专题九
《平面向量》讲义
9.3
三角形四心及面积问题
题型一.
三角形四心
考点1.重心
1．已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m＝（ ）
A．1
B．
C．
D．
2．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足λ（）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
3．已知点P是△ABC所在平面内，且使得||2+||2+||2取得最小值的点，则点P是△ABC的（ ）
A．重心
B．外心
C．垂心
D．内心
考点2.内心
1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的
心．
2．已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为a，b，c，若，则O是△ABC的（ ）
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
考点3.外心
1．设P是△ABC所在平面内的一点，若，且．则点P是△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
2．设P是△ABC所在平面内的一点，若且．则点P是△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
考点4.垂心
1．已知O为△ABC所在平面上一点，且222222，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
2．O是平面上一定点，A，B，C平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈R，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
题型二.
面积问题——奔驰定理
1．已知点O为三角形ABC内一点，，则
．
2．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积之比值为
．
4．平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为
．
6．设
P、Q为△ABC内的两点，且，，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．题九
《平面向量》讲义
9.3
三角形四心及面积问题
题型一.
三角形四心
考点1.重心
1．已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m＝（ ）
A．1
B．
C．
D．
【解答】解：因为2，
又，所以，
则，所以，
所以m，
故选：C．
2．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足λ（）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【解答】解：∵设它们等于t，
∴λ（）
而2
λ（）表示与共线的向量
而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．
故选：C．
3．已知点P是△ABC所在平面内，且使得||2+||2+||2取得最小值的点，则点P是△ABC的（ ）
A．重心
B．外心
C．垂心
D．内心
【解答】解：根据题意，设，，，，
则||2+||2+||232（）?（），
当（）时，上式取得最小值，此时P是△ABC的重心．
故选：A．
考点2.内心
1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的 内 心．
【解答】解：由于O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，
动点P满足，
即P在∠BAC的平分线上，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心．
故答案为：内
2．已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为a，b，c，若，则O是△ABC的（ ）
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
【解答】解：∵，
∴ab（）+c（）
＝bc（a+b+c）
而
，
∴（a+b+c）bc
即
记c，b，其中、分别表示、方向上的单位向量
则
（）
由该式可以看出AO位于∠BAC的角平分线上，故知O只能为内心，即角平分线交点．
故选：D．
考点3.外心
1．设P是△ABC所在平面内的一点，若，且．则点P是△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【解答】解：取AB的中点D，则2，
∵，即22，
∴（）＝0，即，
∴P在AB的中垂线上，
∴PA＝PB，又AP＝CP，
∴P为△ABC的外心．
故选：A．
2．设P是△ABC所在平面内的一点，若且．则点P是△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【解答】解：如图所示，取AB的中点D，则2，
∵?（）＝2?，即2?2?，
∴?（）?0，即⊥，
∴P在AB的中垂线上，
又．
∴（）?（）＝﹣2?，
∴（）?2?，
即?（）＝2?，
∴点P也在BC的中垂线上，
∴点P是△ABC的外心．
故选：A．
考点4.垂心
1．已知O为△ABC所在平面上一点，且222222，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【解答】解：∵2222，
∴2+（）22+（）2，
即222﹣2?222﹣2?，
即??，即?（）?0，
即OC⊥AB，
同理，OB⊥AC，OA⊥BC．
∴O是△ABC的垂心．
故选：D．
2．O是平面上一定点，A，B，C平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈R，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D点．
则?，
同理，
∵动点P满足，λ∈R．
∴，λ∈R．
∴0，
∴，
因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
故选：D．
题型二.
面积问题——奔驰定理
1．已知点O为三角形ABC内一点，，则 3 ．
【解答】解：如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE；
∴；
∴D，O，E三点共线，即DE为△ABC的中位线；
∴DEOE，AB＝2DE；
∴AB＝3OE；
∴．
故答案为：3．
2．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由已知，在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，
且，
点D在平行于AB的中位线上，且为靠近AC边，
从而有，，
，有．
故选：B．
3．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积之比值为 ．
【解答】解：如图，取BC的中点为D，则，
∵，
∴，
∴，∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
4．平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
?
；
故选：C．
5．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为 3 ．
【解答】解：设P的坐标为（x，y），则
（2，1），（1，2），（x﹣1，y+1），∵，
∴，解之得
∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组
作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部
其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）
∵|CF|，
点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6＝0的距离为d
∴平行四边形CDEF的面积为S＝|CF|×d3，即动点P构成的平面区域D的面积为3
故答案为：3
6．设
P、Q为△ABC内的两点，且，，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设，，则
∵，∴
由平行四边形法则知NP∥AB
∴△ABP的面积与△ABC的面积之比
同理△ABQ的面积与△ABC的面积之比为
∴△ABP的面积与△ABQ的面积之比为
故选：D．
