2021年高考数学真题试卷（北京卷）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（2021·北京）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：根据并集的定义易得，
故答案为：B
【分析】根据并集的定义直接求解即可.
2．（2021·北京）在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：D
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
3．（2021·北京）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0, 1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1),
所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”为“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分条件；
②【必要性】若函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0, 1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，
所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的必要条件，
所以“函数f(x)在[0, 1]上单调递增”是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.
4．（2021·北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解：由三视图可知该四面体如下图所示：
该四面体为直三棱锥，其中SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=1，
则SB=SC=BC=，
则所求表面积为
故答案为：A
【分析】根据三视图还原几何体，结合棱锥的表面积公式求解即可.
5．（2021·北京）双曲线 过点 ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得c=2a，则b2=c2-a2=3a2
则可设双曲线方程为：，
将点 代入上式，得
解得a2=1,b2=3
故所求方程为：
故答案为：A
【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.
6．（2021·北京） 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ， ，则 （ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意得，则，则，所以.
故答案为：B
【分析】根据题设条件，结合等差数列的性质求解即可.
7．（2021·北京）函数 ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为
【答案】D
【知识点】偶函数；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】解：∵f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x)
∴f(x)为偶函数
又f(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1
令t=cosx，则y=-2t2+t+1，t∈[-1，1]，
则当时，y取得最大值.
故答案为：D
【分析】根据偶函数的定义，利用换元法，结合二次函数的最值求解即可.
8．（2021·北京）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨（ ），中雨（ ），大雨（ ），暴雨（ ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意得，则r=50
则雨水的体积为，
则降雨的厚度（高度）为
故答案为：B
【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可.
9．（2021·北京）已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的最小值为2，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d，
则，
则当n取最小值2时，d取得最大值为，
则
当k=0时，d取得最大值为，
则
解得
故答案为：C
【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
10．（2021·北京）数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵数列 是递增的整数数列 ，
∴n要取最大，d尽可能为小的整数，
故可假设d=1
∵a1=3，d=1
∴an=n+2
∴
则S11=88<100，S12=102>100，
故n的最大值为11.
故答案为：C
【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.
二、填空题5小题，每小题5分，共25分．
11．（2021·北京） 展开式中常数项为 ．
【答案】-4
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为
令12-4k=0，得k=3
故常数项为
故答案为：-4
【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.
12．（2021·北京）已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，则 的横坐标是 ；作 轴于 ，则 ．
【答案】5；
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：由题意知焦点F为（1,0），准线为x=-1，设点M为（x0,y0）,
则有|FM|=x0+1=6，解得x0=5，则，
不妨取点M为
则点N为
则|FN|=5-1=4
则
故答案为：5，
【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.
13．（2021·北京）若点 与点 关于 轴对称，写出一个符合题意的 ．
【答案】 （满足 即可）
【知识点】诱导公式
【解析】【解答】解：由题意得，对比诱导公式sinα=sin(π-α)，cosα=-cos(π-α)得，
解得
当k=0时，
故答案为：
【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可.
14．（2021·北京）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ，则 有两个零点；
② ，使得 有一个零点；
③ ，使得 有三个零点；
④ ，使得 有三个零点．
以上正确结论得序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】解：令|lgx|- kx-2=0，即y= |lgx|与y= kx+ 2有几个交点，原函数就有几个零点，
①当k= 0时，如图1画出函数图象，f(x)=|lgx|-2，解得x=100或，所以有两个零点，故①项正确；
②当k<0时，y= kx+2过点(0，2)，如图2画出两个函数的图象，，使得两函数存在两个交点，故②项正确；
③当k<0时，y= kx+2过点(0，2)，如图3画出两个函数的图象，不存在k<0时，使得两函数存在三个交点，故③项错误；
④当k>0时，y= kx+2过点(0，2)，如图4画出两个函数的图象，，使得两函数存在三个交点，故④项正确.
故答案为：①②④
【分析】根据函数的零点的几何性质，运用数形结合思想求解即可.
