【精品解析】2021年高考数学真题试卷（天津卷）

2021年高考数学真题试卷（天津卷）
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·天津）设集合 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
2．（2021·天津）已知 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不允分也不必要条件
3．（2021·天津）函数 的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021·天津）从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组： ，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间 内的影视作品数量是（　　）
A．20 B．40 C．64 D．80
5．（2021·天津）设 ，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021·天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021·天津）若 ，则 （　　）
A．-1 B． C．1 D．
8．（2021·天津）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
9．（2021·天津）设 ，函数 ，若 在区间 内恰有6个零点，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． .
二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．（2021·天津）i是虚数单位，复数 　 　．
11．（2021·天津）在 的展开式中， 的系数是　 　．
12．（2021·天津）若斜率为 的直线与y轴交于点A，与圆 相切于点B，则 　 　．
13．（2021·天津）若 ，则 的最小值为　 　．
14．（2021·天津）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为　 　，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为　 　．
15．（2021·天津）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于点E． 且交AC于点F，则 的值为　 　； 的最小值为　 　．
三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．
16．（2021·天津）在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ， ．
（1）求a的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
17．（2021·天津）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正正弦值．
（3）求二面角 的正弦值．
18．（2021·天津）已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为B，离心率为 ，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若 ，求直线l的方程．
19．（2021·天津）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数列， ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 .
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
20．（2021·天津）已知，函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程：
（2）证明 存在唯一的极值点
（3）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意得A∩B={1}，则（A∩B）∪C={0，1，2，4}
故答案为：C
【分析】根据交集，并集的定义求解即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a>6时，a2>36，所以充分性成立；
当a2>36时，a<-6或a>6，所以必要性不成立，
故“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据充分必要条件的定义求解即可.
3．【答案】B
【知识点】函数的值域；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：，则函数是偶函数，排除A，C，
当x∈(0，1)时，ln|x|<0，x2+2>0，则f(x)<0，排除D.
故答案为：B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由x∈(0，1)时，f(x)<0，排除D，即可得解.
4．【答案】D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由频率分布直方图可知，评分在区间 内的影视作品数量是400×0.05×4=80.
故答案为：D
【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可.
5．【答案】D
【知识点】指数函数的概念与表示；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】解：∵log20.3∵，∴b>1
∵0<0.403<0.40=1，∴0∴a故答案为：D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出a，c，b的范围即可求解.
6．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，
设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3：1，即AD=3BD，
设球的半径为R，则，解得R=2，
所以AB=AD+BD=4BD=4，
所以BD=1，AD=3
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BCD
又因为∠ADC=∠BDC
所以△ACD∽△CBD
所以
∴
∴这两个圆锥的体积之和为
故答案为：B
【分析】作出图形，求得球的半径，进而求得两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再结合锥体的体积公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式的应用
【解析】【解答】解：由 得a=log210，b=log510，
则
故答案为：C
【分析】根据指数式与对数式的互化，结合换底公式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线 与抛物线 的公共焦点为（c，0），
则抛物线 的准线为x=-c
将x=-c代入，得，解得，所以，
又因为双曲线的渐近线为，所以，
所以，则
所以
所以双曲线的离心率为
故答案为：A
【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，结合离心率的定义求解即可.
9．【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：∵x2-2(a+1)x+a2+5=0最多有2个根，
∴cos(2πx-2πa)=0至少有4个根，
由，得
由得
(1)当x当时，f(x)有5个零点，即；
当时，f(x)有6个零点，即；
(2)当x≥a时，f(x)=x2-2(a+1)x+a2+5
=4(a+1)2-4(a2+5)=8(a-2)
当a<2时， <0，f(x)无零点；
当a=2时， =0，f(x)有1个零点；
当a>2时，令f(a)=a2-2(a+1)a+a2+5=-2a+5≥0，则，此时f(x)有2个零点；
所以若时，f(x)有1个零点；
综上，要是f(x)在[0，+∞)上有6个零点，则应满足
或或
则a的取值范围是
【分析】由x2-2(a+1)x+a2+5=0最多有2个根，可得cos(2πx-2πa)=0至少有4个根，再结合分类讨论思想，根据x10．【答案】4-i
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：4-i
【分析】根据复数的运算法则求解即可.
11．【答案】160
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 的展开式的通项公式是
令18-4r=6，得r=3
所以 的系数是
【分析】根据二项式的展开式通项公式求解即可.
12．【答案】
【知识点】直线的斜截式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设直线AB的方程为，则点A(0，b)
∵直线AB与圆 相切
∴，解得b=-1或b=3
所以|AC|=2
又∵|BC|=1
∴
故答案为：
【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵a>0，b>0
∴
当且仅当且，即时等号成立
所以的最小值是.
【分析】利用基本不等式求解即可.
