2020年高考数学真题试卷（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．
1．（2020·江苏）已知集合 ，则 .
2．（2020·江苏）已知i是虚数单位，则复数 的实部是 .
3．（2020·江苏）已知一组数据 的平均数为4，则a的值是 .
4．（2020·江苏）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .
5．（2020·江苏）如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2，则输入x的值是 .
6．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y= x，则该双曲线的离心率是 .
7．（2020·江苏）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 .
8．（2020·江苏）已知 = ，则 的值是 .
9．（2020·江苏）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5
cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.
10．（2020·江苏）将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
11．（2020·江苏）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和 ，则d+q的值是 ．
12．（2020·江苏）已知 ，则 的最小值是 ．
13．（2020·江苏）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是 ．
14．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的两个动点，满足 ，则△PAB面积的最大值是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2020·江苏）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
16．（2020·江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
17．（2020·江苏）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行， 为铅垂线( 在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 (米)与D到 的距离a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 (米)与F到 的距离b(米)之间满足关系式 .已知点B到 的距离为40米.
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 (万元)(k>0).问 为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低
18．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
（1）求△AF1F2的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求 的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．
19．（2020·江苏）已知关于x的函数 与 在区间D上恒有 ．
（1）若 ，求h(x)的表达式；
（2）若 ，求k的取值范围；
（3）若 求证： ．
20．（2020·江苏）已知数列 的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 成立，则称此数列为“λ–k”数列．
（1）若等差数列 是“λ–1”数列，求λ的值；
（2）若数列 是“ ”数列，且an＞0，求数列 的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 为“λ–3”数列，且an≥0 若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，
三、【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（2020·江苏）[选修4-2：矩阵与变换]
平面上点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ．
（1）求实数a，b的值；
（2）求矩阵M的逆矩阵 ．
22．（2020·江苏）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆 上（其中 ， ）．
（1）求 ， 的值
（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标．
23．（2020·江苏）设 ，解不等式 ．
四、【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
24．（2020·江苏）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= ,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
25．（2020·江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1·q1和p2·q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵ ,
∴
故答案为： .
【分析】根据集合的交集即可计算.
2．【答案】3
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵复数
∴
∴复数的实部为3.
故答案为：3.
【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
3．【答案】2
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】∵数据 的平均数为4
∴ ，即 .
故答案为：2.
【分析】根据平均数的公式进行求解即可．
4．【答案】
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】根据题意可得基本事件数总为 个.
点数和为5的基本事件有 ， ， ， 共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为 .
故答案为： .
【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．
5．【答案】-3
【知识点】指数函数的图象与性质；程序框图
【解析】【解答】由于 ，所以 ，解得 .
故答案为：-3
【分析】根据指数函数的性质，判断出 ，由此求得x的值.
6．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 ，故 .由于双曲线的一条渐近线方程为 ，即 ，所以 ，所以双曲线的离心率为 .
故答案为：
【分析】根据渐近线方程求得a，由此求得c，进而求得双曲线的离心率.
7．【答案】-4
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】 ，因为 为奇函数，所以
故答案为：-4
【分析】先求 ，再根据奇函数求
8．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
9．【答案】
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】正六棱柱体积为
圆柱体积为
所求几何体体积为
故答案为：
【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.
10．【答案】
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】
当 时
故答案为：
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
11．【答案】4
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，根据题意 .
等差数列 的前n项和公式为 ，
等比数列 的前n项和公式为 ，
依题意 ，即 ，
通过对比系数可知 ，故 .
故答案为：4
【分析】结合等差数列和等比数列前n项和公式的特点，分别求得 的公差和公比，由此求得 .
12．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解.
13．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；数量积表示两个向量的夹角；余弦定理
【解析】【解答】∵ 三点共线，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
故答案为：0或 .
【分析】根据题设条件可设 ，结合 与 三点共线，可求得 ，再根据勾股定理求出 ，然后根据余弦定理即可求解.
14．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】
设圆心 到直线 距离为d，则
所以
令 （负值舍去）
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为 ，
故答案为：
【分析】根据条件得 ,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.
15．【答案】（1）证明：由于 分别是 的中点，所以 .
由于 平面 , 平面 ，所以 平面 .
（2）证明：由于 平面 ， 平面 ，所以 .
由于 ，所以 平面 ,
由于 平面 ，所以平面 平面 .
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）通过证明 ，来证得 平面 .（2）通过证明 平面 ，来证得平面 平面 .
