2021年天津市高考数学试卷 （Word解析版）

2021年天津市高考数学试卷
一．选择题（共9小题）.
1．设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（　　）
A．{0} B．{0，1，3，5} C．{0，1，2，4} D．{0，2，3，4}
2．已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数f（x）＝的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
4．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（　　）
A．20 B．40 C．64 D．80
5．设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（　　）
A．3π B．4π C．9π D．12π
7．若2a＝5b＝10，则+＝（　　）
A．﹣1 B．lg7 C．1 D．log710
8．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
9．设a∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（　　）
A．（2，]∪（，] B．（，2]∪（，]
C．（2，]∪[，3） D．（，2）∪[，3）
二．填空题：共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．i是虚数单位，复数＝　 　．
11．在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是 　 　．
12．若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝　 　．
13．已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为 　 　．
14．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 　 　；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 　 　．
15．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为 　 　；（+）?的最小值为 　 　．
三．解答题：本大题共5小题，共75分．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinC＝2：1：，b＝．
（1）求a的值；
（2）求cosC的值；
（3）求sin（2C﹣）的值．
17．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．
（1）求证：D1F∥平面A1EC1；
（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；
（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．
18．已知椭圆+＝1（a＞b）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．
19．已知数列{an}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn＝b2n+，n∈N*．
（i）证明：{cn2﹣c2n}是等比数列；
（ii）证明：＜2（n∈N*）．
20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xex．
（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；
（3）若?a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．
参考答案
一．选择题（共9小题）.
1．设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（　　）
A．{0} B．{0，1，3，5} C．{0，1，2，4} D．{0，2，3，4}
解：因为集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，
所以A∩B＝{1}，
则（A∩B）∪C＝{0，1，2，4}．
故选：C．
2．已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：①∵a＞6，∴a2＞36，∴充分性成立，
②∵a2＞36，∴a＞6或a＜﹣6，∴必要性不成立，
∴a＞6是a2＞36的充分不必要条件，
故选：A．
3．函数f（x）＝的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
解：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，
有f（﹣x）＝＝f（x），是偶函数，排除AC，
在区间（0，1）上，ln|x|＝lnx＜0，必有f（x）＜0，排除D，
故选：B．
4．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（　　）
A．20 B．40 C．64 D．80
解：由频率分布直方图知，
评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，
故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，
故选：D．
5．设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
解：∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0，
∵＞log0.5＝1，∴b＞1，
∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，
∴a＜c＜b，
故选：D．
6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（　　）
A．3π B．4π C．9π D．12π
解：如图，设球O的半径为R，由题意，，
可得R＝2，则球O的直径为4，
∵两个圆锥的高之比为1：3，∴AO1＝1，BO1＝3，
由直角三角形中的射影定理可得：r2＝1×3，即r＝．
∴这两个圆锥的体积之和为V＝．
故选：B．
7．若2a＝5b＝10，则+＝（　　）
A．﹣1 B．lg7 C．1 D．log710
解：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，
∴＝+＝log102+log105＝lg10＝1，
故选：C．
8．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
【解答】解由题意可得抛物线的准线方程为x＝﹣，设AB，CD与x轴分别交于M，N，
由|CD|＝|AB|，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得|CN|＝|AM|，
由题意可得：＝c，即p＝2c，
可得解得：|y|＝，所以|AM|＝，
可得：|y|＝，所以|CN|＝，
所以可得＝?，可得c＝b，
所以c2＝2b2＝2（c2﹣a2），
解得：c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝，
故选：A．
9．设a∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（　　）
A．（2，]∪（，] B．（，2]∪（，]
C．（2，]∪[，3） D．（，2）∪[，3）
解：∵f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点
又∵二次方程最多有两个零点，
∴f（x）＝cos（2πx﹣2πa）至少有四个根，
∵f（x）＝cos（2πx﹣2πa）＝cos2π（x﹣a），
∴令f（x）＝0，即 k∈Z，
∴，
又∵x∈（0，+∞），
∴，即，
①当x＜a时，﹣6≤﹣5，f（x）有4个零点，即，
﹣7≤﹣6，f（x）有5个零点，即，
﹣8≤﹣7，f（x）有6个零点，即，
②当x≥a时，f（x）＝x2﹣2（a+1）x+a2+5，
∴△＝b2﹣4ac＝4（a+1）2﹣4（a2+5）＝8a﹣16＝0，解得a＝2，
当a＜2时，△＜0，f（x）无零点，
当a＝2时，△＝0，f（x）有1个零点，
当a＞2时，f（a）＝a2﹣2a（a+1）+a2+5＝﹣2a+5，
∵f（x）的对称轴x＝a+1，即f（a）在对称轴的左边，
∴当﹣2a+5≥0时，即2＜a≤，f（x）有两个零点，
当﹣2a+5＜0时，即a＞，f（x）有1个零点，
综合①②可得，a．
故选：A．
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．i是虚数单位，复数＝　4﹣i　．
解：复数＝＝＝4﹣i，
故答案为：4﹣i．
11．在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是 　160　．
解：（2x3+）6的展开式的通项公式为Tr+1＝（2x3）6﹣r＝26﹣rx18﹣4r，
令18﹣4r＝6，解得r＝3，
所以x6的系数是23＝160．
故答案为：160．
12．若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝　　．
解：假设A在x轴的上方，斜率为的直线与x轴交于D，
则可得tan∠ADO＝，所以cot∠BAC＝，如图所示，由圆C的方程可得，圆的半径为|BC|＝1，
由于B为切点，所以AB⊥BC，所以|AB|＝|BC|?cot∠BAC＝，
故答案为：．
13．已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为 　2　．
解：∵a＞0，b＞0，∴++b+b＝+b≥2，
当且仅当＝且b＝，即a＝b＝时取等号，
∴++b的最小值为 2，
故答案为：2．
14．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 　　；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 　　．
解：∵一次活动中，甲获胜的概率为×（1﹣）＝，
∴3次活动中，甲至少获胜2次的概率为+××（1﹣）＝．
故答案为：，．
15．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为 　1　；（+）?的最小值为 　　．
解：如图，设BE＝x，
∵△ABC是边长为1等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1﹣2x，
∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1﹣2x等边三角形，DE⊥DF，
∴（2+）2＝4+4?+＝4x2+4x（1﹣2x）×cos0°+（1﹣2x）2＝1，
则|2+|＝1，
∵（+）?＝（+）?（+）＝+?
