3-ax2+b.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。
【答案】（1）解： ． 令 ，得x=0或 . 若a>0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减；
若a=0， 在 单调递增；
若a<0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减.
（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知， 在[0，1]单调递增，所以 在区间[0，l]的最小值为 ，最大值为 .此时a，b满足题设条件当且仅当 ， ，即a=0， ．
（ii）当a≥3时，由（1）知， 在[0，1]单调递减，所以 在区间[0，1]的最大值为 ，最小值为 ．此时a，b满足题设条件当且仅当 ，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0若 ，b=1，则 ，与0若 ， ，则 或 或a=0，与0综上，当且仅当a=0， 或a=4，b=1时， 在[0，1]的最小值为–1，最大值为1．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】 【分析】（1）先求导，令 ，得x=0或 ，分三种情况讨论a，即可求出函数 的单调区间；（2）先判断满足题设条件的a，b存在，再分三种情况讨论a，利用（1）中函数 单调性分别求出a，b的值进行判断，即可得结论.
21．（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线C:
，D为直线y=- 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E（0， ）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
【答案】（1）解：设 ，则 . 由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 . 整理得 设 ，同理可得 . 故直线AB的方程为 .
所以直线AB过定点 .
（2）由（1）得直线AB的方程为 . 由 ，可得 . 于是 ， .
设 分别为点D，E到直线AB的距离，则 .
因此，四边形ADBE的面积 .
设M为线段AB的中点，则 .
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0或 . 当 =0时，S=3；当 时， .
因此，四边形ADBE的面积为3或 .
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（1）先求导，分别得到切线DA和DB的方程，可得直线AB的方程，即可证明直线AB过定点；（2）由（1）中直线AB的方程与抛物线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式，分别得到|AB|与点D，E到直线AB的距离，由 与向量 平行列式，即可求出四边形ADBE的面积.
四、选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（2019·全国Ⅲ卷理）[选修4-4：坐标系与参数方程]
如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（ ， ），C（ ， ），D（2，π），弧 ， ， 所在圆的圆心分别是（1，0），（1， ），（1，π），曲线M1是弧 ，曲线M2是弧 ，曲线M3是弧 。
（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|= ，求P的极坐标。
【答案】（1）解：由题设可得，弧 所在圆的极坐标方程分别为 ， ， .
所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 .
（2）设 ，由题设及（1）知
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 或 ；
若 ，则 ，解得 .
综上，P的极坐标为 或 或 或
【知识点】简单曲线的极坐标方程；极坐标刻画点的位置
【解析】 【分析】（1）由已知利用圆的极坐标方程，即可分别求出弧 的极坐标方程；（2）由题设及（1）中弧 的极坐标方程，分三种情况讨论角 ，即可求出点P极坐标.
23．（2019·全国Ⅲ卷理）设x，y，z∈R，且x+y+z=1，
（1）求（x-1）2+（y+1）2+（z-1）2的最小值；
（2）若（x-2）2+（y-1）2+（z-2）2≥ 成立，证明：a≤-3或a≥-1。
【答案】（1）解：（1）由于
，
故由已知得 ，
当且仅当x= ，y=– ， 时等号成立．
所以 的最小值为
（2）由于
，
故由已知 ，
当且仅当 ， ， 时等号成立．
因此 的最小值为 ．
由题设知 ，解得 或
【知识点】不等式的证明；一般形式的柯西不等式
【解析】【分析】（1）由已知利用柯西不等式，得到 ，即可求出最小值；（2）由已知利用柯西不等式，得到 ，可得最小值为 ，由题设列式 ，即可证明结论.
