2021年高考文数真题试卷（全国甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·全国甲卷）设集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由2x>7，得，故，
则根据交集的定义易得M∩N={5，7，9}.
故答案为：B
【分析】根据交集的定义求解即可.
2．（2021·全国甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确；
对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%，故B正确；
对于D，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5，故D正确
故不正确的是C
故答案为：C
【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.
3．（2021·全国甲卷）已知 ，则z=（ ）
A．-1- i B．-1+ i C．- +i D．- -i
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
4．（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A，考察函数f(x)=kx，易知当x<0时，y=kx单调递减，故A错误；
对于B，考察函数f(x)=ax，易知当0
对于C，考察函数f(x)=x2，易知当x<0时，f(x)=x2单调递减，当x>0时，f(x)=x2单调递增，故C错误；
对于D，考察函数，易知f(x)=ax单调递增，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据正比例函数，指数函数，二次函数，幂函数的单调性之间求解即可.
5．（2021·全国甲卷）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨取双曲线的一条渐近线为：，即3x-4y=0，
则所求距离为
故答案为：A
【分析】根据双曲线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
6．（2021·全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（ ）（ ≈1.259）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=，
所以
故答案为：C
【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.
7．（2021·全国甲卷）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单空间图形的三视图；由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，
则侧视图是
故答案为：D
【分析】根据三视图的画法求解即可.
8．（2021·全国甲卷）在 中，已知 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【知识点】余弦定理；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°，
即19=4+BC2+2BC
即BC2+2BC-15=0
解得BC=3或BC=-5(舍去)
故BC=3
故答案为：D
【分析】由余弦定理直接求解即可.
9．（2021·全国甲卷）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】由题意知S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，
即4，2，S6-6成等比数列，
则4×（S6-6）=22
解得S6=7
故答案为：A
【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.
10．（2021·全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合；排列与组合的综合
【解析】【解答】解： 3个1和2个0随机排成一行 一共有以下10种排法：
11100，11010，11001，10110，10101，10011，01110，01101，01011，00111
其中 2个0不相邻 共有6种，
所以所求概率为
【分析】根据古典概型，结合列举法求解即可.
11．（2021·全国甲卷）若 , ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意得 ，
则，解得sinα=，
又因为 , 所以
所以
故答案为：A
【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.
12．（2021·全国甲卷）设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f（-x）．若 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇函数；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为 f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f－x)，
所以
故答案为：C
【分析】根据奇函数的性质，结合题设中函数的性质求解即可.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2021·全国甲卷）若向量 满足| |＝3，| |＝5， ＝1，则| |＝ ．
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由得
即9-2×1+=25
解得
故答案为：
【分析】根据向量的运算法则求解即可.
14．（2021·全国甲卷）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】39π
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
则底面面积S=πr2=36π，
则由得，
则
故圆锥的侧面积为
【分析】根据圆锥的特征，结合圆锥的体积与侧面积公式求解即可.
15．（2021·全国甲卷）已知函数 的部分图像如图所示，则 ＝ ．
【答案】
【知识点】余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由题意得，则T=π，ω=2，所以,
将点代入得，则，
则，故，
所以，
所以，
故答案为：
【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.
16．（2021·全国甲卷）已知F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形PF1QF2的面积为 。
【答案】8
【知识点】椭圆的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（2021·全国甲卷） 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异
附：
【答案】（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：
乙机床生产的产品中一级品的频率是：
（2）由于
所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
【知识点】频率分布表；独立性检验；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；
（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.
18．（2021·全国甲卷）记 为 的前 项和，已知 ，且数列 是等差数列．证明： 是等差数列．
【答案】∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】由 数列 是等差数列 ，及 ，即可得到 等差数列 的公差 ，从而得到 ， ，进一步根据ａｎ与ｓｎ的关系，以及等差数列的定义，证明
是等差数列.
19．（2021·全国甲卷）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形． 分别为 和 的中点， ．
（1）求三棱锥F－EBC的体积；
（2）已知 为棱 上的点，证明： ．
【答案】（1）如图所示，连结AF，
由题意可得： ，
由于AB⊥BB1，BC⊥AB， ，故 平面 ，
而 平面 ，故 ，
从而有 ，
从而 ，
则 ， 为等腰直角三角形，
， .
