2020年高考数学真题试卷（天津卷）

2020年高考数学真题试卷（天津卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2020·天津）设全集 ，集合 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由题意结合补集的定义可知： ，则 .
故答案为：C.
【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
2．（2020·天津）设 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】求解二次不等式 可得： 或 ，
据此可知： 是 的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
3．（2020·天津）函数 的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，CD不符合题意；
当 时， ，B不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
4．（2020·天津）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位： ），将所得数据分为9组： ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 内的个数为（　　）
A．10 B．18 C．20 D．36
【答案】B
【知识点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】根据直方图，直径落在区间 之间的零件频率为： ，
则区间 内零件的个数为： .
故答案为：B.
【分析】根据直方图确定直径落在区间 之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.
5．（2020·天津）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 ，
所以，这个球的表面积为 .
故答案为：C.
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
6．（2020·天津）设 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ，
，
，
所以 .
故答案为：D.
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出 的大小关系.
7．（2020·天津）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为l．若C的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ．
故答案为：D．
【分析】由抛物线的焦点 可求得直线 的方程为 ，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为 ，可得 ， 即可求出 ，得到双曲线的方程．
8．（2020·天津）已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；② 是 的最大值；③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】三角函数的周期性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的值域与最值
【解析】【解答】因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确.
故答案为：B.
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
9．（2020·天津）已知函数 若函数 恰有4个零点，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.
因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
综上， 的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】由 ，结合已知，将问题转化为 与 有3个不同交点，分 三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分，
10．（2020·天津）i是虚数单位，复数 　 　．
【答案】3-2i
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为：3-2i.
【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.
11．（2020·天津）在 的展开式中， 的系数是　 　．
【答案】10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ．
所以 的系数为 ．
故答案为：10．
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令 的指数为2，即可求出．
12．（2020·天津）已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的值为　 　．
【答案】5
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】因为圆心 到直线 的距离 ，
由 可得 ，解得 ．
故答案为：5．
【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d，进而利用弦长公式 ，即可求得 ．
13．（2020·天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为　 　；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为　 　．
【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
故答案为： ； .
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
14．（2020·天津）已知 ，且 ，则 的最小值为　 　．
【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解.
15．（2020·天津）如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实数 的值为　 　，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为　 　．
【答案】；
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ， ， ，
，
解得 ，
以点B为坐标原点， 所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，
,
∵ ，∴ 的坐标为 ,
∵又∵ ,则 ，设 ，则 （其中 ），
， ，
，
所以，当 时， 取得最小值 .
故答案为： ； .
【分析】可得 ，利用平面向量数量积的定义求得 的值，然后以点B为坐标原点， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点 ，则点 （其中 ），得出 关于 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得 的最小值.
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（2020·天津）在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
【答案】解：（Ⅰ）在 中，由 及余弦定理得
，
又因为 ，所以 ；
（Ⅱ）在 中，由 ， 及正弦定理，可得 ；
（Ⅲ）由 知角A为锐角，由 ，可得 ，
进而 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出 进一步求出 ，再利用两角和的正弦公式计算即可.
17．（2020·天津）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，点 分别在棱 和棱 上，且 为棱 的中点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】解：依题意，以 为原点，分别以 、 、 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得 、 、 、 、
、 、 、 、 .
（Ⅰ）依题意， ， ，
从而 ，所以 ；
（Ⅱ）依题意， 是平面 的一个法向量，
， ．
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，
不妨设 ，可得 ．
，
．
所以，二面角 的正弦值为 ；
（Ⅲ）依题意， ．
由（Ⅱ）知 为平面 的一个法向量，于是 ．
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】以 为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量 和 的坐标，得出 ，即可证明出 ；（Ⅱ）可知平面 的一个法向量为 ，计算出平面 的一个法向量为 ，利用空间向量法计算出二面角 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线 与平面 所成角的正弦值.
18．（2020·天津）已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为F，且 ，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C满足 ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 的中点．求直线 的方程．
【答案】解：（Ⅰ） 椭圆 的一个顶点为 ，
，
由 ，得 ，
又由 ，得 ，
所以，椭圆的方程为 ；
（Ⅱ） 直线 与以C为圆心的圆相切于点P，所以 ，
根据题意可知，直线 和直线 的斜率均存在，
设直线 的斜率为k，则直线 的方程为 ，即 ，
，消去 ，可得 ，解得 或 .
将 代入 ，得 ，
所以，点 的坐标为 ，
因为P为线段 的中点，点 的坐标为 ，
所以点P的坐标为 ，
由 ，得点 的坐标为 ，
所以，直线 的斜率为 ，
又因为 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 .
所以，直线 的方程为 或 .
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助 ，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到 ，设出直线 的方程，并与椭圆方程联立，求出B点坐标，进而求出P点坐标，再根据 ，求出直线 的斜率，从而得解.
19．（2020·天津）已知 为等差数列， 为等比数列， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前2n项和．
【答案】解：(Ⅰ)设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，
又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前2n项和为 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 前n项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算 和 的值，据此进一步计算数列 的前2n项和即可.
20．（2020·天津）已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ．
【答案】解：(Ⅰ) (i) 当k=6时， ， .可得 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
(ii) 依题意， .
从而可得 ，
整理可得： ，
令 ，解得 .
当x变化时， 的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由 ，得 .
对任意的 ，且 ，令 ，则
. ①
令 .
当x>1时， ，
由此可得 在 单调递增，所以当t>1时， ，即 .
因为 ， ， ，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当 时， ，即 ，
故 ③
由①②③可得 .
所以，当 时，任意的 ，且 ，有
.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得 的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令 ，将原问题转化为与 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.