1 / 12019年高考理数真题试卷（全国Ⅲ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．（2019·全国Ⅲ卷理）已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（　　）
A．{-1，0，1} B．{0，1}
C．{-1，1} D．{0，1，2}
2．（2019·全国Ⅲ卷理）若z（1+i）=2i，则z=（　　）
A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i
3．（2019·全国Ⅲ卷理）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（　　）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
4．（2019·全国Ⅲ卷理）(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
5．（2019·全国Ⅲ卷理）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（　　）
A．16 B．8 C．4 D．2
6．（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线y=aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（　　）
A．a=e，b=-1 B．a=e，b=1 C．a=e-1，b=1 D．a=e-1，b=-1
7．（2019·全国Ⅲ卷理）函数 ，在[-6,6]的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2019·全国Ⅲ卷理） 如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　）
A．BM=EN，且直线BM、EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM、EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
9．（2019·全国Ⅲ卷理） 执行下边的程序框图，如果输入的 为0.01，则输出 的值等于（　　）
A． B． C． D．
10．（2019·全国Ⅲ卷理）双曲线 的右焦点为F,点P 在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2019·全国Ⅲ卷理）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（　　）
A． （log3）＞ （ ）＞ （ ）
B． （log3）＞ （ ）＞ （ ）
C． （ ）＞ （ ）＞ （log3）
D． （ ）＞ （ ）＞ （log3）
12．（2019·全国Ⅲ卷理）设函数f（x）=sin（ωx+ ）（ω>0），已如f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0， ）单调递增④ω的取值范围[ ， ）其中所有正确结论的编号是（　　）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．（2019·全国Ⅲ卷理）已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- b，则cos=　 　。
14．（2019·全国Ⅲ卷理）记Sn为等差数列{an}项和，若a1≠0，a2=3a1，则 =　 　。
15．（2019·全国Ⅲ卷理）设F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为　 　。
16．（2019·全国Ⅲ卷理）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1，挖去四棱推O一EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm2，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　 　g.
三、解答题，共70分，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答：
17．（2019·全国Ⅲ卷理）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
18．（2019·全国Ⅲ卷理）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.
19．（2019·全国Ⅲ卷理）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFCC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DC，如题2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.
20．（2019·全国Ⅲ卷理）已知函数f（x）=2x3-ax2+b.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。
21．（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线C:
，D为直线y=- 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E（0， ）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
四、选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（2019·全国Ⅲ卷理）[选修4-4：坐标系与参数方程]
如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（ ， ），C（ ， ），D（2，π），弧 ， ， 所在圆的圆心分别是（1，0），（1， ），（1，π），曲线M1是弧 ，曲线M2是弧 ，曲线M3是弧 。
（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|= ，求P的极坐标。
23．（2019·全国Ⅲ卷理）设x，y，z∈R，且x+y+z=1，
（1）求（x-1）2+（y+1）2+（z-1）2的最小值；
（2）若（x-2）2+（y-1）2+（z-2）2≥ 成立，证明：a≤-3或a≥-1。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合 ，
则 ，
故答案为：A.
【分析】先求出集合B，再利用交集的运算即可得结果.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵ ，则 ，
故答案为：D.
【分析】利用复数的乘除运算，即可求出复数z的代数式.
3．【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：设集合A表示阅读过《西游记》的学生，集合B表示阅读过《红楼梦》的学生，
依题意，可得学生人数分别为 ， ， ，
∵ ，
∴90= +80-60，∴ =70，
∴该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ，
故答案为：C.
【分析】利用集合中元素个数的关系式 列式，得到阅读过《西游记》的学生人数，即可求出与该校学生总数比值的估计值.
4．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】 【解答】解：∵ 的通项公式为 ，
∴展开式中x3的系数为 ，
故答案为：A.
【分析】由已知利用 的通项公式为 ，结合 即可求出展开式中x3的系数.
5．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】 【解答】解：∵a5=3a3+4a1，则 ，∵ ，∴ ，
解得 或 （舍），∵各项均为正数，∴ ，又∵等比数列{an}的前4项为和为15，
∴ ，解得 ，∴ ，
故答案为：C.
【分析】由已知利用等比数列的通项公式列式，得到q=2，再由前4项为和为15列式，解得 ，即可求出 的值.
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】 【解答】解：依题意，点（1，ae）在已知曲线 上，
∵ ，∴切线的斜率 ，∵切线方程为y=2x+b，
∴ ，解得 ，即 ，
故答案为：D.
【分析】由已知可得点（1，ae）在曲线 上，求导并代入x=1得到切线斜率的表达式，利用切线的斜率和点（1，ae）在切线上列式，解得 即可得结果.
