2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅱ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·新高考Ⅱ卷）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，表示的点为，位于第一象限.
故答案为：A
【分析】根据复数的运算法则，及复数的几何意义求解即可
2．（2021·新高考Ⅱ卷）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：由题设可得，故.
故答案为：B
【分析】根据交集、补集的定义求解即可.
3．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则其到直线x-y+1=0的距离为，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2.
故答案为：B
【分析】根据抛物线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可
4．（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：==≈0.42=42%
故答案为：C
【分析】结合题意所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
5．（2021·新高考Ⅱ卷）正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积S1=16，上底面面积S2=4，
所以棱台的体积为
故答案为：D
【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
6．（2021·新高考Ⅱ卷）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（ ）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B． 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C． 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D． 越小，该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，为数据的方差，所以越小，数据在μ=10附近越集中，所以测量结果落在（9.9,10.1）内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在（9.9,10.0）的概率与落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次测量结果落在（9.9,10.2）的概率与落在（10,10.3）的概率不同，故D错误.
故选：D.
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
7．（2021·新高考Ⅱ卷）已知 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，即a
故答案为：C
【分析】根据对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.
8．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】奇函数；偶函数；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为 为偶函数， 则有f(2+x)=f(2-x)，可得f(x+3)=f(1-x)，
又因为 为奇函数， 则有f(1-2x)=-f(2x-1)，可得f(1-x)=-f(x+1)，
所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1)，即f(x)=f(x+4)
故函数f(x)的周期为T=4
又因为函数F(x)=f(2x+1)是奇函数，则F(0)=f(1)=0
故f(-1)=-f(1)=0
故答案为：B
【分析】推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021·新高考Ⅱ卷）下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（ ）
A．样本 的标准差 B．样本 的中位数
C．样本 的极差 D．样本 的平均数
【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；
故选：AC.
【分析】根据标准差，极差，中位数及平均数的定义与意义求解即可.
10．（2021·新高考Ⅱ卷）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，如图（1）所示，
连接AC，则MN//AC，
故∠POC（或其补角）为异面直线OP,MN所成的角.
在直角三角形OPC中，，CP=1，故
故MN⊥OP不成立，故A错误；
对于B，如图（2）所示，
取NT的中点Q，连接PQ,OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，
由正方体SBCM-NADT可得SN⊥平面ANDT，而平面ANDT，
故SN⊥OQ，而SN∩MN=N，故OQ⊥平面SNTM，
又平面SNTM，则OQ⊥MN，而OQ∩PQ=O，
所以MN⊥平面OPQ，而平面OPQ，故MN⊥OP.
故B正确；
对于C，如图（3）所示，
连接BD，则BD//MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确；
对于D，如图（4）所示，
取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC,PQ,OQ,PK,OK，则AC//MN，
因为DP=PC，故PQ//AC，则PQ//MN，
所以∠QPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，
则有QO2故∠QPO不可能是直角，
故MN，OP不可能垂直
故D错误.
故答案为：BC
【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.
11．（2021·新高考Ⅱ卷）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得圆心C（0,0）到直线l：ax+by-r2=0的距离
对于A，若点A在圆C上，则a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故A正确；
对于B，若点A在圆C内，则a2+b2对于C，若点A在圆C外，则a2+b2>r2，则，则直线l与圆C相交，故C错误；
对于D，若点A在直线l上，则a2+b2-r2=0，即a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2，r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
12．（2021·新高考Ⅱ卷）设正整数 ，其中 ，记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A， ， ，
则，故A正确；
对于B，取n=2，2×2+3=7=1·20+1·21+1·22，则ω(7)=3，
而2=0·20+1·21，则ω(2)=1，即ω(7)≠2ω(2)+1，故B错误；
对于C，8n+5=a0·23+a1·24+……+ak·2k+3+5=1·20+1·22+a0·23+a1· 24+……+ak· 2k+3
所以ω(8n+5)=2+a0+a1+……+ak，
4n+3=a0·22+a1· 23+……+ak· 2k+2+3=1·20+1·21+a0·22+a1· 23+……+ak· 2k+2，
所以ω(4n+3)=2+a0+a1+……+ak，
所以ω(8n+5)=ω(4n+3)，故C正确；
对于D，2n-1=20+21+……+2n-1，
所以ω(2n-1)=n，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】利用ω(n)的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·新高考Ⅱ卷）已知双曲线 ，离心率 ，则双曲线C的渐近线方程为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得，所以该双曲线的渐近线方程为
故答案为：
【分析】根据双曲线的几何性质，结合渐近线方程直接求解即可.
