【精品解析】2020年高考文数真题试卷（新课标Ⅱ)

2020年高考文数真题试卷（新课标Ⅱ)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·新课标Ⅱ·文）已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（　　）
A． B．{–3，–2，2，3）
C．{–2，0，2} D．{–2，2}
2．（2020·新课标Ⅱ·文）（1–i）4=（　　）
A．–4 B．4 C．–4i D．4i
3．（2020·新课标Ⅱ·文）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤iA．5 B．8 C．10 D．15
4．（2020·新课标Ⅱ·理）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（　　）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
5．（2020·新课标Ⅱ·文）已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（　　）
A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b
6．（2020·新课标Ⅱ·文）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则 =（　　）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
7．（2020·新课标Ⅱ·文）执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2020·新课标Ⅱ·理）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（　　）
A． B． C． D．
9．（2020·新课标Ⅱ·理）设O为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则C的焦距的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
10．（2020·新课标Ⅱ·文）设函数 ,则 （　　）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
11．（2020·新课标Ⅱ·理）已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（　　）
A． B． C．1 D．
12．（2020·新课标Ⅱ·理）若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2020·新课标Ⅱ·文）若 ，则 　 　．
14．（2020·新课标Ⅱ·文）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 　 　．
15．（2020·新课标Ⅱ·文）若x，y满足约束条件 则 的最大值是　 　．
16．（2020·新课标Ⅱ·理）设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是　 　.
①②③④
三、解答题
17．（2020·新课标Ⅱ·文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A；
（2）若 ，证明：△ABC是直角三角形．
18．（2020·新课标Ⅱ·理）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ， ， ， ， .
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r= ， =1.414.
19．（2020·新课标Ⅱ·文）已知椭圆C1： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
20．（2020·新课标Ⅱ·文）如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN= ，求四棱锥B–EB1C1F的体积．
21．（2020·新课标Ⅱ·文）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2020·新课标Ⅱ·理）已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1： （θ为参数），C2： （t为参数）.
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
五、[选修4-5：不等式选讲]
23．（2020·新课标Ⅱ·理）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】因为 ，
或 ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】解绝对值不等式化简集合 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为：A.
【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
3．【答案】C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】根据题意可知，原位大三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
原位小三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
故个数之和为10．
故答案为：C．
【分析】根据原位大三和弦满足 ，原位小三和弦满足 ，从 开始，利用列举法即可解出．
4．【答案】B
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故答案为：B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
5．【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
6．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .
故答案为：B.
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前 项和公式进行求解即可.
7．【答案】C
【知识点】循环结构
【解析】【解答】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的 k 值
模拟程序的运行过程
第1次循环， ， 为否
第2次循环， ， 为否
第3次循环， ， 为否
第4次循环， ， 为是
退出循环
输出 .
故答案为：C.
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.
8．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故答案为：B.
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点 在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线 的距离.
9．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；平均值不等式
【解析】【解答】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
C的焦距的最小值：
故答案为：B.
【分析】因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得D，E两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为8，可得 值，根据 ，结合均值不等式，即可求得答案.
10．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故答案为：A．
【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．
11．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设球O的半径为R，则 ，解得： .
设 外接圆半径为 ，边长为 ，
是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .
故答案为：C.
【分析】根据球O的表面积和 的面积可求得球O的半径R和 外接圆半径r，由球的性质可知所求距离 .
12．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为R上的增函数，
，
， ， ，则A符合题意，B不符合题意；
与 的大小不确定，CD无法确定.
故答案为：A.
【分析】将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.
13．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
14．【答案】25
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】 是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差d
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为：25.
【分析】因为 是等差数列，根据已知条件 ，求出公差，根据等差数列前n项和，即可求得答案.
15．【答案】8
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】不等式组表示的平面区域为下图所示：
平移直线 ，当直线经过点A时，直线 在纵轴上的截距最大，
此时点 的坐标是方程组 的解，解得： ，
因此 的最大值为： .
故答案为： .
【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线 ，在平面区域内找到一点使得直线 在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.
16．【答案】①③④
【知识点】复合命题的真假；平面的基本性质及推论；异面直线的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；
若 与 相交，则交点A在平面 内，
同理， 与 的交点B也在平面 内，
所以， ，即 ，命题 为真命题；
对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题 为假命题；
对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 为假命题；
对于命题 ，若直线 平面 ，
则m垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
命题 为真命题.
综上可知， 为真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题.
故答案为：①③④.
【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真假；利用异面直线可判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
17．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
即 ，
解得 ，又 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，所以 ，
即 ①，
又 ②， 将②代入①得， ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 ，
故 ，
即 是直角三角形．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系， 可化为 ，即可解出；（2）根据余弦定理可得 ，将 代入可找到 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
18．【答案】（1）解：样区野生动物平均数为 ，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）解：样本 的相关系数为
（3）解：由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样
先将植物覆盖面积按优中差分成三层，
在各层内按比例抽取样本，
在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.
