2019年高考理数真题试卷（天津卷）
一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
1．（2019·天津）设集合 ，则 （ ）
A．{2} B．{2，3}
C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】 【解答】 ，
故答案为：D
【分析】利用集合交并运算性质即可得出答案。
2．（2019·天津）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】 【解答】作出不等式对应的平面区域，由 得 ，平移直线 ，可知当直线 经过直线 与 的交点时，直线 的截距最大，此时 最大
由 解得
此时直线 与 的交点为
此时 的最大值为
故答案为：C
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可得出 的最大值。
3．（2019·天津）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】由 得，
由 得
由“小范围”推出“大范围”得出 可推出
故“ ”是“ ”的必要而不充分条件。
故答案为：B
【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可。
4．（2019·天津）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为（ ）
A．5 B．8 C．24 D．29
【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】 【解答】该程序框图共运行3次：第1次， ，1非偶数， ， ；第2次， ，2是偶数， ， ， ； ，3非偶数， ， 成立，结束循环，故输出 。
故答案为：B
【分析】本题考查当型循环结构的程序框图，由算法的功能判断 值的变化规律以及对应的赋值语句即可得出答案。
5．（2019·天津）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】抛物线 的准线 ：
抛物线 的准线为F，
∵抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于A，B两点，且 ，
∴ ， ，
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标， 得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合 的关系式得出出 的关系，即可求得离心率。
6．（2019·天津）已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】 【解答】 且 ， ，
故
故答案为：A
【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定 的大小关系即可。
7．（2019·天津）已知函数 是奇函数，将 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】 【解答】由函数 是奇函数，得 ，即 得
由 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，
得 的最小正周期为 ，
故
由 得 即
故
故答案为：C
【分析】由奇函数得 ，即 得 ,由 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 的最小正周期为 ，
得 的最小正周期为 ，求出ω，进而得出 ， ，再代入 求出A的值，进而得出 。
8．（2019·天津）已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】 【解答】∵ 的对称轴为
又∵
∴
∵ 在R上恒成立
∴
∴当 时， 得 解得 ；
当 时， 得 解得 。
综上所述，
故答案为：C
【分析】分段讨论 和 时，求最小值的问题，关于 的不等式 在 上恒成立，解不等式即可得出 的取值范围。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（2019·天津） 是虚数单位，则 的值为 .
【答案】
【知识点】复数的模
【解析】 【解答】
故答案为：
【分析】本题考查复数的除法运算，分子分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数求模即可得出答案。
10．（2019·天津） 是展开式中的常数项为 .
【答案】28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】 【解答】展开式的通项公式为
令 可得
故展开式中的常数项为
故答案为：28
【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数。
11．（2019·天津）已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】 【解答】∵四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为
连接 ，
设四棱锥的高为 ， 是底面的中心。
∴ ，
在 中，
∵圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，
∴圆柱底面的半径 ，圆柱的高
∴圆柱的体积
【分析】本题主要考查圆柱的体积，通过求出四棱锥的高，底面的对角线，进而得出圆柱底面的半径及圆柱的高，最后求出圆柱的体积。
12．（2019·天津）设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为 .
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】 【解答】把圆的参数方程化为普通方程得：
∴圆心的坐标为 ，半径
∵直线 和圆相切，
∴圆心到直线的距离
即
解得：
故答案为：
【分析】将圆的参数方程化为普通方程，利用圆心 到直线 的距离等于半径即可得出答案。
13．（2019·天津）设 ，则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】 【解答】∵
∴
当且仅当 ，即当 或 时，等号成立。
故答案为：
【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。
14．（2019·天津）在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则 .
【答案】-1
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ , ,
，点 在线段 的延长线上，
作
∴ ，
∴在 中， ，
∴
故答案为：-1
【分析】本题考查向量加法的三角形法则，向量内积，需注意向量内积所成的夹角，必须共用一起点所成的角才可以。
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
15．（2019·天津）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
【答案】解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由 ，得 ，即 .又因为 ，得到 ， .由余弦定理可得 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，从而 ， ，故
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理
【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正余弦定理即可求得
（Ⅱ）利用 ，求得 ，进而根据二倍角公式求出 ， ，再利用两角和的正弦即可求得答案。
本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的公式、倍角公式、正余弦定理等知识。
16．（2019·天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 发生的概率.
