2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）

2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·全国乙卷）已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则Cu（MUN）=（　　）
A．{5} B．{1,2} C．{3,4} D．{1,2,3,4}
2．（2021·全国乙卷）设iz=4+3i，则z等于（　　）
A．-3-4i B．-3+4i C．3-4i D．3+4i
3．（2021·全国乙卷）已知命题p： x∈R，sinx＜1；命题q： x∈R， e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p q B． p q C．p q D． (pVq)
4．（2021·全国乙卷）函数f（x）=sin
+cos
的最小正周期和最大值分别是（　　）
A．3
和
B．3
和2
C． 和
D． 和2
5．（2021·全国乙卷）若x，y满足约束条件 ，则z=3x+y的最小值为（　　）
A．18 B．10 C．6 D．4
6．（2021·全国乙卷） （　　）
A． B． C． D．
7．（2021·全国乙卷）在区间(0, )随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021·全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2021·全国乙卷）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2021·全国乙卷）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　）
A． B． C． D．
11．（2021·全国乙卷）设B是椭圆C： 的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（　　）
A． B． C． D．2
12．（2021·全国乙卷）设a≠0，若x=a为函数 的极大值点，则（　　）
A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2021·全国乙卷）已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若 ，则λ=　 　.
14．（2021·全国乙卷）双曲线 的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为　 　.
15．（2021·全国乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b=　 　.
16．（2021·全国乙卷）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为　 　（写出符合要求的一组答案即可）.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（2021·全国乙卷）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为s12和s22
（1）求 ， ， s12，s22；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 - ≥ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
18．（2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM.

（1）证明：平面PAM 平面PBD；
（2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.
19．（2021·全国乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ，3 ，9 成等差数列.
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和.证明： < .
20．（2021·全国乙卷）已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.
21．（2021·全国乙卷）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标.
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2021·全国乙卷）在直角坐标系xOy中， C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出 C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作 C的两条切线， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
五、[选修4-5：不等式选讲]
23．（2021·全国乙卷）已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】因为 U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4} 则 MUN ＝{1，2，3，4}，
于是 Cu（MUN）= {5} 。
故答案为：A
【分析】先求 MUN，再求 Cu（MUN） 。
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为 iz=4+3i ，所以Z＝
故答案为：C
【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。
3．【答案】A
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题，
故答案为：A
【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。
4．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】【解答】因为 f（x）=sin +cos ＝ ，所以周期 值域
即最大值是
故答案为：C。
【分析】先将 f（x） 解析式化成 的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。
5．【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域），
当直线 z=3x+y经过点（1，3）时，z取得最小值。此时zmin=3x1+3=6.
故答案为：C
【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。
6．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为
故选D。
【分析】由降幂公式，可以化成特殊角的三角函数求值。
7．【答案】B
【知识点】几何概型
【解析】【解答】由几何概型得：P＝.
故答案为：B
【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。
8．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；指数函数的概念与表示；对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3; 故A不符合题意；
对于B：因为，设t=|sinx|( ),则y=g(t)=由双沟函数知，
函数y＝g(t)=是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合；
对于C：因为 当且仅当时“＝”成立，
即ymin=4，故C选项正确；
对于D：当时，<0，故D选项不符合，
故答案为：C.
【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D 举反列说明其不符合。
9．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】对于A：因为h(x)= f(x-1)-1，则h(-X)h(X)，所以h(X)不是奇函数，故A不符合；
对于B：因为h(x)= f(x-1)+1，则h(-X)＝h(X)，所以h(X)是奇函数，故B符合；
对于C：h(x)= f(x+1)－1，则h(-X)h(X)，所以C不符合； 对于D：h(x)= f(x+1)+1，则h(-X)≠h(X)，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】设选项的各个函数是h(x)，分别计算h(-x)，与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。
10．【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1，AD1，BP，设正方体的棱长为x，
因为D1P||OB||BD，且D1P=BO=BD，所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1，所以
即为所求的角，易证平面BDD1B1，故OD1， 又，所以＝.
故答案为：D
【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。
11．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知B(0,1),设P(x,y)则|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1
=-4y2-2y+6=-4(y+4)2+,因为所以当时，|PB|2max=,此时，|PB|max
＝，
故答案为：A
【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P(x,y),再用两点间的距离公式，表示出|PB|，再用本文法计算|PB|的最大值即可。
12．【答案】D
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2，故A错。
故答案为：D.
【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。
13．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为=(2,5),=(λ,4)，且 ，则，则 。
【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。
14．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线x+2y-8的距离为.
【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。
15．【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
于是
【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。
16．【答案】②⑤或③④
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】当俯视图为 ④ 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；
当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，
故答案为： ②⑤或③④
【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。
17．【答案】（1）解：各项所求值如下所示
= (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0
= (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3
= x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36，
= x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.