15．（2021·北京） ， ， ，则 ； ．
【答案】0；3
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意得，则，
故答案为：0，3
【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（2021·北京）已知在 中， ， ．
（1）求 的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度．
① ；②周长为 ；③面积为 ；
【答案】（1） ，则由正弦定理可得 ，
， ， ， ，
，解得 ；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ，
与 矛盾，故这样的 不存在；
若选择②：由（1）可得 ，
设 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理可得 ，
，
则周长 ，
解得 ，则 ，
由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得 ，即 ，
则 ，解得 ，
则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
.
【知识点】正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和的性质求解即可；
（2） 选择① ：根据正弦定理，结合（1）进行判断即可；
选择② ：根据正弦定理，及余弦定理求解即可；
选择③ ：根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.
17．（2021·北京）已知正方体 ，点 为 中点，直线 交平面 于点 ．
（1）证明：点 为 的中点；
（2）若点 为棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【答案】（1）如图所示，取 的中点 ，连结 ，
由于 为正方体， 为中点，故 ，
从而 四点共面，即平面CDE即平面 ，
据此可得：直线 交平面 于点 ，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 与点 重合，
即点 为 中点.
（2）以点 为坐标原点， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方形，建立空间直角坐标系 ，
不妨设正方体的棱长为2，设 ，
则： ，
从而： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，
令 可得： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，
令 可得： ，
从而： ，
则： ，
整理可得： ，故 （ 舍去）.
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据正方体的性质，结合直线与平面相交的性质定理求证即可；
（2）根据向量法求二面角，结合方程的思想求解即可.
18．（2021·北京）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为 ，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
【答案】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意， 可以取20，30，
， ，
则 的分布列:
所以 ；
（2）由题意， 可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p，
， ，
则 ，
若 时， ；
若 时， ；
若 时， .
【知识点】简单随机抽样；互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）①根据 “k合1检测法”，结合随机抽样的定义求解即可；
②根据 “k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可；
（2）根据 “k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的期望求解即可.
19．（2021·北京）已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处切线方程；
（2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值．
【答案】（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：
-1 4
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据导数研究函数的极值求得a值，再利用导数研究函数的单调性以及最值即可.
20．（2021·北京）已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
【答案】（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .
直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
综上， 或 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；
（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.
21．（2021·北京）设p为实数．若无穷数列{an}满足如下三个性质，则称{an}为RP数列：
：① ， ；
② ；
③ （m=1，2，…；n=1，2，…） ．
（1）如果数列{an}的前4项2，-2，-2，-1的数列，那么{an}是否可以为
数列？说明理由；
（2）若数列
是
数列，求
；
（3）设数列{an}的前n项和为Sn，是否存在
数列
，对
恒成立 ？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：数列{an}不可能为 数列，理由如下，
因为p=2， a1=2， a2=-2，所以a1+a2+p=2， a1+a2+p+1=3，
因为a3=-2，所以a3 {a1+a2+p， a1+a2+p+1}，
所以数列{an}不满足性质③.
（2）性质① ，
由性质③ ，因此 或 ， 或 ，
若 ，由性质②可知 ，即 或 ，矛盾；
若 ，由 有 ，矛盾.
因此只能是 .
又因为 或 ，所以 或 .
若 ，则 ，
不满足 ，舍去.
当 ，则 前四项为：0，0，0，1，
下面用归纳法证明 ：
当 时，经验证命题成立，假设当 时命题成立，
当 时：
若 ，则 ，利用性质③：
，此时可得： ；
否则，若 ，取 可得： ，
而由性质②可得： ，与 矛盾.
同理可得：
，有 ；
，有 ；
，又因为 ，有
即当 时命题成立，证毕.
综上可得： ， .
（3）令 ，由性质③可知：
，
由于 ，
因此数列 为 数列.
由（2）可知：
若 ；
， ，
因此 ，此时 ， ，满足题意.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）根据新数列Rp数列的定义进行判断即可；
（2）根据新数列Rp数列的定义，结合数学归纳法求解即可；
（3）根据新数列Rp数列的定义，结合an与sn的关系进行判断即可.
