【精品解析】2019年高考数学真题试卷（浙江卷）

2019年高考数学真题试卷（浙江卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1．（2019·浙江）已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则 =（　　）
A．{-1} B．{0，1}
C．{-1，2，3} D．{-1，0，1，3}
2．（2019·浙江）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（　　）
A． B．1 C． D．2
3．（2019·浙江）若实数x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值是（　　）
A．-1 B．1 C．10 D．12
4．（2019·浙江）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=sh，其中s是柱体的底面积，h是柱体的高。若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（　　）
A．158 B．162 C．182 D．32
5．（2019·浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2019·浙江）在同一直角坐标系中，函数y= ，y=loga(x+ ），（a>0且a≠1）的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2019·浙江）设0＜a＜1随机变量X的分布列是
X 0 a 1
P
则当a在（0，1）内增大时（　　）
A．D（X）增大 B．D（X）减小
C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大
8．（2019·浙江）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点，（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α.直线PB与平面ABC所成角为β.二面角P-AC-B的平面角为γ。则（　　）
A．β＜γ，a ＜γ B．β＜α，β＜γ
C．β＜α，γ＜α D．α＜β，γ＜β
9．（2019·浙江）设a，b∈R，函数f（x）= ，若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（　　）
A．a＜-1，b＜0 B．a＜-1，b>0
C． a＞-1，b＞0 D．a>-1，b>0
10．（2019·浙江）设a，b∈R，数列{an}，满足a1 =a，an+1= an2+b，b∈N*，则（　　）
A．当b= 时，a10>10 B．当b= 时，a10>10
C．当b=-2时，a10>10 D．当b=-4时，a10>10
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．（2019·浙江）复数 （i为虚数单位），则|z|=　 　
12．（2019·浙江）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r，若直线2x-y+3=0与圆相切于点A(-2，-1）则m=　 　，r=　 　
13．（2019·浙江）在二项式（ +x）9的展开式中，常数项是　 　，系数为有理数的项的个数是　 　
14．（2019·浙江）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若∠BDC=45°，则BD=　 　.COS∠ABD=　 　
15．（2019·浙江）已知椭圆 的左焦点为F，点P在椭圆且在x轴上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是　 　
16．（2019·浙江）已知a∈R，函数f（x）=ax3-x，若存在t∈R，使得|f(t+2）-f（t）|≤ ，则实数a的最大值是　 　
17．（2019·浙江）已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi（i=1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1 +λ2 +λ3 +λ4 +λ5 +λ6 |的最小值是　 　，最大值是　 　
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
18．（2019·浙江）设函数f（x）=sinx，x R。
（1）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值
（2）求函数y=[f（x+） ]2+[f（x+ ）]2的值域
19．（2019·浙江）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1AC1C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点
（1）证明：EF⊥BC
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
20．（2019·浙江）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4.a4=S3，数列{bn}满足：
对每个n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）记Cn= ，n∈N*，证明：C1+C2+…+Cn＜2 ，n∈N*
21．（2019·浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.
（1）求P的值及抛物线的准线方程.
（2）求 的最小值及此时点G点坐标.
22．（2019·浙江）已知实数a≠0，设函数f（x）=alnx+ .x>0
（1）当a=- 时，求函数f（x）的单调区间
（2）对任意x∈[ ，+∞）均有f（x）≤ ，求a的取值范围
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】 【解答】解： ，所以 ={-1}.
故答案为：A.
【分析】根据集合的补写出 即可得到 .
2．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】 【解答】解：根据双曲线的渐近线方程，得 ，所以离心率e= .
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的渐近线方程，得到 ，即可求出离心率e.
3．【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】 【解答】作出可行域和目标函数相应的直线，
平移该直线，可知当过（2,2）时，目标函数取最大值10.
故答案为：C.
【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.
4．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】根据三视图，确定几何体为五棱柱，
其底面积 ,
所以体积V=27 .
故答案为：B.
【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，根据祖暅原理，即可求出相应的体积.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】作出直线y=4-x和函数 的图象，结合图象的关系，可确定“a+b≤4“是“ab≤4”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】作出函数的图象，结合图象确定充分必要性即可.
6．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】当a>1时，y= 的底数大于0小于1，故过（0,1）单调递减；
y=loga(x+ ）过（ ，0）单调递增，没有符合条件的图象；
当0y=loga(x+ ）过（ ，0）单调递减；
故答案为：D.
【分析】对a的取值分类讨论，结合指数函数和对数函数的特点，确定函数的图象即可.