16．【答案】（1）解：由余弦定理得 ，所以 .
由正弦定理得 .
（2）解：由于 ， ，所以 .
由于 ，所以 ，所以 .
所以
.
由于 ，所以 .
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得 ，利用正弦定理求得 . （2）根据 的值，求得 的值，由（1）求得 的值，从而求得 的值，进而求得 的值.
17．【答案】（1）解：由题意得
米
（2）解：设总造价为 万元， ，设 ，
(0舍去)
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最小值，
答：当 米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】（1）根据A,B高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.
18．【答案】（1）解：∵椭圆 的方程为
∴ ,
由椭圆定义可得： .
∴ 的周长为
（2）解：设 ，根据题意可得 .
∵点 在椭圆 上，且在第一象限，
∴
∵准线方程为
∴
∴ ，当且仅当 时取等号.
∴ 的最小值为 .
（3）解：设 ，点M到直线 的距离为d.
∵ ，
∴直线 的方程为
∵点O到直线 的距离为 ，
∴
∴
∴①
∵②
∴联立①②解得 ， .
∴ 或 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面内点到直线的距离公式；椭圆的定义
【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得 ，从而可求出 的周长；（2）设 ，根据点A在椭圆E上，且在第一象限， ，求出 ，根据准线方程得Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设 ，点M到直线 的距离为d，由点O到直线 的距离与 ，可推出 ，根据点到直线的距离公式，以及 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.
19．【答案】（1）解：由题设有 对任意的 恒成立.
令 ，则 ，所以 .
因此 即 对任意的 恒成立，
所以 ，因此 .
故 .
（2）解：令 ， .
又 .
若 ，则 在 上递增，在 上递减，则 ，即 ，不符合题意.
当 时， ，符合题意.
当 时， 在 上递减，在 上递增，则 ，
即 ，符合题意.
综上所述， .
由
当 ，即 时， 在 为增函数，
因为 ，
故存在 ，使 ，不符合题意.
当 ，即 时， ，符合题意.
当 ，即 时，则需 ，解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
（3）解：因为 对任意 恒成立，
对任意 恒成立，
等价于 对任意 恒成立.
故 对任意 恒成立.
令 ，
当 ， ，
此时 ，
当 ， ，
但 对任意的 恒成立.
等价于 对任意的 恒成立.
的两根为 ，
则 ，
所以 .
令 ，则 .
构造函数 ， ，
所以 时， ， 递减， .
所以 ，即 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求得 与 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得 的表达式.（2）先由 ，求得 的一个取值范围，再由 ，求得 的另一个取值范围，从而求得 的取值范围.（3）先由 ，求得 的取值范围，由方程 的两个根，求得 的表达式，利用导数证得不等式成立.
20．【答案】（1）解:
（2）解:
，
（3）解: 假设存在三个不同的数列 为 数列.
或
或
∵对于给定的 ，存在三个不同的数列 为 数列，且
或 有两个不等的正根.
可转化为 ，不妨设 ，则 有两个不等正根，设 .
①当 时， ，即 ，此时 ， ，满足题意.
②当 时， ，即 ，此时 ， ，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.
综上，
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据定义得 ，再根据和项与通项关系化简得 ，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得 ，根据平方差公式化简得 ，求得 ，即得 ；（3）根据定义得 ，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果
21．【答案】（1）解：∵平面上点 在矩阵 对应的变换作用下得到点
∴
∴ ，解得
（2）解：设 ，则
∴ ，解得
∴
【知识点】伸缩变换；逆变换与逆矩阵
【解析】【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数 的值；（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.
22．【答案】（1）解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
，
因为点B为直线 上，故其直角坐标方程为 ，
又 对应的圆的直角坐标方程为： ，
由 解得 或 ，
对应的点为 ，故对应的极径为 或 .
（2）解： ，
，
当 时 ；
当 时 ，舍；即所求交点坐标为当
【知识点】简单曲线的极坐标方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.
23．【答案】解： 或 或
或 或
所以解集为
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果
24．【答案】（1）解：连
以 为 轴建立空间直角坐标系，则
从而直线 与 所成角的余弦值为
（2）解：设平面 一个法向量为
令
设平面 一个法向量为
令
因此
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
25．【答案】（1）解： ，
，
.
（2）解： ，
，
因此 ，
从而 ，
即 .
又 的分布列为
0 1 2
故 .
