2021年全国统一高考数学试卷合辑（PDF含解析）
文档属性
| 名称 | 2021年全国统一高考数学试卷合辑（PDF含解析） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-29 18:48:50 | ||
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文档简介
2021 年全国各地高考数学试题合辑
目录
2021年全国统一新高考数学试卷 (新高考Ⅰ卷 )?????????????????????????????????????????????????????????????????1
2021年全国统一新高考数学试卷 (新高考Ⅰ卷 )参考答案与试题解析 ?????????????????????????????????5
2021年全国统一高考数学试卷 (新高考Ⅱ卷 )???????????????????????????????????????????????????????????????????14
2021年全国统一高考数学试卷 (新高考全国Ⅱ卷 )参考答案与试题解析 ????????????????????????????18
2021年全国统一高考数学试卷 (文科 ) (甲卷 ) ?????????????????????????????????????????????????????????????????26
2021年全国统一高考数学试卷 (文科 ) (甲卷 )参考答案与试题解析 ??????????????????????????????????30
2021年全国统一高考数学试卷 (理科 ) (甲卷 ) ?????????????????????????????????????????????????????????????????37
2021年全国统一高考数学试卷 (理科 ) (甲卷 )参考答案与试题解析 ??????????????????????????????????41
2021年全国统一高考数学试卷 (文科 ) (乙卷 ) ?????????????????????????????????????????????????????????????????50
2021年全国统一高考数学试卷 (文科 ) (乙卷 )参考答案与试题解析 ??????????????????????????????????54
2021年全国统一高考数学试卷 (理科 ) (乙卷 )??????????????????????????????????????????????????????????????????61
2021年全国统一高考数学试卷 (理科 ) (乙卷 )参考答案与试题解析 ??????????????????????????????????65
2021年普通高等学校招生全国统一考试 (北京卷 )数学 ????????????????????????????????????????????????????73
2021年普通高等学校招生全国统一考试 (北京卷 )数学参考答案与试题解析 ?????????????????????77
2021年天津市高考统一试卷 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????84
2021年天津市高考统一试卷参考答案与试题解析 ?????????????????????????????????????????????????????????????88
2021年浙江省高考数学试卷 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????96
2021年浙江省高考数学试卷数学参考答案与试题解析 ????????????????????????????????????????????????????100
2021年上海市春季高考数学试卷 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????109
2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析 ????????????????????????????????????????????????????113
2021年上海市夏季高考数学试卷 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????118
2021年上海市夏季高考数学试卷参考答案与试题解析 ????????????????????????????????????????????????????121
2021年全国统一新高考数学试卷 (新高考Ⅰ卷 )
一 、 选择题 ：本题共 8小题 ，每小题 5分 ，共 40分。每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A= {x|-2A.{2} B. {2， 3} C. {3， 4} D.{2， 3， 4}
?
2.已知 z=2-i，则 z(z+i) = ( )
A.6-2i B. 4-2i C. 6+2i D.4+2i
3.已知圆锥的底面半径为 2 ( )
A.2 B. 2 2 C. 4 D.4 2
4.下列区间中 ，函数 f(x) =7sin(x- π单调递增的区间是 ( )
6
A.(0,π B. (π， π) C. (π,3π D.(3π， 2π)
2 2 2 2
2 2
y
5.已知 F1， F x
2是椭圆 C: ? 1的两个焦点 ，点 M 在 C上 ，则 |MF| ? |MF|的最大值为 ( )
9 4 1 2
A.13 B. 12 C. 9 D.6
sinθ(1+sin2θ)
6.若 tanθ= -2，则 = ( )
sinθ+cosθ
A.- 6 B. - 2 C. 2 D. 6
5 5 5 5
x
7.若过点 (a,b)可以作曲线 y=e 的两条切线 ，则 ( )
b a b a
A.e 有 6个 相 同 的 球 ，分 别 标 有 数 字 1， 2， 3， 4， 5， 6，从 中 有 放 回 的 随 机 取 两 次 ，每 次 取 1个 球 ． 甲 表 示 事 件
“第 一 次 取 出 的 球 的 数 字 是 1”，乙 表 示 事 件“第 二 次 取 出 的 球 的 数 字 是 2”，丙 表 示 事 件“两 次 取 出 的 球 的
数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则 ( )
A.甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
二 、 选 择 题 ：本 题 共 4小 题 ，每 小 题 5分 ，共 20分 。 在 每 小 题 给 出 的 选 项 中 ，有 多 项 符 合 题 目 要 求 。 全 部 选 对
的得 5分 ，部分选对的得 2分 ，有选错的得 0分。
9.有 一 组 样 本 数 据 x1， x2， ?， xn，由 这 组 数 据 得 到 新 样 本 数 据 y1， y2， ?， yn，其 中 yi=xi+c(i=1， 2， ?，
n)， c为非零常数 ，则 ( )
A.两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同
10.已知 O为坐标原点 ，点 P1(cosα,sinα)， P2(cosβ,-sinβ)， P3(cos(α+β)， sin(α+β))， A(1,0)，则 ( )
??? ??? ??? ???
A.|OP1| = |OP2| B. |AP1| = |AP2|
??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???
C. OA?OP3=OP1?OP2 D.OA?OP1=OP2?OP3
2 2
11.已知点 P在圆 (x-5)? y-5) 16上 ，点 A(4,0)， B(0,2)，则 ( )
A.点 P到直线 AB的距离小于 10 B. 点 P到直线 AB的距离大于 2
C. 当 ∠PBA最小时 ， |PB| =3 2 D.当 ∠PBA最大时 ， |PB| =3 2
·1·
??? ??? ???
12.在 正 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， AB=AA1=1，点 P满 足 BP=λBC+μBB1，其 中 λ∈ [0， 1]， μ∈ [0， 1]，
则 ( )
A.当 λ=1时 ， △AB1P的周长为定值
B. 当 μ=1时 ，三棱锥 P-A1BC的体积为定值
C. 当 λ= 1 时 ，有且仅有一个点 P，使得 AP⊥BP
2 1
D.当 μ= 1 时 ，有且仅有一个点 P，使得 AB⊥平面 ABP
2 1 1
三 、 填空题 ：本题共 4小题 ，每小题 5分 ，共 20分。
13.已知函数 3 x -x
f(x) =x (a?2 -2 )是偶函数 ，则 a= ．
14.已 知 O为 坐 标 原 点 ，抛 物 线 2
C:y =2px(p>0)的 焦 点 为 F， P为 C上 一 点 ， PF与 x轴 垂 直 ， Q为 x轴
上一点 ，且 PQ⊥OP．若 |FQ| =6，则 C的准线方程为 ．
15.函数 f(x) = |2x-1|-2lnx的最小值为 ．
16.某 校 学 生 在 研 究 民 间 剪 纸 艺 术 时 ，发 现 剪 纸 时 经 常 会 沿 纸 的 某 条 对 称 轴 把 纸 对 折 ． 规 格 为 20 dm×
12 dm的 长 方 形 纸 ，对 折 1次 共 可 以 得 到 10 dm×12 dm， 20 dm×6 dm两 种 规 格 的 图 形 ，它 们 的 面 积 之 和
2
S1=240dm ，对 折 2次 共 可 以 得 到 5 dm×12 dm， 10 dm×6 dm， 20 dm×3 dm三 种 规 格 的 图 形 ，它 们 的 面
积 之 和 2
S2=180 dm ，以 此 类 推 ． 则 对 折 4次 共 可 以 得 到 不 同 规 格 图 形 的 种 数 为 ；如 果 对 折 n
n
次 ，那么 2
?Sk= dm．
k=1
四 、 解答题 ：本题共 6小题 ，共 70分。解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤。
an+1,n为奇数 ,
17.(10分 )已知数列 {an}满足 a1=1， an+1=???an+2,n为偶数 ?
(1)记 bn=a2n，写出 b1， b2，并求数列 {bn}的通项公式 ；
(2)求 {an}的前 20项和．
18.(12分 )某 学 校 组 织“一 带 一 路”知 识 竞 赛 ，有 A， B两 类 问 题 ． 每 位 参 加 比 赛 的 同 学 先 在 两 类 问 题 中 选
择 一 类 并 从 中 随 机 抽 取 一 个 问 题 回 答 ，若 回 答 错 误 则 该 同 学 比 赛 结 束 ；若 回 答 正 确 则 从 另 一 类 问 题 中 再
随 机 抽 取 一 个 问 题 回 答 ，无 论 回 答 正 确 与 否 ，该 同 学 比 赛 结 束 ． A类 问 题 中 的 每 个 问 题 回 答 正 确 得 20
分 ，否则得 0分 ； B类问题中的每个问题回答正确得 80分 ，否则得 0分．
已 知 小 明 能 正 确 回 答 A类 问 题 的 概 率 为 0.8，能 正 确 回 答 B类 问 题 的 概 率 为 0.6，且 能 正 确 回 答 问 题 的 概
率与回答次序无关．
(1)若小明先回答 A类问题 ，记 X为小明的累计得分 ，求 X的分布列 ；
(2)为使累计得分的期望最大 ，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
·2·
19.(12分 )记 2
△ABC的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c． 已 知 b =ac，点 D在 边 AC上 ， BDsin∠ABC
=asinC．
(1)证明 ： BD=b；
(2)若 AD=2DC，求 cos∠ABC．
20.(12分 )如图 ，在三棱锥 A-BCD中 ，平面 ABD⊥平面 BCD， AB=AD， O为 BD的中点．
(1)证明 ： OA⊥CD；
(2)若 △OCD是 边 长 为 1的 等 边 三 角 形 ，点 E在 棱 AD上 ， DE=2EA，且 二 面 角 E-BC-D的 大 小 为
45°，求三棱锥 A-BCD的体积．
A
E
O
B D
C
·3·
21.(12分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ，已 知 点 F1( - 17， 0)， F2( 17， 0)，点 M 满 足 |MF1| - |MF2| =2． 记 M
的轨迹为 C．
(1)求 C的方程 ；
(2)设 点 T在 直 线 x= 1 上 ，过 T的 两 条 直 线 分 别 交 C于 A， B两 点 和 P， Q两 点 ，且 |TA| ? |TB| = |TP|
2
? |TQ|，求直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和．
22.(12分 )已知函数 f(x) =x(1-lnx．
(1)讨论 f(x)的单调性 ；
(2)设 a， b为两个不相等的正数 ，且 blna-alnb=a-b，证明 ： 2< 1 1 e．
a b
·4·
2021年全国统一新高考数学试卷 (新高考Ⅰ卷 )参考答案与试题解析
一 、 选择题 ：本题共 8小题 ，每小题 5分 ，共 40分。每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A= {x|-2A.{2} B. {2， 3} C. {3， 4} D.{2， 3， 4}
【解析】： ∵A= {x|-2∴A∩B= {x|-22.已知 ?
