2021年高考文数真题试卷(全国甲卷)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(2021·全国甲卷)设集合 ,则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解:由2x>7,得,故,
则根据交集的定义易得M∩N={5,7,9}.
故答案为:B
【分析】根据交集的定义求解即可.
2.(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解:对于A,由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%,故A正确;
对于B,由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%,故B正确;
对于D,由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5,故D正确
故不正确的是C
故答案为:C
【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.
3.(2021·全国甲卷)已知 ,则z=( )
A.-1- i B.-1+ i C.- +i D.- -i
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解:
故答案为:B
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
4.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间;函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解:对于A,考察函数f(x)=kx,易知当x<0时,y=kx单调递减,故A错误;
对于B,考察函数f(x)=ax,易知当0
对于C,考察函数f(x)=x2,易知当x<0时,f(x)=x2单调递减,当x>0时,f(x)=x2单调递增,故C错误;
对于D,考察函数,易知f(x)=ax单调递增,故D正确.
故答案为:D
【分析】根据正比例函数,指数函数,二次函数,幂函数的单调性之间求解即可.
5.(2021·全国甲卷)点 到双曲线 的一条渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式;双曲线的简单性质
【解析】【解答】解:不妨取双曲线的一条渐近线为:,即3x-4y=0,
则所求距离为
故答案为:A
【分析】根据双曲线的几何性质,结合点到直线的距离公式求解即可.
6.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记数法的数据约为( )( ≈1.259)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化;对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解:由题意得,将L=4.9代入l=5+lgV,得lgV=-0.1=,
所以
故答案为:C
【分析】根据对数的运算法则,结合对数式与指数式的互化求解即可.
7.(2021·全国甲卷)在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体的三视图中,正试图如右图所示,则相应的侧视图是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】简单空间图形的三视图;由三视图还原实物图
【解析】【解答】解:由题意得正方体如图所示,
则侧视图是
故答案为:D
【分析】根据三视图的画法求解即可.
8.(2021·全国甲卷)在 中,已知 ,则 ( )
A.1 B. C. D.3
【答案】D
【知识点】余弦定理;余弦定理的应用
【解析】【解答】解:由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°,
即19=4+BC2+2BC
即BC2+2BC-15=0
解得BC=3或BC=-5(舍去)
故BC=3
故答案为:D
【分析】由余弦定理直接求解即可.
9.(2021·全国甲卷)记 为等比数列 的前 项和.若 ,则 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,
即4,2,S6-6成等比数列,
则4×(S6-6)=22
解得S6=7
故答案为:A
【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.
10.(2021·全国甲卷)将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( )
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式;简单计数与排列组合;排列与组合的综合
【解析】【解答】解: 3个1和2个0随机排成一行 一共有以下10种排法:
11100,11010,11001,10110,10101,10011,01110,01101,01011,00111
其中 2个0不相邻 共有6种,
所以所求概率为
【分析】根据古典概型,结合列举法求解即可.
11.(2021·全国甲卷)若 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系;同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解:由题意得 ,
则,解得sinα=,
又因为 , 所以
所以
故答案为:A
【分析】根据二倍角公式,结合同角三角函数基本关系求解即可.
12.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】奇函数;奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解:因为 f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f-x),
所以
故答案为:C
【分析】根据奇函数的性质,结合题设中函数的性质求解即可.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(2021·全国甲卷)若向量 满足| |=3,| |=5, =1,则| |= .
【答案】
【知识点】向量的模;平面向量的线性运算
【解析】【解答】解:由得
即9-2×1+=25
解得
故答案为:
【分析】根据向量的运算法则求解即可.
14.(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为 .
【答案】39π
【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征
【解析】【解答】解:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,
则底面面积S=πr2=36π,
则由得,
则
故圆锥的侧面积为
【分析】根据圆锥的特征,结合圆锥的体积与侧面积公式求解即可.
15.(2021·全国甲卷)已知函数 的部分图像如图所示,则 = .
【答案】
【知识点】余弦函数的图象
【解析】【解答】解:由题意得,则T=π,ω=2,所以,
将点代入得,则,
则,故,
所以,
所以,
故答案为:
【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.