14．【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】解：由题意知在一次活动中，甲获胜的概率为，
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为
故答案为：
【分析】根据甲猜对乙没猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率，再根据n次独立重复试验的概率求法求解即可.
15．【答案】1；
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设BE=x，
∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB
∴∠BDE=30°，BD=2x，DE=，DC=1-2x
∵DF//AB
∴△DFC为边长为1-2x的等边三角形，DE⊥DF
∴
∴
∵
则当时，取得最小值为
故答案为：1，
【分析】根据向量的数量积及向量的求模公式，再结合二次函数的最值问题求解即可.
16．【答案】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
， ；
（2）由余弦定理可得 ；
（3） ， ，
， ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理直接求解即可；
（2）根据余弦定理直接求解即可；
（3）根据同角三角函数的基本关系，二倍角公式以及两角差的正弦公式求解即可.
17．【答案】（1）以 为原点， 分别为 轴，建立如图空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以 ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
（2）由（1）得， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ；
（3）由正方体的特征可得，平面 的一个法向量为 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据向量垂直的充要条件求得 平面 的一个法向量，再利用向量法直接求证即可；
（2）先求出，再由求解即可；
（3）先求出平面 的一个法向量，再由结合同角三角函数的平方关系求解即可.
18．【答案】（1）易知点 、 ，故 ，
因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，
因此，椭圆的方程为 ；
（2）设点 为椭圆 上一点，
先证明直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ， ，
因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .
在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，
所以， ，因为 ， ，故 ， ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求出a值，结合a，b，c的关系求得b，从而求得椭圆的方程；
（2）设M(x0，y0)，可得直线l的方程，求出点P的坐标，再根据MP//BF得KMP=KBF，求得x0，y0的值，即可得出直线l的方程
19．【答案】（1）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（2）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可；
（2）（ⅰ）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ⅱ）利用放缩法得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
20．【答案】（1） ，则 ，
又 ，则切线方程为 ；
（2）令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下：
所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ，
当 时， ，则 ， 单调递增，
当 时， ，则 ， 单调递减，
为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；
（3）由（II）知 ，此时 ，
所以 ，
令 ，
若存在a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，即 ，
， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，故 ，
所以实数b的取值范围 .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）令f'(x)=0，可得a=(x+1)ex，则可化为证明y=a与y=g(x)仅有一个交点，利用导数研究y=g(x)的变化情况，数形结合求解即可；
（3）令h(x)=(x2-x-1)ex，(x>-1)，则将问题等价转化为存在x∈(-1，+∞)，使得h(x)≤b，即b≥h(x)min，利用导数求出h(x)的最小值即可.
1 / 12021年高考数学真题试卷（天津卷）
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·天津）设集合 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意得A∩B={1}，则（A∩B）∪C={0，1，2，4}
故答案为：C
【分析】根据交集，并集的定义求解即可.
2．（2021·天津）已知 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不允分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a>6时，a2>36，所以充分性成立；
当a2>36时，a<-6或a>6，所以必要性不成立，
故“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据充分必要条件的定义求解即可.
3．（2021·天津）函数 的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值域；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：，则函数是偶函数，排除A，C，
当x∈(0，1)时，ln|x|<0，x2+2>0，则f(x)<0，排除D.
故答案为：B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由x∈(0，1)时，f(x)<0，排除D，即可得解.
4．（2021·天津）从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组： ，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间 内的影视作品数量是（　　）
A．20 B．40 C．64 D．80
【答案】D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由频率分布直方图可知，评分在区间 内的影视作品数量是400×0.05×4=80.
故答案为：D
【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可.
5．（2021·天津）设 ，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的概念与表示；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】解：∵log20.3∵，∴b>1
∵0<0.403<0.40=1，∴0∴a故答案为：D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出a，c，b的范围即可求解.
6．（2021·天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，
设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3：1，即AD=3BD，
设球的半径为R，则，解得R=2，
所以AB=AD+BD=4BD=4，
所以BD=1，AD=3
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BCD
又因为∠ADC=∠BDC
所以△ACD∽△CBD
所以
∴
∴这两个圆锥的体积之和为
故答案为：B
【分析】作出图形，求得球的半径，进而求得两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再结合锥体的体积公式求解即可.
7．（2021·天津）若 ，则 （　　）
A．-1 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式的应用
【解析】【解答】解：由 得a=log210，b=log510，
则
故答案为：C
【分析】根据指数式与对数式的互化，结合换底公式求解即可.
8．（2021·天津）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线 与抛物线 的公共焦点为（c，0），
则抛物线 的准线为x=-c
将x=-c代入，得，解得，所以，
又因为双曲线的渐近线为，所以，
所以，则
所以
所以双曲线的离心率为
故答案为：A
【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，结合离心率的定义求解即可.
9．（2021·天津）设 ，函数 ，若 在区间 内恰有6个零点，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． .