z=2-i，则 z(z+i) = ( )
A.6-2i B. 4-2i C. 6+2i D.4+2i
【解析】： ∵z=2-i，
? 2
∴z(z+i) = (2-i) (2+i+i) = (2-i) (2+2i) =4+4i-2i-2i =6+2i．故选： C．
3.已知圆锥的底面半径为 2 ( )
A.2 B. 2 2 C. 4 D.4 2
【解析】：由题意，设母线长为 l，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，
则有 2π? 2 π?l，解得 l=2 2，
所以该圆锥的母线长为 2 2．故选： B．
4.下列区间中 ，函数 f(x) =7sin(x- π单调递增的区间是 ( )
6
A.(0,π B. (π， π) C. (π,3π D.(3π， 2π)
2 2 2 2
π
【解析】：令 - ?2kπ≤x- π π ?2kπ， k∈Z．
2 6 2
π 2π
则 - ?2kπ≤x≤ ?2kπ， k∈Z．
3 3
π 2π
当 k=0时， k∈ [- ， ]，
3 3
(0,π ?π 2π
， ]，故选： A．
2 3 3
2 2
y
5.已知 F x
1， F2是椭圆 C: ? 1的两个焦点 ，点 M 在 C上 ，则 |MF| ? |MF|的最大值为 ( )
9 4 1 2
A.13 B. 12 C. 9 D.6
2 2
x y
【解析】： F1， F2是椭圆 C: ? 1的两个焦点，点 M 在 C上， |MF|+|MF| =6，
9 4 1 2
|MF1|+|MF2| 2
所以 |MF1| ? |MF2| ≤ ( 9，当且仅当 |MF| = |MF| =3时，取等号，
2 1 2
所以 |MF1| ? |MF2|的最大值为 9．故选： C．
sinθ(1+sin2θ)
6.若 tanθ= -2，则 = ( )
sinθ+cosθ
A.- 6 B. - 2 C. 2 D. 6
5 5 5 5
2 2
sinθ(1+sin2θ) sinθ(sinθ+cos θ+2sinθcosθ)
【解析】：由题意可得： =
sinθ+cosθ sinθ+cosθ
2
sinθ(sinθ+cosθ)
sinθ(sinθ+cosθ)
sinθ+cosθ
·5·
2 2
= sinθ+sinθcosθ tanθ+tanθ
2 2 2
sinθ+cos θ 1+tanθ
4-2 2．故选： C．
1+4 5
x
7.若过点 (a,b)可以作曲线 y=e 的两条切线 ，则 ( )
b a b a
A.e x x
【解析】：函数 y=e 是增函数， y′ =e >0恒成立， y
函数的图象如图， y>0，即取得坐标在 x轴上方，
如果 (a,b)在 x轴下方，连线的斜率小于 0，不成立．
点 (a,b)在 x轴或下方时，只有一条切线． x
y=e
如果 (a,b)在曲线上，只有一条切线； ?a,b?
(a,b)在曲线上侧，没有切线； O x
由 图 象 可 知 (a,b)在 图 象 的 下 方 ，并 且 在 x轴 上 方 时 ，有 两 条
a
切线，可知 08.有 6个 相 同 的 球 ，分 别 标 有 数 字 1， 2， 3， 4， 5， 6，从 中 有 放 回 的 随 机 取 两 次 ，每 次 取 1个 球 ． 甲 表 示 事 件
“第 一 次 取 出 的 球 的 数 字 是 1”，乙 表 示 事 件“第 二 次 取 出 的 球 的 数 字 是 2”，丙 表 示 事 件“两 次 取 出 的 球 的
数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则 ( )
A.甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
【解析】：由题意可知，两点数和为 8的所有可能为： (2,6)， (3,5)， (4,4)， (5,3)， (6,2)，
两点数和为 7的所有可能为 (1,6)， (2,5)， (3,4)， (4,3)， (5,2)， (6,1)，
P( 1 1 5
甲 ) = ， P(乙 ) = ， P( 5 6 1
丙 ) = ， P(丁 ) = ，
6 6 6×6 36 6×6 6
A.P(甲丙 ) =0≠P(甲 )P(丙 )， B. P( 1
甲丁 ) = P(甲 )P(丁 )，
36
C. P( 1
乙丙 ) = P(乙 )P(丙 )， D.P(丙丁 ) =0≠P(丙 )P(丁 )，
36
故选： B．
二 、 选 择 题 ：本 题 共 4小 题 ，每 小 题 5分 ，共 20分 。 在 每 小 题 给 出 的 选 项 中 ，有 多 项 符 合 题 目 要 求 。 全 部 选 对
的得 5分 ，部分选对的得 2分 ，有选错的得 0分。
9.有 一 组 样 本 数 据 x1， x2， ?， xn，由 这 组 数 据 得 到 新 样 本 数 据 y1， y2， ?， yn，其 中 yi=xi+c(i=1， 2， ?，
n)， c为非零常数 ，则 ( )
A.两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同
【解析】：对于 A，两组数据的平均数的差为 c，故 A错误；
对于 B，两组样本数据的样本中位数的差是 c，故 B错误；
对于 C， ∵标准差 D(yi) =D(xi+c) =D(xi)，
∴两组样本数据的样本标准差相同，故 C正确；
对于 D， ∵yi=xi+c(i=1， 2， ?， n)， c为非零常数，
x的极差为 xmax-xmin， y的极差为 (xmax+c) - (xmin+c) =xmax-xmin，
∴两组样本数据的样本极差相同，故 D正确．故选： CD．
10.已知 O为坐标原点 ，点 P1(cosα,sinα)， P2(cosβ,-sinβ)， P3(cos(α+β)， sin(α+β))， A(1,0)，则 ( )
??? ??? ??? ???
A.|OP1| = |OP2| B. |AP1| = |AP2|
??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???
C. OA?OP3=OP1?OP2 D.OA?OP1=OP2?OP3
【解析】： ∵P1(cosα,sinα)， P2(cosβ,-sinβ)， P3(cos(α+β)， sin(α+β))， A(1,0)，
??? ???
∴OP1= (cosα,sinα)， OP2= (cosβ,-sinβ)，
??? ???
OP3= (cos(α+β)， sin(α+β))， OA= (1,0)，
·6·
??? ???
AP1= (cosα-1,sinα)， AP2= (cosβ-1,-sinβ)，
???
2 2 ???
2 2 ??? ???
则 |OP1| = cos +sin 1， |OP2| = cos + (-sinβ) 1，则 |OP1| = |OP2|，故 A正确；
???
2 2 2 2
|AP1| = (cosα-1) ?sin cos +sin-2cosα+1 2-2cosα，
???
2 2 2 2
|AP2| = (cosβ-1)? ?sinβ) cos +sin -2cosβ+1 2-2cosβ，
??? ???
|AP1| ≠ |AP2|，故 B错误；
??? ???
OA?OP3=1×cos(α+β) +0×sin(α+β) =cos(α+β)，
? ???
OP1?OP2=cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β)，
??? ??? ??? ???
∴OA?OP3=OP1?OP2，故 C正确；
??? ???
OA?OP1=1×cosα+0×sinα=cosα，
??? ???
OP2?OP3=cosβcos(α+β) -sinβsin(α+β) =cos[β+ (α+β)] =cos(α+2β)，
??? ??? ??? ???
∴OA?OP1≠OP2?OP3，故 D错误．故选： AC．
2 2
11.已知点 P在圆 (x-5)? y-5) 16上 ，点 A(4,0)， B(0,2)，则 ( )
A.点 P到直线 AB的距离小于 10 B. 点 P到直线 AB的距离大于 2
C. 当 ∠PBA最小时 ， |PB| =3 2 D.当 ∠PBA最大时 ， |PB| =3 2
【解析】： ∵A(4,0)， B(0,2)，
y
∴ x
过 A、 B的直线方程为 + 1，即 x+2y-4=0，
4 2
2 2
圆 (x-5)? y-5) 16的圆心坐标为 (5,5)，
|1×5+2×5-4| 11 11 5
圆心到直线 x+2y-4=0的距离 d=
2 2 ±4，
1 +2 5 5
∴点 P到直线 AB 11 5 11 5
的距离的范围 为 [ ?4， +4]，
5 5 y
∵ 11 5 °5， ∴ 11 5 ?4<1 11 5
， +4<10， P2
5 5 5 C
∴点 P到直线 AB的距离小于 10，但不一定大于 2，故 A正确， B错误；
如图，当过 B的直线与圆相切时，满足 ∠PBA最小或最大 B
(P点位于 P1时 ∠PBA最小，位于 P2时 ∠PBA最大 )，
2 2 P1
此时 |BC| = (5-0)? 5-2) 25+9 34， A x
2 2
∴ |PB| = |BC| ?4 18 3 2，故 CD正确．
故选： ACD．
??? ??? ???