16.(2021·全国甲卷)已知F1,F2为椭圆C: 的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且 ,则四边形PF1QF2的面积为 。
【答案】8
【知识点】椭圆的定义;三角形中的几何计算
【解析】【解答】解:由|PQ|=|F1F2|,得|OP|=|F1F2|,所以PF1⊥PF2,
所以
故答案为:8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质,结合三角形的面积公式求解即可
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
17.(2021·全国甲卷) 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异
附:
【答案】(1)(1)由题意可知:甲机床生产的产品中一级品的频率是:
乙机床生产的产品中一级品的频率是:
(2)由于
所以,有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
【知识点】频率分布表;独立性检验;独立性检验的应用
【解析】【分析】(1)根据频率=频数/总体直接求解即可;
(2)根据独立性检验的方法直接求解即可.
18.(2021·全国甲卷)记 为 的前 项和,已知 ,且数列 是等差数列.证明: 是等差数列.
【答案】∵数列 是等差数列,设公差为
∴ ,
∴ ,
∴当 时,
当 时, ,满足 ,
∴ 的通项公式为 ,
∴
∴ 是等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法;等差数列的通项公式;等差数列的前n项和
【解析】【分析】由 数列 是等差数列 ,及 ,即可得到 等差数列 的公差 ,从而得到 , ,进一步根据an与sn的关系,以及等差数列的定义,证明
是等差数列.
19.(2021·全国甲卷)已知直三棱柱 中,侧面 为正方形. 分别为 和 的中点, .
(1)求三棱锥F-EBC的体积;
(2)已知 为棱 上的点,证明: .
【答案】(1)如图所示,连结AF,
由题意可得: ,
由于AB⊥BB1,BC⊥AB, ,故 平面 ,
而 平面 ,故 ,
从而有 ,
从而 ,
则 , 为等腰直角三角形,
, .
(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ,如图所示,取棱 的中点 ,连结 ,
正方形 中, 为中点,则 ,
又 ,
故 平面 ,而 平面 ,
从而 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1) 连结AF ,通过计算得出AC线段的长度, 得到 ,
进一步可以计算出 F-EBC的体积;
(2) 由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 , 取棱 的中点 ,连结 , 通过证明 平面 ,而得到 DE.
20.(2021·全国甲卷)设函数 ,其中a>0.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点,求a的取值范围.
【答案】(1)函数的定义域为 ,
又 ,
因为 ,故 ,
当 时, ;当 时, ;
所以 的减区间为 ,增区间为 .
(2)因为 且 的图与 轴没有公共点,
所以 的图象在 轴的上方,
由(1)中函数的单调性可得 ,
故 即 .
【知识点】函数单调性的性质;函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【分析】(1)先明确函数的定义域,先对函数求导,然后根据a的取值,讨论导数年的正负,来确定函数的单调区间;
(2)首先注意到 且 的图与 轴没有公共点这一特点,表明 的图象在 轴的上方,求函数f(x)的最小值,只要最小值大于0即可, 解不等式,即可得到结果。
21.(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线L:x = 1交C于P,Q两点,且OP丄OQ.已知点M(2,0),且 M与L相切,
(1)求 M的方程;
(2)设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1 A2,A1 A3均与 M相切,判断A2A3与 M的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)依题意设抛物线 ,
,
所以抛物线 的方程为 ,
与 相切,所以半径为 ,
所以 的方程为 ;
(2)设
若 斜率不存在,则 方程为 或 ,
若 方程为 ,根据对称性不妨设 ,
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ,
此时该直线与抛物线只有一个交点,即不存在 ,不合题意;
若 方程为 ,根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ,
又 ,
,此时直线 关于 轴对称,
所以直线 与圆 相切;
若直线 斜率均存在,
则 ,
所以直线 方程为 ,
整理得 ,
同理直线 的方程为 ,
直线 的方程为 ,
与圆 相切,
整理得 ,
与圆 相切,同理
所以 为方程 的两根,
,
到直线 的距离为:
,
所以直线 与圆 相切;
综上若直线 与圆 相切,则直线 与圆 相切.
【知识点】平面向量的综合题;圆的标准方程;点的极坐标和直角坐标的互化;圆的参数方程
【解析】【分析】(1) 先设抛物线的方程 由对称性,可知 , 进而由 可以很容易求出抛物线的P值,进而写出抛物线的方程;
由于圆M的圆心已知,且与x=1相切,立刻知道半径,故很容易求得M的方程;
(2)先设出三点的坐标,分 斜率不存在及 直线 斜率均存在讨论, 分别写出相应的直线方程,根据相关直线与圆相切的条件,分别代入抛物线方程,利用达定理,点到直线距离公式等知识,推导结论。
四、[选修4-4:坐标系与参数方程]。
22.(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为 =2 cosθ.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满足 = ,写出 P的轨迹C1的参数方程,并判断C与C1是否有公共点.