1 / 12020年高考数学真题试卷（天津卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2020·天津）设全集 ，集合 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
2．（2020·天津）设 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2020·天津）函数 的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·天津）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位： ），将所得数据分为9组： ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 内的个数为（　　）
A．10 B．18 C．20 D．36
5．（2020·天津）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020·天津）设 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020·天津）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为l．若C的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2020·天津）已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；② 是 的最大值；③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
9．（2020·天津）已知函数 若函数 恰有4个零点，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分，
10．（2020·天津）i是虚数单位，复数 　 　．
11．（2020·天津）在 的展开式中， 的系数是　 　．
12．（2020·天津）已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的值为　 　．
13．（2020·天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为　 　；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为　 　．
14．（2020·天津）已知 ，且 ，则 的最小值为　 　．
15．（2020·天津）如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实数 的值为　 　，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（2020·天津）在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
17．（2020·天津）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，点 分别在棱 和棱 上，且 为棱 的中点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
18．（2020·天津）已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为F，且 ，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C满足 ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 的中点．求直线 的方程．
19．（2020·天津）已知 为等差数列， 为等比数列， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前2n项和．
20．（2020·天津）已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由题意结合补集的定义可知： ，则 .
故答案为：C.
【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】求解二次不等式 可得： 或 ，
据此可知： 是 的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
3．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，CD不符合题意；
当 时， ，B不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
4．【答案】B
【知识点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】根据直方图，直径落在区间 之间的零件频率为： ，
则区间 内零件的个数为： .
故答案为：B.
【分析】根据直方图确定直径落在区间 之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.
5．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 ，
所以，这个球的表面积为 .
故答案为：C.
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
6．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ，
，
，
所以 .
故答案为：D.
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出 的大小关系.
7．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ．
故答案为：D．
【分析】由抛物线的焦点 可求得直线 的方程为 ，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为 ，可得 ， 即可求出 ，得到双曲线的方程．
8．【答案】B
【知识点】三角函数的周期性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的值域与最值
【解析】【解答】因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确.
故答案为：B.
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
9．【答案】D
【知识点】函数的图象；根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.
因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
综上， 的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】由 ，结合已知，将问题转化为 与 有3个不同交点，分 三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
10．【答案】3-2i
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为：3-2i.
【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.
11．【答案】10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ．
所以 的系数为 ．
故答案为：10．
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令 的指数为2，即可求出．
12．【答案】5
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】因为圆心 到直线 的距离 ，
由 可得 ，解得 ．
故答案为：5．
【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d，进而利用弦长公式 ，即可求得 ．
13．【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
故答案为： ； .
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
14．【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解.
15．【答案】；
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ， ， ，
，
解得 ，
以点B为坐标原点， 所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，
,
∵ ，∴ 的坐标为 ,
∵又∵ ,则 ，设 ，则 （其中 ），
， ，
，
所以，当 时， 取得最小值 .
故答案为： ； .
【分析】可得 ，利用平面向量数量积的定义求得 的值，然后以点B为坐标原点， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点 ，则点 （其中 ），得出 关于 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得 的最小值.
16．【答案】解：（Ⅰ）在 中，由 及余弦定理得
，
又因为 ，所以 ；
（Ⅱ）在 中，由 ， 及正弦定理，可得 ；
（Ⅲ）由 知角A为锐角，由 ，可得 ，
进而 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出 进一步求出 ，再利用两角和的正弦公式计算即可.
17．【答案】解：依题意，以 为原点，分别以 、 、 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得 、 、 、 、
、 、 、 、 .
（Ⅰ）依题意， ， ，
从而 ，所以 ；
（Ⅱ）依题意， 是平面 的一个法向量，
， ．
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，
不妨设 ，可得 ．
，
．
所以，二面角 的正弦值为 ；
（Ⅲ）依题意， ．
由（Ⅱ）知 为平面 的一个法向量，于是 ．
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】以 为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量 和 的坐标，得出 ，即可证明出 ；（Ⅱ）可知平面 的一个法向量为 ，计算出平面 的一个法向量为 ，利用空间向量法计算出二面角 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线 与平面 所成角的正弦值.
18．【答案】解：（Ⅰ） 椭圆 的一个顶点为 ，
，
由 ，得 ，
又由 ，得 ，
所以，椭圆的方程为 ；
（Ⅱ） 直线 与以C为圆心的圆相切于点P，所以 ，
根据题意可知，直线 和直线 的斜率均存在，
设直线 的斜率为k，则直线 的方程为 ，即 ，
，消去 ，可得 ，解得 或 .
将 代入 ，得 ，
所以，点 的坐标为 ，
因为P为线段 的中点，点 的坐标为 ，
所以点P的坐标为 ，
由 ，得点 的坐标为 ，
所以，直线 的斜率为 ，
又因为 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 .
所以，直线 的方程为 或 .
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助 ，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到 ，设出直线 的方程，并与椭圆方程联立，求出B点坐标，进而求出P点坐标，再根据 ，求出直线 的斜率，从而得解.
19．【答案】解：(Ⅰ)设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，
又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前2n项和为 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 前n项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算 和 的值，据此进一步计算数列 的前2n项和即可.
20．【答案】解：(Ⅰ) (i) 当k=6时， ， .可得 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
(ii) 依题意， .
从而可得 ，
整理可得： ，
令 ，解得 .
当x变化时， 的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由 ，得 .
对任意的 ，且 ，令 ，则
. ①
令 .
当x>1时， ，
由此可得 在 单调递增，所以当t>1时， ，即 .
因为 ， ， ，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当 时， ，即 ，
故 ③
由①②③可得 .
所以，当 时，任意的 ，且 ，有
.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得 的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令 ，将原问题转化为与 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.
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