14．（2021·新高考Ⅱ卷）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【答案】 答案不唯一
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：取f(x)=x2，则f(x1x2)=x12x22=f(x1)f(x2)，满足①；
当x>0时，f'(x)=2x>0，满足②；
f'(x)=2x的定义域为R，且f'(-x)=2(-x)=-f'(x)，故f'(x)=2x是奇函数，满足③.
故答案为：f(x)=x2（x∈R）
【分析】根据幂函数的性质直接求解即可.
15．（2021·新高考Ⅱ卷）已知向量 ，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意得，即，
则
故答案为：
【分析】根据向量的运算法则直接求解即可.
16．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：由题意得，则，
所以点A(x1,1-ex1)，点B(x2,ex2-1)，KAM=-ex1，KBN=ex2
所以-ex1·ex2=-1，x1+x2=0， 所以AM：y-1+ex1=-ex1(x-x1)，
所以，
同理
所以
故答案为：（0,1）
【分析】根据导数的几何意义可得x1+x2=0，结合直线方程及两点间距离公式求解即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
17．（2021·新高考Ⅱ卷）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】（1）由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
（2）由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为7.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式及性质直接求解即可；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
18．（2021·新高考Ⅱ卷）在 中，角A，B，C所对的边长分别为 ．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数a，使得 为钝角三角形 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出2c=3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角c为钝角，由cosC<0结合三角形三边关系可求得整数a的值.
19．（2021·新高考Ⅱ卷）在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
【答案】（1）取 的中点为 ，连接 .
因为 ， ，则 ，
而 ，故 .
在正方形 中，因为 ，故 ，故 ，
因为 ，故 ，故 为直角三角形且 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故平面 平面 .
（2）在平面 内，过 作 ，交 于 ，则 ，
结合（1）中的 平面 ，故可建如图所示的空间坐标系.
则 ，故 .
设平面 的法向量 ，
则 即 ，取 ，则 ，
故 .
而平面 的法向量为 ，故 .
二面角 的平面角为锐角，故其余弦值为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理，结合平面与平面垂直的判定定理求证即可；
（2）利用向量法直接求解即可.
20．（2021·新高考Ⅱ卷）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【答案】（1）由题意，椭圆半焦距 且 ，所以 ，
又 ，所以椭圆方程为 ；
（2）由（1）得，曲线为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，所以 ，
所以 ，
所以必要性成立；
充分性：设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ，
联立 可得 ，
所以 ，
所以
，
化简得 ，所以 ，
所以 或 ，所以直线 或 ，
所以直线 过点 ，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，结合椭圆的标准方程直接求解即可；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线MN：y=kx+b(kb<0)，由直线与圆相切得b2=k2+1，联立直线与椭圆方程结合弦长公式即可求解.
21．（2021·新高考Ⅱ卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： 的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1） .
（2）设 ，
因为 ，故 ，
若 ，则 ，故 .
，
因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故 为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，
综上，若 ，则 .
若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .
所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .
（3）每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用公式计算可得E(X).