【答案】(1)由曲线C的极坐标方程 可得 ,
将 代入可得 ,即 ,
即曲线C的直角坐标方程为 ;
(2)设 ,设
,
,
则 ,即 ,
故P的轨迹 的参数方程为 ( 为参数)
曲线C的圆心为 ,半径为 ,曲线 的圆心为 ,半径为2,
则圆心距为 , , 两圆内含,
故曲线C与 没有公共点.
【知识点】圆的标准方程;圆与圆的位置关系及其判定;点的极坐标和直角坐标的互化;圆的参数方程
【解析】【分析】(1)先将 两边平方 可得 ,然后用 替换即可得到C的直角坐标方程;
(2)先 设 及M 再由 ,建立x,y与的关系式,此即点P的轨迹C1的参数方程,进一步化成直角方程(圆),最后根据两圆圆心距,判断位置关系。
五、[选修4-5:不等式选讲]
23.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=|x-2|, g(x) =|2x + 3|-|2x-1|.
(1)画出f(x)和y=g(x)的图像;
(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.
【答案】(1)可得 ,画出图像如下:
,画出函数图象如下:
(2) ,
如图,在同一个坐标系里画出 图像,
是 平移了 个单位得到,
则要使 ,需将 向左平移,即 ,
当 过 时, ,解得 或 (舍去),
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位, .
【知识点】函数的图象与图象变化;分段函数的解析式求法及其图象的作法;不等式的综合
【解析】【分析】(1)先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式,然后分段作图;
(2)将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内,(注意f(x+a)与 f(x)图象的关系),由 f(x+a)≥g(x), 确定a的取值范围。
1 / 12021年高考文数真题试卷(全国甲卷)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(2021·全国甲卷)设集合 ,则 ( )
A. B.
C. D.
2.(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.(2021·全国甲卷)已知 ,则z=( )
A.-1- i B.-1+ i C.- +i D.- -i
4.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为( )
A. B. C. D.
5.(2021·全国甲卷)点 到双曲线 的一条渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
6.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记数法的数据约为( )( ≈1.259)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
7.(2021·全国甲卷)在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体的三视图中,正试图如右图所示,则相应的侧视图是( )
A. B.
C. D.
8.(2021·全国甲卷)在 中,已知 ,则 ( )
A.1 B. C. D.3
9.(2021·全国甲卷)记 为等比数列 的前 项和.若 ,则 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
10.(2021·全国甲卷)将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( )
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8
11.(2021·全国甲卷)若 , ,则 ( )
A. B. C. D.
12.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若 ( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(2021·全国甲卷)若向量 满足| |=3,| |=5, =1,则| |= .
14.(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为 .
15.(2021·全国甲卷)已知函数 的部分图像如图所示,则 = .
16.(2021·全国甲卷)已知F1,F2为椭圆C: 的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且 ,则四边形PF1QF2的面积为 。
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
17.(2021·全国甲卷) 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异
附:
18.(2021·全国甲卷)记 为 的前 项和,已知 ,且数列 是等差数列.证明: 是等差数列.
19.(2021·全国甲卷)已知直三棱柱 中,侧面 为正方形. 分别为 和 的中点, .
(1)求三棱锥F-EBC的体积;
(2)已知 为棱 上的点,证明: .
20.(2021·全国甲卷)设函数 ,其中a>0.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点,求a的取值范围.
21.(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线L:x = 1交C于P,Q两点,且OP丄OQ.已知点M(2,0),且 M与L相切,
(1)求 M的方程;
(2)设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1 A2,A1 A3均与 M相切,判断A2A3与 M的位置关系,并说明理由.
四、[选修4-4:坐标系与参数方程]。
22.(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为 =2 cosθ.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满足 = ,写出 P的轨迹C1的参数方程,并判断C与C1是否有公共点.
五、[选修4-5:不等式选讲]
23.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=|x-2|, g(x) =|2x + 3|-|2x-1|.
(1)画出f(x)和y=g(x)的图像;
(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解:由2x>7,得,故,
则根据交集的定义易得M∩N={5,7,9}.