12.在 正 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， AB=AA1=1，点 P满 足 BP=λBC+μBB1，其 中 λ∈ [0， 1]， μ∈ [0， 1]，
则 ( )
A.当 λ=1时 ， △AB1P的周长为定值
B. 当 μ=1时 ，三棱锥 P-A1BC的体积为定值
C. 当 λ= 1 时 ，有且仅有一个点 P，使得 AP⊥BP
2 1 A1 C1
D.当 μ= 1 时 ，有且仅有一个点 P，使得 AB⊥平面 ABP
2 1 1 B1
??? ??? ???
【解析】：对于 A，当 λ=1时， BP=BC+μBB1， P
??? ??? ??? ???
即 CP=μBB1，所以 CP//BB1，
故点 P在线段 CC1上，此时 △AB1P的周长为 AB1+B1P+AP， A C
当点 P为 CC1的中点时， △AB1P的周长为 5+ 2，
当点 P在点 C1处时， △AB1P的周长为 2 2+1， B
故周长不为定值，故选项 A错误；
·7·
??? ??? ??? ??? ??? ??? ???
对于 B，当 μ=1时， BP=λBC+BB1，即 B1P=λBC，所以 B1P//BC， A1 C1
故点 P在线段 B1C1上， B1 P
因为 B1C1//平面 A1BC，
所以直线 B1C1上的点到平面 A1BC的距离相等，
又 △A1BC的面积为定值，
所以三棱锥 P-A1BC的体积为定值，故选项 B正确； A C
对于 C，当 λ= 1 时，取线段 BC， BC 的中点分别为 M， M ，连结 M M，
2 1 1 1 1 B
??? 1 ??? ??? ??? ??? ??? ???
因为 BP= BC+μBB，即 MP=μBB，所以 MP//BB，
2 1 1 1
则点 P在线段 M1M上，
当点 P在 M1处时， A1M1⊥B1C1， A1M1⊥B1B， A1 M1 C1
B1
又 B1C1∩B1B=B1，所以 A1M1⊥平面 BB1C1C，
又 BM1?平面 BB1C1C，所以 A1M1⊥BM1，即 A1P⊥BP， P
同理，当点 P在 M 处， A1P⊥BP，故选项 C错误；
对于 D，当 μ= 1 时，取 CC 的中点 D， BB 的中点 D，
2 1 1 1 A C
??? ??? M
1 ??? ??? ??? ??? ???
因为 BP=λBC+ BB，即 DP=λBC，所以 DP//BC，
2 1 B
则点 P在线的 DD1上，
当点 P在点 D1处时，取 AC的中点 E，连结 A1E， BE，
因为 BE⊥平面 ACC1A1，又 AD1?平面 ACC1A1，所以 AD1⊥BE， A1 C1
在正方形 ACC1A1中， AD1⊥A1E， B1
又 BE∩A1E=E， BE， A1E?平面 A1BE， D1?P?
故 AD1⊥平面 A1BE，又 A1B?平面 A1BE，所以 A1B⊥AD1，
在正方形 ABB1A1中， A1B⊥AB1， ED
A C
又 AD1∩AB1=A， AD1， AB1?平面 AB1D1，所以 A1B⊥平面 AB1D1，
因为过定点 A与定直线 A1B垂直的平面有且只有一个， B
故有且仅有一个点 P，使得 A1B⊥平面 AB1P，故选项 D正确．
故选： BD．
三 、 填空题 ：本题共 4小题 ，每小题 5分 ，共 20分。
13.已知函数 3 x -x
f(x) =x (a?2 -2 )是偶函数 ，则 a= ．
3 x -x 3
【解析】：因为函数 f(x) =x (a?2 -2 )是偶函数， y=x 为 R上的奇函数，
x -x 0 0
故 y=a?2 -2 也为 R上的奇函数，所以 y|x=0 a?2 -2 =a-1=0，
所以 a=1．故答案为： 1．
14.已 知 O为 坐 标 原 点 ，抛 物 线 2
C:y =2px(p>0)的 焦 点 为 F， P为 C上 一 点 ， PF与 x轴 垂 直 ， Q为 x轴
上一点 ，且 x= -3
PQ⊥OP．若 |FQ| =6，则 C的准线方程为 2 ．
p
【解析】：解法一：由题意，不妨设 P在第一象限，则 P( ， p)， k =2， PQ⊥OP．
2 OP
1 1 p 5p
所以 kPQ= - ，所以 PQ的方程为： y-p= - x- ， y=0时， x= ，
2 2 2 2
5p p
|FQ| =6，所以 - 6，解得 p=3，
2 2
3 3
所以抛物线的准线方程为： x= - ．故答案为： x= - ．
2 2
p p
解法二：由题意，不妨设 P在第一象限，则 P( ， p)， Q( ?6,0)
2 2
??? ??? ???
则 PQ= (6,-p)，因为 PQ⊥OP，所以 PQ?OP=0，解得 p=3，
3
所以抛物线的准线方程为： x= - ．故答案为： x= -3．
2 2
·8·
15.函数 f(x) = |2x-1|-2lnx的最小值为 1 ．
【解析】：函数 f(x) = |2x-1|-2lnx的定义域为 (0,+∞)．
1
当 02
此时函数 f(x) 1
在 (0， ]上为减函数，
2
所以 f(x) ≥f(1 ?2× 1 ?1-2ln1 =2ln2；
2 2 2
2(x-1)
当 x> 1 时， f(x) = |2x-1|-2lnx=2x-1-2lnx，则 f′ (x) =2- 2 ，
2 x x
当 x∈ (1， 1)时， f′ (x) <0， f(x)单调递减，当 x∈ (1,+∞)时， f′ (x) >0， f(x)单调递增，
2
∴当 x=1时 f(x)取得最小值为 f(1) =2×1-1-2ln1=1．
∵2ln2=ln4>lne=1，
∴函数 f(x) = |2x-1|-2lnx的最小值为 1．故答案为： 1．
16.某 校 学 生 在 研 究 民 间 剪 纸 艺 术 时 ，发 现 剪 纸 时 经 常 会 沿 纸 的 某 条 对 称 轴 把 纸 对 折 ． 规 格 为 20 dm×
12 dm的 长 方 形 纸 ，对 折 1次 共 可 以 得 到 10 dm×12 dm， 20 dm×6 dm两 种 规 格 的 图 形 ，它 们 的 面 积 之 和
2
S1=240 dm ，对 折 2次 共 可 以 得 到 5 dm×12 dm， 10 dm×6 dm， 20 dm×3 dm三 种 规 格 的 图 形 ，它 们 的 面
积 之 和 2
S2=180 dm ，以 此 类 推 ． 则 对 折 4次 共 可 以 得 到 不 同 规 格 图 形 的 种 数 为 5 ；如 果 对 折 n次 ，
n 240(3- n+3
那么 n 2
?Sk= 2 dm．
k=1
【解析】：易知有 20dm× 3dm,10dm× 3dm,5dm×3dm,5dm×6dm 5
， dm×12dm，共 5种规格；
4 2 2 4
240 240(k+1)
由题可知，对折 k次共有 k+1种规格，且面积为 k Sk=
k ，
2 2
n n n n
则 ?Sk=240 k+1 k+1 1 k+1
? k ，记 Tn=? k ，则 Tn=? k+1 ，
k=1 k=1 2 k=1 2 2
k=1 2
n n n-1 n
∴ 1T = k+1 - k+1 =1+ ( k+2 - k+2) - n+1
2 n ? k ? k+1 ? k+1 ? k+1 n+1
k=1 2 k=1 2 k=1 2 k=1 2 2
11- 1
4 n-1
1+ 2 ?n+1 3 n+3
n+1 ? n+1 ，
1- 1 2 2 2
2
n
∴T n+3
n=3-
n ， ∴?Sk=240(3- n+3
n ．故答案为： 5； 240(3- n+3
n ．
2 k=1 2 2
四 、 解答题 ：本题共 6小题 ，共 70分。解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤。
an+1,n为奇数 ,
17.(10分 )已知数列 {an}满足 a1=1， an+1=???an+2,n为偶数 ?