7．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】 【解答】解：∵ ，∴此函数是奇函数，排除选项C；
又∵当x=4时， ，排除选项A，D，
故答案为：B.
【分析】先利用函数的奇偶性排除选项C，再把x=4代入求值，利用特值法排除选项A，D，即可判断得到函数的大致图象.
8．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】 【解答】解：连接BD，BE，MN，如图：
∵M，N分别是线段ED，BD的中点，∴MN∥BE，∴直线MN，BE确定一个平面，
∴直线BM，EN 是相交直线，设正方形ABCD的的边长为a，则DE=a，DB= a，
∵DE≠DB，∴△BMD与△END不全等，∴BM≠EN，
故答案为：B.
【分析】由已知可证MN∥BE，得到直线MN，BE确定一个平面，可证直线BM，EN 是相交直线，再由△BMD与△END不全等，得到BM≠EN，即可判断得结论.
9．【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】 【解答】解：执行已知程序框图，第1次： ，不满足条件，继续循环；第2次： ，不满足条件，继续循环；第3次： ，不满足条件，继续循环；…；第7次： ，满足条件，结束循环，输出S的值，即 ，
故答案为：C.
【分析】执行已知程序框图，进行循环计算，直到满足条件，结束循环，由 ，即可求出输出S的值.
10．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】 【解答】解：∵双曲线C： =1，则 ，∴ ， ，渐近线方程为 ，
设P在渐进线 上，过P作 ，如图：
∵ ，∴△POF是等腰三角形，∴ ，代入渐进线方程 中，可得 ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】由已知得到 ，过P作 ，由 ，得到△POF是等腰三角形，求出 ，即可求出△PFO的面积.
11．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】 【解答】解：∵ 是定义域为R的偶函数，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ 在 单调递减，∴ （ ）＞ （ ）＞ （log3 ），
故答案为：C.
【分析】由已知 是偶函数，得到 ，利用 的单调性，即可比较大小.
12．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】 【解答】解：由已知画出函数的大致图象，如图：
由图可知 在（ ）有且仅有3个极大值点，故①正确； 在E，F之间，靠近点E，有且仅有2个极小值点，靠近点F，有且仅有3个极小值点，故②错误；令 =0，可得E，F的横坐标分别为 ，则 ，解得 的取值范围是[ )，故④正确；由④可取 的最大值 ，得到函数在 单调递增，即 在（ ）单调递增，故③正确，
故答案为：D.
【分析】由已知画出函数的大致图象，利用图象得到①正确，②错误，再利用函数 的性质得到③④正确，即可得结论.
13．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】 【解答】解：∵ ， ，∴ ，展开整理可得 ，
又∵ ，∴ ，
故答案为： .
【分析】由已知 ，展开整理可得 ，再求出 ，代入向量的夹角公式即可.
14．【答案】4
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】 【解答】解：∵等差数列{an}中 ，∴ ，∴ ，
故答案为：4.
【分析】由已知得到 ，利用等差数列的求和公式，代入化简即可求值.
15．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：∵椭圆C: ，则 ，∴ ， ，
设 ，∴①，∵ 为等腰三角形，∴ ，
∴②，由①②解得 ，则M的坐标为 ，
故答案为： .
【分析】由已知M为C上一点，得到 ，再由 为等腰三角形，得到 ，利用两点间的距离公式，得到 ，由①②即可解出M的坐标.
16．【答案】118.8
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】 【解答】解：∵E，F，G，H分别为所在棱的中点， ，
∴四棱锥O —EFGH的体积 ，
又∵长方体 的体积 ，∴该模型的体积 ，
∴制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8g，
故答案为118.8.
【分析】由已知得到四棱锥O —EFGH和长方体 的体积，求出该模型的体积 ，即可求出制作该模型所需原料的质量.
17．【答案】（1）解：由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）由已知利用频率分布直方图，百分比不低于5.5的估计值为0.70列式，即可求出a，b的值；（2）由频率分布直方图平均数的计算公式，利用区间的中点值为代表列式，即可求出平均值.