7．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】 【解答】解：E（X）= ，
，
根据二次函数的单调性，可知D（X）先减小后增大；
故答案为：D.
【分析】根据期望的公式求出E(X),结合方差的计算公式及二次函数的性质即可确定D（X）先减小后增大.
8．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】 【解答】如图 为 中点， 在底面 的投影为 ，则 在底面投影 在线段 上，过 作 垂直 ，
易得 ，过 作 交 于 ，过 作 ，交 于 ，则 ，则 ，即 ， ，即 ，综上所述， B正确.
故答案为：B
【分析】根据异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.应用三角函数知识求解，进而比较大小即可.
9．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当x<0时，y=f(x) -ax-b=x-ax-b= ( 1-a ) x-b=0，得x=； y=f(x) -ax-b，最多一个零点；
当x≥0时，y=f(x)-ax-b=x3-(a+1)x2+ax-ax-b=x3- (a+1 )x2-b ,
y'=x2- (a+1 )x，
当a+1≤0 ，即a≤-1时，y'≥0 ，y=f(x) -ax-b在[0 , +∞)上递增，y=f(x) -ax-b最多一个零点.不合题意；
当a+1>0，即a>-1时，令y' > 0得x∈[a+1 , +∞) ，函数递增，令y' <0得x∈[0 , a+1 ) ,函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数y=f(x) -ax-b恰有3个零点 函数y=f(x) -ax-b在(-∞，0)上有一个零点，在[0 , +∞)上有2个零点，
如图：
得，且，
解得：b<0，1-a>0， b>-( a+1 )3.
∴-( a+1 )3故答案为：C
【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析.
10．【答案】A
【知识点】数列的函数特性
【解析】 【解答】选项B：不动点满足 时，如图，若 ，
排除
如图，若 为不动点 则
选项C：不动点满足 ，不动点为 ，令 ，则 ，
排除
选项D：不动点满足 ，不动点为 ，令 ，则 ，排除.
故答案为：A
【分析】遇到此类问题，可以利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论 的可能取值，利用“排除法”求解.
11．【答案】
【知识点】复数的模
【解析】 【解答】解： ，故|z| ；
故答案为 .
【分析】根据复数的除法运算求出z，即可得到|z|.
12．【答案】-2；
【知识点】圆的切线方程
【解析】 【解答】解：圆心与切点连线与直线2x-y+3=0垂直，
所以 ，解得m=-2；
根据两点间的距离公式，可得r= .
【分析】根据圆心与切点连线与切线垂直，结合直线的斜率求出m，根据两点间距离公式求出r即可.
13．【答案】；5
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（ +x）9展开式的通项 ，
当r=0时，得展开式的常数项为 ；
当9-r为偶数时，系数为有理数，此时r=1，2，3，7，9，总共5项.
【分析】写出展开式的通项，令x的次数为0，即可求出常数项，令r为偶数，则展开式的系数为有理数.
14．【答案】；
【知识点】余弦定理的应用
【解析】 【解答】解：在△BCD中，
根据正弦定理
即 解得BD= ；
COS∠ABD=sin .
【分析】在△BCD中，根据正弦定理即可求出BD；根据两角差的正弦公式，即可求出相应的三角函数值.
15．【答案】
【知识点】椭圆的应用
【解析】 【解答】解：设P（m，n），则 （1）
根据椭圆的方程，得F（-2,0），故PF的中点为（ ），
根据中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，得 （2）
将（1）和（2）联立得 ，
故直线PF的斜率为 .
故答案为.
【分析】根据椭圆的方程F的坐标，设出P，结合题意，求出P点坐标，即可得到PF的斜率.
16．【答案】
【知识点】绝对值三角不等式
【解析】 【解答】 ，
使得令 ，则原不等式转化为存在 ，由折线函数，如图
只需 ，即 ，即 的最大值是
【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，从研究 入手，令 ，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.
17．【答案】0；
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】 【解答】
要使 的最小，只需要
，此时只需要取
此时
等号成立当且仅当 均非负或者均非正，并且 均非负或者均非正。
比如
则 .
【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.
18．【答案】（1）因为 是偶函数，所以，对任意实数x都有 ，
即 ，
故 ，
所以 ．
又 ，因此 或 ．
（2）
．
因此，函数的值域是 ．
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求出余弦值，即可确定角的大小；
（2）根据余弦的二倍角公式，结合辅助角公式及余弦函数的有界性，即可求出函数的值域.
