2020年高考文数真题试卷（新课标Ⅲ)

2020年高考文数真题试卷（新课标Ⅲ)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·新课标Ⅲ·文）已知集合 ， ，则A∩B中元素的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】元素与集合的关系；交集及其运算
【解析】【解答】由题意， ，故 中元素的个数为3.
故答案为：B
【分析】采用列举法列举出 中元素的即可.
2．（2020·新课标Ⅲ·文）若 ，则z=（　　）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故答案为：D
【分析】先利用除法运算求得 ，再利用共轭复数的概念得到z即可.
3．（2020·新课标Ⅲ·文）设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（　　）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍，
所以所求数据方差为
故答案为：C
【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
4．（2020·新课标Ⅲ·理）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（　　）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】 ，所以 ，则 ，
所以， ，解得 .
故答案为：C.
【分析】将 代入函数 结合 求得 即可得解.
5．（2020·新课标Ⅲ·文）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故答案为：B.
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
6．（2020·新课标Ⅲ·文）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则点C的轨迹为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；轨迹方程
【解析】【解答】设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则： ，设 ，可得： ，
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
故答案为：A.
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
7．（2020·新课标Ⅲ·理）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（　　）
A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）
【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得P的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
8．（2020·新课标Ⅲ·文）点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故答案为：B.
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点 ，设 ，当直线 与 垂直时，点A到直线 距离最大，即可求得结果.
9．（2020·新课标Ⅲ·理）下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（　　）
A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得：
根据勾股定理可得：
是边长为 的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
该几何体的表面积是： .
故答案为：C.
【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.
10．（2020·新课标Ⅲ·文）设a=log32，b=log53，c= ，则（　　）
A．a【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 .
故答案为：A
【分析】分别将a,b改写为 ， ，再利用单调性比较即可.
11．（2020·新课标Ⅲ·文）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（　　）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】设
故答案为：C
【分析】先根据余弦定理求c，再根据余弦定理求 ，最后根据同角三角函数关系求
12．（2020·新课标Ⅲ·文）已知函数f(x)=sinx+ ，则（　　）
A．f(x)的最小值为2
B．f(x)的图像关于y轴对称
C．f(x)的图像关于直线 对称
D．f(x)的图像关于直线 对称
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】 可以为负，所以A不符合题意；
关于原点对称；
B不符合题意；
关于直线 对称，C不符合题意，D对
故答案为：D
【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2020·新课标Ⅲ·理）若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为　 　．
【答案】7
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】【解答】不等式组所表示的可行域如图
因为 ，所以 ，易知截距 越大，则z越大，
平移直线 ，当 经过A点时截距最大，此时z最大，
由 ，得 ， ，
所以 .
故答案为：7.
【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.
14．（2020·新课标Ⅲ·文）设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程 可得其焦点在 轴上，
因为其一条渐近线为 ，
所以 ， .
故答案为：
【分析】根据已知可得 ，结合双曲线中 的关系，即可求解.
15．（2020·新课标Ⅲ·文）设函数 ．若 ，则a=　 　．
【答案】1
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为：1.
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
16．（2020·新课标Ⅲ·理）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　 　．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中 ，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为O，
由于 ，故 ，
设内切圆半径为 ，则：
，
解得： ，其体积： .
故答案为： .
【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
三、解答题
17．（2020·新课标Ⅲ·文）设等比数列{an}满足 ， ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 为数列{log3an}的前n项和．若 ，求m．
【答案】（1）解：设等比数列 的公比为 ，
根据题意，有 ，解得 ，
所以
（2）解：令 ，
所以 ，
根据 ，可得 ，
整理得 ，因为 ，所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出 的通项公式，利用等差数列求和公式求得 ，根据已知列出关于 的等量关系式，求得结果.
18．（2020·新课标Ⅲ·文）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600]
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
　 人次≤400 人次>400
空气质量好
　
　
空气质量不好
　
　
附： ，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为 的概率为 ，等级为 的概率为 ，等级为3的概率为 ，等级为4的概率为
（2）解：由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
（3）解： 列联表如下：
　 人次 人次
空气质量不好 33 37
空气质量好 22 8
，
因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【知识点】频率分布表；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善 列联表，计算出 的观测值，再结合临界值表可得结论.
19．（2020·新课标Ⅲ·文）如图，在长方体 中，点E，F分别在棱 ， 上，且 ， ．证明：
（1）当 时， ；
（2）点 在平面 内．
【答案】（1）解：因为长方体 ,所以 平面 ,
因为长方体 ,所以四边形 为正方形
因为 平面 ,因此 平面 ,
因为 平面 ,所以
（2）解：在 上取点M使得 ,连 ,
因为 ,所以
所以四边形 为平行四边形，
因为 所以四边形 为平行四边形，
因此 在平面 内
【知识点】平面的基本性质及推论；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据正方形性质得 ，根据长方体性质得 ,进而可证 平面 ,即得结果；（2）只需证明 即可，在 上取点M使得 ,再通过平行四边形性质进行证明即可.