故答案为:B
【分析】根据交集的定义求解即可.
2.【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解:对于A,由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%,故A正确;
对于B,由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%,故B正确;
对于D,由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5,故D正确
故不正确的是C
故答案为:C
【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.
3.【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解:
故答案为:B
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
4.【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间;函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解:对于A,考察函数f(x)=kx,易知当x<0时,y=kx单调递减,故A错误;
对于B,考察函数f(x)=ax,易知当0对于C,考察函数f(x)=x2,易知当x<0时,f(x)=x2单调递减,当x>0时,f(x)=x2单调递增,故C错误;
对于D,考察函数,易知f(x)=ax单调递增,故D正确.
故答案为:D
【分析】根据正比例函数,指数函数,二次函数,幂函数的单调性之间求解即可.
5.【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式;双曲线的简单性质
【解析】【解答】解:不妨取双曲线的一条渐近线为:,即3x-4y=0,
则所求距离为
故答案为:A
【分析】根据双曲线的几何性质,结合点到直线的距离公式求解即可.
6.【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化;对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解:由题意得,将L=4.9代入l=5+lgV,得lgV=-0.1=,
所以
故答案为:C
【分析】根据对数的运算法则,结合对数式与指数式的互化求解即可.
7.【答案】D
【知识点】简单空间图形的三视图;由三视图还原实物图
【解析】【解答】解:由题意得正方体如图所示,
则侧视图是
故答案为:D
【分析】根据三视图的画法求解即可.
8.【答案】D
【知识点】余弦定理;余弦定理的应用
【解析】【解答】解:由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°,
即19=4+BC2+2BC
即BC2+2BC-15=0
解得BC=3或BC=-5(舍去)
故BC=3
故答案为:D
【分析】由余弦定理直接求解即可.
9.【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,
即4,2,S6-6成等比数列,
则4×(S6-6)=22
解得S6=7
故答案为:A
【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.
10.【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式;简单计数与排列组合;排列与组合的综合
【解析】【解答】解: 3个1和2个0随机排成一行 一共有以下10种排法:
11100,11010,11001,10110,10101,10011,01110,01101,01011,00111
其中 2个0不相邻 共有6种,
所以所求概率为
【分析】根据古典概型,结合列举法求解即可.
11.【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系;同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解:由题意得 ,
则,解得sinα=,
又因为 , 所以
所以
故答案为:A
【分析】根据二倍角公式,结合同角三角函数基本关系求解即可.
12.【答案】C
【知识点】奇函数;奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解:因为 f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f-x),
所以
故答案为:C
【分析】根据奇函数的性质,结合题设中函数的性质求解即可.
13.【答案】
【知识点】向量的模;平面向量的线性运算
【解析】【解答】解:由得
即9-2×1+=25
解得
故答案为:
【分析】根据向量的运算法则求解即可.
14.【答案】39π
【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征
【解析】【解答】解:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,
则底面面积S=πr2=36π,
则由得,
则
故圆锥的侧面积为
【分析】根据圆锥的特征,结合圆锥的体积与侧面积公式求解即可.
15.【答案】
【知识点】余弦函数的图象
【解析】【解答】解:由题意得,则T=π,ω=2,所以,
将点代入得,则,
则,故,
所以,
所以,
故答案为:
【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.
16.【答案】8
【知识点】椭圆的定义;三角形中的几何计算
【解析】【解答】解:由|PQ|=|F1F2|,得|OP|=|F1F2|,所以PF1⊥PF2,
所以
故答案为:8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质,结合三角形的面积公式求解即可
17.【答案】(1)(1)由题意可知:甲机床生产的产品中一级品的频率是:
乙机床生产的产品中一级品的频率是:
(2)由于
所以,有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
【知识点】频率分布表;独立性检验;独立性检验的应用
【解析】【分析】(1)根据频率=频数/总体直接求解即可;
(2)根据独立性检验的方法直接求解即可.
18.【答案】∵数列 是等差数列,设公差为
∴ ,
∴ ,
∴当 时,
当 时, ,满足 ,
∴ 的通项公式为 ,
∴
∴ 是等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法;等差数列的通项公式;等差数列的前n项和
【解析】【分析】由 数列 是等差数列 ,及 ,即可得到 等差数列 的公差 ,从而得到 , ,进一步根据an与sn的关系,以及等差数列的定义,证明
是等差数列.