【答案】解：（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ，故 ，从而 .
所以，随机变量 的分布列为
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .
（Ⅱ）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为 ，则 ，且 .由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，从而由（Ⅰ）知
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】 【分析】本题主要考查随机变量及其分布列和数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式。
（Ⅰ）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ，利用 分别求出相应的概率，即可求出随机变量X的数学期望。
（Ⅱ）先列出发生事件M的几种情况，由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，由此即可求出事件M发生的概率。
17．（2019·天津）如图， 平面 ， ， .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.
【答案】解：依题意，可以建立以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴正方向的空间直角坐标系（如图），
可得 ， .设 ，则 .
（Ⅰ）证明：依题意， 是平面 的法向量，又 ，可得 ，又因为直线 平面 ，所以 平面 .
（Ⅱ）依题意， .
设 为平面 的法向量，则 即 不妨令 ，
可得 .因此有 .
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（Ⅲ）设 为平面 的法向量，则 即
不妨令 ，可得 .
由题意，有 ，解得 .经检验，符合题意.
所以，线段 的长为
【知识点】空间向量平行的坐标表示；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】 【分析】本题主要考查空间向量的应用，直线与平面平行判定定理、二面角、直线与平面所成的角等知识。
（Ⅰ）欲证 平面 ，需证出 与平面 的法向量垂直，由 是平面 的法向量，又 ，可得 ，进而得出 平面 ；
（Ⅱ）要求直线 与平面 所成角的正弦值，只要找出 与平面 的法向量所成的角的余弦值即可。
（Ⅲ）设出平面 的法向量 ，根据 求出 ，再根据 ，求出线段CF的长。
18．（2019·天津）设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率.
【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ， .
所以，椭圆的方程为 .
（Ⅱ）由题意，设 .设直线 的斜率为 ，又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 整理得 ，可得 ，代入 得 ，进而直线 的斜率 .在 中，令 ，得 .由题意得 ，所以直线 的斜率为 .由 ，得 ，化简得 ，从而 .
所以，直线 的斜率为 或
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线方程和圆锥曲线的性质。
（Ⅰ）由椭圆的短轴长，离心率，即可求 ，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由已知条件写出直线 的点斜式，把直线 的方程跟椭圆的方程联立，用 表示出P点的坐标，进而求出 ,在通过已知条件求出 ，由 ，得出 求出 的值，进而得出直线 的斜率。
19．（2019·天津）设 是等差数列， 是等比数列.已知 .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .依题意得 解得 故 .
所以， 的通项公式为 的通项公式为 .
（Ⅱ）（i） .
所以，数列 的通项公式为 .
（ii）
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】 【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和公式。
（Ⅰ）由 ，根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，即可求 和 的通项公式；
（Ⅱ）由（ⅰ） 的通项公式为 的通项公式为 ， 得出数列 的通项公式；
（ⅱ）将 代值并化简即可求值。
20．（2019·天津）设函数 为 的导函数.
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，证明 ；
（Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明 .
【答案】解：（Ⅰ）由已知，有 .因此，当 时，有 ，得 ，则 单调递减；当 时，有 ，得 ，则 单调递增.
所以， 的单调递增区间为 的单调递减区间为 .
（Ⅱ）证明：记 .依题意及（Ⅰ），有 ，从而 .当 时， ，故
.
因此， 在区间 上单调递减，进而 .
所以，当 时， .
（Ⅲ）证明：依题意， ，即 .记 ，则 ，且 .
由 及（Ⅰ），得 .由（Ⅱ）知，当 时， ，所以 在 上为减函数，因此 .又由（Ⅱ）知， ，故
.
所以，
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；反证法与放缩法
【解析】 【分析】本题主要考导数的计算、不等式证明及导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）对函数 求导可求出 的单调递增区间和单调递减区间；
（Ⅱ）先构造函数 ，再对（Ⅰ） 求导，找出 的单调递减区间，结论得以证明；
（Ⅲ）由已知条件 得出 ，进而得出 ， ，结合（Ⅱ） 在 为减函数，即可得到 ，再由（Ⅱ）可知 ，利用单调性即可证得结论。
1 / 12019年高考理数真题试卷（天津卷）
一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
1．（2019·天津）设集合 ，则 （ ）
A．{2} B．{2，3}
C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}
2．（2019·天津）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
3．（2019·天津）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2019·天津）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为（ ）
A．5 B．8 C．24 D．29
5．（2019·天津）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·天津）已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·天津）已知函数 是奇函数，将 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2019·天津）已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（2019·天津） 是虚数单位，则 的值为 .