20．（2020·新课标Ⅲ·文）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有三个零点，求k的取值范围．
【答案】（1）解：由题， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
令 ，得 或 ，所以 在 上单调递减，在
， 上单调递增.
（2）解：由（1）知， 有三个零点，则 ，且
即 ，解得 ，
当 时， ，且 ，
所以 在 上有唯一一个零点，
同理 ， ，
所以 在 上有唯一一个零点，
又 在 上有唯一一个零点，所以 有三个零点，
综上可知 的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1） ，对 分 和 两种情况讨论即可；（2） 有三个零点，由（1）知 ，且 ，解不等式组得到 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.
21．（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 的离心率为 ，A，B分别为C的左、右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，求 的面积．
【答案】（1）解：
， ，
根据离心率 ，
解得 或 (舍)，
C的方程为： ，
即
（2）解： 点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，
过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N
根据题意画出图形，如图
， ， ，
又 ， ，
，
根据三角形全等条件“ ”，
可得： ，
，
，
，
设 点为 ，
可得 点纵坐标为 ，将其代入 ，
可得： ，
解得： 或 ，
P点为 或 ，
①当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
, ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ；
②当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
, ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ，
综上所述， 面积为： .
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）因为 ，可得 ， ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N，可得 ，可求得P点坐标，求出直线 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得 的面积.
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2020·新课标Ⅲ·文）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.
（1）求| |：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.
【答案】（1）解：令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
（2）解：由（1）可知 ，
则直线 的方程为 ，即 .
由 可得，直线 的极坐标方程为
【知识点】平面内两点间的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）由参数方程得出 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 的值；（2）由 的坐标得出直线 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
五、[选修4-5：不等式选讲]
23．（2020·新课标Ⅲ·理）设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
【答案】（1）解： ，
.
均不为 ，则 ，
（2）解：不妨设 ，
由 可知， ，
， .
当且仅当 时，取等号，
，即
【知识点】基本不等式；分析法和综合法；不等式的基本性质
【解析】【分析】（1）由 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设 ，由题意得出 ，由 ，结合基本不等式，即可得出证明.
1 / 12020年高考文数真题试卷（新课标Ⅲ)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·新课标Ⅲ·文）已知集合 ， ，则A∩B中元素的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2020·新课标Ⅲ·文）若 ，则z=（　　）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
3．（2020·新课标Ⅲ·文）设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（　　）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
4．（2020·新课标Ⅲ·理）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（　　）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
5．（2020·新课标Ⅲ·文）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
6．（2020·新课标Ⅲ·文）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则点C的轨迹为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
7．（2020·新课标Ⅲ·理）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（　　）
A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）
8．（2020·新课标Ⅲ·文）点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
9．（2020·新课标Ⅲ·理）下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（　　）
A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
10．（2020·新课标Ⅲ·文）设a=log32，b=log53，c= ，则（　　）
A．a11．（2020·新课标Ⅲ·文）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（　　）
A． B．2 C．4 D．8
12．（2020·新课标Ⅲ·文）已知函数f(x)=sinx+ ，则（　　）
A．f(x)的最小值为2
B．f(x)的图像关于y轴对称
C．f(x)的图像关于直线 对称
D．f(x)的图像关于直线 对称
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2020·新课标Ⅲ·理）若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为　 　．
14．（2020·新课标Ⅲ·文）设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为　 　．
15．（2020·新课标Ⅲ·文）设函数 ．若 ，则a=　 　．
16．（2020·新课标Ⅲ·理）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　 　．
三、解答题
17．（2020·新课标Ⅲ·文）设等比数列{an}满足 ， ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 为数列{log3an}的前n项和．若 ，求m．
18．（2020·新课标Ⅲ·文）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600]
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
　 人次≤400 人次>400
空气质量好
　
　
空气质量不好
　
　
附： ，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19．（2020·新课标Ⅲ·文）如图，在长方体 中，点E，F分别在棱 ， 上，且 ， ．证明：
（1）当 时， ；
（2）点 在平面 内．
20．（2020·新课标Ⅲ·文）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有三个零点，求k的取值范围．
21．（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 的离心率为 ，A，B分别为C的左、右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，求 的面积．
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2020·新课标Ⅲ·文）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.
（1）求| |：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.
五、[选修4-5：不等式选讲]
23．（2020·新课标Ⅲ·理）设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】元素与集合的关系；交集及其运算
【解析】【解答】由题意， ，故 中元素的个数为3.
故答案为：B
【分析】采用列举法列举出 中元素的即可.
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故答案为：D
【分析】先利用除法运算求得 ，再利用共轭复数的概念得到z即可.