19．【答案】（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F.
所以BC⊥平面A1EF.
因此EF⊥BC.
（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2 ，EG= .
由于O为A1G的中点，故 ，
所以 ．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 ．
方法二：
连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz.
不妨设AC=4，则
A1（0，0，2 ），B（ ，1，0）， ， ，C(0，2，0).
因此， ， ． 由 得 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，即可得到线线垂直；
（2） 通过线面垂直，找到直线与平面所成的角，结合余弦定理，求出相应的角即可.
20．【答案】（1）设数列 的公差为d，由题意得
，
解得 ．
从而 ．
由 成等比数列得
．
解得 ．
所以 ．
（2） ．
我们用数学归纳法证明．
⑴当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
⑵假设 时不等式成立，即 ．
那么，当 时，
．
即当 时不等式也成立．
根据（1）和（2），不等式 对任意 成立．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即可求出相应的表达式；
（2）采用数学归纳法，现在n=1时式子成立，假设n=k时式子成立，再证n=k+1时式子也成立即可.
21．【答案】（1）由题意得 ，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x= 1.
（2）设 ，重心 .令 ，则 . 由于直线AB过F，故直线AB方程为 ，代入 ，得 ， 故 ，即 ，所以 . 又由于 及重心G在x轴上，故 ，得 . 所以，直线AC方程为 ，得 .
由于Q在焦点F的右侧，故 .从而
. 令 ，则m>0， .
当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）.
【知识点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据焦点坐标求出p，即可得到抛物线的准线方程；
（2）设出相应点的坐标及直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，结合换元法，即可求出相应的最小值.
22．【答案】（1）当 时， ．
，
所以，函数 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+ ）．
（2）由 ，得 ．
当 时， 等价于 ．
令 ，则 ．
设 ，则
．
（i）当 时， ，则
．
记 ，则
.
故
　 1
　 　 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以， ．
因此， ．
（ii）当 时， ．
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，所以 ．
由（i）得 ．
所以， ．
因此 ．
由（i）（ii）得对任意 ， ，
即对任意 ，均有 ．
综上所述，所求a的取值范围是 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）将a=-代入，求导数，结合导数确定函数的单调性即可；
（2）采用换元法，构造函数，求导数，结合导数确定函数的单调性，求出函数的最值，即可求出不等式成立时相应的实数a的取值范围.
1 / 12019年高考数学真题试卷（浙江卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1．（2019·浙江）已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则 =（　　）
A．{-1} B．{0，1}
C．{-1，2，3} D．{-1，0，1，3}
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】 【解答】解： ，所以 ={-1}.
故答案为：A.
【分析】根据集合的补写出 即可得到 .
2．（2019·浙江）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】 【解答】解：根据双曲线的渐近线方程，得 ，所以离心率e= .
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的渐近线方程，得到 ，即可求出离心率e.
3．（2019·浙江）若实数x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值是（　　）
A．-1 B．1 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】 【解答】作出可行域和目标函数相应的直线，
平移该直线，可知当过（2,2）时，目标函数取最大值10.
故答案为：C.
【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.
4．（2019·浙江）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=sh，其中s是柱体的底面积，h是柱体的高。若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（　　）
A．158 B．162 C．182 D．32
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】根据三视图，确定几何体为五棱柱，
其底面积 ,
所以体积V=27 .
故答案为：B.
【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，根据祖暅原理，即可求出相应的体积.
5．（2019·浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】作出直线y=4-x和函数 的图象，结合图象的关系，可确定“a+b≤4“是“ab≤4”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】作出函数的图象，结合图象确定充分必要性即可.
6．（2019·浙江）在同一直角坐标系中，函数y= ，y=loga(x+ ），（a>0且a≠1）的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】当a>1时，y= 的底数大于0小于1，故过（0,1）单调递减；
y=loga(x+ ）过（ ，0）单调递增，没有符合条件的图象；
当0y=loga(x+ ）过（ ，0）单调递减；
故答案为：D.
【分析】对a的取值分类讨论，结合指数函数和对数函数的特点，确定函数的图象即可.
7．（2019·浙江）设0＜a＜1随机变量X的分布列是
X 0 a 1
P
则当a在（0，1）内增大时（　　）
A．D（X）增大 B．D（X）减小
C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】 【解答】解：E（X）= ，
，
根据二次函数的单调性，可知D（X）先减小后增大；
故答案为：D.