(1)记 bn=a2n，写出 b1， b2，并求数列 {bn}的通项公式 ；
(2)求 {an}的前 20项和．
an+1,n为奇数
【解析】： (1)因为 a1=1， an+1=? ，
??an+2,n为偶数
所以 a2=a1+1=2， a3=a2+2=4， a4=a3+1=5，
所以 b1=a2=2， b2=a4=5，
bn-bn-1=a2n-a2n-2=a2n-a2n-1+a2n-1-a2n-2=1+2=3，
所以数列 {bn}是以 b1=2为首项，以 3为公差的等差数列，
所以 bn=2+3(n-1) =3n-1．
(2)解法一：由 (1)可得 a2n=3n-1， n∈N *，
则 a2n-1=a2n-2+2=3(n-1) -1+2=3n-2， n≥2，
当 n=1时， a1=1也适合上式，所以 a2n-1=3n-2， n∈N *，
所以数列 {an}的奇数项和偶数项分别为等差数列，
·9·
则 {an}的前 20项和为 a1+a2+...+a20= (a1+a3+? +a19) + (a2+a4+? +a20)
=10+ 10×9 3+10×2+ 10×9 3=300．
2 2
解法二： a1+a2+...+a20= (a1+a3+? +a19) + (a2+a4+? +a20)
= (a1+a2+2+a3+2+?a18+2) + (b1+b2+b3+? +b10)
=19+ (b1+b2+b3+? +b9) + (b1+b2+b3+? +b10)
9(2+26) 10(2+29)
=19+ ? 300
2 2
18.(12分 )某 学 校 组 织“一 带 一 路”知 识 竞 赛 ，有 A， B两 类 问 题 ． 每 位 参 加 比 赛 的 同 学 先 在 两 类 问 题 中 选
择 一 类 并 从 中 随 机 抽 取 一 个 问 题 回 答 ，若 回 答 错 误 则 该 同 学 比 赛 结 束 ；若 回 答 正 确 则 从 另 一 类 问 题 中 再
随 机 抽 取 一 个 问 题 回 答 ，无 论 回 答 正 确 与 否 ，该 同 学 比 赛 结 束 ． A类 问 题 中 的 每 个 问 题 回 答 正 确 得 20
分 ，否则得 0分 ； B类问题中的每个问题回答正确得 80分 ，否则得 0分．
已 知 小 明 能 正 确 回 答 A类 问 题 的 概 率 为 0.8，能 正 确 回 答 B类 问 题 的 概 率 为 0.6，且 能 正 确 回 答 问 题 的 概
率与回答次序无关．
(1)若小明先回答 A类问题 ，记 X为小明的累计得分 ，求 X的分布列 ；
(2)为使累计得分的期望最大 ，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【解析】： (1)由已知可得， X的所有可能取值为 0， 20， 100，
则 P(X=0) =1-0.8=0.2， P(X=20) =0.8× (1-0.6) =0.32， P(X=100) =0.8×0.6=0.48，
所以 X的分布列为：
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由 (1)可知小明先回答 A类问题累计得分的期望为
E(X) =0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4，
若小明先回答 B类问题，记 Y为小明的累计得分，
则 Y的所有可能取值为 0， 80， 100，
P(Y=0) =1-0.6=0.4， P(Y=80) =0.6× (1-0.8) =0.12， P(Y=100) =0.6×0.8=0.48，
则 Y的期望为 E(Y) =0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6，
因为 E(Y) >E(X)，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答 B类问题．
19.(12分 )记 ABC的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c． 已 知 2
b =ac，点 D在 边 AC上 ， BDsin∠ABC=
asinC．
(1)证明 ： BD=b；
(2)若 AD=2DC，求 cos∠ABC．
b
【解析】： (1) c
解法一：证明：由正弦定理知， = 2R，
sin∠ABC sin∠ACB
∴b=2Rsin∠ABC， c=2Rsin∠ACB，
2
∵b =ac， ∴b?2Rsin∠ABC=a?2Rsin∠ACB，即 bsin∠ABC=asinC，
∵BDsin∠ABC=asinC． ∴BD=b；
b c
解法二：证明：由正弦定理知， = bsinC=csin∠ABC,
sin∠ABC sinC
2 2
又 ∵b =ac,∴bsinC= b sin∠ABC,
a
∴asinC=bsin∠ABC=BDsin∠ABC,
∴BD=b.
(2)解法一：由 (1)知 BD=b，
∵AD=2DC 2
， ∴AD= b， DC= 1b，
3 3
·10·
2 2 2
2 2 2 b + (2b) ?c 2 2
在 ABD中，由余弦定理知， cos∠BDA= BD +AD -AB 3 13b -9c ，
2BD?AD 2b? 2 2
b 12b
3
2 2 2
2 2 2 b + (1b) ?a 2 2
在 CBD中，由余弦定理知， cos∠BDC= BD +CD -BC 3 10b -9a ，
2BD?CD 2b? 1 2
b 6b
3
∵ ∠BDA+ ∠BDC=π，
2 2 2 2 2 2 2
∴cos∠BDA+cos∠BDC=0 13b -9c 10b -9a
，即 2 +
2 0，得 11b =3c +6a，
12b 6b
2 2 2
∵b =ac， ∴3c -11ac+6a =0， ∴c=3a 2
或 c= a，
3
2 2 2 2 2
a +c -b a +c -ac
在 ABC中，由余弦定理知， cos∠ABC= ，
2ac 2ac
当 c=3a时， cos∠ABC= 7 ±1( 2 7
舍 )；当 c= a时， cos∠ABC= ；
6 3 12
综上所述， cos∠ABC= 7 ．
12
??? ??? ???
2 2 2
解法二：在 △ABC 1 2 1 4 4
中 ,BD= BC+ BA,平方得： BD = a + c + accosB ①
3 3 9 9 9
2 2 2
由余弦定理得 b =a +c -2accosB ②，
2 2 2
联立①②得 11b =3c +6a，
2 2 2
∵b =ac 2
， ∴3c -11ac+6a =0， ∴c=3a或 c= a，
3
2 2 2 2 2
a +c -b a +c -ac
在 ABC中，由余弦定理知， cos∠ABC= ，
2ac 2ac
7
当 c=3a时， cos∠ABC= ±1(舍 )；当 c= 2a 7
时， cos∠ABC= ；
6 3 12
综上所述， cos∠ABC= 7 ．
12
20.(12分 )如图 ，在三棱锥 A-BCD中 ，平面 ABD⊥平面 BCD， AB=AD， O为 BD的中点．
(1)证明 ： OA⊥CD；
(2)若 OCD是 边 长 为 1的 等 边 三 角 形 ，点 E在 棱 AD上 ， DE=2EA，且 二 面 角 E-BC -D的 大 小 为
45°，求三棱锥 A-BCD的体积．
【解析】： (1)证明：因为 AB=AD， O为 BD的中点，所以 AO⊥BD，
又平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD=BD， z
AO?平面 BCD， A
所以 AO⊥平面 BCD，又 CD?平面 BCD，
所以 AO⊥CD； E
(2)取 OD的中点 F，因为 OCD为正三角形，所以 CF⊥OD，
过 O作 OM//CF与 BC交于点 M，则 OM ⊥OD， O F
所以 OM， OD， OA两两垂直， B M D y
如图所示，以点 O为坐标原点，分别以 OM， OD， OA为 x轴， C
y轴， z轴建立空间直角坐标系， x
则 B(0， -1， 0) 3 1
， C( ? ?0)， D(0， 1， 0) 1 2t
，设 A(0， 0， t)，则 E(0, ? ，
2 2 3 3
???
因为 OA⊥平面 BCD，故平面 BCD的一个法向量为 OA= (0,0,t)，
?
设平面 BCE的法向量为 n= (x,y,z)，
??? 3 3 ???
又 BC= ( ? ?0) ,BE= (0,4?2t，
2 2 3 3
·11·
? ??? ? 3 3
n?BC=0 ?? x+ y=0
所以由 2 2
?? ???
?? ?
n?BE=0 4y+ 2t
??? z=0
3 3
?
x= 3 2 2
，则 y= -1， z= ，故 n= ( 3??1, ，
t t
因为二面角 E-BC-D的大小为 45°，
? ???
? ??? |n?OA|
所以 |cos | = 2 2
? ??? = ，
|n||OA| 2
t 4+ 4
2
t
解得 t=1，所以 OA=1，
1 3 3 3
又 SOCD= 1×1× ，所以 S = ，
2 2 4 BCD 2
故 V 1 1 3 3
A-BCD= S ?OA= 1= ．
3 BCD 3 2 6
解法二： (传统几何法 )在平面 ABD中，作 EM ?BD于 M，在平面 BCD中，作于 MN ?BC于 N，
连接 EN，由⑴得 OA⊥BD,
∴EM ∥OA,∴EM ⊥平面 BCD, A
∵BC?平面 BCD,∴EM ⊥BC,∵MN ⊥BC, E
∴ ∠ENM 即为二面角 E-BC-D的平面角，
?
∴ ∠ENM =45， ∵OC=OD=OB=CD=1， O M
∴BC⊥CD， ∴MN ∥CD, 2 2
且 MN =EM = CD= ?
3 3 B D
N C
BC= 3?OA=1,∴V 1 1 1 3
A-BCD= S
3 △BCD?OA= 1× 31=
3 2 6
21.(12分 )在平面直角坐标系 xOy中 ，已知点 F1(- 17， 0)， F2( 17， 0)，点 M 满足 |MF1|-|MF2| =2．
记 M 的轨迹为 C．
(1)求 C的方程 ；
(2)设点 T在直线 x= 1 上 ，过 T的两条直线分别交 C于 A， B两点和 P， Q两点 ，
2
且 |TA| ? |TB| = |TP| ? |TQ|，求直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和．
【解析】： (1)由双曲线的定义可知， M 的轨迹 C是双曲线的右支，
2 2
x y
设 C的方程为 2 -
2 1(a>0,b>0) ,x≥1，
a b
c= 17 a=1
根据题意 ?2a=2 7b=4
??
