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2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·全国乙卷）设2（z+ ）+3(z- )=4+6i，则z=（ ）.
A．1-2i B．1+2i C．1+i D．1-i
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设所以a=b=1，所以z＝1+i。
故答案为：C
【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。
2．（2021·全国乙卷）已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（ ）
A． B．S C．T D．Z
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】当n=2k 时，S={s|s=4k+1, },
当n=2k+1 时,S={s|s=4k+3, }
所以S,所以,
故答案为：C.
【分析】分n的奇偶讨论集合S。
3．（2021·全国乙卷）已知命题p： x∈R，sinx＜1；命题q： x∈R， e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p q B． p q C．p q D． (pVq)
【答案】A
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题，
故答案为：A
【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。
4．（2021·全国乙卷）设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f(x-1)-1 B．f(x-1)+1 C．f(x+1)-1 D．f(x+1)+1
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为 f(x)= ，所以函数的对称中心是(-1,-1)，所以函数f(x)向右平移1 个单位，再向上平移1个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B满足条件，
故答案为：B。
【分析】将 函数变形为f(x)= 后，判断。
5．（2021·全国乙卷）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，
因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以
即为所求的角，易证平面BDD1B1,故OD1, 又,所以＝.
故答案为：D
【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。
6．（2021·全国乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：，
故答案为：C.
【分析】利用排列与组合来求解。
7．（2021·全国乙卷）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数y=sin(x- )的图像，则f(x)=（ ）
A．sin( ) B．sin( )
C．sin( ) D．sin( )
【答案】B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y= y=sin(x- )的图像 上所有的点向左平移平移个单位，纵坐标不变，得到再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y=，故答案为：B。
【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。
8．（2021·全国乙卷）在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概型
【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且 0
表示为一个正方四个顶点：(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),且包括边界在内的正方形区域。作 直线a+b= ，
满足a+b> 的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示，
直线a+b＝ 与正方形的两个交点分别为,则可计算事件(a+bR人svyf概率为P＝,
故选B。
【分析】利用几何概型解答。
9．（2021·全国乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图，连接DF，直线DF交AB于M，
则AB＝AM+BM，设则
因为，所以所以
故答案为：A.
【分析】通过作辅助线，(如图)，然后利用解直角形的知识来解答。
10．（2021·全国乙卷）设a≠0，若x=a为函数 的极大值点，则（ ）
A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2
【答案】D
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2,故A错。
故答案为：D.
【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。
11．（2021·全国乙卷）设B是椭圆C： （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 ，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有
移项并用十字相乘法得到：
因为恒成立，即恒 成立，
据此解得，
故答案为：C。
【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2，再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。
12．（2021·全国乙卷）设 ， ， ，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】构造函数f(x)=ln(1+x)-，则b-c=f(0.02)，则当x>0时，,
所以f/(x)<0,所以f(x)在单调递减，所以f(0.02)再构造函数则而, 当
所以所以g(x)在（0，2）上单调递增，所以所以b故答案为：B
【分析】本题就在于构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，从而解题。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2021·全国乙卷）已知双曲线C： （m>0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为 .
【答案】4
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为又曲线方程C：,一条渐近线是，
所以双曲线方程是,
故答案为：4
【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。
14．（2021·全国乙卷）已知向量=（1，3），b=（3，4），若（-λ）⊥，则λ= 。
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
故答案为：
【分析】先计算出的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。
15．（2021·全国乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b= .
【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
于是
【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。
16．（2021·全国乙卷）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.
【答案】②⑤或③④
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】当俯视图为 ④ 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；
当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，
故答案为： ②⑤或③④
【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（2021·全国乙卷）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为s12和s22
（1）求 ， ， s12，s22；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 - ≥ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
【答案】（1）解：各项所求值如下所示
= (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0
= (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3
= x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36，
= x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.