【知识点】分层抽样方法；随机抽样和样本估计总体的实际应用；线性相关
【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
19．【答案】（1）解：因为椭圆 的右焦点坐标为： ,所以抛物线 的方程为 ，其中 .
不妨设 在第一象限，因为椭圆 的方程为： ，
所以当 时，有 ，因此 的纵坐标分别为 ， ；
又因为抛物线 的方程为 ，所以当 时，有 ，
所以 的纵坐标分别为 ， ，故 ， .
由 得 ，即 ，解得 （舍去）， .
所以 的离心率为 .
（2）解：由（1）知 ， ，故 ，所以 的四个顶点坐标分别为 ， ， ， ， 的准线为 .
由已知得 ，即 .
所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 .
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据题意求出 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 在第一象限，运用代入法求出 点的纵坐标，根据 ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；
20．【答案】（1）解： 分别为 ， 的中点，
又
在等边 中， 为 中点，则
又 侧面 为矩形，
由 ， 平面
平面
又 ，且 平面 ， 平面 ，
平面
又 平面 ，且平面 平面
又 平面
平面
平面
平面 平面
（2）解：过M作 垂线，交点为H，
画出图形，如图
平面
平面 ，平面 平面
又
为 的中心.
故： ，则 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面
平面
又 在等边 中
即
由（1）知，四边形 为梯形
四边形 的面积为：
，
h为M到 的距离 ，
.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平行公理；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由 分别为 ， 的中点， ，根据条件可得 ，可证 ，要证平面 平面 ，只需证明 平面 即可；（2）根据已知条件求得 和M到 的距离，根据椎体体积公式，即可求得 .
21．【答案】（1）解：函数 的定义域为：
，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，
即 ，
要想不等式 在 上恒成立，
只需 ；
（2）解： 且
因此 ，设 ，
则有 ，
当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ，即
，所以 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，即 ，所以 单调递减，
所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）不等式 转化为 ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数 求导，把导函数 的分子构成一个新函数 ，再求导得到 ，根据 的正负，判断 的单调性，进而确定 的正负性，最后求出函数 的单调性.
22．【答案】（1）解：由 得 C2 的普通方程为： x+y=4（0≤x≤4）；
由 得： ，两式作差可得 C2 的普通方程为： .
（2）解：由 得： ，即 ；
设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ，
则 ，解得： ， 所求圆的半径 ，
所求圆的直角坐标方程为： ，即 ，
所求圆的极坐标方程为 .
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）分别消去参数 和 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点 ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
23．【答案】（1）解：当 时， .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2）解： （当且仅当 时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 ，由此构造不等式求得结果.
1 / 12020年高考文数真题试卷（新课标Ⅱ)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·新课标Ⅱ·文）已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（　　）
A． B．{–3，–2，2，3）
C．{–2，0，2} D．{–2，2}
【答案】D
【知识点】交集及其运算；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】因为 ，
或 ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】解绝对值不等式化简集合 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.
2．（2020·新课标Ⅱ·文）（1–i）4=（　　）
A．–4 B．4 C．–4i D．4i
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为：A.
【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
3．（2020·新课标Ⅱ·文）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤iA．5 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】根据题意可知，原位大三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
原位小三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
故个数之和为10．
故答案为：C．
【分析】根据原位大三和弦满足 ，原位小三和弦满足 ，从 开始，利用列举法即可解出．
4．（2020·新课标Ⅱ·理）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（　　）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故答案为：B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
5．（2020·新课标Ⅱ·文）已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（　　）
A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b
【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
6．（2020·新课标Ⅱ·文）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则 =（　　）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .
故答案为：B.
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前 项和公式进行求解即可.
7．（2020·新课标Ⅱ·文）执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】循环结构
【解析】【解答】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的 k 值
模拟程序的运行过程
第1次循环， ， 为否
第2次循环， ， 为否
第3次循环， ， 为否
第4次循环， ， 为是
退出循环
输出 .
故答案为：C.
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.
8．（2020·新课标Ⅱ·理）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故答案为：B.
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点 在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线 的距离.
9．（2020·新课标Ⅱ·理）设O为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则C的焦距的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；平均值不等式
【解析】【解答】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
C的焦距的最小值：
故答案为：B.
【分析】因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得D，E两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为8，可得 值，根据 ，结合均值不等式，即可求得答案.
10．（2020·新课标Ⅱ·文）设函数 ,则 （　　）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故答案为：A．
【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．
11．（2020·新课标Ⅱ·理）已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设球O的半径为R，则 ，解得： .
设 外接圆半径为 ，边长为 ，
是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .
故答案为：C.
【分析】根据球O的表面积和 的面积可求得球O的半径R和 外接圆半径r，由球的性质可知所求距离 .
12．（2020·新课标Ⅱ·理）若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为R上的增函数，
，
， ， ，则A符合题意，B不符合题意；
与 的大小不确定，CD无法确定.
