2017-2021年高考数学全国乙卷（原全国卷2）数列汇编（文理）
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅱ·理）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
2．（2020·新课标Ⅱ·理）数列 中， ， ，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2017·新课标Ⅱ卷理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
二、填空题
4．（2020·新课标Ⅱ·文）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 ．
5．（2017·新课标Ⅱ卷理）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 = ．
三、解答题
6．（2021·全国乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ，3 ，9 成等差数列.
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和.证明： < .
7．（2021·全国乙卷）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知 =2.
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
8．（2020·新高考Ⅱ）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
9．（2019·全国Ⅱ卷文）已知 是各项均为正数的等比数列， ， 。
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列{ }的前n项和。
10．（2019·全国Ⅱ卷理）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ， .
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
11．（2018·全国Ⅱ卷文）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值。
12．（2017·新课标Ⅱ卷文）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．
（Ⅰ）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若T3=21，求S3．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故答案为：C
【分析】第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 .
2．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
，
，则 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】取 ，可得出数列 是等比数列，求得数列 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k的等式，由 可求得k的值.
3．【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，
∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，
又总共有灯381盏，
∴381= =127a，解得a=3，
则这个塔顶层有3盏灯，
故选B．
【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．
4．【答案】25
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】 是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差d
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为：25.
【分析】因为 是等差数列，根据已知条件 ，求出公差，根据等差数列前n项和，即可求得答案.
5．【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，
可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，
Sn= ， = ，
则 =2[1﹣ + +…+ ]=2（1﹣ ）= ．
故答案为： ．
【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．
6．【答案】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可得 ，
，①
，②
①②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】由 ， ， 成等差数列，列关系式等比数列 的公比q，进而得到 ，再由bn与an的关系求得bn；
（2）先根据条件求得 ，再由错项相减的方法求得的表达式，最后用求差比较法，证明 < .
7．【答案】（1）由已知 + =2，则 =Sn(n≥2)
+ =2 2bn-1+2=2bn bn-bn-1= (n≥2)，b1=
故｛bn｝是以 为首项， 为公差的等差数列。
（2）由（1）知bn= +（n-1） = ，则 + =2 Sn=
n=1时，a1=S1=
n≥2时，an=Sn-Sn-1= - =
故an=
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。
（2）呈上，先写出bn,再求{bn}前n磺的和 Sn ，再由 an与 Sn 的关系，进一步求得结果。
8．【答案】（1）解：设等比数列 的公比为q(q>1)，则 ，
整理可得： ，
，
数列的通项公式为： .
（2）解：由于： ，故：
.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列 的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
9．【答案】（1）解：设 的公比为q，由题设得
，即 .
解得 （舍去）或q=4.
因此 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，因此数列 的前n项和为 .
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。
10．【答案】（1）解：由题设得 ，即 ． 又因为a1+b1=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列． 由题设得 ， 即 ．
又因为a1–b1=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知， ， ．
所以 ，
．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】 【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出 ，则 是首项为1，公比为 的等比数列，再结合已知条件可推出 ．即可得出 是首项为1，公差为2的等差数列．（2）结合（1）的结论把两个数列 、 的通项公式相减，即可得出两个数列{an}和{bn}的通项公式。
11．【答案】（1）设数列的公差为d，由题意有：
a1=-7，S3=3a2=-15
a2=-5，d=2
∴an=a1+（n-1）d=-7+2（n-1）=2n-9
所以{an}的通项公式为：an=2n-9
（2）由（1）知数列{an}的前n项和
Sn=n（n-8）=n2-8n=（n-4）2-16≥-16
当n=4时取最小值，
所以Sn的最小值为-16
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列为a，S3可求得数列的公差，进而可求{an}的通项公式；（2）由前n项和公式易得Sn，再根据二次函数求最值.