【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：∵x2-2(a+1)x+a2+5=0最多有2个根，
∴cos(2πx-2πa)=0至少有4个根，
由，得
由得
(1)当x当时，f(x)有5个零点，即；
当时，f(x)有6个零点，即；
(2)当x≥a时，f(x)=x2-2(a+1)x+a2+5
=4(a+1)2-4(a2+5)=8(a-2)
当a<2时， <0，f(x)无零点；
当a=2时， =0，f(x)有1个零点；
当a>2时，令f(a)=a2-2(a+1)a+a2+5=-2a+5≥0，则，此时f(x)有2个零点；
所以若时，f(x)有1个零点；
综上，要是f(x)在[0，+∞)上有6个零点，则应满足
或或
则a的取值范围是
【分析】由x2-2(a+1)x+a2+5=0最多有2个根，可得cos(2πx-2πa)=0至少有4个根，再结合分类讨论思想，根据x二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．（2021·天津）i是虚数单位，复数 　 　．
【答案】4-i
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：4-i
【分析】根据复数的运算法则求解即可.
11．（2021·天津）在 的展开式中， 的系数是　 　．
【答案】160
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 的展开式的通项公式是
令18-4r=6，得r=3
所以 的系数是
【分析】根据二项式的展开式通项公式求解即可.
12．（2021·天津）若斜率为 的直线与y轴交于点A，与圆 相切于点B，则 　 　．
【答案】
【知识点】直线的斜截式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设直线AB的方程为，则点A(0，b)
∵直线AB与圆 相切
∴，解得b=-1或b=3
所以|AC|=2
又∵|BC|=1
∴
故答案为：
【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可.
13．（2021·天津）若 ，则 的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵a>0，b>0
∴
当且仅当且，即时等号成立
所以的最小值是.
【分析】利用基本不等式求解即可.
14．（2021·天津）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为　 　，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为　 　．
【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】解：由题意知在一次活动中，甲获胜的概率为，
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为
故答案为：
【分析】根据甲猜对乙没猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率，再根据n次独立重复试验的概率求法求解即可.
15．（2021·天津）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于点E． 且交AC于点F，则 的值为　 　； 的最小值为　 　．
【答案】1；
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设BE=x，
∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB
∴∠BDE=30°，BD=2x，DE=，DC=1-2x
∵DF//AB
∴△DFC为边长为1-2x的等边三角形，DE⊥DF
∴
∴
∵
则当时，取得最小值为
故答案为：1，
【分析】根据向量的数量积及向量的求模公式，再结合二次函数的最值问题求解即可.
三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．
16．（2021·天津）在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ， ．
（1）求a的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
【答案】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
， ；
（2）由余弦定理可得 ；
（3） ， ，
， ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理直接求解即可；
（2）根据余弦定理直接求解即可；
（3）根据同角三角函数的基本关系，二倍角公式以及两角差的正弦公式求解即可.
17．（2021·天津）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正正弦值．
（3）求二面角 的正弦值．
【答案】（1）以 为原点， 分别为 轴，建立如图空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以 ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
（2）由（1）得， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ；
（3）由正方体的特征可得，平面 的一个法向量为 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据向量垂直的充要条件求得 平面 的一个法向量，再利用向量法直接求证即可；
（2）先求出，再由求解即可；
（3）先求出平面 的一个法向量，再由结合同角三角函数的平方关系求解即可.
18．（2021·天津）已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为B，离心率为 ，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若 ，求直线l的方程．
【答案】（1）易知点 、 ，故 ，
因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，
因此，椭圆的方程为 ；
（2）设点 为椭圆 上一点，
先证明直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ， ，
因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .
在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，
所以， ，因为 ， ，故 ， ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求出a值，结合a，b，c的关系求得b，从而求得椭圆的方程；
（2）设M(x0，y0)，可得直线l的方程，求出点P的坐标，再根据MP//BF得KMP=KBF，求得x0，y0的值，即可得出直线l的方程
19．（2021·天津）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数列， ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 .
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
【答案】（1）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（2）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可；
（2）（ⅰ）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ⅱ）利用放缩法得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
20．（2021·天津）已知，函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程：
（2）证明 存在唯一的极值点
（3）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
【答案】（1） ，则 ，
又 ，则切线方程为 ；
（2）令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下：
所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ，
当 时， ，则 ， 单调递增，
当 时， ，则 ， 单调递减，
为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；
（3）由（II）知 ，此时 ，
所以 ，
令 ，
若存在a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，即 ，
， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，故 ，
所以实数b的取值范围 .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）令f'(x)=0，可得a=(x+1)ex，则可化为证明y=a与y=g(x)仅有一个交点，利用导数研究y=g(x)的变化情况，数形结合求解即可；
（3）令h(x)=(x2-x-1)ex，(x>-1)，则将问题等价转化为存在x∈(-1，+∞)，使得h(x)≤b，即b≥h(x)min，利用导数求出h(x)的最小值即可.
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