2 2 2
c =a +b 89c= 17
2
2 y
∴C的方程为 x - 1(x≥1)；
16
x= 1 ?tcosθ
(2) ( 1
法一 )设 T( ?m)，直线 AB的参数方程为 2
2 ???y=m+tsinθ
2 2 2 2
C的方程并整理可得， (16cos θ-sinθ)t + (16cosθ-2msinθ)t- (m +12) =0，
2 2
由参数的几何意义可知， |TA| =t m +12 m +12
1， |TB| =t2，则 t1t2=
2 2 2 ，
sin-16cos 1-17cos
x= 1 ?λcosβ 2
m +12
设直线 PQ的参数方程为 ? 2 |TP| =λ1， |TQ| =λ2，同理可得， λ12=
2 ，
??y=m+λsinβ 1-17cos
2 2
m +12 m +12 2 2
依题意， 2 =
2 ，则 cos θ=cos β，
1-17cos 1-17cos
又 θ≠β，故 cosθ= -cosβ，则 cosθ+cosβ=0，
即直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和为 0．
·12·
( 1
法二 )设 T( ?t) 1
，直线 AB的方程为 y=k(x- ?t， A(x， y) 1
， B(x ， y)，设2 1 2 1 1 2 2 2 1 2
将直线 AB方程代入 C的方程化简并整理可得，
2 2 2 2 2
(16-k1)x - (k 1
1-2tk1)x- k +kt-t -16=0，
4 1 1
2 1 2 2
k1-2k1t - k1+k1t-t -16
由韦达定理有， x1+x 4
2=
2 ?x1x2=
2 ，
k1-16 16-k1
1 1 2 1
又由 A(x1,k1x1- k +t) ,T( ?t)可得 |AT| = 1+k x - ，
2 1 2 1 1 2
2
同理可得 |BT| = 1+k1x 1
2- ，
2
2 2
2 1+k1) (t +12)
∴ |AT| ? |BT| = (1+k1) (x 1 1
1- x - ，
2 2 2 2
k1-16
1 1
设直线 PQ的方程为 y=k2(x- ?t,P(x ,y) ,Q(x ,y)，设2 3 3 4 4 2 3 4
2 2
(1+k2) (t +12)
同理可得 |PT| ? |QT| =
2 ，
k2-16
2 2
1+k1 1+k2 2 2
又 |AT||BT| = |PT||QT|，则 2 =
2 ，化简可得 k1=k2，
k1-16 k2-16
又 k1≠k2，则 k1= -k2，即 k1+k2=0，
即直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和为 0．
22.(12分 )已知函数 f(x) =x(1-lnx)．
(1)讨论 f(x)的单调性 ；
(2)设 a， b为两个不相等的正数 ，且 blna-alnb=a-b，证明 ： 2< 1 1 e．
a b
?
【解析】： (1)解：由函数的解析式可得 f (x) =1-lnx-1= -lnx，
∴x∈ (0,1)， f′ (x) >0， f(x)单调递增，
x∈ (1,+∞)， f′ (x) <0， f(x)单调递减，
则 f(x)在 (0,1)单调递增，在 (1,+∞)单调递减．
(2)证明：由 blna-alnb=a-b 1 1 1 1 1 1
，得 - ln + ln = ，
a a b b b a
1
即 (1-ln1) = 11-ln1)，
a a b b
由 (1)f(x)在 (0,1)单调递增，在 (1,+∞)单调递减，
所以 f(x)max f(1) =1，且 f(e) =0，
1 1
令 x1= ， x = ，则 x， x 为 f(x) =k 的两根，其中 k∈ (0,1)．
a 2 b 1 2
不妨令 x1∈ (0,1)， x2∈ (1,e)，则 2-x1>1，
先证 22-x1，即证 f(x2) =f(x1) 令 h(x) =f(x) -f(2-x)，
则 h′ (x) =f′ (x) +f′ (2-x) = -lnx-ln(2-x) = -ln[x(2-x)] >0，
故函数 h(x)单调递增，
∴h(x)同理，要证 x1+x2?
令 φ(x) =f(x) -f(e-x)， x∈ (0,1)，则 φ(x) = -ln[x(e-x)]，令 φ′ (x0) =0，
? ?
x∈ (0,x0)， φ(x) >0， φ(x)单调递增， x∈ (x0， 1)， φ(x) <0， φ(x)单调递减，
又 x>0， f(x) >0，且 f(e) =0，故 x→0， φ(0) >0，
φ(1) =f(1) -f(e-1) >0，
∴φ(x) >0恒成立， x1+x21 1
则 2< e．
a b
·13·
2021年全国统一高考数学试卷 (新高考Ⅱ卷 )
一 、 选择题 ：本题共 12小题 ，每小题 5分 ，共 60分．在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合要求的．
1. 复数 2-i ( )
1-3i
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
2. 设集合 U= {1,2,3,4,5,6} ,A= {1,3,6} ,B= {2,3,4}，则 A∩??UB?= ( )
A.{3} B. {1,6} C. {5,6} D.{1,3}
2
3. 若抛物线 y =2px(p>0)的焦点到直线 y=x+1的距离为 2p= ( )
A.1 B. 2 C. 2 2 D.4
4. 北 斗 三 号 全 球 卫 星 导 航 系 统 是 我 国 航 天 事 业 的 重 要 成 果 ． 在 卫 星 导 航 系 统 中 ，地 球 静 止 同 步 卫 星 的 轨
道 位 于 地 球 赤 道 所 在 平 面 ，轨 道 高 度 为 36000 km(轨 道 高 度 是 指 卫 星 到 地 球 表 面 的 距 离 )． 将 地 球 看 作
是 一 个 球 心 为 O，半 径 r为 6400 km的 球 ，其 上 点 A的 纬 度 是 指 OA与 赤 道 平 面 所 成 角 的 度 数 ． 地 球 表
面 上 能 直 接 观 测 到 一 颗 地 球 静 止 同 步 轨 道 卫 星 点 的 纬 度 最 大 值 为 α，记 卫 星 信 号 覆 盖 地 球 表 面 的 表 面 积
为 2 2
S=2πr (1-cosα) (单位 ： km)，则 S占地球表面积的百分比约为 ( )
A.26% B. 34% C. 42% D.50%
5. 正四棱台 上 ?下底面的边长分别为 2， 4，侧棱长为 2，则其体积为 ( )
A.20+12 3 B. 28 2 C. 56 D. 28 2
3 3
2
6. 某物理量的测量结果服从正态分布 N?10,σ ?，下列结论中不正确的是 ( )
A.σ越小 ，该物理量在一次测量中在 (9.9,10.1)的概率越大
B. σ越小 ，该物理量在一次测量中大于 10 概率为 0.5
C. σ越小 ，该物理量在一次测量中小于 9.99与大于 10.01的概率相等
D.σ越小 ，该物理量在一次测量中落在 (9.9,10.2)与落在 (10,10.3)的概率相等
7. 已知 a=log52， b=log 1
83， c= ，则下列判断正确的是 ( )
2
A.c8. 已知函数 f?x?的定义域为 R， f?x+2?为偶函数 ， f?2x+1?为奇函数 ，则 ( )
A. f -1
? =0 B. f -1 =0 C. f 2 =0 D. f 4 =0
2 ? ? ? ? ? ? ?
二 、 选 择 题 ：本 题 共 4小 题 ，每 小 题 5分 ，共 20分 ． 在 每 小 题 给 出 的 选 项 中 ，有 多 项 符 合 题 目 要 求 ． 全 部 选 对
的得 5分 ，部分选对的得 2分 ，有选错的得 0分．
9. 下列统计量中 ，能度量样本 x1,x2,? ,xn的离散程度的是 ( )
A.样本 x1,x2,? ,xn的标准差 B. 样本 x1,x2,? ,xn的中位数
C. 样本 x1,x2,? ,xn的极差 D.样本 x1,x2,? ,xn的平均数
10. 如 图 ，在 正 方 体 中 ， O为 底 面 的 中 心 ， P为 所 在 棱 的 中 点 ， M， N 为 正 方 体 的 顶 点 ． 则 满 足 MN ⊥OP
的是 ( )
·14·
N N
M P
P
O O
A. )e M
N
M
P P
M
O N O
*e +e
2 2 2 2
e已知直线 l:ax+by-r =0与圆 C:x +y =r ，点 A(a,b)，则下列说法正确的是 ( )
A.若点 A在圆 C上 ，则直线 l与圆 C相切 B. 若点 A在圆 C内 ，则直线 l与圆 C相离
C. 若点 A在圆 C外 ，则直线 l与圆 C相离 D.若点 A在直线 l上 ，则直线 l与圆 C相切
12. 设 正 整 数 0 k-1 k
n=a0?2 +a1?2+? +ak-1?2 +ak?2 ，其 中 ai∈ ?0,1?，记 ω?n? =a0+a1+? +ak． 则
( )
A.ω?2n?=ω?n? B. ω?2n+3?=ω?n?+1
n
C. ω?8n+5?=ω?4n+3? D.ω?2 -1?=n
三 、 填空题 ：本题共 4小题 ，每小题 5分 ，共 20分．
2 2
y
13. 已知双曲线 x
2 -
2 1?a>0,b>0?的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为 __________.
a b
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f?x?: __________.
① ? ?
f?x1x2?=f?x1??2?；②当 x∈ (0,+∞)时 ， f (x) >0；③ f (x)是奇函数．
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15. 已知向量 a+b+c=0， ?a? =1， ?b? = ?c? =2， a?b+b?c+c?a= __________.
16. 已 知 函 数 x
f(x) = ?e -1?,x1<0,x2>0，函 数 f(x)的 图 象 在 点 A?x1,f?x1??和 点 B?x2,f?x2??的 两 条 切 线
|AM|
互相垂直 ，且分别交 y轴于 M， N 两点 ，则 __________.