12．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，
可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，
解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），
则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*；
（Ⅱ）b1=1，T3=21，
可得1+q+q2=21，
解得q=4或﹣5，
当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，
d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；
当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，
d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和．
1 / 12017-2021年高考数学全国乙卷（原全国卷2）数列汇编（文理）
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅱ·理）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故答案为：C
【分析】第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 .
2．（2020·新课标Ⅱ·理）数列 中， ， ，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
，
，则 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】取 ，可得出数列 是等比数列，求得数列 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k的等式，由 可求得k的值.
3．（2017·新课标Ⅱ卷理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，
∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，
又总共有灯381盏，
∴381= =127a，解得a=3，
则这个塔顶层有3盏灯，
故选B．
【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．
二、填空题
4．（2020·新课标Ⅱ·文）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 ．
【答案】25
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】 是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差d
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为：25.
【分析】因为 是等差数列，根据已知条件 ，求出公差，根据等差数列前n项和，即可求得答案.
5．（2017·新课标Ⅱ卷理）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 = ．
【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，
可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，
Sn= ， = ，
则 =2[1﹣ + +…+ ]=2（1﹣ ）= ．
故答案为： ．
【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．
三、解答题
6．（2021·全国乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ，3 ，9 成等差数列.
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和.证明： < .
【答案】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可得 ，
，①
，②
①②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】由 ， ， 成等差数列，列关系式等比数列 的公比q，进而得到 ，再由bn与an的关系求得bn；
（2）先根据条件求得 ，再由错项相减的方法求得的表达式，最后用求差比较法，证明 < .
7．（2021·全国乙卷）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知 =2.
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
【答案】（1）由已知 + =2，则 =Sn(n≥2)
+ =2 2bn-1+2=2bn bn-bn-1= (n≥2)，b1=
故｛bn｝是以 为首项， 为公差的等差数列。
（2）由（1）知bn= +（n-1） = ，则 + =2 Sn=
n=1时，a1=S1=
n≥2时，an=Sn-Sn-1= - =
故an=
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。
（2）呈上，先写出bn,再求{bn}前n磺的和 Sn ，再由 an与 Sn 的关系，进一步求得结果。
8．（2020·新高考Ⅱ）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
【答案】（1）解：设等比数列 的公比为q(q>1)，则 ，
整理可得： ，
，
数列的通项公式为： .
（2）解：由于： ，故：
.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列 的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
9．（2019·全国Ⅱ卷文）已知 是各项均为正数的等比数列， ， 。
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列{ }的前n项和。
【答案】（1）解：设 的公比为q，由题设得
，即 .
解得 （舍去）或q=4.
因此 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，因此数列 的前n项和为 .
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。
10．（2019·全国Ⅱ卷理）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ， .
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（1）解：由题设得 ，即 ． 又因为a1+b1=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列． 由题设得 ， 即 ．
又因为a1–b1=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知， ， ．
所以 ，
．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】 【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出 ，则 是首项为1，公比为 的等比数列，再结合已知条件可推出 ．即可得出 是首项为1，公差为2的等差数列．（2）结合（1）的结论把两个数列 、 的通项公式相减，即可得出两个数列{an}和{bn}的通项公式。
11．（2018·全国Ⅱ卷文）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值。
【答案】（1）设数列的公差为d，由题意有：
a1=-7，S3=3a2=-15
a2=-5，d=2
∴an=a1+（n-1）d=-7+2（n-1）=2n-9
所以{an}的通项公式为：an=2n-9
（2）由（1）知数列{an}的前n项和
Sn=n（n-8）=n2-8n=（n-4）2-16≥-16
当n=4时取最小值，
所以Sn的最小值为-16
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列为a，S3可求得数列的公差，进而可求{an}的通项公式；（2）由前n项和公式易得Sn，再根据二次函数求最值.
12．（2017·新课标Ⅱ卷文）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．
（Ⅰ）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若T3=21，求S3．
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，
可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，
解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），
则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*；
（Ⅱ）b1=1，T3=21，
可得1+q+q2=21，
解得q=4或﹣5，
当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，
d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；
当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，
d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和．
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