（2）由(1)中数据得 - =0.3，2 ≈0.551
显然 - ＜2 ，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数，再直接用公式计算 s12，s22；
(2)由 (1)中的数据，计算得： - =0.3，2 ≈0.34 ， 显然 - ＜2 ，可得到答案。
18．【答案】（1）因为 底面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 平面 ，
而 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2）由（1）可知， 平面 ，所以 ，
从而 ，
设 ， ，则 ，
即 ，
解得 ，所以 ．
因为 底面 ，
故四棱锥 的体积为 ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD，及PB垂直AM，可以证明 平面 ，从而可能证明
平面 平面 ；
（2）由连接BD（1）可得 ， 证明 通过计算，求出高 ，再用棱锥体积公式直接得到答案。
19．【答案】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可得 ，
，①
，②
①②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】由 ， ， 成等差数列，列关系式等比数列 的公比q，进而得到 ，再由bn与an的关系求得bn；
（2）先根据条件求得 ，再由错项相减的方法求得的表达式，最后用求差比较法，证明 < .
20．【答案】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 ，用(x0,yO)表示出 ，再 代入抛物线方程，推导出x0，y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
21．【答案】（1）由函数的解析式可得： ，
导函数的判别式 ，
当 时， 在R上单调递增，
当 时， 的解为： ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
综上可得：当 时， 在R上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由题意可得： ， ，
则切线方程为： ，
切线过坐标原点，则： ，
整理可得： ，即： ，
解得： ，则 ，
∴该过原点的切线方程为，
联立，即，解得或.
即曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标为 或 .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先对函数求导，通过分类讨论a的取值，确定导数的符号，来确定函数的单调区间；
（2）先设切点坐标横坐标x0，通过求导求出切线的斜率，写出切线的方程，再利用切线过原点的条件，就可以得到x0的值，进一步得到公共点坐标。
22．【答案】（1）因为 C的圆心为(2，1)，半径为1.故 C的参数方程为 （ 为参数).
（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0.
故 =1
即|2k|= ，4 = ，
解得k=± .
故直线方程为y= (x-4)+1， y= (x-4)+1
故两条切线的极坐标方程为 sin = cos - +1或 sin = cos + +1.
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程；
（2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。
23．【答案】（1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集.
当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2；
当-3当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，
综上，解集为(-∞，-4]U[2，-∞).
（2）f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞-a.
A≥-3时，2a+3>0，得a>- ；a<-3时，-a-3>-a，此时a不存在.
综上，a>- .
【知识点】不等式的综合
【解析】【分析】（1）当a=1，写出 f(x)=|x-1|+|x+3| ，进一步分段讨论去值，解不等式；
（2）只要保证 f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
1 / 12021年高考文数真题试卷（全国乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·全国乙卷）已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则Cu（MUN）=（　　）
A．{5} B．{1,2} C．{3,4} D．{1,2,3,4}
【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】因为 U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4} 则 MUN ＝{1，2，3，4}，
于是 Cu（MUN）= {5} 。
故答案为：A
【分析】先求 MUN，再求 Cu（MUN） 。
2．（2021·全国乙卷）设iz=4+3i，则z等于（　　）
A．-3-4i B．-3+4i C．3-4i D．3+4i
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为 iz=4+3i ，所以Z＝
故答案为：C
【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。
3．（2021·全国乙卷）已知命题p： x∈R，sinx＜1；命题q： x∈R， e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p q B． p q C．p q D． (pVq)
【答案】A
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题，
故答案为：A
【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。
4．（2021·全国乙卷）函数f（x）=sin
+cos
的最小正周期和最大值分别是（　　）
A．3
和
B．3
和2
C． 和
D． 和2
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】【解答】因为 f（x）=sin +cos ＝ ，所以周期 值域
即最大值是
故答案为：C。
【分析】先将 f（x） 解析式化成 的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。
5．（2021·全国乙卷）若x，y满足约束条件 ，则z=3x+y的最小值为（　　）
A．18 B．10 C．6 D．4
【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域），
当直线 z=3x+y经过点（1，3）时，z取得最小值。此时zmin=3x1+3=6.
故答案为：C
【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。
6．（2021·全国乙卷） （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为
故选D。
【分析】由降幂公式，可以化成特殊角的三角函数求值。
7．（2021·全国乙卷）在区间(0, )随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概型
【解析】【解答】由几何概型得：P＝.
故答案为：B
【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。
8．（2021·全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；指数函数的概念与表示；对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3; 故A不符合题意；
对于B：因为，设t=|sinx|( ),则y=g(t)=由双沟函数知，
函数y＝g(t)=是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合；
对于C：因为 当且仅当时“＝”成立，
即ymin=4，故C选项正确；
对于D：当时，<0，故D选项不符合，
故答案为：C.