10．（2019·天津） 是展开式中的常数项为 .
11．（2019·天津）已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .
12．（2019·天津）设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为 .
13．（2019·天津）设 ，则 的最小值为 .
14．（2019·天津）在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
15．（2019·天津）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
16．（2019·天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 发生的概率.
17．（2019·天津）如图， 平面 ， ， .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.
18．（2019·天津）设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率.
19．（2019·天津）设 是等差数列， 是等比数列.已知 .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
20．（2019·天津）设函数 为 的导函数.
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，证明 ；
（Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】 【解答】 ，
故答案为：D
【分析】利用集合交并运算性质即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】 【解答】作出不等式对应的平面区域，由 得 ，平移直线 ，可知当直线 经过直线 与 的交点时，直线 的截距最大，此时 最大
由 解得
此时直线 与 的交点为
此时 的最大值为
故答案为：C
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可得出 的最大值。
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】由 得，
由 得
由“小范围”推出“大范围”得出 可推出
故“ ”是“ ”的必要而不充分条件。
故答案为：B
【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可。
4．【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】 【解答】该程序框图共运行3次：第1次， ，1非偶数， ， ；第2次， ，2是偶数， ， ， ； ，3非偶数， ， 成立，结束循环，故输出 。
故答案为：B
【分析】本题考查当型循环结构的程序框图，由算法的功能判断 值的变化规律以及对应的赋值语句即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】抛物线 的准线 ：
抛物线 的准线为F，
∵抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于A，B两点，且 ，
∴ ， ，
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标， 得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合 的关系式得出出 的关系，即可求得离心率。
6．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】 【解答】 且 ， ，
故
故答案为：A
【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定 的大小关系即可。
7．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】 【解答】由函数 是奇函数，得 ，即 得
由 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，
得 的最小正周期为 ，
故
由 得 即
故
故答案为：C
【分析】由奇函数得 ，即 得 ,由 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 的最小正周期为 ，
得 的最小正周期为 ，求出ω，进而得出 ， ，再代入 求出A的值，进而得出 。
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】 【解答】∵ 的对称轴为
又∵
∴
∵ 在R上恒成立
∴
∴当 时， 得 解得 ；
当 时， 得 解得 。
综上所述，
故答案为：C
【分析】分段讨论 和 时，求最小值的问题，关于 的不等式 在 上恒成立，解不等式即可得出 的取值范围。
9．【答案】
【知识点】复数的模
【解析】 【解答】
故答案为：
【分析】本题考查复数的除法运算，分子分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数求模即可得出答案。
10．【答案】28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】 【解答】展开式的通项公式为
令 可得
故展开式中的常数项为
故答案为：28
【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数。
11．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】 【解答】∵四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为
连接 ，
设四棱锥的高为 ， 是底面的中心。
∴ ，
在 中，
∵圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，
∴圆柱底面的半径 ，圆柱的高
∴圆柱的体积
【分析】本题主要考查圆柱的体积，通过求出四棱锥的高，底面的对角线，进而得出圆柱底面的半径及圆柱的高，最后求出圆柱的体积。
12．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】 【解答】把圆的参数方程化为普通方程得：
∴圆心的坐标为 ，半径
∵直线 和圆相切，
∴圆心到直线的距离
即
解得：
故答案为：
【分析】将圆的参数方程化为普通方程，利用圆心 到直线 的距离等于半径即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】 【解答】∵
∴
当且仅当 ，即当 或 时，等号成立。
故答案为：
【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。
14．【答案】-1
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ , ,
，点 在线段 的延长线上，
作
∴ ，
∴在 中， ，
∴
故答案为：-1
【分析】本题考查向量加法的三角形法则，向量内积，需注意向量内积所成的夹角，必须共用一起点所成的角才可以。
15．【答案】解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由 ，得 ，即 .又因为 ，得到 ， .由余弦定理可得 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，从而 ， ，故
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理
【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正余弦定理即可求得
（Ⅱ）利用 ，求得 ，进而根据二倍角公式求出 ， ，再利用两角和的正弦即可求得答案。
本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的公式、倍角公式、正余弦定理等知识。
16．【答案】解：（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ，故 ，从而 .
