专题九
《平面向量》讲义
9.2
数量积
知识梳理.数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos
θ＝
cos
θ＝
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
题型一.
基本公式
1．若非零向量、满足且，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵非零向量、满足，且，设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∴（2）?2?0，即2?，∴2||?||?cosθ，
求得cosθ，∴θ，
故选：C．
2．已知非零向量，夹角为45°，且||＝2，||＝2．则||等于（ ）
A．2
B．2
C．
D．
【解答】解：非零向量，夹角为45°，且||＝2，||＝2．
可得4，
4﹣2||+||2＝4
则||＝2．
故选：A．
3．已知向量，及实数t满足|t|＝3．若?2，则t的最大值是 ．
【解答】解：由于求t的最大值，即t＞0，
由|t|＝3，?2，
两边平方可得（t）2＝9，
即为2+t22+2t?9，
即有2+t22＝9﹣4t，
由2+t22≥2t||?||≥2t?4t，
当且仅当，同向时，取得等号．
由9﹣4t≥4t，解得t．
即有t的最大值为．
故答案为：．
题型二.
几何意义——投影
1．设向量，是夹角为的单位向量，若3，，则向量在方向的投影为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【解答】解：∵向量，是夹角为的单位向量，
∴1，．
3，
∴．
∴向量在方向的投影为．
故选：A．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则 18 ．
【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC＝2AO
∵AP⊥BD，AP＝3，
在Rt△APO中，AOcos∠OAP＝AP＝3
∴||cos∠OAP＝2||×cos∠OAP＝2||＝6，
由向量的数量积的定义可知，||||cos∠PAO＝3×6＝18
故答案为：18
3．如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则?的取值范围是 [﹣5，5] ．
【解答】解：如图所示：设∠PAB＝θ，作OM⊥AP，则∠AOM＝θ，
∴sinθ，AM＝5sinθ，AP＝2AM＝10sinθ．
∴10sinθ×1×cosθ＝5sin2θ∈[﹣5，5]，
故答案为：[﹣5，5]．
题型三.
转换基底
1．如图，在△ABC中，AD⊥AB，2，||＝1，则?（ ）
A．2
B．
C．
D．﹣2
【解答】解：在△ABC中，AD⊥AB，2，||＝1，
则?（）?
＝0+2?2（）?
＝222?1﹣0＝2，
故选：A．
2．已知向量与的夹角为120°，且，，若且，则实数λ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：向量与的夹角为120°，且，，
可得?3×2×cos120°＝﹣3，
若且，
则?（λ）?（）2﹣λ2+（λ﹣1）?
＝4﹣9λ﹣3（λ﹣1）＝0，
解得λ．
故选：C．
3．如图，P为△AOB所在平面内一点，向量，，且点P在线段AB的垂直平分线上，向量．若||＝3，||＝2，则的值为 ．
【解答】解：设线段AB的垂直平分线为PH，H为垂足，
则
，
则（）?（）
（）
（32﹣22）+0．
故答案为：．
题型四.