|BN|
四 、 解答题 ：本题共 6小题 ，共 70分．解答应写出文字说明 ? 证明过程或演算步骤．
17. 记 Sn是公差不为 0的等差数列 ?an? n项和 ，若 a3=S5,a2a4=S4．
(1)求数列 ?an? an；
(2)求使 Sn>an成立的 n的最小值．
·15·
18. 在 △ABC中 ，角 A、 B、 C所对的边长分别为 a、 b、 c， b=a+1， c=a+2.．
(1)若 2sinC=3sinA，求 △ABC的面积 ；
(2)是否存在正整数 a，使得 △ABC为钝角三角形 ?若存在 ，求出 a的值 ；若不存在 ，说明理由．
19. 在四棱锥 Q-ABCD中 ，底面 ABCD是正方形 ，若 AD=2,QD=QA= 5?QC=3．
(1)证明 ：平面 QAD⊥平面 ABCD；
(2)求二面角 B-QD-A的平面角的余弦值． Q
A D
B C
2 2
y
20. 已知椭圆 C的方程为 x 6
2 +
2 1(a>b>0)，右焦点为 F( 2?0)，且离心率为
a b 3
(1)求椭圆 C的方程 ；
2 2
(2)设 M， N 是 椭 圆 C上 的 两 点 ，直 线 MN 与 曲 线 2
x +y =b (x>0)相 切 ． 证 明 ： M， N， F三 点 共 线 的
充要条件是 |MN| = 3．
·16·
21. 一 种 微 生 物 群 体 可 以 经 过 自 身 繁 殖 不 断 生 存 下 来 ，设 一 个 这 种 微 生 物 为 第 0代 ，经 过 一 次 繁 殖 后 为 第 1
代 ，再 经 过 一 次 繁 殖 后 为 第 2代 ??，该 微 生 物 每 代 繁 殖 的 个 数 是 相 互 独 立 的 且 有 相 同 的 分 布 列 ，设 X
表示 1个微生物个体繁殖下一代的个数 ， P(X=i) =pi(i=0,1,2,3)．
(1)已知 p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求 E?X?；
2 3
(2)设 p表 示 该 种 微 生 物 经 过 多 代 繁 殖 后 临 近 灭 绝 的 概 率 ， p是 关 于 x的 方 程 ： p0+p1x+p2x +p3x =x
的一个最小正实根 ，求证 ：当 E(X) ≤1时 ， p=1，当 E(X) >1时 ， p<1；
(3)根据你的理解说明 (2)问结论的实际含义．
22. 已知函数 x 2
f(x) = (x-1)e -ax +b．
(1)讨论 f(x)的单调性 ；
(2)从下面两个条件中选一个 ，证明 ： f(x)有一个零点
2
① 12a；② 02 2 2
·17·
2021年全国统一高考数学试卷 (新高考全国Ⅱ卷 )参考答案与试题解析
一 、 选择题 ：本题共 12小题 ，每小题 5分 ，共 60分．在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合要求的．
1. 复数 2-i ( )
1-3i
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
2-i ?2-i??1+3i? 5+5i 1+i 1 1
【解析】： = ，所以该复数对应的点为 ,
1-3i 10 10 2 ? 2 2 ?
A.
2. 设集合 U= {1,2,3,4,5,6} ,A= {1,3,6} ,B= {2,3,4}，则 A∩??UB?= ( )
A.{3} B. {1,6} C. {5,6} D.{1,3}
【解析】：由题设可得 ?UB=?1,5,6?，故 A∩??UB?=?1,6?，故选： B.
2
3. 若抛物线 y =2px(p>0)的焦点到直线 y=x+1的距离为 2p ( )
A.1 B. 2 C. 2 2 D.4
p
? ?0+1
p 2 ?
【解 析】：抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 ? ,0 x-y+1=0的 距 离 ： d= 2，解 得 ： p=
2 ? 1+1
2(p= -6舍去 ) 故选： B.
4. 北 斗 三 号 全 球 卫 星 导 航 系 统 是 我 国 航 天 事 业 的 重 要 成 果 ． 在 卫 星 导 航 系 统 中 ，地 球 静 止 同 步 卫 星 的 轨
道 位 于 地 球 赤 道 所 在 平 面 ，轨 道 高 度 为 36000 km(轨 道 高 度 是 指 卫 星 到 地 球 表 面 的 距 离 )． 将 地 球 看 作
是 一 个 球 心 为 O，半 径 r为 6400 km的 球 ，其 上 点 A的 纬 度 是 指 OA与 赤 道 平 面 所 成 角 的 度 数 ． 地 球 表
面 上 能 直 接 观 测 到 一 颗 地 球 静 止 同 步 轨 道 卫 星 点 的 纬 度 最 大 值 为 α，记 卫 星 信 号 覆 盖 地 球 表 面 的 表 面 积
为 2 2
S=2πr (1-cosα) (单位 ： km)，则 S占地球表面积的百分比约为 ( )
A.26% B. 34% C. 42% D.50%
【解析】：由题意可得， S占地球表面积的百分比约为：
2 6400
2πr (1-cosα) 1-
1-cosα 6400+36000
2 = 0.42=42%.故选： C.
4πr 2 2
5. 正四棱台的上 ?下底面的边长分别为 2， 4，侧棱长为 2，则其体积为 ( )
A.20+12 3 B. 28 2 C. 56 D. 28 2
3 3
【解析】：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为 2， 4，侧棱长为 2，
2 2
所以该棱台的高 h= 2 -?2 2- 2? 2，
下底面面积 S1=16，上底面面积 S2=4，
所以该棱台的体积 V= 1h?S +S + SS
3 1 2 1 2?
= 1 2?16+4+ 64 = 28 2.故选： D.
3 ? 3
6. 某物理量的测量结果服从正态分布 2
N?10,σ ?，下列结论中不正确的是 ( )
A.σ越小 ，该物理量在一次测量中在 (9.9,10.1)的概率越大
B. σ越小 ，该物理量在一次测量中大于 10的概率为 0.5
C. σ越小 ，该物理量在一次测量中小于 9.99与大于 10.01的概率相等
D.σ越小 ，该物理量在一次测量中落在 (9.9,10.2)与落在 (10,10.3)的概率相等
·18·
2
【解 析】：对 于 A， σ 为 数 据 的 方 差 ，所 以 σ越 小 ，数 据 在 μ=10附 近 越 集 中 ，所 以 测 量 结 果 落 在 ?9.9,10.1?
A正确；
对于 B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于 10的概率为 0.5，故 B正确；
对 于 C，由 正 态 分 布 密 度 曲 线 的 对 称 性 可 知 该 物 理 量 一 次 测 量 结 果 大 于 10.01的 概 率 与 小 于 9.99的 概 率
相等，故 C正确；
对 于 D，因 为 该 物 理 量 一 次 测 量 结 果 落 在 ?9.9,10.0? ?10.2,10.3?
?9.9,10.2? ?10,10.3? D错误 .
故选： D.
7. 已知 a=log52， b=log83， c= 1 ，则下列判断正确的是 ( )
2
A.c【解析】： a=log522 8 8
8. 已知函数 f?x?的定义域为 R， f?x+2?为偶函数 ， f?2x+1?为奇函数 ，则 ( )
A. f -1
? =0 B. f -1 =0 C. f 2 =0 D. f 4 =0
2 ? ? ? ? ? ? ?
【解析】：因为函数 f?x+2?为偶函数，则 f?2+x?=f?2-x?，可得 f?x+3?=f?1-x?，
因为函数 f?2x+1?为奇函数，则 f?1-2x?= -f?2x+1?，所以， f?1-x?= -f?x+1?，
所以， f?x+3?= -f?x+1?=f?x-1?，即 f?x?=f?x+4?，
故函数 f?x?是以 4为周期的周期函数，
因为函数 F?x?=f?2x+1?为奇函数，则 F?0?=f?1?=0，
故 f?-1?= -f?1?=0，其它三个选项未知 .故选： B.
二 、 选 择 题 ：本 题 共 4小 题 ，每 小 题 5分 ，共 20分 ． 在 每 小 题 给 出 的 选 项 中 ，有 多 项 符 合 题 目 要 求 ． 全 部 选 对
的得 5分 ，部分选对的得 2分 ，有选错的得 0分．
9. 下列统计量中 ，能度量样本 x1,x2,? ,xn的离散程度的是 ( )
A.样本 x1,x2,? ,xn的标准差 B. 样本 x1,x2,? ,xn的中位数
C. 样本 x1,x2,? ,xn的极差 D.样本 x1,x2,? ,xn的平均数
【解析】：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选： AC
10. 如 图 ，在 正 方 体 中 ， O为 底 面 的 中 心 ， P为 所 在 棱 的 中 点 ， M， N 为 正 方 体 的 顶 点 ． 则 满 足 MN ⊥OP
的是 ( )
N N
M P
P
O O
A. )e M
N
M
P P
M
O N O
*e +e
【解析】：设正方体的棱长为 2，
·19·
对于 A，如图 (1)所示，连接 AC，则 MN ?AC， N
故 ∠POC(或其补角 )为异面直线 OP,MN 所成的角， M P
在直角三角形 OPC， OC= 2， CP=1，故 tan∠POC= 1 2，
2 2 ①
故 MN ⊥OP不成立，故 A错误 . O
(或者易得 OP在上底面的射影为 MN，故 MN ⊥OP不成立 )
对于 B，如图 (2)所示，取 NT的中点为 Q，连接 PQ， OQ， N C
则 OQ⊥NT， PQ⊥MN， S B
由正方体 SBCM -NADT可得 SN ⊥平面 ANDT，而 OQ?平面 ANDT，
故 SN ⊥OQ，而 SN ∩MN =N，故 OQ⊥平面 SNTM， ②
P T
又 MN ?平面 SNTM， OQ⊥MN，而 OQ∩PQ=Q， Q D
O
所以 MN ⊥平面 OPQ，而 PO?平面 OPQ，故 MN ⊥OP，故 B正确 . M A
对于 C，如图 (3)，连接 BD，则 BD?MN，由 B的判断可得 OP⊥BD，
故 OP⊥MN，故 C正确 . S
对于 D，如图 (4)，取 AD的中点 Q， AB的中点 K， B M
连接 AC,PQ,OQ,PK,OK，则 AC?MN， P ③
因为 DP=PC，故 PQ?AC，故 PQ?MN， D N
所以 ∠QPO或其补角为异面直线 PO,MN 所成的角， O
C T
1
因为正方体的棱长为 2，故 PQ= AC= 2，
2
2 2 S
OQ= AO +AQ 1+2 3 M
， P C
2 2 D
PO= PK +OK 4+1 5， ④
2 2 2
QO故 PO,MN 不垂直，故 D错误 . O
故选： BC A K B
2 2 2 2
11. 已知直线 l:ax+by-r =0与圆 C:x +y =r ，点 A(a,b)，则下列说法正确的是 ( )
A.若点 A在圆 C上 ，则直线 l与圆 C相切 B. 若点 A在圆 C内 ，则直线 l与圆 C相离
C. 若点 A在圆 C外 ，则直线 l与圆 C相离 D.若点 A在直线 l上 ，则直线 l与圆 C相切
2
【解析】：圆心 C?0,0 r
?到直线 l的距离 d=
2 2，
a +b
2 2 2 2
若点 A?a,b r
?在圆 C上，则 a +b =r ，所以 d=
2 2 ?r?，则直线 l与圆 C相切，故 A正确；
a +b
2 2 2 2
若点 A?a,b?在圆 C内，则 a +b2 2 ±?r?，则直线 l与圆 C相离，故 B正确；
a +b
2 2 2 2
若点 A?a,b?在圆 C外，则 a +b >r ，所以 d= r
2 2 °?r?，则直线 l与圆 C相交，故 C错误；
a +b
2 2 2 2 2 2 2
若点 A?a,b?在直线 l上，则 a +b -r =0即 a +b =r ，所以 d= r
2 2 ?r?，直线 l与圆 C相切，
a +b
故 D正确 .故选： ABD.
