4.3一元二次不等式的应用 课件（共33张PPT）——2021-2022学年高一上学期北师大版（2019）必修第一册

4.3一元二次不等式的应用
制作老师：胡琪
教学目标
01
02
能用一元二次不等式解决实际问题
会解分式不等式
掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
03
分式不等式解法和不等式恒成立
重点
难点
一元二次不等式的实际应用
环节一
分式不等式的解法
1．不等式4x2－4x＋1≤0的解集是 12 ．
2．若ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是?，则a，b，c
满足的条件是 .
3.函数y＝f(x)的图像(如图)，不等式f(x)＞0的解集为
?
a＞0，b2－4ac＜0
温故而知新
(－1,0)∪(1,2)
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}①
????????????????>0
????????????????>0
②
????????????????<0
????????????????<0
③
????????????????≥0
????????????????≥0且????????≠0
④
????????????????≤0
????????????????≤0且????????≠0
分式不等式常见题型及对策
一端是零
例1
解不等式（1）?????????????????????+????>????
?
解：原不等式等价于(2x－1)(3x＋1)＞0，∴x＜－13 或 x＞12.
?
分析
转化为与之同解的整式不等式求解．
转化为一元二次不等式后，二次项系数为正
例1
解不等式（2）????????+??????????????
解：原不等式等价于(2x+1)(1-????)<0?2????+1?????1>0?????>1或?????
分析
转化为与之同解的整式不等式求解．
转化为一元二次不等式后，二次项系数是负，要化为正
例1
解不等式（3）????????+?????????????≤????
?
解：原不等式等价于(2x+2)(?????3)≤0且????≠3??1≤????<3
?
分析
转化为与之同解的整式不等式求解．
不等式带等号，转化为一元二次不等式后，除去分母为零
例1
解不等式（4）????????+?????????????≥????
?
解：原不等式等价于?????5?????3≥0?(?????5)(?????3)≥0且????≠3?????≥5或????<3
?
分析
转化为与之同解的整式不等式求解．
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),
使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}①
????????????????>0
????????????????>0
②
????????????????<0
????????????????<0
③
????????????????≥0
????????????????≥0且????????≠0
④
????????????????≤0
????????????????≤0且????????≠0
分式不等式常见题型及对策
分式不等式一般解题步骤
(1)移项并通分，不等式右侧化为“0”；
(2)转化为同解的整式不等式；
环节二
一元二次不等式恒成立
不等式【三立】简介
????????>????恒成立?????????????????????>?????????=????????的图像都在直线????=????上方
?
恒成立
????????≥????恒成立?????????????????????≥?????????=????????的图像都在直线????=????以上
?
?????????
????????≤????恒成立?????????????????????≤?????????=????????的图像都在直线????=????以下
?
不等式【三立】简介
????????>????能成立?????????????????????>?????????=????????的图像存在点在直线????=????上方
?
能成立
????????≥????能成立?????????????????????≥?????????=????????的图像存在点在直线????=????以上
?
?????????
????????≤????能成立?????????????????????≤?????????=????????的图像存在点在直线????=????以下
?
不等式【三立】简介
恰成立
?????????
所以，在处理不等式求参问题时，一定要搞清楚，它到底是哪种成立方式！
?
设y＝ax2＋bx＋c，x∈R，
1．若y>0恒成立，则y＝ax2＋bx＋c，x∈R的图象有什么特征？
思考
答：在x轴上方
2.若y>0恒成立，则a，b，c需要满足什么条件？
答：a＝b＝0且c>0 或a>0，b2－4ac<0
设y＝ax2＋bx＋c，x∈R，
由y＜0的解集是?????????????
思考
答：????>????，????>????，????????+????????=?????????，????????????????=????????
?
例1.已知????????=????????+????????+????，对任意????∈????，????????>????恒成立，求a取值范围
?
角度一
R上恒成立的一元二次不等式
分析
恒成立不等式，无论是依规则，还是数形结合，都可以找到方法。
????=??????????????
解
例2.已知????????=????????+????????+????，存在????∈????，使????????≤????成立，求a取值范围
?
角度二
R上能成立的一元二次不等式
分析
能成立不等式，无论是依规则，还是数形结合，都可以找到方法。
????=?????????????≥????，????≥????或????≤?????，
????∈?∞,?????∪????,+∞
?