数量积运算律求最值
1．向量的夹角为120°，，，则的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【解答】解：|2|≤|2|+||，计算：|2|22+42+4||2+4||2+4||?||cosθ＝1+4﹣43，
∴|2|，|2|≤|2|+||＝2，当且仅当||2|＝||时取等号．
故的最大值为2，
故选：C．
2．已知向量，满足||＝5，||＝1且|4|，则?的最小值为 ．
【解答】解：∵|4|，
∴81621，
即25﹣816≤21，
∴．
故答案为：．
3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，M是线段BC上的动点，若，则的取值范围是 [1，4） ．
【解答】解：由已知有：||＝||，，，（0≤λ≤1），
则（））＝（）（）＝﹣3，
所以，
因为0≤λ≤1，∴∈[1，10]，
因为，其中为与的夹角，θ∈（0，π），
因为cosθ∈（﹣1，1），所以2×2cosθ＝4cosθ∈（﹣4，4），
又，所以．
故答案为：[1，4）．
题型五.数量积坐标运算
1．已知向量（2，1），（1，﹣1），（m﹣2，﹣n），其中m，n均为正数，且（）∥，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角
B．向量在方向上的投影为
C．2m+n＝4
D．mn的最大值为2
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，向量（2，1），（1，﹣1），则?2﹣1＝1＞0，则、的夹角为锐角，A错误；
对于B，向量（2，1），（1，﹣1），则向量a在b方向上的投影为，B错误；
对于C，向量（2，1），（1，﹣1），则（1，2），若（）∥，则（﹣n）＝2（m﹣2），变形可得2m+n＝4，C正确；
对于D，由C的结论，2m+n＝4，而m，n均为正数，则有mn（2m?n）（）2＝2，即mn的最大值为2，D正确；
故选：CD．
2．如图，在矩形ABCD中，AB，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是 ．
【解答】解：∵，
||，
∴||＝1，||1，
∴（）（）22，
故答案为：
3．已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足2，，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意知：，
设∠DAB＝θ，
所以（）?（）24cosθ﹣4cosθ，
所以cosθ，
又θ∈（0，π），
所以，
以AC与BD交点为原点，AC为x轴，BD为y轴建立如图所示的直角坐标系，
所以A（，0），C（，0），D（0，1），B（0，﹣1），E（），
设F（0，t），
则（，t），（，t），
所以2+t（t）＝t2（t）2，
当t时，取最小值，
故选：D．
题型六.
极化恒等式
1．设向量，满足||，||，则（ ）
A．﹣1
B．1
C．4
D．﹣4
【解答】解：∵||，∴（）2＝10，∴2?10
①，
∵||，∴（）2＝6，∴2?6
②，
①﹣②得
4?4，∴?1．
故选：B．
2．如图，△ABC是边长为的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是 [1，13] ．
【解答】解：∵2，∠ACB＝60°
∴?2?2cos60°＝6
∵，
∴（）（）?（）2
∵1
∴?6（）+1＝7（）
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴向量是与AB垂直且方向向上，长度为6的一个向量
由此可得，点P在圆C上运动，当与共线同向时，（）取最大值，且这个最大值为6
当与共线反向时，（）取最小值，且这个最小值为﹣6
故的最大值为7+6＝13，最小值为7﹣6＝1．即的取值范围是[1，13]
故答案为：[1，13]
3．已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值为（ ）
A．﹣3
B．﹣6
C．﹣2
D．
【解答】解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），
设P（x，y），则（﹣x，2y），（﹣2﹣x，﹣y），（2﹣x，﹣y），
所以则的最＝﹣x?（﹣2x）+（2y）?（﹣2y）＝2x2﹣4y+2y2
＝2[x2+2（y）2﹣3]；
所以当x＝0，y时，取得最小值为2×（﹣3）＝﹣6，
故选：B．
课后作业.
数量积
1．已知向量、满足，，，则与夹角为（ ）
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
【解答】解：，，
∴，
∴，
∴，即4，
∴，
∴，且，
∴．
故选：B．
2．已知△ABC满足，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形
【解答】解：根据2?得到：c2＝2bccosA，
由正弦定理2R，可得sin2C＝2sinBsinCcosA，
又C为三角形的内角，得到sinC≠0，
可得sinC＝2sinBcosA，
又sinC＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B），
∴sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝2sinBcosA，即sinAcosB﹣cosAsinB＝0，
∴sin（A﹣B）＝0，且A和B都为三角形的内角，
∴A＝B，
则△ABC的形状为等腰三角形．
故选：D．
3．已知向量，||＝1，对任意t∈R，恒有|t|≥||，则（ ）
A．⊥
B．⊥（）
C．⊥（）
D．（）⊥（）
【解答】解：已知向量
，||＝1，对任意t∈R，恒有|t|≥||
即|t|2≥||2∴
即
故选：C．
4．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则（ ）
A．34
B．28
C．﹣16
D．﹣22
【解答】解：∵，且AM＝3，BC＝10，
∴||＝3，||＝||＝5，
∴25，0，
∴（）?（）
＝9﹣25
＝﹣16．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为（ ）
A．﹣3
B．
C．
D．
【解答】解：∵2，∴，
∵∥，∴k，即k（），又∵，
则（m﹣1）k（），∴，∴k，m，
则??（）＝（）?（）22?4×3cos，
故选：C．
6．如图，在矩形ABCD中，AB，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是 ．
