北师大版（2019）高中数学必修一第4章 对数运算与对数函数 质量检测(Word含答案解析)

章末质量检测(四)　对数运算与对数函数
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.的值为(　　)
A．6
B.
C．8
D.
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(0,2)
B．(0,2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
3．设a＝log20.3，b＝30.2，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>a>b
D．b>c>a
4．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(4，＋∞)
5．设函数f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系为(　　)
A．f(a＋1)＝f(2)
B．f(a＋1)>f(2)
C．f(a＋1)D．不确定
6．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)
7．已知f(x)＝在R上为减函数，那么a的范围是(　　)
A．(0,1)
B.
C.
D.
8．已知函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知x，y为正实数，则下列等式错误的是(　　)
A．2lg
x＋lg
y＝2lg
x＋2lg
y
B．2lg(x＋y)＝2lg
x·2lg
y
C．2lg
x·lg
y＝2lg
x＋2lg
y
D．2lg(xy)＝2lg
x·2lg
y
10．若a>b>0,0A．logcaB．ca>cb
C．ac>bc
D．logc(a＋b)>0
11．对于0A．loga(1＋a)B．loga(1＋a)>loga
C．a1＋aD．a1＋a>a
12．对于函数f(x)＝lg
x定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C.>0
D．f<
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．若log7[log3(log2x)]＝0，则x＝________.
14．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1
715
3
645
6
655
y2
5
29
245
2
189
19
685
177
149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.4
则关于x分别呈对数型函数，指数型函数，幂函数型函数变化的变量依次为________．
15．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.(第一空2分，第二空3分)．
16．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1,0]．若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)求下列各式的值：
(1)3＋2log92－log3；
(2)lg
52＋lg
8＋lg
5lg
20＋(lg
2)2
18．(12分)已知函数f(x)＝log4(4x－1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若x∈，求f(x)的值域．
19．(12分)已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)探究函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性．
20．(12分)已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当a取何值时，图象在y轴的左侧？
21．(12分)已知f(x)＝lg.
(1)若f(x)的定义域为(－∞，1)，求a的值；
(2)若f(x)在x∈(－∞，1)内恒有意义，求a的取值范围．
22．(12分)f(x)＝lg(102x＋1)－kx是偶函数．
(1)求k的值；
(2)当a>0时，设g(x)＝lg(a·10x－2a)，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
章末质量检测(四)　对数运算与对数函数
1．解析：＝2＝＝＝8.故选C.
答案：C
2．解析：∵f(x)有意义，∴∴x>2，∴f(x)的定义域为(2，＋∞)．
答案：C
3．解析：a＝log20.330＝1，c＝0.30.2<0.30＝1，且0.30.2>0，∴b>c>a.
答案：D
4．解析：由题意可知x2－2x－8>0，解得x<－2或x>4.故定义域为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，易知t＝x2－2x－8在(－∞，－2)内单调递减，在(4，＋∞)内单调递增．因为y＝ln
t在t∈(0，＋∞)内单调递增，依据复合函数单调性的同增异减原则，可得函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.
答案：D
5．解析：易知f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．所以0f(2)．
答案：B
6．解析：由题中图象可知loga3＝1，所以a＝3.A选项，y＝3－x＝x为指数函数，在R上单调递减，故A不正确；B选项，y＝x3为幂函数，图象正确；C选项，y＝(－x)3＝－x3，其图象和B选项中y＝x3的图象关于x轴对称，故C不正确；D选项，y＝log3(－x)，其图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，故D选项不正确．综上可知选B.
答案：B
7．解析：由题意知解得≤a<.
答案：B
8．解析：当a>0时，f(a)＝log2a，f(－a)＝loga，f(a)>f(－a)，即log2a>loga＝log2，所以a>，解得a>1.
当a<0时，f(a)＝log
(－a)．
即log
(－a)>log2(－a)＝log，
所以－a<，解得－1综上得－11.
答案：C
9．解析：A中，2lg
x＋lg
y＝2lg
x·2lg
y，A错误；B中，2lg
x·2lg
y＝2lg
x＋lg
y＝2lg(xy)，B错误，D正确；C中，2lg
x·lg
y＝(2lg
x)lg
y≠2lg
x＋2lg
y，C错误．故选ABC.
答案：ABC
10．解析：A中，因为0b>0得logcab>0，得cab>0,01，所以ac>bc，故C正确；D项，取c＝，a＋b＝2，则logc(a＋b)＝log2＝－1<0，D错误．故选AC.
答案：AC
11．解析：∵0loga，a1＋a>a1＋，故选BD.