1 / 12021年高考数学真题试卷（北京卷）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（2021·北京）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2021·北京）在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2021·北京）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2021·北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A． B．4 C． D．2
5．（2021·北京）双曲线 过点 ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·北京） 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ， ，则 （ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
7．（2021·北京）函数 ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为
8．（2021·北京）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨（ ），中雨（ ），大雨（ ），暴雨（ ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
9．（2021·北京）已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的最小值为2，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2021·北京）数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题5小题，每小题5分，共25分．
11．（2021·北京） 展开式中常数项为 ．
12．（2021·北京）已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，则 的横坐标是 ；作 轴于 ，则 ．
13．（2021·北京）若点 与点 关于 轴对称，写出一个符合题意的 ．
14．（2021·北京）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ，则 有两个零点；
② ，使得 有一个零点；
③ ，使得 有三个零点；
④ ，使得 有三个零点．
以上正确结论得序号是 ．
15．（2021·北京） ， ， ，则 ； ．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（2021·北京）已知在 中， ， ．
（1）求 的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度．
① ；②周长为 ；③面积为 ；
17．（2021·北京）已知正方体 ，点 为 中点，直线 交平面 于点 ．
（1）证明：点 为 的中点；
（2）若点 为棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
18．（2021·北京）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为 ，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
19．（2021·北京）已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处切线方程；
（2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值．
20．（2021·北京）已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
21．（2021·北京）设p为实数．若无穷数列{an}满足如下三个性质，则称{an}为RP数列：
：① ， ；
② ；
③ （m=1，2，…；n=1，2，…） ．
（1）如果数列{an}的前4项2，-2，-2，-1的数列，那么{an}是否可以为
数列？说明理由；
（2）若数列
是
数列，求
；
（3）设数列{an}的前n项和为Sn，是否存在
数列
，对
恒成立 ？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：根据并集的定义易得，
故答案为：B
【分析】根据并集的定义直接求解即可.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：D
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0, 1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1),
所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”为“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分条件；
②【必要性】若函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0, 1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，
所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的必要条件，
所以“函数f(x)在[0, 1]上单调递增”是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.
4．【答案】A
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解：由三视图可知该四面体如下图所示：
该四面体为直三棱锥，其中SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=1，
则SB=SC=BC=，
则所求表面积为
故答案为：A
【分析】根据三视图还原几何体，结合棱锥的表面积公式求解即可.
5．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得c=2a，则b2=c2-a2=3a2
则可设双曲线方程为：，
将点 代入上式，得
解得a2=1,b2=3
故所求方程为：
故答案为：A
【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.
6．【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意得，则，则，所以.
故答案为：B
【分析】根据题设条件，结合等差数列的性质求解即可.
7．【答案】D
【知识点】偶函数；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】解：∵f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x)
∴f(x)为偶函数
又f(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1
令t=cosx，则y=-2t2+t+1，t∈[-1，1]，
则当时，y取得最大值.
故答案为：D
【分析】根据偶函数的定义，利用换元法，结合二次函数的最值求解即可.
8．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意得，则r=50
则雨水的体积为，
则降雨的厚度（高度）为
故答案为：B
【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可.
9．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d，
则，
则当n取最小值2时，d取得最大值为，
则
当k=0时，d取得最大值为，
则
解得
故答案为：C
【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
10．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵数列 是递增的整数数列 ，
∴n要取最大，d尽可能为小的整数，
故可假设d=1
∵a1=3，d=1
∴an=n+2
∴
则S11=88<100，S12=102>100，
故n的最大值为11.
故答案为：C
【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.
11．【答案】-4
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为
令12-4k=0，得k=3
故常数项为
故答案为：-4
【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.
12．【答案】5；
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：由题意知焦点F为（1,0），准线为x=-1，设点M为（x0,y0）,
则有|FM|=x0+1=6，解得x0=5，则，
不妨取点M为
则点N为
则|FN|=5-1=4
则
故答案为：5，
【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.
13．【答案】 （满足 即可）
【知识点】诱导公式
【解析】【解答】解：由题意得，对比诱导公式sinα=sin(π-α)，cosα=-cos(π-α)得，
解得
当k=0时，
故答案为：
【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可.