18．【答案】（1）解：由题设及正弦定理得 ．
因为sinA 0，所以 ．
由 ，可得 ，故 ．
因为 ，故 ，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积 ．
由正弦定理得 ．
由于△ABC为锐角三角形，故0°因此，△ABC面积的取值范围是 ．
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理列式，结合诱导公式化简，即可求出角B的值；（2）利用正弦定理列式，结合△ABC为锐角三角形得到 ，即可求出△ABC面积的取值范围．
19．【答案】（1）解：由已知得AD BE，CG BE，所以AD CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB BE，AB BC，故AB 平面BCGE．
又因为AB 平面ABC，所以平面ABC 平面BCGE．
（2）作EH BC，垂足为H．因为EH 平面BCGE，平面BCGE 平面ABC，所以EH 平面ABC． 由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH= ． 以H为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz， 则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0， ）， =（1，0， ）， =（2，–1，0）． 设平面ACGD的法向量为 =（x，y，z），则 即
所以可取 =（3，6，– ）．
又平面BCGE的法向量可取为 =（0，1，0），所以 ． 因此二面角B–CG–A的大小为30°．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】 【分析】（1）由已知可证AD CG，得到AD，CG确定一个平面，即可证明结论；（2）先作辅助线，可证EH 平面ABC，再建立空间直角坐标系，求出平面ACGD与平面BCGE的法向量，代入向量的夹角公式，即可求出二面角B–CG–A的大小.
20．【答案】（1）解： ． 令 ，得x=0或 . 若a>0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减；
若a=0， 在 单调递增；
若a<0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减.
（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知， 在[0，1]单调递增，所以 在区间[0，l]的最小值为 ，最大值为 .此时a，b满足题设条件当且仅当 ， ，即a=0， ．
（ii）当a≥3时，由（1）知， 在[0，1]单调递减，所以 在区间[0，1]的最大值为 ，最小值为 ．此时a，b满足题设条件当且仅当 ，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0若 ，b=1，则 ，与0若 ， ，则 或 或a=0，与0综上，当且仅当a=0， 或a=4，b=1时， 在[0，1]的最小值为–1，最大值为1．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】 【分析】（1）先求导，令 ，得x=0或 ，分三种情况讨论a，即可求出函数 的单调区间；（2）先判断满足题设条件的a，b存在，再分三种情况讨论a，利用（1）中函数 单调性分别求出a，b的值进行判断，即可得结论.
21．【答案】（1）解：设 ，则 . 由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 . 整理得 设 ，同理可得 . 故直线AB的方程为 .
所以直线AB过定点 .
（2）由（1）得直线AB的方程为 . 由 ，可得 . 于是 ， .
设 分别为点D，E到直线AB的距离，则 .
因此，四边形ADBE的面积 .
设M为线段AB的中点，则 .
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0或 . 当 =0时，S=3；当 时， .
因此，四边形ADBE的面积为3或 .
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（1）先求导，分别得到切线DA和DB的方程，可得直线AB的方程，即可证明直线AB过定点；（2）由（1）中直线AB的方程与抛物线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式，分别得到|AB|与点D，E到直线AB的距离，由 与向量 平行列式，即可求出四边形ADBE的面积.
22．【答案】（1）解：由题设可得，弧 所在圆的极坐标方程分别为 ， ， .
所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 .
（2）设 ，由题设及（1）知
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 或 ；
若 ，则 ，解得 .
综上，P的极坐标为 或 或 或
【知识点】简单曲线的极坐标方程；极坐标刻画点的位置
【解析】 【分析】（1）由已知利用圆的极坐标方程，即可分别求出弧 的极坐标方程；（2）由题设及（1）中弧 的极坐标方程，分三种情况讨论角 ，即可求出点P极坐标.
23．【答案】（1）解：（1）由于
，
故由已知得 ，
当且仅当x= ，y=– ， 时等号成立．
所以 的最小值为
（2）由于
，
故由已知 ，
当且仅当 ， ， 时等号成立．
因此 的最小值为 ．
由题设知 ，解得 或
【知识点】不等式的证明；一般形式的柯西不等式
【解析】【分析】（1）由已知利用柯西不等式，得到 ，即可求出最小值；（2）由已知利用柯西不等式，得到 ，可得最小值为 ，由题设列式 ，即可证明结论.
1 / 1