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求 ，即得递推关系，构造等比数列求得 ，最后根据数学期望公式求结果.
1 / 12020年高考数学真题试卷（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．
1．（2020·江苏）已知集合 ，则 .
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵ ,
∴
故答案为： .
【分析】根据集合的交集即可计算.
2．（2020·江苏）已知i是虚数单位，则复数 的实部是 .
【答案】3
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵复数
∴
∴复数的实部为3.
故答案为：3.
【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
3．（2020·江苏）已知一组数据 的平均数为4，则a的值是 .
【答案】2
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】∵数据 的平均数为4
∴ ，即 .
故答案为：2.
【分析】根据平均数的公式进行求解即可．
4．（2020·江苏）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .
【答案】
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】根据题意可得基本事件数总为 个.
点数和为5的基本事件有 ， ， ， 共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为 .
故答案为： .
【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．
5．（2020·江苏）如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2，则输入x的值是 .
【答案】-3
【知识点】指数函数的图象与性质；程序框图
【解析】【解答】由于 ，所以 ，解得 .
故答案为：-3
【分析】根据指数函数的性质，判断出 ，由此求得x的值.
6．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y= x，则该双曲线的离心率是 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 ，故 .由于双曲线的一条渐近线方程为 ，即 ，所以 ，所以双曲线的离心率为 .
故答案为：
【分析】根据渐近线方程求得a，由此求得c，进而求得双曲线的离心率.
7．（2020·江苏）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 .
【答案】-4
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】 ，因为 为奇函数，所以
故答案为：-4
【分析】先求 ，再根据奇函数求
8．（2020·江苏）已知 = ，则 的值是 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
9．（2020·江苏）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5
cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.
【答案】
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】正六棱柱体积为
圆柱体积为
所求几何体体积为
故答案为：
【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.
10．（2020·江苏）将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
【答案】
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】
当 时
故答案为：
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
11．（2020·江苏）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和 ，则d+q的值是 ．
【答案】4
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，根据题意 .
等差数列 的前n项和公式为 ，
等比数列 的前n项和公式为 ，
依题意 ，即 ，
通过对比系数可知 ，故 .
故答案为：4
【分析】结合等差数列和等比数列前n项和公式的特点，分别求得 的公差和公比，由此求得 .
12．（2020·江苏）已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解.
13．（2020·江苏）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是 ．
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；数量积表示两个向量的夹角；余弦定理
【解析】【解答】∵ 三点共线，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
故答案为：0或 .
【分析】根据题设条件可设 ，结合 与 三点共线，可求得 ，再根据勾股定理求出 ，然后根据余弦定理即可求解.
14．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的两个动点，满足 ，则△PAB面积的最大值是 ．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】
设圆心 到直线 距离为d，则
所以
令 （负值舍去）
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为 ，
故答案为：
【分析】根据条件得 ,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2020·江苏）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
【答案】（1）证明：由于 分别是 的中点，所以 .
由于 平面 , 平面 ，所以 平面 .
（2）证明：由于 平面 ， 平面 ，所以 .
由于 ，所以 平面 ,
由于 平面 ，所以平面 平面 .
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）通过证明 ，来证得 平面 .（2）通过证明 平面 ，来证得平面 平面 .
16．（2020·江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
【答案】（1）解：由余弦定理得 ，所以 .
由正弦定理得 .
（2）解：由于 ， ，所以 .
由于 ，所以 ，所以 .
所以
.
由于 ，所以 .
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得 ，利用正弦定理求得 . （2）根据 的值，求得 的值，由（1）求得 的值，从而求得 的值，进而求得 的值.
17．（2020·江苏）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行， 为铅垂线( 在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 (米)与D到 的距离a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 (米)与F到 的距离b(米)之间满足关系式 .已知点B到 的距离为40米.
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 (万元)(k>0).问 为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低
【答案】（1）解：由题意得
米
（2）解：设总造价为 万元， ，设 ，
(0舍去)
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最小值，
答：当 米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】（1）根据A,B高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.
18．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
（1）求△AF1F2的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求 的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．
【答案】（1）解：∵椭圆 的方程为
∴ ,
由椭圆定义可得： .
∴ 的周长为
（2）解：设 ，根据题意可得 .
∵点 在椭圆 上，且在第一象限，
∴
∵准线方程为
∴
∴ ，当且仅当 时取等号.
∴ 的最小值为 .
（3）解：设 ，点M到直线 的距离为d.