【分析】根据期望的公式求出E(X),结合方差的计算公式及二次函数的性质即可确定D（X）先减小后增大.
8．（2019·浙江）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点，（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α.直线PB与平面ABC所成角为β.二面角P-AC-B的平面角为γ。则（　　）
A．β＜γ，a ＜γ B．β＜α，β＜γ
C．β＜α，γ＜α D．α＜β，γ＜β
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】 【解答】如图 为 中点， 在底面 的投影为 ，则 在底面投影 在线段 上，过 作 垂直 ，
易得 ，过 作 交 于 ，过 作 ，交 于 ，则 ，则 ，即 ， ，即 ，综上所述， B正确.
故答案为：B
【分析】根据异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.应用三角函数知识求解，进而比较大小即可.
9．（2019·浙江）设a，b∈R，函数f（x）= ，若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（　　）
A．a＜-1，b＜0 B．a＜-1，b>0
C． a＞-1，b＞0 D．a>-1，b>0
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当x<0时，y=f(x) -ax-b=x-ax-b= ( 1-a ) x-b=0，得x=； y=f(x) -ax-b，最多一个零点；
当x≥0时，y=f(x)-ax-b=x3-(a+1)x2+ax-ax-b=x3- (a+1 )x2-b ,
y'=x2- (a+1 )x，
当a+1≤0 ，即a≤-1时，y'≥0 ，y=f(x) -ax-b在[0 , +∞)上递增，y=f(x) -ax-b最多一个零点.不合题意；
当a+1>0，即a>-1时，令y' > 0得x∈[a+1 , +∞) ，函数递增，令y' <0得x∈[0 , a+1 ) ,函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数y=f(x) -ax-b恰有3个零点 函数y=f(x) -ax-b在(-∞，0)上有一个零点，在[0 , +∞)上有2个零点，
如图：
得，且，
解得：b<0，1-a>0， b>-( a+1 )3.
∴-( a+1 )3故答案为：C
【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析.
10．（2019·浙江）设a，b∈R，数列{an}，满足a1 =a，an+1= an2+b，b∈N*，则（　　）
A．当b= 时，a10>10 B．当b= 时，a10>10
C．当b=-2时，a10>10 D．当b=-4时，a10>10
【答案】A
【知识点】数列的函数特性
【解析】 【解答】选项B：不动点满足 时，如图，若 ，
排除
如图，若 为不动点 则
选项C：不动点满足 ，不动点为 ，令 ，则 ，
排除
选项D：不动点满足 ，不动点为 ，令 ，则 ，排除.
故答案为：A
【分析】遇到此类问题，可以利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论 的可能取值，利用“排除法”求解.
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．（2019·浙江）复数 （i为虚数单位），则|z|=　 　
【答案】
【知识点】复数的模
【解析】 【解答】解： ，故|z| ；
故答案为 .
【分析】根据复数的除法运算求出z，即可得到|z|.
12．（2019·浙江）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r，若直线2x-y+3=0与圆相切于点A(-2，-1）则m=　 　，r=　 　
【答案】-2；
【知识点】圆的切线方程
【解析】 【解答】解：圆心与切点连线与直线2x-y+3=0垂直，
所以 ，解得m=-2；
根据两点间的距离公式，可得r= .
【分析】根据圆心与切点连线与切线垂直，结合直线的斜率求出m，根据两点间距离公式求出r即可.
13．（2019·浙江）在二项式（ +x）9的展开式中，常数项是　 　，系数为有理数的项的个数是　 　
【答案】；5
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（ +x）9展开式的通项 ，
当r=0时，得展开式的常数项为 ；
当9-r为偶数时，系数为有理数，此时r=1，2，3，7，9，总共5项.
【分析】写出展开式的通项，令x的次数为0，即可求出常数项，令r为偶数，则展开式的系数为有理数.
14．（2019·浙江）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若∠BDC=45°，则BD=　 　.COS∠ABD=　 　
【答案】；
【知识点】余弦定理的应用
【解析】 【解答】解：在△BCD中，
根据正弦定理
即 解得BD= ；
COS∠ABD=sin .
【分析】在△BCD中，根据正弦定理即可求出BD；根据两角差的正弦公式，即可求出相应的三角函数值.
15．（2019·浙江）已知椭圆 的左焦点为F，点P在椭圆且在x轴上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是　 　
【答案】
【知识点】椭圆的应用
【解析】 【解答】解：设P（m，n），则 （1）
根据椭圆的方程，得F（-2,0），故PF的中点为（ ），
根据中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，得 （2）
将（1）和（2）联立得 ，
故直线PF的斜率为 .