【解答】解：∵，
||，
∴||＝1，||1，
∴（）（）22，
故答案为：
7．已知均为单位向量，且．若，则的取值范围是（ ）
A．
B．[3，5]
C．[3，4]
D．
【解答】解：∵均为单位向量，且．
∴设，再设，
代入，得．
即（x，y）到A（4，0）和B（0，3）的距离和为5，
∴的终点轨迹是点（4，0）和（0，3）之间的线段，
，表示M（﹣1，0）到线段AB上点的距离，
最小值是点（﹣1，0）到直线3x+4y﹣12＝0的距离．
∴．
最大值为|MA|＝5．
∴的取值范围是[3，5]．
故选：B．
8．已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB＝1，BC＝2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0]
B．
C．
D．
【解答】解：如图，
由AB＝1，BC＝2，可得AC，
以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则B（1，0），C（0，），直线BC方程为x1则直线AM方程为yx，
联立，解得：M（，），
由图可知，当P在线段BC上时，?有最大值为0，
当P在线段AC上时，?有最小值，设P（0，y）（0≤y），
∴?（，）（﹣1，y）y．
∴?的范围是[，0]．
故选：D．
9．在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||＝2，???0，动点P，M满足||＝1，，则||2的最大值为 ．
【解答】解：平面内，||＝||＝||＝2，???0，
∴⊥，⊥，⊥，
可设D（0，0），A（2，0），B（﹣1，），C（﹣1，），
∵动点P，M满足||＝1，，
可设P（2+cosθ，sinθ），M（，），
∴（，），
∴，
当且仅当sin（θ）＝1时取等号，
∴||2的最大值为．
故答案为：．专题九
《平面向量》讲义
9.2
数量积
知识梳理.数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos
θ＝
cos
θ＝
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
题型一.
基本公式
1．若非零向量、满足且，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知非零向量，夹角为45°，且||＝2，||＝2．则||等于（ ）
A．2
B．2
C．
D．
3．已知向量，及实数t满足|t|＝3．若?2，则t的最大值是
．
题型二.
几何意义——投影
1．设向量，是夹角为的单位向量，若3，，则向量在方向的投影为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则
．
3．如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则?的取值范围是
．
题型三.
转换基底
1．如图，在△ABC中，AD⊥AB，2，||＝1，则?（ ）
A．2
B．
C．
D．﹣2
2．已知向量与的夹角为120°，且，，若且，则实数λ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，P为△AOB所在平面内一点，向量，，且点P在线段AB的垂直平分线上，向量．若||＝3，||＝2，则的值为
．
题型四.
数量积运算律求最值
1．向量的夹角为120°，，，则的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
2．已知向量，满足||＝5，||＝1且|4|，则?的最小值为
．
3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，M是线段BC上的动点，若，则的取值范围是
．
题型五.数量积坐标运算
1．已知向量（2，1），（1，﹣1），（m﹣2，﹣n），其中m，n均为正数，且（）∥，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角
B．向量在方向上的投影为
C．2m+n＝4
D．mn的最大值为2
2．如图，在矩形ABCD中，AB，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是
．
3．已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足2，，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六.
极化恒等式
1．设向量，满足||，||，则（ ）
A．﹣1
B．1
C．4
D．﹣4
2．如图，△ABC是边长为的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是
．
3．已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值为（ ）
A．﹣3
B．﹣6
C．﹣2
D．
课后作业.
数量积
1．已知向量、满足，，，则与夹角为（ ）
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
2．已知△ABC满足，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形
3．已知向量，||＝1，对任意t∈R，恒有|t|≥||，则（ ）
A．⊥
B．⊥（）
C．⊥（）
D．（）⊥（）
4．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则（ ）
A．34
B．28
C．﹣16
D．﹣22
5．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为（ ）
A．﹣3
B．
C．
D．
6．如图，在矩形ABCD中，AB，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是
．
7．已知均为单位向量，且．若，则的取值范围是（ ）
A．
B．[3，5]
C．[3，4]
D．
8．已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB＝1，BC＝2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0]
B．
C．
D．
9．在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||＝2，???0，动点P，M满足||＝1，，则||2的最大值为
．
