2022届高考数学一轮复习诱导公式和三角函数的图像和性质教案

学习目标
明确三角函数诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；
培养逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想.
3.
理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换，了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法
诱导公式和三角函数的图像和性质
学习难重点
过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值?化简和证明问题，体会公式变形在数学中的作用.
2.理解周期函数与最小正周期的意义，会求三角函数的最小正周期.
3.理解正弦函数、余弦函数奇偶性、单调性、最大值与最小值的概念.
知识点：
一?诱导公式一
终边相同角的同一三角函数的值相等，即
sin(α+k·2π)=
sinα
；
cos(α+k·2π)=cos
α；
tan(α+k·2π)=tanα，其中k∈Z.
二?诱导公式二?三?四
1.诱导公式二
（1）角π+α与角α的终边关于原点对称.
如图所示.
（2）公式：sin(π+α)=－
sinα.cos(π+α)=
cos
α　.tan(π+α)=
tanα.
2.诱导公式三
（1）角-α与角α的终边关于ｘ轴对称.
如图所示.
（2）公式：sin(-α)=
－
sinα.cos(-α)=
cos
α
.tan(-α)=-
tanα.
3.诱导公式四
（1）角π-α与角α终边关于y轴对称.如图所示.
（2）公式：sin(π-α)=
sinα.cos(π-α)=
-cos
α.tan(π-α)=
-
tanα..
三?诱导公式五?六
1.公式五?六
设任意角的终边与单位圆的交点坐标为，由于角的终边与角的终边关于直线y=x对称，角的终边与单位圆的交点与点关于直线对称，因此点的坐标是（如图所示）．
由三角函数的定义得：
，；，．
从而可得：
公式五
cos
α，
sinα.
由于，由公式四及公式五可得：
公式六
cos
α，
-sinα.
三角函数图象和性质
一、正弦函数图象
1.正弦函数的图象
二、余弦函数图象
1.余弦函数的图象
三、正切函数图象
四、正余弦函数的性质
1.周期函数
（1）对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
（2）如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
（3）正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）都是周期函数，最小正周期为，2kπ（且k≠0）是它们的周期.
2.正弦函数、余弦函数的性质
函数
y=sinx
y=cosx
定义域
R
值域
[－1，1]
图象
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
最小正周期：T=2π
单调性
在（k∈Z）上递增；
在（k∈Z）上递减
在（k∈Z）上递增；
在（k∈Z）上递减
最值
当x=时，ymin=－1；
当x=时，ymax=1
当x=时，ymin=－1；
当x=时，ymax=1
对称轴
x=＋kπ，k∈Z
x=kπ，k∈Z
对称
中心
（kπ，0），k∈Z
（＋kπ，0），k∈Z
五、正切函数的性质
定义域
值域
奇偶性
奇函数
单调性
在上单调递增
例题讲解：
【例1】
求值：（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）；
（2）；
（3）
【例2】
化简.
【解】原式
.
【例3】
　图中的曲线对应的函数解析式是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【例4】
在上使成立的的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，可得，利用正弦函数的性质得的范围，又因为，再赋值求出即可.
【详解】
，
，
，
又因为，所以当时，，
当时，，
综上：
【例5】
下列函数中，周期为的是（
）
A.
y＝sin
B.
y＝sin2x
C.
y＝cos
D.
y＝cos(－4x)
【答案】D
【解析】
【分析】
根据周期公式求解即可.
【详解】根据公式
的周期为，故A错误；
的周期为，故B错误；
的周期为，故C错误；
的周期为，故D正确；
【例6】
函数的最大值是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合同角三角函数的基本关系式、二次函数的性质，求得函数的最大值.
【详解】
，
当时等号成立，
所以函数的最大值是.
故选：C
课堂运用
1._______.
【答案】
【解析】
2.已知，求的值.
【解】原式
.
3.
函数，，则的范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦函数的单调性直接求解即可.
【详解】根据正弦函数图象可知在区间上，函数先增后减，
当时，，当时，.
故选：C．
4.
函数的简图是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦函数的图象平移可得．
【详解】把的图象向上平移1个单位即可.
故选：D
5.
函数的最小正周期是（
）
A.
B.
C.
D.
4
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用周期公式求解即可
【详解】，由周期公式.
6.
函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．
7.
设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
8.
已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
【答案】（1）（2）时，取到最大值3；
时，取到最小值.
【解析】
【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．
（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．
【详解】解：（1）∵向量．
由，
可得：，
即，
∵x∈[0，π]
∴．
（2）由
∵x∈[0，π]，
∴
∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；
当，即时．
课后作业：
1.已知函数.
（I）求f(x)的最小正周期；
（II）求证：当时，．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为，最后根据公式求周期；（Ⅱ）先求的范围再求函数的最小值.
试题解析:（Ⅰ）.
所以的最小正周期.
（Ⅱ）因为，
所以.
所以.
所以当时，.
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