第四章测评-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含答案）

1262380010464800第四章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(每小题5分,共40分)
1.计算:log225·log522=(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
2.(2019全国Ⅰ,文3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(　　)
A.a C.c 3.如果一种放射性元素每年的衰减率是8%,那么a kg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于(　　)
A.lg0.50.92 B.lg0.920.5
C.lg0.5lg0.92 D.lg0.92lg0.5
4.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(x1·x2·…·x2 021)=8,则f(x12)+f(x22)+…+f(x2 0212)的值等于(　　)
A.4 B.8
C.16 D.2loga8
5.函数y=log0.4(-x2+3x+4)的值域是(　　)
A.(0,2] B.[-2,+∞)
C.(-∞,-2] D.[2,+∞)
6.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax,若f(ln 2)=8,则a=(　　)
A.ln 3 B.-ln 3
C.3 D.-3
7.(2019浙江,6)在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=logax+12(a>0,且a≠1)的图象可能是(　　)

8.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=(　　)
A.52 B.3
C.72 D.4
二、多项选择题(每小题5分,共20分)
9.(2020山东烟台高一期末)若a>b>0,0 A.logcacb
C.ac>bc D.logc(a+b)>0
10.(2020福建厦门一中高一期中)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下述论述,其中正确的是(　　)
A.当a=0时,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.f(x)一定有最小值
C.当a=0时,f(x)的值域为R
D.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是{a|a≥-4}
11.某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y=at-1(a>0且a≠1),它的图象如图所示,给出以下命题,其中正确的有(　　)

A.池塘中原有浮草的面积是0.5平方米
B.第8个月浮草的面积超过60平方米
C.浮草每月增加的面积都相等
D.若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2>t1+t3
12.(2020山东师范大学附中高三月考)设函数f(x)=|log2x|,02,若实数a,b,c满足0 A.ab=1 B.c-a=32
C.b2-4ac<0 D.a+c<2b
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.21+12·log25的值等于　　　　　.?
14.里氏地震等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里克特制定的,它同震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关.震级M=23lg E-3.2,其中E(焦耳)为地震时以地震波的形式释放出的能量.如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗原子弹释放的能量,那么里氏8.0级大地震所释放的能量相当于　　　颗原子弹的能量.?
15.(2019浙江9+1高中联盟高一联考)函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0,且a≠1)图象恒过定点A,则点A的坐标为　　　　　;若f-32<32,则实数a的取值范围是　　　　　.?
16.某数学小组以函数f(x)=lg1-x1+x为基本素材,研究该函数的相关性质,取得部分研究结果如下:
①函数f(x)的定义域为(-1,1);
②函数f(x)是偶函数;
③对于任意的x∈(-1,1),都有f2xx2+1=2f(x);
④对于任意的a,b∈(-1,1),都有f(a)+f(b)=fa+b1+ab;
⑤对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1,x2,总满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0.
其中所有正确研究结果的序号是　　　　　.?









四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(1)计算:log3(9×272)+log26-log23+log43×log316;
(2)解方程:log5(x+1)-log15(x-3)=1.







18.(12分)画出函数f(x)=|log3x|的图象,并求出其值域、单调区间以及在区间19,6上的最大值.








19.(12分)已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(4-2x),a>0,且a≠1.
(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;
(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.










20.(12分)已知函数f(x-1)=lgx2-x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x+1).







21.(12分)已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f35=2,求使f(x)>0成立的x的集合.








22.(12分)(2019湖南长郡中学模拟)已知函数f(x)=loga(3-ax),a>0,且a≠1.
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.








1262380010464800第四章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(每小题5分,共40分)
1.计算:log225·log522=(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
解析log225·log522=lg25lg2·lg 812lg5=3,故选A.
答案A
2.(2019全国Ⅰ,文3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(　　)
A.a C.c 解析因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<0.20.3<0.20<1,即c∈(0,1),所以a 答案B
3.如果一种放射性元素每年的衰减率是8%,那么a kg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于(　　)
A.lg0.50.92 B.lg0.920.5
C.lg0.5lg0.92 D.lg0.92lg0.5
解析设t年后剩余量为y kg,则y=(1-8%)ta=0.92ta.当y=12a时,12a=0.92ta,
所以0.92t=0.5,则t=log0.920.5=lg0.5lg0.92.
答案C
4.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(x1·x2·…·x2 021)=8,则f(x12)+f(x22)+…+f(x2 0212)的值等于(　　)
A.4 B.8
C.16 D.2loga8
解析f(x12)+f(x22)+…+f(x2 0212)=logax12+logax22+…+logax2 0212=loga(x1·x2·x3·…·x2 021)2=2loga(x1x2…x2 021)=2f(x1·x2·…·x2 021)=16.
答案C
5.函数y=log0.4(-x2+3x+4)的值域是(　　)
A.(0,2] B.[-2,+∞)
C.(-∞,-2] D.[2,+∞)
解析-x2+3x+4=-x-322+254≤254,又-x2+3x+4>0,则0<-x2+3x+4≤254,函数y=log0.4(-x2+3x+4)在(0,+∞)内为减函数,则y=log0.4(-x2+3x+4)≥log0.4254=-2,故函数的值域为[-2,+∞).
答案B
6.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax,若f(ln 2)=8,则a=(　　)
A.ln 3 B.-ln 3
C.3 D.-3
解析设x>0,则-x<0.
∵当x<0时,f(x)=-eax,∴f(-x)=-e-ax.
∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=e-ax.
∵ln 2>0,∴f(ln 2)=e-aln 2=(eln 2)-a=2-a,
∴2-a=8,∴a=-3.
答案D
7.(2019浙江,6)在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=logax+12(a>0,且a≠1)的图象可能是(　　)