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合f(1)=0及极值点的范围可得f(x)的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
22．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 有一个零点
① ；
② ．
【答案】（1）由函数的解析式可得： ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
（2）若选择条件①：
由于 ，故 ，则 ，
而 ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于 ，故 ，则 ，
当 时， ， ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
当 时，构造函数 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
注意到 ，故 恒成立，从而有： ，此时：
，
当 时， ，
取 ，则 ，
即： ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
1 / 12021年高考数学真题试卷（新高考Ⅱ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·新高考Ⅱ卷）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2021·新高考Ⅱ卷）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
4．（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
5．（2021·新高考Ⅱ卷）正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·新高考Ⅱ卷）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（ ）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B． 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C． 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D． 越小，该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
7．（2021·新高考Ⅱ卷）已知 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021·新高考Ⅱ卷）下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（ ）
A．样本 的标准差 B．样本 的中位数
C．样本 的极差 D．样本 的平均数
10．（2021·新高考Ⅱ卷）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·新高考Ⅱ卷）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
12．（2021·新高考Ⅱ卷）设正整数 ，其中 ，记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·新高考Ⅱ卷）已知双曲线 ，离心率 ，则双曲线C的渐近线方程为 ．
14．（2021·新高考Ⅱ卷）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
15．（2021·新高考Ⅱ卷）已知向量 ，则 ．
16．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
17．（2021·新高考Ⅱ卷）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
18．（2021·新高考Ⅱ卷）在 中，角A，B，C所对的边长分别为 ．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数a，使得 为钝角三角形 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
19．（2021·新高考Ⅱ卷）在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
20．（2021·新高考Ⅱ卷）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 ．
21．（2021·新高考Ⅱ卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： 的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
22．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 有一个零点
① ；
② ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，表示的点为，位于第一象限.
故答案为：A
【分析】根据复数的运算法则，及复数的几何意义求解即可
2．【答案】B
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：由题设可得，故.
故答案为：B
【分析】根据交集、补集的定义求解即可.
3．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则其到直线x-y+1=0的距离为，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2.
故答案为：B
【分析】根据抛物线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可
4．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：==≈0.42=42%
故答案为：C
【分析】结合题意所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
5．【答案】D
【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积S1=16，上底面面积S2=4，
所以棱台的体积为
故答案为：D
【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
6．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，为数据的方差，所以越小，数据在μ=10附近越集中，所以测量结果落在（9.9,10.1）内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在（9.9,10.0）的概率与落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次测量结果落在（9.9,10.2）的概率与落在（10,10.3）的概率不同，故D错误.
故选：D.
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
7．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，即a故答案为：C
【分析】根据对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.
8．【答案】B
【知识点】奇函数；偶函数；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为 为偶函数， 则有f(2+x)=f(2-x)，可得f(x+3)=f(1-x)，
又因为 为奇函数， 则有f(1-2x)=-f(2x-1)，可得f(1-x)=-f(x+1)，
所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1)，即f(x)=f(x+4)
故函数f(x)的周期为T=4
又因为函数F(x)=f(2x+1)是奇函数，则F(0)=f(1)=0
故f(-1)=-f(1)=0
故答案为：B
【分析】推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.
9．【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；
故选：AC.
【分析】根据标准差，极差，中位数及平均数的定义与意义求解即可.
10．【答案】B,C
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，如图（1）所示，
连接AC，则MN//AC，
故∠POC（或其补角）为异面直线OP,MN所成的角.
在直角三角形OPC中，，CP=1，故
故MN⊥OP不成立，故A错误；
对于B，如图（2）所示，
取NT的中点Q，连接PQ,OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，
由正方体SBCM-NADT可得SN⊥平面ANDT，而平面ANDT，
故SN⊥OQ，而SN∩MN=N，故OQ⊥平面SNTM，
又平面SNTM，则OQ⊥MN，而OQ∩PQ=O，
所以MN⊥平面OPQ，而平面OPQ，故MN⊥OP.
故B正确；
对于C，如图（3）所示，
连接BD，则BD//MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确；
对于D，如图（4）所示，
取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC,PQ,OQ,PK,OK，则AC//MN，
因为DP=PC，故PQ//AC，则PQ//MN，
所以∠QPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，
则有QO2故∠QPO不可能是直角，
故MN，OP不可能垂直
故D错误.