（2）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ，如图所示，取棱 的中点 ，连结 ，
正方形 中， 为中点，则 ，
又 ，
故 平面 ，而 平面 ，
从而 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1） 连结AF ，通过计算得出AC线段的长度， 得到 ，
进一步可以计算出 F－EBC的体积；
（2） 由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ， 取棱 的中点 ，连结 ， 通过证明 平面 ，而得到 DE.
20．（2021·全国甲卷）设函数 ，其中a>0．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
【答案】（1）函数的定义域为 ，
又 ，
因为 ，故 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 的减区间为 ，增区间为 .
（2）因为 且 的图与 轴没有公共点，
所以 的图象在 轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得 ，
故 即 .
【知识点】函数单调性的性质；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【分析】（1）先明确函数的定义域，先对函数求导，然后根据a的取值，讨论导数年的正负，来确定函数的单调区间；
（2）首先注意到 且 的图与 轴没有公共点这一特点，表明 的图象在 轴的上方，求函数f(x)的最小值，只要最小值大于0即可， 解不等式，即可得到结果。
21．（2021·全国甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2，0），且 M与L相切，
（1）求 M的方程；
（2）设A1，A2，A3，是C上的三个点，直线A1 A2，A1 A3均与 M相切，判断A2A3与 M的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
【知识点】平面向量的综合题；圆的标准方程；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1） 先设抛物线的方程 由对称性，可知 ， 进而由 可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知，且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（2）先设出三点的坐标，分 斜率不存在及 直线 斜率均存在讨论， 分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
四、[选修4－4：坐标系与参数方程]。
22．（2021·全国甲卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 =2 cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足 = ，写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
【答案】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ；
（2）设 ，设
，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线C与 没有公共点.
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）先将 两边平方 可得 ，然后用 替换即可得到C的直角坐标方程；
（2）先 设 及M 再由 ，建立ｘ，ｙ与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。
五、[选修4－5：不等式选讲]
23．（2021·全国甲卷）已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.
（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；
（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围.
【答案】（1）可得 ，画出图像如下：
，画出函数图象如下：
（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等式的综合
【解析】【分析】（1）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；
（2）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与 f（x）图象的关系），由 f（x+a）≥g（x）， 确定a的取值范围。
1 / 12021年高考文数真题试卷（全国甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·全国甲卷）设集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3．（2021·全国甲卷）已知 ，则z=（ ）
A．-1- i B．-1+ i C．- +i D．- -i
4．（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国甲卷）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（ ）（ ≈1.259）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
7．（2021·全国甲卷）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·全国甲卷）在 中，已知 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
9．（2021·全国甲卷）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2021·全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
11．（2021·全国甲卷）若 , ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2021·全国甲卷）设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f（-x）．若 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2021·全国甲卷）若向量 满足| |＝3，| |＝5， ＝1，则| |＝ ．
14．（2021·全国甲卷）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为 ．
15．（2021·全国甲卷）已知函数 的部分图像如图所示，则 ＝ ．
16．（2021·全国甲卷）已知F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形PF1QF2的面积为 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（2021·全国甲卷） 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异
附：
18．（2021·全国甲卷）记 为 的前 项和，已知 ，且数列 是等差数列．证明： 是等差数列．
19．（2021·全国甲卷）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形． 分别为 和 的中点， ．
（1）求三棱锥F－EBC的体积；
（2）已知 为棱 上的点，证明： ．
20．（2021·全国甲卷）设函数 ，其中a>0．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
21．（2021·全国甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2，0），且 M与L相切，
（1）求 M的方程；
（2）设A1，A2，A3，是C上的三个点，直线A1 A2，A1 A3均与 M相切，判断A2A3与 M的位置关系，并说明理由.
四、[选修4－4：坐标系与参数方程]。
22．（2021·全国甲卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 =2 cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足 = ，写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
五、[选修4－5：不等式选讲]
23．（2021·全国甲卷）已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.
（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；
（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由2x>7，得，故，
则根据交集的定义易得M∩N={5，7，9}.
故答案为：B
【分析】根据交集的定义求解即可.
2．【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确；
对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%，故B正确；
对于D，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5，故D正确
故不正确的是C
故答案为：C
【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.
3．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
4．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A，考察函数f(x)=kx，易知当x<0时，y=kx单调递减，故A错误；
对于B，考察函数f(x)=ax，易知当0对于C，考察函数f(x)=x2，易知当x<0时，f(x)=x2单调递减，当x>0时，f(x)=x2单调递增，故C错误；
对于D，考察函数，易知f(x)=ax单调递增，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据正比例函数，指数函数，二次函数，幂函数的单调性之间求解即可.