解析当01时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=1ax的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=logax+12的图象过定点12,0且单调递增,各选项均不符合.故选D.
答案D
8.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=(　　)
A.52 B.3
C.72 D.4
解析对2x+2x=5,2x+2log2(x-1)=5进行变形,可得2x-1=52-x,log2(x-1)=52-x.
画出函数y=2x-1,y=52-x,y=log2(x-1)的图象,如图所示.

根据指数函数y=2x和对数函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,易得函数y=2x-1和函数y=log2(x-1)的图象关于直线y=x-1对称,从而x1+x2等于直线y=x-1与y=52-x交点的横坐标的2倍,即72.
答案C
二、多项选择题(每小题5分,共20分)
9.(2020山东烟台高一期末)若a>b>0,0 A.logcacb
C.ac>bc D.logc(a+b)>0
解析因为0b>0得logcab>0,得cab>0,01,所以ac>bc,故C正确;取c=12,a+b=2,则logc(a+b)=log122=-1<0,故D错误.
答案AC
10.(2020福建厦门一中高一期中)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下述论述,其中正确的是(　　)
A.当a=0时,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.f(x)一定有最小值
C.当a=0时,f(x)的值域为R
D.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是{a|a≥-4}
解析对A,当a=0时,解x2-1>0有x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;对B,当a=0时,f(x)=lg(x2-1),此时x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),x2-1∈(0,+∞),此时f(x)=lg(x2-1)值域为R,故B错误,C正确;对D,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,此时y=x2+ax-a-1对称轴x=-a2≤2.解得a≥-4.但当a=-4时f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,故D错误.
答案AC
11.某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y=at-1(a>0且a≠1),它的图象如图所示,给出以下命题,其中正确的有(　　)

