2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·全国甲卷）设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x| ≤x≤5｝，则M∩N=（ ）
A．｛x|0＜x≤ ｝ B．｛x| ≤x＜4｝
C．｛x|4≤x＜5｝ D．｛x|0＜x≤5｝
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：M∩N即求集合M,N的公共元素，所以M∩N={x|≤x﹤4}，
故答案为：B
【分析】根据交集的定义求解即可.
2．（2021·全国甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确；
对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%，故B正确；
对于D，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5，故D正确
故不正确的是C
故答案为：C
【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.
3．（2021·全国甲卷）已知 ，则z=（ ）
A．-1- i B．-1+ i C．- +i D．- -i
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
4．（2021·全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（ ）（ ≈1.259）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=，
所以
故答案为：C
【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.
5．（2021·全国甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由 |PF1|=3|PF2| ， |PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a
在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°
解得
所以
故答案为：A
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.
6．（2021·全国甲卷）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单空间图形的三视图；由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，
则侧视图是
故答案为：D
【分析】根据三视图的画法求解即可.
7．（2021·全国甲卷）等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙:｛Sn｝是递増数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a1=-1，q=2时，{Sn}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；
当{Sn}是递增数列时，an+1=Sn+1-Sn>0，即a1qn>0，则q>0，所以甲是乙的必要条件；
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.
故答案为：B
【分析】根据充要条件的判定，结合等比数列的性质求解即可.
8．（2021·全国甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B，C在同一水平而上的投影A’，B’，C'满足 .由c点测得B点的仰角为15°，曲， 与 的差为100 ：由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面 的高度差 约为（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【知识点】正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过C作BB'的垂线交BB'于点M，过B作AA'的垂线交AA'于点N，
设B'C'=CM=m，A'B'=BN=n，
在△A'B'C'中，由正弦定理得，
在△BCM中，由正弦定理得，
则，解得，
得A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'≈273+100=373.
故答案为：B
【分析】根据正弦定理求解即可.
9．（2021·全国甲卷）若 , ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意得 ，
则，解得sinα=，
又因为 , 所以
所以
故答案为：A
【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.
10．（2021·全国甲卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解： 将4个1和2个0随机排成一行 共有种排法，
先将4个1全排列，再用插空法将2个0插入进行排列，共有种排法，
则所求概率为
故答案为：C
【分析】根据古典概型，结合插空法求解即可.
11．（2021·全国甲卷）已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球面距离及相关计算；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：记△ABC的外接圆圆心为O1，由AC⊥BC，AC=BC=1知O1为AB的中点，且，
又球的半径为1，所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2，，
则OO12+O1C2=OC2
则OO1⊥O1C，OO1⊥AB，
所以OO1⊥平面ABC，
所以
故答案为：A
【分析】根据直角三角形的几何性质，结合三棱锥的外接球的性质，运用三棱锥的体积公式直接求解即可.
12．（2021·全国甲卷）设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当 时， .若 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，则b=-a，
又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0，
由f(0)+f(3)=6得a=-2，
所以
故答案为：D
【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的性质求解即可.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2021·全国甲卷）曲线 在点（-1，-3）处的切线方程为 。
【答案】5x-y+2=0
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由题意得，所以在点（-1，-3）处的切线斜率k=5，故切线方程为y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0
故答案为：5x-y+2=0
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.
14．（2021·全国甲卷）已知向量a=(3,1)，b=(1,0)， ，若a⊥c，则k= 。
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：，
由得，解得
故答案为：
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.
15．（2021·全国甲卷）已知F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形PF1QF2的面积为 。
【答案】8
【知识点】椭圆的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
16．（2021·全国甲卷）已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件 的最小正整数x为 。
【答案】2
【知识点】一元二次不等式及其解法；余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由得T=π，ω=2
将点代入，得
则，
所以
所以
等价于
则或
由图象得最小整数，
所以x=2
故答案为：2
【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.
三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（2021·全国甲卷） 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异
附：
【答案】（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：
乙机床生产的产品中一级品的频率是：
（2）由于
所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
【知识点】频率分布表；独立性检验；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；
（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.
18．（2021·全国甲卷）已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an｝是等差数列：②数列{ ｝是等差数列；③a2=3a1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】选①②作条件证明③：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ，所以 .
选①③作条件证明②：
因为 ， 是等差数列，
所以公差 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；
当 时， ， 不合题意，舍去.
综上可知 为等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明 ③：根据等差数列的定义得出 ，且 也是等差数列 ， 进一步递推出 ③ ；
若选 ①③作条件证明②： 由 ，显然 再写出前n项的和与a1，n的关系式 ，进而证明 是等差数列.；
选②③作条件证明①： 先设 ，进一步形为 ， 再根据 an与sn的关系，分ｎ为1，n>1，推导出 ，显然 为等差数列 。
19．（2021·全国甲卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.