（2）由(1)中数据得 - =0.3，2 ≈0.551
显然 - ＜2 ，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数，再直接用公式计算 s12，s22；
(2)由 (1)中的数据，计算得： - =0.3，2 ≈0.34 ， 显然 - ＜2 ，可得到答案。
18．（2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，
（1）求BC；
（2）求二面角A-PM-B的正弦值。
【答案】（1）解：因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以 ， ， 分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。
设BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（ ，1，0），P(0，0，1)，所以 =（t，1，-1）， =（ ，1，0），
因为PB⊥AM，所以 =- +1=0，所以t= ，所以BC= 。
（2）设平面APM的一个法向量为 =（x，y，z），由于 =（- ，0，1），则
令x= ，得 =（ ，1，2）。
设平面PMB的一个法向量为 =（xt，yt，zt），则
令 =1，得 =(0，1，1).
所以cos（ ， ）= = = ，所以二面角A-PM-B的正弦值为 .
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，通过计算求解；
（2）呈上，分别求二面角的两个平面的法向量，用法向量的夹角计算。
19．（2021·全国乙卷）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知 =2.
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
【答案】（1）由已知 + =2，则 =Sn(n≥2)
+ =2 2bn-1+2=2bn bn-bn-1= (n≥2)，b1=
故｛bn｝是以 为首项， 为公差的等差数列。
（2）由（1）知bn= +（n-1） = ，则 + =2 Sn=
n=1时，a1=S1=
n≥2时，an=Sn-Sn-1= - =
故an=
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列递推式
【解析】【分析】（1）根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。
（2）呈上，先写出bn,再求{bn}前n磺的和 Sn ，再由 an与 Sn 的关系，进一步求得结果。
20．（2021·全国乙卷）设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。
（1）求a；
（2）设函数g（x）= ，证明：g（x）＜1.
【答案】（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)
当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0，所以a=1
（2）由f(x)=ln(1-x)，得x＜1
当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0
故即证x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0
令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t，即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0
令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt，
则f′(t)=-1- -[(-1)lnt+ ]=-1+ +lnt- =lnt
所以f(t)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0，得证。
【知识点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先对函数 y=xf（x）求导： [xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)，因为x=0是方程的根，代入求得a值。
（2）首先由（1）写出函数f(x),并求其定义域，将问题转化为证明 x+f(x)＞xf(x)，即证：x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0 ，然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。
21．（2021·全国乙卷）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 PAB的最大值.
【答案】（1）解：焦点 到 的最短距离为 ，所以p=2.
（2）抛物线 ，设A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
，
，且 .
， 都过点P(x0，y0），则 故 ，即 .
联立 ，得 ， .
所以 = ， ，所以
= = = .
而 .故当y0=-5时， 达到最大，最大值为 .
【知识点】圆的标准方程；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）因为F点到圆上距离最小的即为F到圆心的距离减去半径1，据此得到结果；
（2）由（1）写出抛物线的标准方程 ，分别设出切点A，B的坐标，及P（在圆M上）的坐标，分别写出两条切线的方程，利用A，B都过P点，建立方程求解。最后通过三角形PAB面积表达式，研究最值。
四、［选修4一4：坐标系与参数方程］
22．（2021·全国乙卷）在直角坐标系xOy中， C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出 C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作 C的两条切线， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
【答案】（1）因为 C的圆心为(2，1)，半径为1.故 C的参数方程为 （ 为参数).
（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0.
故 =1
即|2k|= ，4 = ，
解得k=± .
故直线方程为y= (x-4)+1， y= (x-4)+1
故两条切线的极坐标方程为 sin = cos - +1或 sin = cos + +1.
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程；
（2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。
五、[选修4一5：不等式选讲]
23．（2021·全国乙卷）已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.
【答案】（1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集.
当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2；
当-3当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，
综上，解集为(-∞，-4]U[2，-∞).
（2）f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞-a.
A≥-3时，2a+3>0，得a>- ；a<-3时，-a-3>-a，此时a不存在.
综上，a>- .
【知识点】不等式的综合
【解析】【分析】（1）当a=1，写出 f(x)=|x-1|+|x+3| ，进一步分段讨论去值，解不等式；
（2）只要保证 f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
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2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·全国乙卷）设2（z+ ）+3(z- )=4+6i，则z=（ ）.