0 k-1 k
12. 设 正 整 数 n=a0?2 +a1?2+? +ak-1?2 +ak?2 ，其 中 ai∈ ?0,1?，记 ω?n? =a0+a1+? +ak.则
( )
A.ω?2n?=ω?n? B. ω?2n+3?=ω?n?+1
n
C. ω?8n+5?=ω?4n+3? D.ω?2 -1?=n
1 2 k k+1
【解析】：对于 A选项， ω?n?=a0+a1+? +ak， 2n=a0?2 +a1?2 +? +ak-1?2 +ak?2 ，
所以， ω?2n?=a0+a1+? +ak=ω?n?， A选项正确；
0 1 2
对于 B选项，取 n=2， 2n+3=7=1?2 +1?2 +1?2 ， ∴ω?7?=3，
0 1
而 2=0?2 +1?2，则 ω?2?=1，即 ω?7?≠ω?2?+1， B选项错误；
·20·
3 4 k+3 0 2 3 4 k+3
对于 C选项， 8n+5=a0?2 +a1?2 +? +ak?2 +5=1?2 +1?2 +a0?2 +a1?2 +? +ak?2 ，
所以， ω?8n+5?=2+a0+a1+? +ak，
2 3 k+2 0 1 2 3 k+2
4n+3=a0?2 +a1?2 +? +ak?2 +3=1?2 +1?2 +a0?2 +a1?2 +? +ak?2 ，
所以， ω?4n+3?=2+a0+a1+? +ak，因此， ω?8n+5?=ω?4n+3?， C选项正确；
n 0 1 n-1 n
对于 D选项， 2 -1=2 +2 +? +2 ，故 ω?2 -1?=n， D选项正确 .
故选： ACD.
三 、 填空题 ：本题共 4小题 ，每小题 5分 ，共 20分．
2 2
y
13. 已知双曲线 x
2 -
2 1?a>0,b>0?的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为 _________.
a b
2 2
x y
【解析】：因为双曲线 2 -
2 1?a>0,b>0?的离心率为 2，
a b
2 2 2 2
c a +b b
所以 e=
2 2 2，所以 2 =3，
a a a
所以该双曲线的渐近线方程为 y= ±bx= ± 3x.故答案为： y= ± 3x.
a
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f?x?: _______．
① ? ?
f?x1x2?=f?x1??2?；②当 x∈ (0,+∞)时 ， f (x) >0；③ f (x)是奇函数．
4 4 4 4
【解析】：取 f?x?=x ，则 f?x1x2?=?x1x2? x1x2=f?x1??2?，满足①，
? 3 ?
f ?x?=4x ， x>0时有 f ?x?>0，满足②，
? 3
f ?x?=4x 的定义域为 R，
? 3 ? ?
又 f ?-x?= -4x = -f ?x?，故 f ?x?是奇函数，满足③ .
4 2n *
故答案为： f?x?=x (答案不唯一， f?x?=x ?n∈N ?均满足 )
? ? ? ? ?
15. 已知向量 ? ? ? ? ? ? ? ?
a+b+c=0， ?a? =1， ?b? = ?c? =2， a?b+b?c+c?a= _______．
? ? ? 2 ?2 ?
2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
【解析】：由已知可得 ?a+b+c? =a ?b ?c ?2?a?b+b?c+c?a?=9+2?a?b+b?c+c?a?=0，
? ? ? ? ? ? 9 9
因此， a?b+b?c+c?a= - .故答案为： - .
2 2
x
16. 已 知 函 数 f(x) = ?e -1?,x1<0,x2>0，函 数 f(x)的 图 象 在 点 A?x1,f?x1??和 点 B?x2,f?x2??的 两 条 切 线
|AM|
互相垂直 ，且分别交 y轴于 M， N 两点 ，则 _______．
|BN|
x x
x 1-e , x<0 ? -e , x<0
【解析】：解法一：由题意， f?x?=?e -1? =??? x ，则 f ?x?=?
x ，
e -1, x≥0 ??e , x>0
x x x x
所以点 A?x1,1-e 1?和点 B?x2,e 2-1?， kAM= -e 1,kBN=e 2,
x x
所以 -e 1?e 2= -1,x1+x2=0，
x x x x
所以 AM :y-1+e 1= -e 1?x-x1?,M?0,e 1x1-e 1+1?，
2 x 2 2x
所以 ?AM? = x1+?e 1x1? 1+e 1?x1?，
2x
同理 ?BN? = 1+e 2?x2?,
2x
?AM? 1+e 1?x1? 2x 2x
1+e 1 1+e 1 x
所以 = = 1
2x -2x e ∈?0,1?.
?BN? 2x 2 1
1+e 2?x2? 1+e 1+e y
F
故答案为： ?0,1 B
?
x x
e -1, x>0 ? e , x>0 A
f?x?=? ，得 f ?x?=? ，
?? x x
-e +1, x<0 ??-e , x<0
x x E M x
故 kAM= -e 1， k O
AN=e 2，
x+x
又 AM ⊥AN ?kAM?kAN= -e 1 2= -1，得 x1+x2=0， N
如图易得 △AEM ? △BFN，且有 ?BF? =?OE?，
?AM? ?AE? ?AE?
所以 = = =tan∠AOE，
?BN? ?BF? ?OE?
·21·
0 ?AM?
而 0?BN?
四 、 解答题 ：本题共 6小题 ，共 70分．解答应写出文字说明 ? 证明过程或演算步骤．
17. 记 Sn是公差不为 0的等差数列 ?an? n项和 ，若 a3=S5,a2a4=S4．
(1)求数列 ?an? an；
(2)求使 Sn>an成立的 n的最小值．
【解析】： (1)由等差数列的性质可得： S5=5a3，则： a3=5a3,∴a3=0，
2
设等差数列的公差为 d，从而有： a2a4=?a3-d??a3+d?= -d ，
S4=a1+a2+a3+a4=?a3-2d?+?a3-d?+a3+?a3-d?= -2d，
2
从而： -d = -2d，由于公差不为零，故： d=2，
数列的通项公式为： an=a3+?n-3?d=2n-6.
n?n-1? 2
(2)由数列的通项公式可得： a1=2-6= -4，则： Sn=n×?-4?+ 2=n -6n，
2
2
则不等式 Sn>an即： n -5n>2n-6，整理可得： ?n-1??n-6?>0，
解得： n<1或 n>6，又 n为正整数，故 n的最小值为 7.
18. 在 △ABC中 ，角 A、 B、 C所对的边长分别为 a、 b、 c， b=a+1， c=a+2.．
(1)若 2sinC=3sinA，求 △ABC的面积 ；
(2)是否存在正整数 a，使得 △ABC为钝角三角形 ?若存在 ，求出 a的值 ；若不存在 ，说明理由．
【解析】： (1)因为 2sinC=3sinA，则 2c=2?a+2?=3a，则 a=4，故 b=5， c=6，
2 2 2 2
cosC= a +b -c 1，所以， C 锐角，则 sinC= 1-cos C 3 7，
2ab 8 8
1 1 3 7
因此， S△ABC= absinC= 4×5× 15 7；
2 2 8 4
(2)显然 c>b>a，若 △ABC为钝角三角形，则 C为钝角，
2 2 2 2 2 2
a +?a+1? ??a+2? 2
由余弦定理可得 cosC= a +b -c = a -2a-3 <0，
2ab 2a?a+1? 2a?a+1?
解得 -1由三角形三边关系可得 a+a+1>a+2，可得 a>1， ∵a∈Z，故 a=2.
19. 在四棱锥 Q-ABCD中 ，底面 ABCD是正方形 ，若 AD=2,QD=QA= 5?QC=3．
(1)证明 ：平面 QAD⊥平面 ABCD；
(2)求二面角 B-QD-A的平面角的余弦值．
【解析】： (1)取 AD的中点为 O，连接 QO,CO. Q
因为 QA=QD， OA=OD，则 QO⊥AD，
而 AD=2,QA= 5，故 QO= 5-1 2.
在正方形 ABCD中，因为 AD=2，故 DO=1，故 CO= 5，
2 2 2
因为 QC=3，故 QC =QO +OC ， A O D
故 △QOC为直角三角形且 QO⊥OC， B C
因为 OC∩AD=O，故 QO⊥平面 ABCD，
因为 QO?平面 QAD，故平面 QAD⊥平面 ABCD.
(2)解法一：在平面 ABCD内，过 O作 OT?CD，交 BC于 T，则 OT⊥AD，
结合 (1)中的 QO⊥平面 ABCD，故可建如图所示的空间坐标系 .
??? ???
则 D?0,1,0?,Q?0,0,2?,B?2,-1,0?，故 BQ=?-2,1,2?,BD=?-2,2,0?.