14．【答案】①②④
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】解：令|lgx|- kx-2=0，即y= |lgx|与y= kx+ 2有几个交点，原函数就有几个零点，
①当k= 0时，如图1画出函数图象，f(x)=|lgx|-2，解得x=100或，所以有两个零点，故①项正确；
②当k<0时，y= kx+2过点(0，2)，如图2画出两个函数的图象，，使得两函数存在两个交点，故②项正确；
③当k<0时，y= kx+2过点(0，2)，如图3画出两个函数的图象，不存在k<0时，使得两函数存在三个交点，故③项错误；
④当k>0时，y= kx+2过点(0，2)，如图4画出两个函数的图象，，使得两函数存在三个交点，故④项正确.
故答案为：①②④
【分析】根据函数的零点的几何性质，运用数形结合思想求解即可.
15．【答案】0；3
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意得，则，
故答案为：0，3
【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.
16．【答案】（1） ，则由正弦定理可得 ，
， ， ， ，
，解得 ；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ，
与 矛盾，故这样的 不存在；
若选择②：由（1）可得 ，
设 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理可得 ，
，
则周长 ，
解得 ，则 ，
由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得 ，即 ，
则 ，解得 ，
则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
.
【知识点】正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和的性质求解即可；
（2） 选择① ：根据正弦定理，结合（1）进行判断即可；
选择② ：根据正弦定理，及余弦定理求解即可；
选择③ ：根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.
17．【答案】（1）如图所示，取 的中点 ，连结 ，
由于 为正方体， 为中点，故 ，
从而 四点共面，即平面CDE即平面 ，
据此可得：直线 交平面 于点 ，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 与点 重合，
即点 为 中点.
（2）以点 为坐标原点， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方形，建立空间直角坐标系 ，
不妨设正方体的棱长为2，设 ，
则： ，
从而： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，
令 可得： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，
令 可得： ，
从而： ，
则： ，
整理可得： ，故 （ 舍去）.
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据正方体的性质，结合直线与平面相交的性质定理求证即可；
（2）根据向量法求二面角，结合方程的思想求解即可.
18．【答案】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意， 可以取20，30，
， ，
则 的分布列:
所以 ；
（2）由题意， 可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p，
， ，
则 ，
若 时， ；
若 时， ；
若 时， .
【知识点】简单随机抽样；互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）①根据 “k合1检测法”，结合随机抽样的定义求解即可；
②根据 “k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可；
（2）根据 “k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的期望求解即可.
19．【答案】（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：
-1 4
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据导数研究函数的极值求得a值，再利用导数研究函数的单调性以及最值即可.
20．【答案】（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .
直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
综上， 或 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；
（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.
21．【答案】（1）解：数列{an}不可能为 数列，理由如下，
因为p=2， a1=2， a2=-2，所以a1+a2+p=2， a1+a2+p+1=3，
因为a3=-2，所以a3 {a1+a2+p， a1+a2+p+1}，
所以数列{an}不满足性质③.
（2）性质① ，
由性质③ ，因此 或 ， 或 ，
若 ，由性质②可知 ，即 或 ，矛盾；
若 ，由 有 ，矛盾.
因此只能是 .
又因为 或 ，所以 或 .
若 ，则 ，
不满足 ，舍去.
当 ，则 前四项为：0，0，0，1，
下面用归纳法证明 ：
当 时，经验证命题成立，假设当 时命题成立，
当 时：
若 ，则 ，利用性质③：
，此时可得： ；
否则，若 ，取 可得： ，
而由性质②可得： ，与 矛盾.
同理可得：
，有 ；
，有 ；
，又因为 ，有
即当 时命题成立，证毕.
综上可得： ， .
（3）令 ，由性质③可知：
，
由于 ，
因此数列 为 数列.
由（2）可知：
若 ；
， ，
因此 ，此时 ， ，满足题意.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）根据新数列Rp数列的定义进行判断即可；
（2）根据新数列Rp数列的定义，结合数学归纳法求解即可；
（3）根据新数列Rp数列的定义，结合an与sn的关系进行判断即可.
1 / 1