故答案为：A.
【分析】将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2020·新课标Ⅱ·文）若 ，则 　 　．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
14．（2020·新课标Ⅱ·文）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 　 　．
【答案】25
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】 是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差d
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为：25.
【分析】因为 是等差数列，根据已知条件 ，求出公差，根据等差数列前n项和，即可求得答案.
15．（2020·新课标Ⅱ·文）若x，y满足约束条件 则 的最大值是　 　．
【答案】8
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】不等式组表示的平面区域为下图所示：
平移直线 ，当直线经过点A时，直线 在纵轴上的截距最大，
此时点 的坐标是方程组 的解，解得： ，
因此 的最大值为： .
故答案为： .
【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线 ，在平面区域内找到一点使得直线 在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.
16．（2020·新课标Ⅱ·理）设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是　 　.
①②③④
【答案】①③④
【知识点】复合命题的真假；平面的基本性质及推论；异面直线的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；
若 与 相交，则交点A在平面 内，
同理， 与 的交点B也在平面 内，
所以， ，即 ，命题 为真命题；
对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题 为假命题；
对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 为假命题；
对于命题 ，若直线 平面 ，
则m垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
命题 为真命题.
综上可知， 为真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题.
故答案为：①③④.
【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真假；利用异面直线可判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
三、解答题
17．（2020·新课标Ⅱ·文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A；
（2）若 ，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
即 ，
解得 ，又 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，所以 ，
即 ①，
又 ②， 将②代入①得， ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 ，
故 ，
即 是直角三角形．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系， 可化为 ，即可解出；（2）根据余弦定理可得 ，将 代入可找到 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
18．（2020·新课标Ⅱ·理）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ， ， ， ， .
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r= ， =1.414.
【答案】（1）解：样区野生动物平均数为 ，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）解：样本 的相关系数为
（3）解：由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样
先将植物覆盖面积按优中差分成三层，
在各层内按比例抽取样本，
在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.
【知识点】分层抽样方法；随机抽样和样本估计总体的实际应用；线性相关
【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
19．（2020·新课标Ⅱ·文）已知椭圆C1： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
【答案】（1）解：因为椭圆 的右焦点坐标为： ,所以抛物线 的方程为 ，其中 .
不妨设 在第一象限，因为椭圆 的方程为： ，
所以当 时，有 ，因此 的纵坐标分别为 ， ；
又因为抛物线 的方程为 ，所以当 时，有 ，
所以 的纵坐标分别为 ， ，故 ， .
由 得 ，即 ，解得 （舍去）， .
所以 的离心率为 .
（2）解：由（1）知 ， ，故 ，所以 的四个顶点坐标分别为 ， ， ， ， 的准线为 .
由已知得 ，即 .
所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 .
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据题意求出 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 在第一象限，运用代入法求出 点的纵坐标，根据 ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；
20．（2020·新课标Ⅱ·文）如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN= ，求四棱锥B–EB1C1F的体积．
【答案】（1）解： 分别为 ， 的中点，
又
在等边 中， 为 中点，则
又 侧面 为矩形，
由 ， 平面
平面
又 ，且 平面 ， 平面 ，
平面
又 平面 ，且平面 平面
又 平面
平面
平面
平面 平面
（2）解：过M作 垂线，交点为H，
画出图形，如图
平面
平面 ，平面 平面
又
为 的中心.
故： ，则 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面
平面
又 在等边 中
即
由（1）知，四边形 为梯形
四边形 的面积为：
，
h为M到 的距离 ，
.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平行公理；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由 分别为 ， 的中点， ，根据条件可得 ，可证 ，要证平面 平面 ，只需证明 平面 即可；（2）根据已知条件求得 和M到 的距离，根据椎体体积公式，即可求得 .
21．（2020·新课标Ⅱ·文）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
【答案】（1）解：函数 的定义域为：
，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，
即 ，
要想不等式 在 上恒成立，
只需 ；
（2）解： 且
因此 ，设 ，
则有 ，
当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ，即
，所以 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，即 ，所以 单调递减，
所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）不等式 转化为 ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数 求导，把导函数 的分子构成一个新函数 ，再求导得到 ，根据 的正负，判断 的单调性，进而确定 的正负性，最后求出函数 的单调性.
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2020·新课标Ⅱ·理）已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1： （θ为参数），C2： （t为参数）.
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
【答案】（1）解：由 得 C2 的普通方程为： x+y=4（0≤x≤4）；
由 得： ，两式作差可得 C2 的普通方程为： .
（2）解：由 得： ，即 ；
设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ，
则 ，解得： ， 所求圆的半径 ，
所求圆的直角坐标方程为： ，即 ，
所求圆的极坐标方程为 .
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）分别消去参数 和 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点 ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
五、[选修4-5：不等式选讲]
23．（2020·新课标Ⅱ·理）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求a的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2）解： （当且仅当 时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 ，由此构造不等式求得结果.
1 / 1