A.池塘中原有浮草的面积是0.5平方米
B.第8个月浮草的面积超过60平方米
C.浮草每月增加的面积都相等
D.若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2>t1+t3
解析浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y=at-1(a>0且a≠1),函数的图象经过(2,2),所以2=a2-1,解得a=2.
当t=0时,y=12,故选项A正确;
当第8个月时,y=28-1=27=128>60,故B正确;
当t=1时,y=1,增加0.5,当t=2时,y=2,增加1,故每月增加的面积不相等,故C错误.
根据函数的解析式2t1-1=10,解得t1=log210+1,
同理t2=log220+1,t3=log230+1,
所以2t2=2log220+2=log2400+2>t1+t3=log2300+2,所以2t2>t1+t3.故D正确.
答案ABD
12.(2020山东师范大学附中高三月考)设函数f(x)=|log2x|,02,若实数a,b,c满足0 A.ab=1 B.c-a=32
C.b2-4ac<0 D.a+c<2b
解析由题意,实数a,b,c满足0 可得ab=1和c-a=32恒成立,即A,B正确;
又由b2-4ac=1a2?4a(a+32)=3(12-a)a2(a+32)<0,所以b2-4ac<0,所以C正确;
又由a+c-2b=2a+32?2a∈-32,32,当12
答案ABC
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.21+12·log25的值等于　　　　　.?
解析21+12log25=2×212log25=2×512=25.
答案25
14.里氏地震等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里克特制定的,它同震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关.震级M=23lg E-3.2,其中E(焦耳)为地震时以地震波的形式释放出的能量.如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗原子弹释放的能量,那么里氏8.0级大地震所释放的能量相当于　　　颗原子弹的能量.?
解析设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1,则8-6=23(lg E2-lg E1),即lg E2E1=3,
∴E2E1=103=1 000.故里氏8.0级大地震所释放的能量相当于1 000颗原子弹的能量.
答案1 000
15.(2019浙江9+1高中联盟高一联考)函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0,且a≠1)图象恒过定点A,则点A的坐标为　　　　　;若f-32<32,则实数a的取值范围是　　　　　.?
解析函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0,且a≠1)图象恒过定点A,令x+2=1,求得x=-1,f(-1)=1,可得它的图象经过定点(-1,1).
当0 若f-32<32,则1+loga-32+2<32,
即loga12<12,即a<12,求得0 当a>1时,函数f(x)为增函数,
若f-32<32,则1+loga-32+2<32,
即loga12<12,即a>12,求得a>14,又a>1,所以a>1.
综上,实数a的取值范围为0,14∪(1,+∞).
答案(-1,1)　0,14∪(1,+∞)
16.某数学小组以函数f(x)=lg1-x1+x为基本素材,研究该函数的相关性质,取得部分研究结果如下:
①函数f(x)的定义域为(-1,1);
②函数f(x)是偶函数;
③对于任意的x∈(-1,1),都有f2xx2+1=2f(x);
④对于任意的a,b∈(-1,1),都有f(a)+f(b)=fa+b1+ab;
⑤对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1,x2,总满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0.
其中所有正确研究结果的序号是　　　　　.?
解析在①中,因为f(x)=lg1-x1+x,所以1-x1+x>0,得函数的定义域为(-1,1),所以①是正确的;
在②中,f(x)=lg1-x1+x=-lg1+x1-x=-f(-x),
所以函数f(x)为奇函数,所以②是错误的;
在③中,对于任意x∈(-1,1),有f2xx2+1=lg1-2xx2+11+2xx2+1=lgx2-2x+1x2+2x+1=lg(x-1)2(x+1)2,又2f(x)=2lg1-x1+x=lg(x-1)2(x+1)2,所以③是正确的;
在④中,对于任意的a,b∈(-1,1),
有f(a)+f(b)=lg1-a1+a+lg1-b1+b=lg1-a1+a·1-b1+b=lg1-a-b+ab1+a+b+ab,又fa+b1+ab=lg1-a+b1+ab1+a+b1+ab=lg1-a-b+ab1+a+b+ab,所以④是正确的;
在⑤中,对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1,x2,总满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,即说明f(x)是增函数,但f(x)=lg1-x1+x=lg-1+21+x是减函数,所以⑤是错误的.
综上可知,正确研究结果的序号为①③④.
答案①③④
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(1)计算:log3(9×272)+log26-log23+log43×log316;
(2)解方程:log5(x+1)-log15(x-3)=1.
解(1)log3(9×272)+log26-log23+log43×log316
=log3[32×(33)2]+(log23+log22)-log23+log43×log342=log3[32×36]+log22+(log43)×2(log34)
=log338+1+2=8+1+2=11.
(2)原方程化为log5(x+1)+log5(x-3)=log55,
∴(x+1)(x-3)=5,
解得x=-2或x=4.
经检验,x=-2不符合题意,
故原方程的解为x=4.
18.(12分)画出函数f(x)=|log3x|的图象,并求出其值域、单调区间以及在区间19,6上的最大值.
解因为f(x)=|log3x|=log3x,x≥1,-log3x,0 所以在[1,+∞)上f(x)的图象与y=log3x的图象相同,在(0,1)上的图象与y=log3x的图象关于x轴对称,据此可画出其图象,如图所示.

由图象可知,函数f(x)的值域为[0,+∞),单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1).
当x∈19,6时,f(x)在区间19,1上是单调递减的,在(1,6]上是单调递增的.
又f19=2,f(6)=log36<2,
故f(x)在区间19,6上的最大值为2.
19.(12分)已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(4-2x),a>0,且a≠1.
(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;
(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.
解(1)由题意可知,f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义,
则有x+1>0,4-2x>0,
解得-1 故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).
(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),
即loga(x+1)>loga(4-2x).
当a>1时,可得x+1>4-2x,解得x>1.
由(1)知-1 所以1 当0 由(1)知-1 综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2);
当0 20.(12分)已知函数f(x-1)=lgx2-x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x+1).
解(1)令t=x-1,则x=t+1.
由题意知x2-x>0,
即0 所以f(t)=lgt+12-(t+1)=lgt+11-t.
故f(x)=lgx+11-x(-1 (2)lgx+11-x≥lg(3x+1)?x+11-x≥3x+1>0.
由3x+1>0,得x>-13.
因为-1 所以1-x>0.
由x+11-x≥3x+1,得x+1≥(3x+1)(1-x),
即3x2-x≥0,
解得x≥13,或x≤0.
又x>-13,-1 所以-13 故不等式的解集为-13,0∪13,1.
21.(12分)已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f35=2,求使f(x)>0成立的x的集合.
解(1)要使函数有意义,则1+x>0,1-x>0,解得-1 (2)f(x)是奇函数.理由如下:
∵f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(3)若f35=2,
∴loga1+35-loga1-35=loga4=2,
解得a=2,
∴f(x)=log2(1+x)-log2(1-x).
若f(x)>0,则log2(x+1)>log2(1-x),
∴x+1>1-x>0,
解得0 故所求x的集合为(0,1).
22.(12分)(2019湖南长郡中学模拟)已知函数f(x)=loga(3-ax),a>0,且a≠1.
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.
解(1)∵a>0,且a≠1,设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函数,x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,
当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.∴3-2a>0.
∴a<32.又a>0,且a≠1,
∴a的取值范围是(0,1)∪1,32.
(2)由(1)知t(x)=3-ax为减函数.
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,
∴y=logat为增函数,
∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a,f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a),∴3-2a>0,loga(3-a)=1,即a<32,a=32.故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.