（1） 证明：BF⊥DE；
（2）当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
【答案】（1）因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ，所以
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 平面 ．
所以 两两垂直．
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图．
所以 ，
．
由题设 （ ）．
因为 ，
所以 ，所以 ．
（2）设平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，即 ．
令 ，则
因为平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的二面角的平面角为 ，
则 ．
当 时， 取最小值为 ，
此时 取最大值为 ．
所以 ，
此时 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据条件，先证明 两两垂直 ，再建立如图所示空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量证明 ．
（2）先设 设出平面 平面 的法向量及 平面 的法向量 ，分别求出二法向量，再由向量的夹角公式，得到夹角余弦值，当其值最大时正弦值最小，确定此时的ａ值即为B1D的值。
20．（2021·全国甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2，0），且 M与L相切，
（1）求 M的方程；
（2）设A1，A2，A3，是C上的三个点，直线A1 A2，A1 A3均与 M相切，判断A2A3与 M的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
【知识点】平面向量的综合题；圆的标准方程；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1） 先设抛物线的方程 由对称性，可知 ， 进而由 可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知，且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（2）先设出三点的坐标，分 斜率不存在及 直线 斜率均存在讨论， 分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
21．（2021·全国甲卷）已知a＞0且a≠1，函数f（x）= （x＞0），
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）若曲线y= f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
【答案】（1）当 时， ，
令 得 ，当 时， ，当 时， ，
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
（2） ，设函数 ，
则 ，令 ，得 ，
在 内 ， 单调递增；
在 上 ， 单调递减；
，
又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要条件是 ，这即是 ，
所以 的取值范围是 .
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）当ａ＝2时，函数 用导数研究其单调性；
（2）首先将问题转化为方程有两个解的问题，进一步转化为函数与函数有两听问题，然后利用导数研究相关函数的单调性及函数的最大值，进而得到结果。
四、选修4一4：坐标系与参数方程］
22．（2021·全国甲卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 =2 cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足 = ，写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
【答案】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ；
（2）设 ，设
，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线C与 没有公共点.
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）先将 两边平方 可得 ，然后用 替换即可得到C的直角坐标方程；
（2）先 设 及M 再由 ，建立ｘ，ｙ与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。
五、[选修4一5：不等式选讲]
23．（2021·全国甲卷）已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.
（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；
（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围.
【答案】（1）可得 ，画出图像如下：
，画出函数图象如下：
（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等式的综合
【解析】【分析】（1）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；
（2）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与 f（x）图象的关系），由 f（x+a）≥g（x）， 确定a的取值范围。
1 / 12021年高考理数真题试卷（全国甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·全国甲卷）设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x| ≤x≤5｝，则M∩N=（ ）
A．｛x|0＜x≤ ｝ B．｛x| ≤x＜4｝
C．｛x|4≤x＜5｝ D．｛x|0＜x≤5｝
2．（2021·全国甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3．（2021·全国甲卷）已知 ，则z=（ ）
A．-1- i B．-1+ i C．- +i D．- -i
4．（2021·全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（ ）（ ≈1.259）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
5．（2021·全国甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国甲卷）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·全国甲卷）等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙:｛Sn｝是递増数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．（2021·全国甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B，C在同一水平而上的投影A’，B’，C'满足 .由c点测得B点的仰角为15°，曲， 与 的差为100 ：由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面 的高度差 约为（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
9．（2021·全国甲卷）若 , ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全国甲卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全国甲卷）已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·全国甲卷）设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当 时， .若 ,则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2021·全国甲卷）曲线 在点（-1，-3）处的切线方程为 。
14．（2021·全国甲卷）已知向量a=(3,1)，b=(1,0)， ，若a⊥c，则k= 。
15．（2021·全国甲卷）已知F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形PF1QF2的面积为 。
16．（2021·全国甲卷）已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件 的最小正整数x为 。
三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（2021·全国甲卷） 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异
附：
18．（2021·全国甲卷）已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an｝是等差数列：②数列{ ｝是等差数列；③a2=3a1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
19．（2021·全国甲卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.
（1） 证明：BF⊥DE；
（2）当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
20．（2021·全国甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2，0），且 M与L相切，
（1）求 M的方程；
（2）设A1，A2，A3，是C上的三个点，直线A1 A2，A1 A3均与 M相切，判断A2A3与 M的位置关系，并说明理由.
21．（2021·全国甲卷）已知a＞0且a≠1，函数f（x）= （x＞0），
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）若曲线y= f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
四、选修4一4：坐标系与参数方程］
22．（2021·全国甲卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 =2 cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足 = ，写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
五、[选修4一5：不等式选讲]
23．（2021·全国甲卷）已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.
（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；
（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：M∩N即求集合M,N的公共元素，所以M∩N={x|≤x﹤4}，
故答案为：B
【分析】根据交集的定义求解即可.
2．【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确；
对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%，故B正确；
对于D，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5，故D正确
故不正确的是C
故答案为：C
【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.
3．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
4．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=，
所以
故答案为：C
【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.
5．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由 |PF1|=3|PF2| ， |PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a
在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°
解得
所以
故答案为：A
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.