A．1-2i B．1+2i C．1+i D．1-i
2．（2021·全国乙卷）已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（ ）
A． B．S C．T D．Z
3．（2021·全国乙卷）已知命题p： x∈R，sinx＜1；命题q： x∈R， e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p q B． p q C．p q D． (pVq)
4．（2021·全国乙卷）设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f(x-1)-1 B．f(x-1)+1 C．f(x+1)-1 D．f(x+1)+1
5．（2021·全国乙卷）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
7．（2021·全国乙卷）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数y=sin(x- )的图像，则f(x)=（ ）
A．sin( ) B．sin( )
C．sin( ) D．sin( )
8．（2021·全国乙卷）在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.
A． B．
C． D．
10．（2021·全国乙卷）设a≠0，若x=a为函数 的极大值点，则（ ）
A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2
11．（2021·全国乙卷）设B是椭圆C： （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 ，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·全国乙卷）设 ， ， ，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2021·全国乙卷）已知双曲线C： （m>0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为 .
14．（2021·全国乙卷）已知向量=（1，3），b=（3，4），若（-λ）⊥，则λ= 。
15．（2021·全国乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b= .
16．（2021·全国乙卷）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（2021·全国乙卷）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为s12和s22
（1）求 ， ， s12，s22；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 - ≥ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
18．（2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，
（1）求BC；
（2）求二面角A-PM-B的正弦值。
19．（2021·全国乙卷）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知 =2.
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
20．（2021·全国乙卷）设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。
（1）求a；
（2）设函数g（x）= ，证明：g（x）＜1.
21．（2021·全国乙卷）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 PAB的最大值.
四、［选修4一4：坐标系与参数方程］
22．（2021·全国乙卷）在直角坐标系xOy中， C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出 C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作 C的两条切线， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
五、[选修4一5：不等式选讲]
23．（2021·全国乙卷）已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设所以a=b=1，所以z＝1+i。
故答案为：C
【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】当n=2k 时，S={s|s=4k+1, },
当n=2k+1 时,S={s|s=4k+3, }
所以S,所以,
故答案为：C.
【分析】分n的奇偶讨论集合S。
3．【答案】A
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题，
故答案为：A
【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。
4．【答案】B
【知识点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为 f(x)= ，所以函数的对称中心是(-1,-1)，所以函数f(x)向右平移1 个单位，再向上平移1个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B满足条件，
故答案为：B。
【分析】将 函数变形为f(x)= 后，判断。
5．【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，
因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以
即为所求的角，易证平面BDD1B1,故OD1, 又,所以＝.
故答案为：D
【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。
6．【答案】C
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：，
故答案为：C.
【分析】利用排列与组合来求解。
7．【答案】B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y= y=sin(x- )的图像 上所有的点向左平移平移个单位，纵坐标不变，得到再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y=，故答案为：B。
【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。
8．【答案】B
【知识点】几何概型
【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且 0表示为一个正方四个顶点：(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),且包括边界在内的正方形区域。作 直线a+b= ，
满足a+b> 的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示，
直线a+b＝ 与正方形的两个交点分别为,则可计算事件(a+bR人svyf概率为P＝,
故选B。
【分析】利用几何概型解答。
9．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图，连接DF，直线DF交AB于M，
则AB＝AM+BM，设则
因为，所以所以
故答案为：A.
【分析】通过作辅助线，(如图)，然后利用解直角形的知识来解答。
10．【答案】D
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2,故A错。
故答案为：D.
【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。
11．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有
移项并用十字相乘法得到：
因为恒成立，即恒 成立，
据此解得，
故答案为：C。
【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2，再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。
12．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】构造函数f(x)=ln(1+x)-，则b-c=f(0.02)，则当x>0时，,
所以f/(x)<0,所以f(x)在单调递减，所以f(0.02)再构造函数则而, 当
所以所以g(x)在（0，2）上单调递增，所以所以b故答案为：B
【分析】本题就在于构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，从而解题。
13．【答案】4
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为又曲线方程C：,一条渐近线是，
所以双曲线方程是,
故答案为：4
【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。
14．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
故答案为：
【分析】先计算出的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。
15．【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
于是
【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。
16．【答案】②⑤或③④
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】当俯视图为 ④ 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；
当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，
故答案为： ②⑤或③④
【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。
17．【答案】（1）解：各项所求值如下所示
= (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0
= (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3
= x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36，
= x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.
