函数的凸凹性
【知识精讲】
在人教A版必修1必修1第四十五页复习参考题B组第5题如下：
证明：(1)若，则；
(2)若则.
这道题的深刻背景为函数的凸凹性，下面介绍函数的凸凹性的定义和判断：
下凸性：设函数在区间上有定义，如果对于任意和都有，则说函数在上为凹函数(或称为下凸函数)(下凸函数图象如图(1)所示).
代数解释：下凸函数自变量的平均数的函数值不大于函数值的平均数
几何解释：下凸函数的图象上弧线位于线段的下方；
上凸性：如果，则说函数在上为凸函数(或称为上凸函数)(上凸函数图象如图(2)所示).
(图1：下凸函数)
(图2：上凸函数)
代数解释：上凸函数自变量的平均数的函数值不小于函数值的平均数
几何解释：上凸函数的图象上弧线位于线段的上方；
特别地，当时，对于下凸函数有：；对于上凸函数有：；
性质：
如果在上是上凸的，则在上是下凸的.
函数的凸性可以通过图象或二阶导数来判断；
多种变形：
推广到三个变量(元)：若在区间内是下凸函数，则对任意，总有：
若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.
推广到个元：若在区间内是下凸函数，则对任意，总有：
若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.
对系数进行改变：若在区间内是下凸函数，则对任意，以及任意总有：
若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.
4.对系数进行变形：若在区间内是下凸函数，则对任意，以及任意，总有：
若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.
5.
推广到元：若在区间内是下凸函数，则对任意，以及任意，总有：
(其中，当且仅当时成立.)
若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.
6.对于凸函数有著名的(广义)琴生()不等式：设是区间上的下凸函数，则对一切，有
当且仅当时成立.
若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.
【典例精析】
例1
函数在上有定义，若对任意，有，则称
在上具有性质.设在上具有性质，求证：对任意，有
.
例2
(北京高考题)如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的只有
(
)
A．和
B．
C．和
D．
例3
(湖北高考题)在这四个函数中，当时，使恒成立的函数个数是(
)
(A)0个
(B)1个
(C)2个
(D)3个
例4
(希望杯试题)下列四个函数：①；②，；③；④.其中，能使恒成立的函数是
.
【巩固训练】
若函数在区间上是上凸函数，那么在中，求的最大值.
定义在上的函数满足：如果对任意，都有，则称函数是上的下凸函数.已知二次函数.
求证：当时，函数是下凸函数；
如果，，试求实数的取值范围.
【拓展阅读】
1．曲线的凹凸定义和判定法
(
图1
)
从图1可以看出曲线弧ABC在区间内是向下凹入的，此时曲线弧ABC位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE在区间内是向上凸起的，此时曲线弧CDE位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：
定义1
如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．
例如，图1中曲线弧ABC在区间内是凹的，曲线弧CDE在区间内是凸的．
由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随的增大而增大；对于凸的曲线弧，切线的斜率随的增大而减小．由于切线的斜率就是函数的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线的凹凸性可以用导数的单调性来判定．而的单调性又可以用它的导数，即的二阶导数的符号来判定，故曲线的凹凸性与的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：
定理1
设函数在内具有二阶导数．
(1)如果在内，＞0，那么曲线在内是凹的；
(2)如果在内，＜0，那么曲线在内是凸的．
例１
判定曲线的凹凸性．
2．拐点的定义和求法
定义2
连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点．
定理2(拐点存在的必要条件)
若函数在处的二阶导数存在,且点为曲线的拐点,则
我们知道由的符号可以判定曲线的凹凸．如果连续，那么当的符号由正变负或由负变正时，必定有一点使＝0．这样，点就是曲线的一个拐点．因此，如果在区间内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线的拐点:
(1)
确定函数的定义域；
(2)
求；令＝0，解出这个方程在区间内的实根；
(3)
对解出的每一个实根，考察在的左右两侧邻近的符号．如果在的左右两侧邻近的符号相反，那么点就是一个拐点，如果在的左右两侧邻近的符号相同，那么点就不是拐点．
例２
求曲线的凹凸区间和拐点．
解
(1)函数的定义域为；
(2)；令，得；
(3)列表考察的符号(表中“”表示曲线是凹的，“”
表示曲线是凸的)：
1
-
0
+
曲线
拐点
由上表可知，曲线在内是凸的，在内是凹的；曲线的拐点为．
要注意的是，如果在点处的二阶导数不存在，那么点也可能是曲线的拐点．例如，函数在点处的二阶导数不存在，但是点是该函数的拐点(图2)．
(
图2
)函数的凸凹性
【知识精讲】
在人教A版必修1必修1第四十五页复习参考题B组第5题如下：
证明：(1)若，则；
(2)若则.
这道题的深刻背景为函数的凸凹性，下面介绍函数的凸凹性的定义和判断：
下凸性：设函数在区间上有定义，如果对于任意和都有，则说函数在上为凹函数(或称为下凸函数)(下凸函数图象如图(1)所示).