＝+（1﹣2x）×（1﹣x）＝5x2﹣3x+1
＝5+，x∈（0，），
∴（+）?的最小值为．
故答案为：1，．
三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinC＝2：1：，b＝．
（1）求a的值；
（2）求cosC的值；
（3）求sin（2C﹣）的值．
解：（1）∵△ABC中，sinA：sinB：sinC＝2：1：，∴a：b：c＝2：1：，
∵b＝，∴a＝2b＝2，c＝b＝2．
（2）△ABC中，由余弦定理可得cosC＝＝＝．
（3）由（2）可得sinC＝＝，
∴sin2C＝2sinCcosC＝，cos2C＝2cos2C﹣1＝，
sin（2C﹣）＝sin2Ccos﹣cos2Csin＝．
17．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．
（1）求证：D1F∥平面A1EC1；
（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；
（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．
【解答】（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A1（0，0，2），E（2，1，0），C1（2，2，2），
故，
设平面A1EC1的法向量为，
则，即，
令z＝1，则x＝2，y＝﹣2，故，
又F（1，2，0），D1（0，2，2），
所以，
则，又D1F?平面A1EC，
故D1F//平面A1EC1；
（2）解：由（1）可知，，
则＝＝，
故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为；
（3）解：由（1）可知，，
设平面AA1C1的法向量为，
则，即，
令a＝1，则b＝﹣1，故，
所以＝，
故二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值为＝．
18．已知椭圆+＝1（a＞b）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．
解：（1）因为离心率e＝，|BF|＝，
所以，解得a＝，c＝2，b＝1，
所以椭圆的方程为+y2＝1．
（2）设M（x0，y0），
则切线MN的方程为+y0y＝1，
令x＝0，得yN＝，
因为PN⊥BF，
所以kPN?kBF＝﹣1，
所以kPN?（﹣）＝﹣1，解得kNP＝2，
设P（x1，0），则kNP＝＝2，即x1＝﹣，
因为MP∥BF，
所以kMP＝kBF，
所以＝﹣，即﹣2y0＝x0+，
所以x0＝﹣2y0﹣，
又因为+y02＝1，
所以+++y02＝1，
解得y0＝±，
因为yN＞0，
所以y0＞0，
所以y0＝，x0＝﹣﹣＝﹣，
所以+y＝1，即x﹣y+＝0．
19．已知数列{an}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn＝b2n+，n∈N*．
（i）证明：{cn2﹣c2n}是等比数列；
（ii）证明：＜2（n∈N*）．
【解答】证明：（1）由数列{an}是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64，
可得8a1+×8×7d＝64，解得a1＝1，
所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
由数列{bn}是公比q大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48，
可得4q2﹣4q＝48，解得q＝4（﹣3舍去），
所以bn＝4n；
（2）（i）证明：因为an＝2n﹣1，bn＝4n，
所以cn＝b2n+＝42n+，
则cn2﹣c2n＝（42n+）2﹣（44n+）＝＝2?4n，
所以，
又，
所以数列{cn2﹣c2n}是以8为首项，4为公比的等比数列；
（ii）证明：设＝，
考虑，则pn＜qn，
所以qk＝++...+，
则，
两式相减可得，＝＝，
所以，
则＜＜2，
故＜2．
20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xex．
（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；
（3）若?a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．
【解答】（1）解：因为f'（x）＝a﹣（x+1）ex，所以f'（0）＝a﹣1，而f（0）＝0，
所以在（0，f（0））处的切线方程为y＝（a﹣1）x（a＞0）；
（2）证明：令f'（x）＝a﹣（x+1）ex＝0，则a＝（x+1）ex，
令g（x）＝（x+1）ex，则g'（x）＝（x+2）ex，令g'（x）＝0，解得x＝﹣2，
当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（﹣2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
当x→﹣∞时，g（x）＜0，当x→+∞时，g（x）＞0，
作出图象
所以当a＞0时，y＝a与y＝g（x）仅有一个交点，令g（m）＝a，
则m＞﹣1，且f（m）＝a﹣g（m）＝0，
当x∈（﹣∞，m）时，a＞g（m），f'（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（m，+∞）时，a＜g（m），f'（x）＜0，f（x）为减函数；
所以x＝m时f（x）的极大值点，故f（x）仅有一个极值点；
（3）解：由（2）知f（x）max＝f（m），
此时a＝（1+m）em，（m＞﹣1），
所以{f（x）﹣a}max＝f（m）﹣a＝（1+m）em﹣m﹣mem﹣（1+m）em＝（m2﹣m﹣1）em（m＞﹣1），
令h（x）＝（x2﹣x﹣1）ex（x＞﹣1），
若存在a，使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，
则等价于存在x∈（﹣1，+∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，
而h'（x）＝（x2+x﹣2）ex＝（x﹣1）（x+2）ex，（x＞﹣1），
当x∈（﹣1，1）时，h'（x）＜0，h（x）为单调减函数，
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为单调增函数，
所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，故b≥﹣e，
所以实数b的取值范围[﹣e，+∞）．