6．【答案】D
【知识点】简单空间图形的三视图；由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，
则侧视图是
故答案为：D
【分析】根据三视图的画法求解即可.
7．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a1=-1，q=2时，{Sn}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；
当{Sn}是递增数列时，an+1=Sn+1-Sn>0，即a1qn>0，则q>0，所以甲是乙的必要条件；
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.
故答案为：B
【分析】根据充要条件的判定，结合等比数列的性质求解即可.
8．【答案】B
【知识点】正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过C作BB'的垂线交BB'于点M，过B作AA'的垂线交AA'于点N，
设B'C'=CM=m，A'B'=BN=n，
在△A'B'C'中，由正弦定理得，
在△BCM中，由正弦定理得，
则，解得，
得A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'≈273+100=373.
故答案为：B
【分析】根据正弦定理求解即可.
9．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意得 ，
则，解得sinα=，
又因为 , 所以
所以
故答案为：A
【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.
10．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解： 将4个1和2个0随机排成一行 共有种排法，
先将4个1全排列，再用插空法将2个0插入进行排列，共有种排法，
则所求概率为
故答案为：C
【分析】根据古典概型，结合插空法求解即可.
11．【答案】A
【知识点】球面距离及相关计算；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：记△ABC的外接圆圆心为O1，由AC⊥BC，AC=BC=1知O1为AB的中点，且，
又球的半径为1，所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2，，
则OO12+O1C2=OC2
则OO1⊥O1C，OO1⊥AB，
所以OO1⊥平面ABC，
所以
故答案为：A
【分析】根据直角三角形的几何性质，结合三棱锥的外接球的性质，运用三棱锥的体积公式直接求解即可.
12．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，则b=-a，
又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0，
由f(0)+f(3)=6得a=-2，
所以
故答案为：D
【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的性质求解即可.
13．【答案】5x-y+2=0
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由题意得，所以在点（-1，-3）处的切线斜率k=5，故切线方程为y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0
故答案为：5x-y+2=0
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：，
由得，解得
故答案为：
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.
15．【答案】8
【知识点】椭圆的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
16．【答案】2
【知识点】一元二次不等式及其解法；余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由得T=π，ω=2
将点代入，得
则，
所以
所以
等价于
则或
由图象得最小整数，
所以x=2
故答案为：2
【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.
17．【答案】（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：
乙机床生产的产品中一级品的频率是：
（2）由于
所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
【知识点】频率分布表；独立性检验；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；
（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.
18．【答案】选①②作条件证明③：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ，所以 .
选①③作条件证明②：
因为 ， 是等差数列，
所以公差 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；
当 时， ， 不合题意，舍去.
综上可知 为等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明 ③：根据等差数列的定义得出 ，且 也是等差数列 ， 进一步递推出 ③ ；
若选 ①③作条件证明②： 由 ，显然 再写出前n项的和与a1，n的关系式 ，进而证明 是等差数列.；
选②③作条件证明①： 先设 ，进一步形为 ， 再根据 an与sn的关系，分ｎ为1，n>1，推导出 ，显然 为等差数列 。
19．【答案】（1）因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ，所以
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 平面 ．
所以 两两垂直．
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图．
所以 ，
．
由题设 （ ）．
因为 ，
所以 ，所以 ．
（2）设平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，即 ．
令 ，则
因为平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的二面角的平面角为 ，
则 ．
当 时， 取最小值为 ，
此时 取最大值为 ．
所以 ，
此时 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据条件，先证明 两两垂直 ，再建立如图所示空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量证明 ．
（2）先设 设出平面 平面 的法向量及 平面 的法向量 ，分别求出二法向量，再由向量的夹角公式，得到夹角余弦值，当其值最大时正弦值最小，确定此时的ａ值即为B1D的值。
20．【答案】（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
【知识点】平面向量的综合题；圆的标准方程；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1） 先设抛物线的方程 由对称性，可知 ， 进而由 可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知，且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（2）先设出三点的坐标，分 斜率不存在及 直线 斜率均存在讨论， 分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
21．【答案】（1）当 时， ，
令 得 ，当 时， ，当 时， ，
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
（2） ，设函数 ，
则 ，令 ，得 ，
在 内 ， 单调递增；
在 上 ， 单调递减；
，
又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要条件是 ，这即是 ，
所以 的取值范围是 .
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）当ａ＝2时，函数 用导数研究其单调性；
（2）首先将问题转化为方程有两个解的问题，进一步转化为函数与函数有两听问题，然后利用导数研究相关函数的单调性及函数的最大值，进而得到结果。
22．【答案】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ；
（2）设 ，设
，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线C与 没有公共点.
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）先将 两边平方 可得 ，然后用 替换即可得到C的直角坐标方程；
（2）先 设 及M 再由 ，建立ｘ，ｙ与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。
23．【答案】（1）可得 ，画出图像如下：
，画出函数图象如下：
（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等式的综合
【解析】【分析】（1）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；
（2）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与 f（x）图象的关系），由 f（x+a）≥g（x）， 确定a的取值范围。
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