解
例3.已知????????=????????????+????????+????，对任意????∈????，使????????>????恒成立，求a取值范围
?
角度三
R上恒成立的一元二次型不等式
分析
二次型恒成立不等式，最好数形结合。关键讨论二次项系数是否为零。
当????=????时，????????=????>????恒成立；当????≠????时，
则????>????且????=?????????????????综合得????∈????,????
?
解
例4. 已知????????=????????????+?????????????，存在????∈????，使?????????
角度四
R上能成立的一元二次型不等式
分析
二次型能成立不等式，数形结合，讨论二次项系数是否为零。
当????=????时，????????=?????????且????=?????????????????>????，解得????>????；当????综合得????∈????,+∞
?
解
例5.当????∈[1，3]时，一元二次不等式????2?2????+?????8≤0恒成立，求实数????的取值范围.
角度五
区间上恒成立的一元二次不等式
分析
区间上恒成立，一方面可以直接求二次函数在区间上最值
解
对于二次函数????=????2?2????+?????8，抛物线开口向上，????∈[1，3]时，当????=3时函数取得最大值a?5，只需a?5≤0解得????≤5.
?
例5.当????∈[1，3]时，一元二次不等式????2?2????+?????8≤0恒成立，求实数????的取值范围.
角度五
区间上恒成立的一元二次不等式
分析
另一方面，可以【参变分离】求新函数的最值。
解
将不等式变形为????≤?????????+????????+????，
设????=?????????+????????+????，在区间[????，????]上不等式恒成立，
则????≤????????????????，在区间[????，????]上，函数当????=????时，取得最小值????????????????=????，所以????的取值范围是????≤????.
?
例6.当????∈[1，3]时，一元二次不等式????2?2????+?????8≤0能成立，求实数????的取值范围.
角度六
区间上能成立的一元二次不等式
分析
区间上能成立，一方面可以直接求二次函数在区间上最值
解
对于二次函数????=????2?2????+?????8，抛物线开口向上，????∈[1，3]时，当????=1时函数取得最小值a?9，只需a?9≤0解得????≤9.
?
例6.当????∈[1，3]时，一元二次不等式????2?2????+?????8≤0能成立，求实数????的取值范围.
角度六
区间上能成立的一元二次不等式
分析
另一方面，可以【参变分离】求新函数的最值。
解
将不等式变形为????≤?????????+????????+????，
设????=?????????+????????+????，在区间[????，????]上不等式恒成立，
则????≤????????????????，在区间[????，????]上，函数当????=????时，取得最大 值????，所以????的取值范围是????≤????.
?
环节三
一元二次不等式在实际生活中的应用
例7
农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满。该农家院欲提髙档次，并提高租金。经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间。每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？
解：设每间客房日租金提高????个10元，即每间客房日租金提高到（80+10????）元，则客房出租数减少????间，此时客房的租金总收入为（80+10????）（20?????）元.又因为每天客房的租金总收入不低于1800元，所以(80+10????)(20?????)≥1800
化简：????2?12????+20≤0，解得2≤????≤10，所以20≤10????≤100
由题意可知：每间客房日租金不得超过130元，即80+10????≤130，所以10????≤50。
因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是20?50元.
例8
为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担。袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量????（单位：件）与销售单价????（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：????=?10????+500
（1）设袁阳每月获得的利润为????（单位：元），写出每月获得的利润????与销售单价????的函数关系.
（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
解：（1）依题意可知每件的销售利润为（?????10）元，每月的销售量为（?10x+500）件.
所以每月获得的利润????与销售单价????的函数关系
????=（x?10）（?10x+500）
2）由每月获得的利润不小于3000元，得(x?10)(?10x+500)≥3000
化简得????2?60????+800≤0，解得20≤????≤40
又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤????≤25
设政府每个月为他承担的总差价的取值范围是????元，则????=(12?10)(?10????+500)=?20????+1000
由20≤????≤25，得500≤?20????+1000≤600；
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围是[500，600].
概括
利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
（1）选取合适的字母表示题中的未知数；
（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；
（3）求解所列出的不等式（组）；
（4）结合题目的实际意义确定答案。
课堂小结
1．核心要点
一元二次不等式的实际应用
2．数学素养
体会化归与转化思想的应用
通过一元二次不等式的实际应用，培养数学建模素养。
分式不等式与不等式恒成立解法思路
谢谢观看
课件制作老师：胡琪