故答案为：BC
【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得圆心C（0,0）到直线l：ax+by-r2=0的距离
对于A，若点A在圆C上，则a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故A正确；
对于B，若点A在圆C内，则a2+b2对于C，若点A在圆C外，则a2+b2>r2，则，则直线l与圆C相交，故C错误；
对于D，若点A在直线l上，则a2+b2-r2=0，即a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2，r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
12．【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A， ， ，
则，故A正确；
对于B，取n=2，2×2+3=7=1·20+1·21+1·22，则ω(7)=3，
而2=0·20+1·21，则ω(2)=1，即ω(7)≠2ω(2)+1，故B错误；
对于C，8n+5=a0·23+a1·24+……+ak·2k+3+5=1·20+1·22+a0·23+a1· 24+……+ak· 2k+3
所以ω(8n+5)=2+a0+a1+……+ak，
4n+3=a0·22+a1· 23+……+ak· 2k+2+3=1·20+1·21+a0·22+a1· 23+……+ak· 2k+2，
所以ω(4n+3)=2+a0+a1+……+ak，
所以ω(8n+5)=ω(4n+3)，故C正确；
对于D，2n-1=20+21+……+2n-1，
所以ω(2n-1)=n，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】利用ω(n)的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
13．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得，所以该双曲线的渐近线方程为
故答案为：
【分析】根据双曲线的几何性质，结合渐近线方程直接求解即可.
14．【答案】 答案不唯一
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：取f(x)=x2，则f(x1x2)=x12x22=f(x1)f(x2)，满足①；
当x>0时，f'(x)=2x>0，满足②；
f'(x)=2x的定义域为R，且f'(-x)=2(-x)=-f'(x)，故f'(x)=2x是奇函数，满足③.
故答案为：f(x)=x2（x∈R）
【分析】根据幂函数的性质直接求解即可.
15．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意得，即，
则
故答案为：
【分析】根据向量的运算法则直接求解即可.
16．【答案】
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：由题意得，则，
所以点A(x1,1-ex1)，点B(x2,ex2-1)，KAM=-ex1，KBN=ex2
所以-ex1·ex2=-1，x1+x2=0， 所以AM：y-1+ex1=-ex1(x-x1)，
所以，
同理
所以
故答案为：（0,1）
【分析】根据导数的几何意义可得x1+x2=0，结合直线方程及两点间距离公式求解即可.
17．【答案】（1）由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
（2）由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为7.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式及性质直接求解即可；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
18．【答案】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出2c=3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角c为钝角，由cosC<0结合三角形三边关系可求得整数a的值.
19．【答案】（1）取 的中点为 ，连接 .
因为 ， ，则 ，
而 ，故 .
在正方形 中，因为 ，故 ，故 ，
因为 ，故 ，故 为直角三角形且 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故平面 平面 .
（2）在平面 内，过 作 ，交 于 ，则 ，
结合（1）中的 平面 ，故可建如图所示的空间坐标系.
则 ，故 .
设平面 的法向量 ，
则 即 ，取 ，则 ，
故 .
而平面 的法向量为 ，故 .
二面角 的平面角为锐角，故其余弦值为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理，结合平面与平面垂直的判定定理求证即可；
（2）利用向量法直接求解即可.
20．【答案】（1）由题意，椭圆半焦距 且 ，所以 ，
又 ，所以椭圆方程为 ；
（2）由（1）得，曲线为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，所以 ，
所以 ，
所以必要性成立；
充分性：设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ，
联立 可得 ，
所以 ，
所以
，
化简得 ，所以 ，
所以 或 ，所以直线 或 ，
所以直线 过点 ，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，结合椭圆的标准方程直接求解即可；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线MN：y=kx+b(kb<0)，由直线与圆相切得b2=k2+1，联立直线与椭圆方程结合弦长公式即可求解.
21．【答案】（1） .
（2）设 ，
因为 ，故 ，
若 ，则 ，故 .
，
因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故 为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，
综上，若 ，则 .
若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .
所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .
（3）每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用公式计算可得E(X).
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合f(1)=0及极值点的范围可得f(x)的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
22．【答案】（1）由函数的解析式可得： ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
（2）若选择条件①：
由于 ，故 ，则 ，
而 ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于 ，故 ，则 ，
当 时， ， ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
当 时，构造函数 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
注意到 ，故 恒成立，从而有： ，此时：
，
当 时， ，
取 ，则 ，
即： ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
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