【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D 举反列说明其不符合。
9．（2021·全国乙卷）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】对于A：因为h(x)= f(x-1)-1，则h(-X)h(X)，所以h(X)不是奇函数，故A不符合；
对于B：因为h(x)= f(x-1)+1，则h(-X)＝h(X)，所以h(X)是奇函数，故B符合；
对于C：h(x)= f(x+1)－1，则h(-X)h(X)，所以C不符合； 对于D：h(x)= f(x+1)+1，则h(-X)≠h(X)，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】设选项的各个函数是h(x)，分别计算h(-x)，与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。
10．（2021·全国乙卷）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1，AD1，BP，设正方体的棱长为x，
因为D1P||OB||BD，且D1P=BO=BD，所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1，所以
即为所求的角，易证平面BDD1B1，故OD1， 又，所以＝.
故答案为：D
【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。
11．（2021·全国乙卷）设B是椭圆C： 的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知B(0,1),设P(x,y)则|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1
=-4y2-2y+6=-4(y+4)2+,因为所以当时，|PB|2max=,此时，|PB|max
＝，
故答案为：A
【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P(x,y),再用两点间的距离公式，表示出|PB|，再用本文法计算|PB|的最大值即可。
12．（2021·全国乙卷）设a≠0，若x=a为函数 的极大值点，则（　　）
A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2
【答案】D
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2，故A错。
故答案为：D.
【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2021·全国乙卷）已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若 ，则λ=　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为=(2,5),=(λ,4)，且 ，则，则 。
【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。
14．（2021·全国乙卷）双曲线 的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为　 　.
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线x+2y-8的距离为.
【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。
15．（2021·全国乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b=　 　.
【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
于是
【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。
16．（2021·全国乙卷）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为　 　（写出符合要求的一组答案即可）.
【答案】②⑤或③④
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】当俯视图为 ④ 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；
当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，
故答案为： ②⑤或③④
【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（2021·全国乙卷）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为s12和s22
（1）求 ， ， s12，s22；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 - ≥ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
【答案】（1）解：各项所求值如下所示
= (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0
= (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3
= x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36，
= x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.
（2）由(1)中数据得 - =0.3，2 ≈0.551
显然 - ＜2 ，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数，再直接用公式计算 s12，s22；
(2)由 (1)中的数据，计算得： - =0.3，2 ≈0.34 ， 显然 - ＜2 ，可得到答案。
18．（2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM.

（1）证明：平面PAM 平面PBD；
（2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.
【答案】（1）因为 底面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 平面 ，
而 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2）由（1）可知， 平面 ，所以 ，
从而 ，
设 ， ，则 ，
即 ，
解得 ，所以 ．
因为 底面 ，
故四棱锥 的体积为 ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD，及PB垂直AM，可以证明 平面 ，从而可能证明
平面 平面 ；
（2）由连接BD（1）可得 ， 证明 通过计算，求出高 ，再用棱锥体积公式直接得到答案。
19．（2021·全国乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ，3 ，9 成等差数列.
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和.证明： < .
【答案】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可得 ，
，①
，②
①②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】由 ， ， 成等差数列，列关系式等比数列 的公比q，进而得到 ，再由bn与an的关系求得bn；
（2）先根据条件求得 ，再由错项相减的方法求得的表达式，最后用求差比较法，证明 < .
20．（2021·全国乙卷）已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.
【答案】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 ，用(x0,yO)表示出 ，再 代入抛物线方程，推导出x0，y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
21．（2021·全国乙卷）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标.
【答案】（1）由函数的解析式可得： ，
导函数的判别式 ，
当 时， 在R上单调递增，
当 时， 的解为： ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
综上可得：当 时， 在R上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由题意可得： ， ，
则切线方程为： ，
切线过坐标原点，则： ，
整理可得： ，即： ，
解得： ，则 ，
∴该过原点的切线方程为，
联立，即，解得或.
即曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标为 或 .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先对函数求导，通过分类讨论a的取值，确定导数的符号，来确定函数的单调区间；
（2）先设切点坐标横坐标x0，通过求导求出切线的斜率，写出切线的方程，再利用切线过原点的条件，就可以得到x0的值，进一步得到公共点坐标。
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2021·全国乙卷）在直角坐标系xOy中， C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出 C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作 C的两条切线， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
【答案】（1）因为 C的圆心为(2，1)，半径为1.故 C的参数方程为 （ 为参数).
（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0.
故 =1
即|2k|= ，4 = ，
解得k=± .
故直线方程为y= (x-4)+1， y= (x-4)+1
故两条切线的极坐标方程为 sin = cos - +1或 sin = cos + +1.
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程；
（2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。
五、[选修4-5：不等式选讲]
23．（2021·全国乙卷）已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.
【答案】（1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集.
当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2；
当-3当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，
综上，解集为(-∞，-4]U[2，-∞).
（2）f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞-a.
A≥-3时，2a+3>0，得a>- ；a<-3时，-a-3>-a，此时a不存在.
综上，a>- .
【知识点】不等式的综合
【解析】【分析】（1）当a=1，写出 f(x)=|x-1|+|x+3| ，进一步分段讨论去值，解不等式；
（2）只要保证 f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
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