答案：BD
12．解析：因为f(x)＝lg
x，且x1≠x2，
所以f(x1＋x2)＝lg(x1＋x2)≠lg
x1·lg
x2.
所以A不正确．
f(x1·x2)＝lg(x1·x2)＝lg
x1＋lg
x2＝f(x1)＋f(x2)．
因此B正确．
因为f(x)＝lg
x是增函数，
所以f(x1)－f(x2)与x1－x2同号．
所以>0.
因此C正确．
因为f>，
所以D是不正确的．
故选BC.
答案：BC
13．解析：由已知得log3(log2x)＝70＝1，∴log2x＝31＝3，∴x＝23＝8.
答案：8
14．解析：通过指数型函数，对数型函数，幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律．
答案：y3，y2，y1
15．解析：由logab＋logba＝，得logab＋＝，
∴(logab)2－logab＋1＝0，
解得logab＝或2，又a>b>1，则logab＝，
由ab＝ba，得b＝alogab，
∴b＝a，∴logaa＝，即loga＋1＝，
∴loga＝－，∴a＝，∴a＝4，b＝2.
答案：4　2
16．解析：函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]．
当a>1时，f(x)＝loga(－x＋1)单调递减，
∴无解；
当0∴解得a＝.
∵g(x)＝x＋m－3的图象不经过第一象限，
∴g(0)＝m－3≤0，解得m≥－1，即m的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
17．解析：(1)原式＝＋＝＋2＝；
(2)原式＝2lg
5＋2lg
2＋lg
5(1＋lg
2)＋(lg
2)2
＝2(lg
2＋lg
5)＋lg
5＋lg
2×lg
5＋(lg
2)2
＝2＋lg
5＋lg
2(lg
5＋lg
2)
＝2＋lg
5＋lg
2＝3.
18．解析：(1)∵f(x)＝log4(4x－1)，
∴4x－1>0解得x>0，
故函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)令t＝4x－1，
∵x∈，∴t∈[1,15]，
∴y＝log4t∈[0，log415]，
∴f(x)∈[0，log415]，
即函数f(x)的值域为[0，log415]．
19．解析：(1)由f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，
即loga＝－loga
∴loga＋loga＝0，
loga＝0，
∴＝1，∴(1－m2)x2＝0，∴1－m2＝0，解得m±1.
又当m＝1时，＝＝－1，故m＝1不合题意．
所以m＝－1.
(2)由(1)知，f(x)＝loga＝loga.
函数u＝1＋在区间(1，＋∞)上单调递减．
∴当a>1时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减；
当020．解析：(1)当a>1时，定义域为(0，＋∞)；
当00可知，定义域为(－∞，0)．
(2)设f(u)＝logau，u＝ax－1.
当a>1时，x∈(0，＋∞)，u＝ax－1是增函数，
y＝logau也是增函数．
可知f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
同理可得：当0(3)由图象在y轴的左侧可知：当x<0时，ax－1>0，解得021．解析：(1)由函数f(x)的定义域为(－∞，1)，得关于x的不等式1＋2x＋a·3x>0的解集为(－∞，1)，
即a>－＝g(x)的解集为(－∞，1)．
∵g(x)在R上是增函数，
∴不等式g(1)>g(x)的解集为(－∞，1)，
∴a＝g(1)＝－1.
(2)由已知得，不等式1＋2x＋a·3x>0对x∈(－∞，1)恒成立，
即a>－＝g(x)对x∈(－∞，1)恒成立；
故a>g(x)max，∵g(x)在区间(－∞，1)上是增函数，
∴g(x)22．解析：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
即lg(10－2x＋1)＋kx＝lg(102x＋1)－kx.
∴2kx＝lg＝lg
102x＝2x.
∴k＝1.
(2)由已知，方程lg(a10x－2a)＝lg(102x＋1)－x＝lg有且只有一个解．
∴a(10x－2)＝有且只有一个解，且满足10x>2.
整理得(a－1)102x－2a·10x－1＝0.
令t＝10x(t>2)，则方程(a－1)t2－2at－1＝0在(2，＋∞)有且只有一个实根．
当a＝1时，t＝－，不满足题意，舍去．
当a>1时，设方程对应的二次函数为u(t)＝(a－1)t2－2at－1.
抛物线开口向上，对称轴t＝>0，且u(0)＝－1<0.
只需u(2)<0，则方程只有一个大于2的根．
而u(2)＝－5<0，即a>1时满足题意．
当1>a>0时，抛物线开口向下，对称轴t＝<0，且u(0)＝－1<0.
此时方程无大于2的实根．
综上a>1.