19.【答案】(1)如图所示,连结AF,
由题意可得: ,
由于AB⊥BB1,BC⊥AB, ,故 平面 ,
而 平面 ,故 ,
从而有 ,
从而 ,
则 , 为等腰直角三角形,
, .
(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ,如图所示,取棱 的中点 ,连结 ,
正方形 中, 为中点,则 ,
又 ,
故 平面 ,而 平面 ,
从而 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1) 连结AF ,通过计算得出AC线段的长度, 得到 ,
进一步可以计算出 F-EBC的体积;
(2) 由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 , 取棱 的中点 ,连结 , 通过证明 平面 ,而得到 DE.
20.【答案】(1)函数的定义域为 ,
又 ,
因为 ,故 ,
当 时, ;当 时, ;
所以 的减区间为 ,增区间为 .
(2)因为 且 的图与 轴没有公共点,
所以 的图象在 轴的上方,
由(1)中函数的单调性可得 ,
故 即 .
【知识点】函数单调性的性质;函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【分析】(1)先明确函数的定义域,先对函数求导,然后根据a的取值,讨论导数年的正负,来确定函数的单调区间;
(2)首先注意到 且 的图与 轴没有公共点这一特点,表明 的图象在 轴的上方,求函数f(x)的最小值,只要最小值大于0即可, 解不等式,即可得到结果。
21.【答案】(1)依题意设抛物线 ,
,
所以抛物线 的方程为 ,
与 相切,所以半径为 ,
所以 的方程为 ;
(2)设
若 斜率不存在,则 方程为 或 ,
若 方程为 ,根据对称性不妨设 ,
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ,
此时该直线与抛物线只有一个交点,即不存在 ,不合题意;
若 方程为 ,根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ,
又 ,
,此时直线 关于 轴对称,
所以直线 与圆 相切;
若直线 斜率均存在,
则 ,
所以直线 方程为 ,
整理得 ,
同理直线 的方程为 ,
直线 的方程为 ,
与圆 相切,
整理得 ,
与圆 相切,同理
所以 为方程 的两根,
,
到直线 的距离为:
,
所以直线 与圆 相切;
综上若直线 与圆 相切,则直线 与圆 相切.
【知识点】平面向量的综合题;圆的标准方程;点的极坐标和直角坐标的互化;圆的参数方程
【解析】【分析】(1) 先设抛物线的方程 由对称性,可知 , 进而由 可以很容易求出抛物线的P值,进而写出抛物线的方程;
由于圆M的圆心已知,且与x=1相切,立刻知道半径,故很容易求得M的方程;
(2)先设出三点的坐标,分 斜率不存在及 直线 斜率均存在讨论, 分别写出相应的直线方程,根据相关直线与圆相切的条件,分别代入抛物线方程,利用达定理,点到直线距离公式等知识,推导结论。
22.【答案】(1)由曲线C的极坐标方程 可得 ,
将 代入可得 ,即 ,
即曲线C的直角坐标方程为 ;
(2)设 ,设
,
,
则 ,即 ,
故P的轨迹 的参数方程为 ( 为参数)
曲线C的圆心为 ,半径为 ,曲线 的圆心为 ,半径为2,
则圆心距为 , , 两圆内含,
故曲线C与 没有公共点.
【知识点】圆的标准方程;圆与圆的位置关系及其判定;点的极坐标和直角坐标的互化;圆的参数方程
【解析】【分析】(1)先将 两边平方 可得 ,然后用 替换即可得到C的直角坐标方程;
(2)先 设 及M 再由 ,建立x,y与的关系式,此即点P的轨迹C1的参数方程,进一步化成直角方程(圆),最后根据两圆圆心距,判断位置关系。
23.【答案】(1)可得 ,画出图像如下:
,画出函数图象如下:
(2) ,
如图,在同一个坐标系里画出 图像,
是 平移了 个单位得到,
则要使 ,需将 向左平移,即 ,
当 过 时, ,解得 或 (舍去),
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位, .
【知识点】函数的图象与图象变化;分段函数的解析式求法及其图象的作法;不等式的综合
【解析】【分析】(1)先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式,然后分段作图;
(2)将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内,(注意f(x+a)与 f(x)图象的关系),由 f(x+a)≥g(x), 确定a的取值范围。
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