代数解释：下凸函数自变量的平均数的函数值不大于函数值的平均数
几何解释：下凸函数的图象上弧线位于线段的下方；
上凸性：如果，则说函数在上为凸函数(或称为上凸函数)(上凸函数图象如图(2)所示).
(图1：下凸函数)
(图2：上凸函数)
代数解释：上凸函数自变量的平均数的函数值不小于函数值的平均数
几何解释：上凸函数的图象上弧线位于线段的上方；
特别地，当时，对于下凸函数有：；对于上凸函数有：；
性质：
如果在上是上凸的，则在上是下凸的.
函数的凸性可以通过图象或二阶导数来判断；
多种变形：
推广到三个变量(元)：若在区间内是下凸函数，则对任意，总有：
若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.
推广到个元：若在区间内是下凸函数，则对任意，总有：
若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.
对系数进行改变：若在区间内是下凸函数，则对任意，以及任意总有：
若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.
4.对系数进行变形：若在区间内是下凸函数，则对任意，以及任意，总有：
若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.
5.
推广到元：若在区间内是下凸函数，则对任意，以及任意，总有：
(其中，当且仅当时成立.)
若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.
6.对于凸函数有著名的(广义)琴生()不等式：设是区间上的下凸函数，则对一切，有
当且仅当时成立.
若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.
【典例精析】
例1
函数在上有定义，若对任意，有，则称
在上具有性质.设在上具有性质，求证：对任意，有
.
证明：
例2
(北京高考题)如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的只有
(
)
A．和
B．
C．和
D．
【答案】A.
【解析】令时，符合条件的函数是上凸函数，从图象可得和满足.
例3
(湖北高考题)在这四个函数中，当时，使恒成立的函数个数是(
)
(A)0个
(B)1个
(C)2个
(D)3个
【答案】B
【解析】对于函数，画出它的大致图象，函数是下凸函数，不符合条件：
对于函数，画出它的大致图像，函数是上凸函数，符合条件；
对于函数，画出它的大致图像，函数是下凸函数，不符合条件；
对于函数，画出它的大致图象，函数在为上凸函数，在为下凸函数.不符合条件.
例4
(希望杯试题)下列四个函数：①；②，；③；④.其中，能使恒成立的函数是
.
【答案】①③
【解析】法1：(图象法)分别画出各个函数的大致图象.
法2:利用二阶导数判断.
【巩固训练】
若函数在区间上是上凸函数，那么在中，求的最大值.
解：因为函数在区间上是上凸函数，则
即，即,当且仅当时，即时，去等号.
定义在上的函数满足：如果对任意，都有，则称函数是上的下凸函数.已知二次函数.
求证：当时，函数是下凸函数；
如果，，试求实数的取值范围.
【解】(1)对任意，因为，所以
所以，
所以函数是下凸函数.
(2)
由，可得：
即
当时，
当时，当，即恒成立
只需要
因为，所以，
所以当时，取得最大值为；
当时，取得最小值为；
所以，结合，可得
综上，实数的取值范围为
【拓展阅读】
1．曲线的凹凸定义和判定法
(
图1
)
从图1可以看出曲线弧ABC在区间内是向下凹入的，此时曲线弧ABC位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE在区间内是向上凸起的，此时曲线弧CDE位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：
定义1
如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．
例如，图1中曲线弧ABC在区间内是凹的，曲线弧CDE在区间内是凸的．
由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随的增大而增大；对于凸的曲线弧，切线的斜率随的增大而减小．由于切线的斜率就是函数的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线的凹凸性可以用导数的单调性来判定．而的单调性又可以用它的导数，即的二阶导数的符号来判定，故曲线的凹凸性与的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：
定理1
设函数在内具有二阶导数．
(1)如果在内，＞0，那么曲线在内是凹的；
(2)如果在内，＜0，那么曲线在内是凸的．
例１
判定曲线的凹凸性．
2．拐点的定义和求法
定义2
连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点．
定理2(拐点存在的必要条件)
若函数在处的二阶导数存在,且点为曲线的拐点,则
我们知道由的符号可以判定曲线的凹凸．如果连续，那么当的符号由正变负或由负变正时，必定有一点使＝0．这样，点就是曲线的一个拐点．因此，如果在区间内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线的拐点:
(1)
确定函数的定义域；
(2)
求；令＝0，解出这个方程在区间内的实根；
(3)
对解出的每一个实根，考察在的左右两侧邻近的符号．如果在的左右两侧邻近的符号相反，那么点就是一个拐点，如果在的左右两侧邻近的符号相同，那么点就不是拐点．
例２
求曲线的凹凸区间和拐点．
解
(1)函数的定义域为；
(2)；令，得；
(3)列表考察的符号(表中“”表示曲线是凹的，“”
表示曲线是凸的)：
1
-
0
+
曲线
拐点
由上表可知，曲线在内是凸的，在内是凹的；曲线的拐点为．
要注意的是，如果在点处的二阶导数不存在，那么点也可能是曲线的拐点．例如，函数在点处的二阶导数不存在，但是点是该函数的拐点(图2)．
(
图2
)