∵ ，
∴直线 的方程为
∵点O到直线 的距离为 ，
∴
∴
∴①
∵②
∴联立①②解得 ， .
∴ 或 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面内点到直线的距离公式；椭圆的定义
【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得 ，从而可求出 的周长；（2）设 ，根据点A在椭圆E上，且在第一象限， ，求出 ，根据准线方程得Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设 ，点M到直线 的距离为d，由点O到直线 的距离与 ，可推出 ，根据点到直线的距离公式，以及 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.
19．（2020·江苏）已知关于x的函数 与 在区间D上恒有 ．
（1）若 ，求h(x)的表达式；
（2）若 ，求k的取值范围；
（3）若 求证： ．
【答案】（1）解：由题设有 对任意的 恒成立.
令 ，则 ，所以 .
因此 即 对任意的 恒成立，
所以 ，因此 .
故 .
（2）解：令 ， .
又 .
若 ，则 在 上递增，在 上递减，则 ，即 ，不符合题意.
当 时， ，符合题意.
当 时， 在 上递减，在 上递增，则 ，
即 ，符合题意.
综上所述， .
由
当 ，即 时， 在 为增函数，
因为 ，
故存在 ，使 ，不符合题意.
当 ，即 时， ，符合题意.
当 ，即 时，则需 ，解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
（3）解：因为 对任意 恒成立，
对任意 恒成立，
等价于 对任意 恒成立.
故 对任意 恒成立.
令 ，
当 ， ，
此时 ，
当 ， ，
但 对任意的 恒成立.
等价于 对任意的 恒成立.
的两根为 ，
则 ，
所以 .
令 ，则 .
构造函数 ， ，
所以 时， ， 递减， .
所以 ，即 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求得 与 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得 的表达式.（2）先由 ，求得 的一个取值范围，再由 ，求得 的另一个取值范围，从而求得 的取值范围.（3）先由 ，求得 的取值范围，由方程 的两个根，求得 的表达式，利用导数证得不等式成立.
20．（2020·江苏）已知数列 的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 成立，则称此数列为“λ–k”数列．
（1）若等差数列 是“λ–1”数列，求λ的值；
（2）若数列 是“ ”数列，且an＞0，求数列 的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 为“λ–3”数列，且an≥0 若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，
【答案】（1）解:
（2）解:
，
（3）解: 假设存在三个不同的数列 为 数列.
或
或
∵对于给定的 ，存在三个不同的数列 为 数列，且
或 有两个不等的正根.
可转化为 ，不妨设 ，则 有两个不等正根，设 .
①当 时， ，即 ，此时 ， ，满足题意.
②当 时， ，即 ，此时 ， ，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.
综上，
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据定义得 ，再根据和项与通项关系化简得 ，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得 ，根据平方差公式化简得 ，求得 ，即得 ；（3）根据定义得 ，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果
三、【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（2020·江苏）[选修4-2：矩阵与变换]
平面上点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ．
（1）求实数a，b的值；
（2）求矩阵M的逆矩阵 ．
【答案】（1）解：∵平面上点 在矩阵 对应的变换作用下得到点
∴
∴ ，解得
（2）解：设 ，则
∴ ，解得
∴
【知识点】伸缩变换；逆变换与逆矩阵
【解析】【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数 的值；（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.
22．（2020·江苏）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆 上（其中 ， ）．
（1）求 ， 的值
（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标．
【答案】（1）解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
，
因为点B为直线 上，故其直角坐标方程为 ，
又 对应的圆的直角坐标方程为： ，
由 解得 或 ，
对应的点为 ，故对应的极径为 或 .
（2）解： ，
，
当 时 ；
当 时 ，舍；即所求交点坐标为当
【知识点】简单曲线的极坐标方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.
23．（2020·江苏）设 ，解不等式 ．
【答案】解： 或 或
或 或
所以解集为
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果
四、【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
24．（2020·江苏）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= ,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
【答案】（1）解：连
以 为 轴建立空间直角坐标系，则
从而直线 与 所成角的余弦值为
（2）解：设平面 一个法向量为
令
设平面 一个法向量为
令
因此
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
25．（2020·江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1·q1和p2·q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．
【答案】（1）解： ，
，
.
（2）解： ，
，
因此 ，
从而 ，
即 .
又 的分布列为
0 1 2
故 .
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求 ，即得递推关系，构造等比数列求得 ，最后根据数学期望公式求结果.
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