5．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨取双曲线的一条渐近线为：，即3x-4y=0，
则所求距离为
故答案为：A
【分析】根据双曲线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=，
所以
故答案为：C
【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.
7．【答案】D
【知识点】简单空间图形的三视图；由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，
则侧视图是
故答案为：D
【分析】根据三视图的画法求解即可.
8．【答案】D
【知识点】余弦定理；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°，
即19=4+BC2+2BC
即BC2+2BC-15=0
解得BC=3或BC=-5(舍去)
故BC=3
故答案为：D
【分析】由余弦定理直接求解即可.
9．【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】由题意知S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，
即4，2，S6-6成等比数列，
则4×（S6-6）=22
解得S6=7
故答案为：A
【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.
10．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合；排列与组合的综合
【解析】【解答】解： 3个1和2个0随机排成一行 一共有以下10种排法：
11100，11010，11001，10110，10101，10011，01110，01101，01011，00111
其中 2个0不相邻 共有6种，
所以所求概率为
【分析】根据古典概型，结合列举法求解即可.
11．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意得 ，
则，解得sinα=，
又因为 , 所以
所以
故答案为：A
【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.
12．【答案】C
【知识点】奇函数；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为 f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f－x)，
所以
故答案为：C
【分析】根据奇函数的性质，结合题设中函数的性质求解即可.
13．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由得
即9-2×1+=25
解得
故答案为：
【分析】根据向量的运算法则求解即可.
14．【答案】39π
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
则底面面积S=πr2=36π，
则由得，
则
故圆锥的侧面积为
【分析】根据圆锥的特征，结合圆锥的体积与侧面积公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由题意得，则T=π，ω=2，所以,
将点代入得，则，
则，故，
所以，
所以，
故答案为：
【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.
16．【答案】8
【知识点】椭圆的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
17．【答案】（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：
乙机床生产的产品中一级品的频率是：
（2）由于
所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
【知识点】频率分布表；独立性检验；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；
（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.
18．【答案】∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】由 数列 是等差数列 ，及 ，即可得到 等差数列 的公差 ，从而得到 ， ，进一步根据ａｎ与ｓｎ的关系，以及等差数列的定义，证明
是等差数列.
19．【答案】（1）如图所示，连结AF，
由题意可得： ，
由于AB⊥BB1，BC⊥AB， ，故 平面 ，
而 平面 ，故 ，
从而有 ，
从而 ，
则 ， 为等腰直角三角形，
， .
（2）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ，如图所示，取棱 的中点 ，连结 ，
正方形 中， 为中点，则 ，
又 ，
故 平面 ，而 平面 ，
从而 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1） 连结AF ，通过计算得出AC线段的长度， 得到 ，
进一步可以计算出 F－EBC的体积；
（2） 由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ， 取棱 的中点 ，连结 ， 通过证明 平面 ，而得到 DE.
20．【答案】（1）函数的定义域为 ，
又 ，
因为 ，故 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 的减区间为 ，增区间为 .
（2）因为 且 的图与 轴没有公共点，
所以 的图象在 轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得 ，
故 即 .
【知识点】函数单调性的性质；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【分析】（1）先明确函数的定义域，先对函数求导，然后根据a的取值，讨论导数年的正负，来确定函数的单调区间；
（2）首先注意到 且 的图与 轴没有公共点这一特点，表明 的图象在 轴的上方，求函数f(x)的最小值，只要最小值大于0即可， 解不等式，即可得到结果。
21．【答案】（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
【知识点】平面向量的综合题；圆的标准方程；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1） 先设抛物线的方程 由对称性，可知 ， 进而由 可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知，且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（2）先设出三点的坐标，分 斜率不存在及 直线 斜率均存在讨论， 分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
22．【答案】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ；
（2）设 ，设
，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线C与 没有公共点.
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）先将 两边平方 可得 ，然后用 替换即可得到C的直角坐标方程；
（2）先 设 及M 再由 ，建立ｘ，ｙ与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。
23．【答案】（1）可得 ，画出图像如下：
，画出函数图象如下：
（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等式的综合
【解析】【分析】（1）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；
（2）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与 f（x）图象的关系），由 f（x+a）≥g（x）， 确定a的取值范围。
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