3．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍，
所以所求数据方差为
故答案为：C
【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
4．【答案】C
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】 ，所以 ，则 ，
所以， ，解得 .
故答案为：C.
【分析】将 代入函数 结合 求得 即可得解.
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故答案为：B.
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
6．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；轨迹方程
【解析】【解答】设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则： ，设 ，可得： ，
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
故答案为：A.
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
7．【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得P的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
8．【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故答案为：B.
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点 ，设 ，当直线 与 垂直时，点A到直线 距离最大，即可求得结果.
9．【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得：
根据勾股定理可得：
是边长为 的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
该几何体的表面积是： .
故答案为：C.
【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.
10．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 .
故答案为：A
【分析】分别将a,b改写为 ， ，再利用单调性比较即可.
11．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】设
故答案为：C
【分析】先根据余弦定理求c，再根据余弦定理求 ，最后根据同角三角函数关系求
12．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】 可以为负，所以A不符合题意；
关于原点对称；
B不符合题意；
关于直线 对称，C不符合题意，D对
故答案为：D
【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
13．【答案】7
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】【解答】不等式组所表示的可行域如图
因为 ，所以 ，易知截距 越大，则z越大，
平移直线 ，当 经过A点时截距最大，此时z最大，
由 ，得 ， ，
所以 .
故答案为：7.
【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程 可得其焦点在 轴上，
因为其一条渐近线为 ，
所以 ， .
故答案为：
【分析】根据已知可得 ，结合双曲线中 的关系，即可求解.
15．【答案】1
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为：1.
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
16．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中 ，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为O，
由于 ，故 ，
设内切圆半径为 ，则：
，
解得： ，其体积： .
故答案为： .
【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
17．【答案】（1）解：设等比数列 的公比为 ，
根据题意，有 ，解得 ，
所以
（2）解：令 ，
所以 ，
根据 ，可得 ，
整理得 ，因为 ，所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出 的通项公式，利用等差数列求和公式求得 ，根据已知列出关于 的等量关系式，求得结果.
18．【答案】（1）解：由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为 的概率为 ，等级为 的概率为 ，等级为3的概率为 ，等级为4的概率为
（2）解：由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
（3）解： 列联表如下：
　 人次 人次
空气质量不好 33 37
空气质量好 22 8
，
因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【知识点】频率分布表；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善 列联表，计算出 的观测值，再结合临界值表可得结论.
19．【答案】（1）解：因为长方体 ,所以 平面 ,
因为长方体 ,所以四边形 为正方形
因为 平面 ,因此 平面 ,
因为 平面 ,所以
（2）解：在 上取点M使得 ,连 ,
因为 ,所以
所以四边形 为平行四边形，
因为 所以四边形 为平行四边形，
因此 在平面 内
【知识点】平面的基本性质及推论；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据正方形性质得 ，根据长方体性质得 ,进而可证 平面 ,即得结果；（2）只需证明 即可，在 上取点M使得 ,再通过平行四边形性质进行证明即可.
20．【答案】（1）解：由题， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
令 ，得 或 ，所以 在 上单调递减，在
， 上单调递增.
（2）解：由（1）知， 有三个零点，则 ，且
即 ，解得 ，
当 时， ，且 ，
所以 在 上有唯一一个零点，
同理 ， ，
所以 在 上有唯一一个零点，
又 在 上有唯一一个零点，所以 有三个零点，
综上可知 的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1） ，对 分 和 两种情况讨论即可；（2） 有三个零点，由（1）知 ，且 ，解不等式组得到 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.
21．【答案】（1）解：
， ，
根据离心率 ，
解得 或 (舍)，
C的方程为： ，
即
（2）解： 点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，
过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N
根据题意画出图形，如图
， ， ，
又 ， ，
，
根据三角形全等条件“ ”，
可得： ，
，
，
，
设 点为 ，
可得 点纵坐标为 ，将其代入 ，
可得： ，
解得： 或 ，
P点为 或 ，
①当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
, ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ；
②当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
, ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ，
综上所述， 面积为： .
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）因为 ，可得 ， ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N，可得 ，可求得P点坐标，求出直线 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得 的面积.
22．【答案】（1）解：令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
（2）解：由（1）可知 ，
则直线 的方程为 ，即 .
由 可得，直线 的极坐标方程为
【知识点】平面内两点间的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）由参数方程得出 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 的值；（2）由 的坐标得出直线 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
23．【答案】（1）解： ，
.
均不为 ，则 ，
（2）解：不妨设 ，
由 可知， ，
， .
当且仅当 时，取等号，
，即
【知识点】基本不等式；分析法和综合法；不等式的基本性质
【解析】【分析】（1）由 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设 ，由题意得出 ，由 ，结合基本不等式，即可得出证明.
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