所以，随机变量 的分布列为
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .
（Ⅱ）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为 ，则 ，且 .由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，从而由（Ⅰ）知
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】 【分析】本题主要考查随机变量及其分布列和数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式。
（Ⅰ）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ，利用 分别求出相应的概率，即可求出随机变量X的数学期望。
（Ⅱ）先列出发生事件M的几种情况，由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，由此即可求出事件M发生的概率。
17．【答案】解：依题意，可以建立以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴正方向的空间直角坐标系（如图），
可得 ， .设 ，则 .
（Ⅰ）证明：依题意， 是平面 的法向量，又 ，可得 ，又因为直线 平面 ，所以 平面 .
（Ⅱ）依题意， .
设 为平面 的法向量，则 即 不妨令 ，
可得 .因此有 .
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（Ⅲ）设 为平面 的法向量，则 即
不妨令 ，可得 .
由题意，有 ，解得 .经检验，符合题意.
所以，线段 的长为
【知识点】空间向量平行的坐标表示；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】 【分析】本题主要考查空间向量的应用，直线与平面平行判定定理、二面角、直线与平面所成的角等知识。
（Ⅰ）欲证 平面 ，需证出 与平面 的法向量垂直，由 是平面 的法向量，又 ，可得 ，进而得出 平面 ；
（Ⅱ）要求直线 与平面 所成角的正弦值，只要找出 与平面 的法向量所成的角的余弦值即可。
（Ⅲ）设出平面 的法向量 ，根据 求出 ，再根据 ，求出线段CF的长。
18．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ， .
所以，椭圆的方程为 .
（Ⅱ）由题意，设 .设直线 的斜率为 ，又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 整理得 ，可得 ，代入 得 ，进而直线 的斜率 .在 中，令 ，得 .由题意得 ，所以直线 的斜率为 .由 ，得 ，化简得 ，从而 .
所以，直线 的斜率为 或
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线方程和圆锥曲线的性质。
（Ⅰ）由椭圆的短轴长，离心率，即可求 ，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由已知条件写出直线 的点斜式，把直线 的方程跟椭圆的方程联立，用 表示出P点的坐标，进而求出 ,在通过已知条件求出 ，由 ，得出 求出 的值，进而得出直线 的斜率。
19．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .依题意得 解得 故 .
所以， 的通项公式为 的通项公式为 .
（Ⅱ）（i） .
所以，数列 的通项公式为 .
（ii）
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】 【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和公式。
（Ⅰ）由 ，根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，即可求 和 的通项公式；
（Ⅱ）由（ⅰ） 的通项公式为 的通项公式为 ， 得出数列 的通项公式；
（ⅱ）将 代值并化简即可求值。
20．【答案】解：（Ⅰ）由已知，有 .因此，当 时，有 ，得 ，则 单调递减；当 时，有 ，得 ，则 单调递增.
所以， 的单调递增区间为 的单调递减区间为 .
（Ⅱ）证明：记 .依题意及（Ⅰ），有 ，从而 .当 时， ，故
.
因此， 在区间 上单调递减，进而 .
所以，当 时， .
（Ⅲ）证明：依题意， ，即 .记 ，则 ，且 .
由 及（Ⅰ），得 .由（Ⅱ）知，当 时， ，所以 在 上为减函数，因此 .又由（Ⅱ）知， ，故
.
所以，
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；反证法与放缩法
【解析】 【分析】本题主要考导数的计算、不等式证明及导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）对函数 求导可求出 的单调递增区间和单调递减区间；
（Ⅱ）先构造函数 ，再对（Ⅰ） 求导，找出 的单调递减区间，结论得以证明；
（Ⅲ）由已知条件 得出 ，进而得出 ， ，结合（Ⅱ） 在 为减函数，即可得到 ，再由（Ⅱ）可知 ，利用单调性即可证得结论。
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