（2）由(1)中数据得 - =0.3，2 ≈0.551
显然 - ＜2 ，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数，再直接用公式计算 s12，s22；
(2)由 (1)中的数据，计算得： - =0.3，2 ≈0.34 ， 显然 - ＜2 ，可得到答案。
18．【答案】（1）解：因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以 ， ， 分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。
设BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（ ，1，0），P(0，0，1)，所以 =（t，1，-1）， =（ ，1，0），
因为PB⊥AM，所以 =- +1=0，所以t= ，所以BC= 。
（2）设平面APM的一个法向量为 =（x，y，z），由于 =（- ，0，1），则
令x= ，得 =（ ，1，2）。
设平面PMB的一个法向量为 =（xt，yt，zt），则
令 =1，得 =(0，1，1).
所以cos（ ， ）= = = ，所以二面角A-PM-B的正弦值为 .
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，通过计算求解；
（2）呈上，分别求二面角的两个平面的法向量，用法向量的夹角计算。
19．【答案】（1）由已知 + =2，则 =Sn(n≥2)
+ =2 2bn-1+2=2bn bn-bn-1= (n≥2)，b1=
故｛bn｝是以 为首项， 为公差的等差数列。
（2）由（1）知bn= +（n-1） = ，则 + =2 Sn=
n=1时，a1=S1=
n≥2时，an=Sn-Sn-1= - =
故an=
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列递推式
【解析】【分析】（1）根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。
（2）呈上，先写出bn,再求{bn}前n磺的和 Sn ，再由 an与 Sn 的关系，进一步求得结果。
20．【答案】（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)
当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0，所以a=1
（2）由f(x)=ln(1-x)，得x＜1
当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0
故即证x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0
令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t，即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0
令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt，
则f′(t)=-1- -[(-1)lnt+ ]=-1+ +lnt- =lnt
所以f(t)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0，得证。
【知识点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先对函数 y=xf（x）求导： [xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)，因为x=0是方程的根，代入求得a值。
（2）首先由（1）写出函数f(x),并求其定义域，将问题转化为证明 x+f(x)＞xf(x)，即证：x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0 ，然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。
21．【答案】（1）解：焦点 到 的最短距离为 ，所以p=2.
（2）抛物线 ，设A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
，
，且 .
， 都过点P(x0，y0），则 故 ，即 .
联立 ，得 ， .
所以 = ， ，所以
= = = .
而 .故当y0=-5时， 达到最大，最大值为 .
【知识点】圆的标准方程；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）因为F点到圆上距离最小的即为F到圆心的距离减去半径1，据此得到结果；
（2）由（1）写出抛物线的标准方程 ，分别设出切点A，B的坐标，及P（在圆M上）的坐标，分别写出两条切线的方程，利用A，B都过P点，建立方程求解。最后通过三角形PAB面积表达式，研究最值。
22．【答案】（1）因为 C的圆心为(2，1)，半径为1.故 C的参数方程为 （ 为参数).
（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0.
故 =1
即|2k|= ，4 = ，
解得k=± .
故直线方程为y= (x-4)+1， y= (x-4)+1
故两条切线的极坐标方程为 sin = cos - +1或 sin = cos + +1.
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程；
（2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。
23．【答案】（1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集.
当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2；
当-3当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，
综上，解集为(-∞，-4]U[2，-∞).
（2）f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞-a.
A≥-3时，2a+3>0，得a>- ；a<-3时，-a-3>-a，此时a不存在.
综上，a>- .
【知识点】不等式的综合
【解析】【分析】（1）当a=1，写出 f(x)=|x-1|+|x+3| ，进一步分段讨论去值，解不等式；
（2）只要保证 f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
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