故答案为.
【分析】根据椭圆的方程F的坐标，设出P，结合题意，求出P点坐标，即可得到PF的斜率.
16．（2019·浙江）已知a∈R，函数f（x）=ax3-x，若存在t∈R，使得|f(t+2）-f（t）|≤ ，则实数a的最大值是　 　
【答案】
【知识点】绝对值三角不等式
【解析】 【解答】 ，
使得令 ，则原不等式转化为存在 ，由折线函数，如图
只需 ，即 ，即 的最大值是
【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，从研究 入手，令 ，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.
17．（2019·浙江）已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi（i=1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1 +λ2 +λ3 +λ4 +λ5 +λ6 |的最小值是　 　，最大值是　 　
【答案】0；
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】 【解答】
要使 的最小，只需要
，此时只需要取
此时
等号成立当且仅当 均非负或者均非正，并且 均非负或者均非正。
比如
则 .
【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
18．（2019·浙江）设函数f（x）=sinx，x R。
（1）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值
（2）求函数y=[f（x+） ]2+[f（x+ ）]2的值域
【答案】（1）因为 是偶函数，所以，对任意实数x都有 ，
即 ，
故 ，
所以 ．
又 ，因此 或 ．
（2）
．
因此，函数的值域是 ．
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求出余弦值，即可确定角的大小；
（2）根据余弦的二倍角公式，结合辅助角公式及余弦函数的有界性，即可求出函数的值域.
19．（2019·浙江）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1AC1C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点
（1）证明：EF⊥BC
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
【答案】（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F.
所以BC⊥平面A1EF.
因此EF⊥BC.
（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2 ，EG= .
由于O为A1G的中点，故 ，
所以 ．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 ．
方法二：
连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz.
不妨设AC=4，则
A1（0，0，2 ），B（ ，1，0）， ， ，C(0，2，0).
因此， ， ． 由 得 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，即可得到线线垂直；
（2） 通过线面垂直，找到直线与平面所成的角，结合余弦定理，求出相应的角即可.
20．（2019·浙江）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4.a4=S3，数列{bn}满足：
对每个n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）记Cn= ，n∈N*，证明：C1+C2+…+Cn＜2 ，n∈N*
【答案】（1）设数列 的公差为d，由题意得
，
解得 ．
从而 ．
由 成等比数列得
．
解得 ．
所以 ．
（2） ．
我们用数学归纳法证明．
⑴当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
⑵假设 时不等式成立，即 ．
那么，当 时，
．
即当 时不等式也成立．
根据（1）和（2），不等式 对任意 成立．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即可求出相应的表达式；
（2）采用数学归纳法，现在n=1时式子成立，假设n=k时式子成立，再证n=k+1时式子也成立即可.
21．（2019·浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.
（1）求P的值及抛物线的准线方程.
（2）求 的最小值及此时点G点坐标.
【答案】（1）由题意得 ，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x= 1.
（2）设 ，重心 .令 ，则 . 由于直线AB过F，故直线AB方程为 ，代入 ，得 ， 故 ，即 ，所以 . 又由于 及重心G在x轴上，故 ，得 . 所以，直线AC方程为 ，得 .
由于Q在焦点F的右侧，故 .从而
. 令 ，则m>0， .
当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）.
【知识点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据焦点坐标求出p，即可得到抛物线的准线方程；
（2）设出相应点的坐标及直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，结合换元法，即可求出相应的最小值.
22．（2019·浙江）已知实数a≠0，设函数f（x）=alnx+ .x>0
（1）当a=- 时，求函数f（x）的单调区间
（2）对任意x∈[ ，+∞）均有f（x）≤ ，求a的取值范围
【答案】（1）当 时， ．
，
所以，函数 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+ ）．
（2）由 ，得 ．
当 时， 等价于 ．
令 ，则 ．
设 ，则
．
（i）当 时， ，则
．
记 ，则
.
故
　 1
　 　 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以， ．
因此， ．
（ii）当 时， ．
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，所以 ．
由（i）得 ．
所以， ．
因此 ．
由（i）（ii）得对任意 ， ，
即对任意 ，均有 ．
综上所述，所求a的取值范围是 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）将a=-代入，求导数，结合导数确定函数的单调性即可；
（2）采用换元法，构造函数，求导数，结合导数确定函数的单调性，求出函数的最值，即可求出不等式成立时相应的实数a的取值范围.
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