?
设平面 QBD的法向量 n=?x,y,z?，
? ???
n?BQ=0 -2x+y+2z=0
则 ?? ??? ? x=1 1
，则 y=1,z= ，
??n?BD=0 ??-2x+2y=0 2
·22·
?
故 n=?1,1,1 . z
2 ?
? ? ? Q
而平面 QAD的法向量为 m=?1,0,0?，故 cos?m,n 1 2
?= .
1× 3 3
2
二面角 B-QD-A 2
的平面角为锐角，故其余弦值为 .
3
解法二： (浙江王海雷补解 )过 B作 BM ⊥QD于点 M A O D
由 (1)可知：平面 QAD⊥平面 ABCD y
C
∵BA⊥AD B
x
∴BA⊥面 QAD,易知 ∠BMA为二面角 B-QD-A的平面角。
2 2
在 BQD中， BQ= QA +AB 3,QD= 5， BD=2 2 Q
2 2 2
QB +QD -BD
cos∠BQD= 5，
2×QB×QD 5 M
即 sin∠BQD= BM 2 5 6 5
得： BM =
BQ 5 5 A O D
即 sin∠BMA= BA 5， cos∠BMA= 2
BM 3 3 B C
即二面角 B-QD-A 2
的平面角的余弦值为 3
2 2
y
20. 已知椭圆 C的方程为 x
2 +
2 1(a>b>0)，右焦点为 F( 2?0)，且离心率为 6
a b 3
(1)求椭圆 C的方程 ；
2 2
(2)设 M， N 是 椭 圆 C上 的 两 点 ，直 线 MN 与 曲 线 2
x +y =b (x>0)相 切 ． 证 明 ： M， N， F三 点 共 线 的
充要条件是 |MN| = 3．
【解析】： (1)由题意，椭圆半焦距 c= 2 c 6
且 e= ，所以 a= 3，
a 3
2 2 2 2
x 2
又 b =a -c =1，所以椭圆方程为 +y =1；
3
2 2
(2)由 (1)得，曲线为 x +y =1(x>0)，
当直线 MN 的斜率不存在时，直线 MN :x=1，不合题意；
当直线 MN 的斜率存在时，设 M?x1,y1?,N?x2,y2?，
必要性：
若 M， N， F三点共线，可设直线 MN :y=k?x- 2?即 kx-y- 2k=0，
2 2 ? 2k?
由直线 MN 与曲线 x +y =1(x>0)相切可得 2 =1，解得 k= ±1，
k +1
y= ±?x- 2?
联立 ?
2 2
x 2 4x -6 2x+3=0 3 2 3
，所以 x1+x2= ?x1?x2= ，
?? ?y =1 2 4
3
2
所以 ?MN? = 1+1 ?x1+x2? ?4x1?x2 3?
所以必要性成立；
充分性：设直线 MN :y=kx+b,?kb<0?即 kx-y+b=0，
2 2 ?b? 2 2
由直线 MN 与曲线 x +y =1(x>0)相切可得 2 =1，所以 b =k +1，
k +1
y=kx+b
2 2 2
联立 ? 2
x 2 ?1+3k ?x +6kbx+3b -3=0，
?? +y =1
3
2
6kb
所以 x1+x2= -
2?x 3b -3
1?x2=
2，
1+3k 1+3k
2 2 2 2
6kb 2 3b -3
所以 ?MN? = 1+k ?x1+x2? ?4x1?x2 1+k ?? 2 ?4?
2
1+3k ? 1+3k
2 2
1+k 24k
2 3，
1+3k
·23·
2 2
化简得 3?k -1? =0，所以 k= ±1，
k=1 k= -1
所以 ? ? MN :y=x- 2或 y= -x+ 2，
??b= - 2 ??b= 2
所以直线 MN 过点 F( 2?0)， M， N， F三点共线，充分性成立；
所以 M， N， F三点共线的充要条件是 |MN| = 3．
21. 一 种 微 生 物 群 体 可 以 经 过 自 身 繁 殖 不 断 生 存 下 来 ，设 一 个 这 种 微 生 物 为 第 0代 ，经 过 一 次 繁 殖 后 为 第 1
代 ，再 经 过 一 次 繁 殖 后 为 第 2代 ??，该 微 生 物 每 代 繁 殖 的 个 数 是 相 互 独 立 的 且 有 相 同 的 分 布 列 ，设 X
表示 1个微生物个体繁殖下一代的个数 ， P(X=i) =pi(i=0,1,2,3)．
(1)已知 p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求 E(X)；
(2)设 p表 示 该 种 微 生 物 经 过 多 代 繁 殖 后 临 近 灭 绝 的 概 率 ， p是 关 于 x的 方 程 ： 2 3
p0+p1x+p2x +p3x =x
的一个最小正实根 ，求证 ：当 E(X) ≤1时 ， p=1，当 E(X) >1时 ， p<1；
(3)根据你的理解说明 (2)问结论的实际含义．
【解析】： (1)E(X) =0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.
3 2
(2)设 f?x?=p3x +p2x +?p1-1?x+p0，
3 2
因为 p3+p2+p1+p0=1，故 f?x?=p3x +p2x -?p2+p0+p3?x+p0，
若 E?X?≤1，则 p1+2p2+3p3≤1，故 p2+2p3≤p0.
? 2
f ?x?=3p3x +2p2x-?p2+p0+p3?，
? ?
因为 f ?0?= -?p2+p0+p3?<0， f ?1?=p2+2p3-p0≤0，
?
故 f ?x?有两个不同零点 x1,x2，且 x1<0<1≤x2，
? ?
且 x∈?-∞ ,x1?∪?x2,+∞?时， f ?x?>0； x∈?x1,x2?时， f ?x?<0；
故 f?x?在 ?-∞ ,x1??x2,+∞? ?x1,x2?
x2=1，因为 f?x?在 ?x2,+∞? f?1?=0，
而当 x∈?0,x2?时，因为 f?x?在 ?x1,x2? f?x?>f?x2?=f?1?=0，
2 3
故 1为 p0+p1x+p2x +p3x =x的一个最小正实根，
2 3
若 x2>1，因为 f?1?=0且在 ?0,x2? 1为 p0+p1x+p2x +p3x =x的一个最小正实根，
综上，若 E?X?≤1，则 p=1.
若 E?X?>1，则 p1+2p2+3p3>1，故 p2+2p3>p0.
? ?
此时 f ?0?= -?p2+p0+p3?<0， f ?1?=p2+2p3-p0>0，
?
故 f ?x?有两个不同零点 x3,x4，且 x3<0? ?
且 x∈?-∞ ,x3?∪?x4,+∞?时， f ?x?>0； x∈?x3,x4?时， f ?x?<0；
故 f?x?在 ?-∞ ,x3??x4,+∞? ?x3,x4?
f?1?=0，故 f?x4?<0，
又 f?0?=p0>0，故 f?x?在 ?0,x4? p，且 p<1.
2 3
所以 p为 p0+p1x+p2x +p3x =x的一个最小正实根，此时 p<1，
故当 E?X?>1时， p<1.
(3)意 义 ：每 一 个 该 种 微 生 物 繁 殖 后 代 的 平 均 数 不 超 过 1，则 若 干 代 必 然 灭 绝 ，若 繁 殖 后 代 的 平 均 数 超 过
1，则若干代后被灭绝的概率小于 1.
22. 已知函数 x 2
f(x) = (x-1)e -ax +b．
(1)讨论 f(x)的单调性 ；
(2)从下面两个条件中选一个 ，证明 ： f(x)有一个零点
2
① 12a；
2 2
② 02
x
【解析】： (1)由函数的解析式可得： f'?x?=x?e -2a?，
当 a≤0时，若 x∈?-∞ ,0?，则 f'?x?<0,f?x?单调递减，
·24·
若 x∈?0,+∞?，则 f'?x?>0,f?x?单调递增；
当 00,f x 单调递增，
2 ?? ? ? ? ?
若 x∈?ln?2a?,0?，则 f'?x?<0,f?x?单调递减，
若 x∈?0,+∞?，则 f'?x?>0,f?x?单调递增；
当 a= 1 时， f'?x ≥0,f x 在 R上单调递增；
2 ? ? ?
1
当 a> 时，若 x∈?-∞ ,0 ，则 f' x >0,f x 单调递增，
2 ? ? ? ? ?
若 x∈?0,ln?2a??，则 f'?x?<0,f?x?单调递减，
若 x∈?ln?2a?,+∞?，则 f'?x?>0,f?x?单调递增；
(2)若选择条件①：
2
1 e 2
由于2a>1,f 0 =b-1>0，
2 2 ? ?
-b 2
而 f?-b?=?-1-b?e -ab -b<0，
而函数在区间 ?-∞ ,0? ?-∞ ,0? .
2
f?ln?2a??=2a?ln?2a?-1?-a?ln?2a?? +b
2
>2a?ln?2a?-1?-a?ln?2a?? +2a
2
=2aln?2a?-a?ln?2a??
=aln?2a??-ln?2a??，
2
1 e 2
由于2 2 ? ? ? ?
结合函数的单调性可知函数在区间 ?0,+∞? .
综上可得，题中的结论成立 .
若选择条件②：
1
由于 02 ?
2 2
当 b≥0时， e >4,4a<2， f?2?=e -4a+b>0，
而函数在区间 ?0,+∞? ?0,+∞? .
x ? x
当 b<0时，构造函数 H?x?=e -x-1，则 H ?x?=e -1，
?
当 x∈?-∞ ,0?时， H ?x?<0,H?x?单调递减，
?
当 x∈?0,+∞?时， H ?x?>0,H?x?单调递增，
x
注意到 H?0?=0，故 H?x?≥0恒成立，从而有： e ≥x+1，此时：
x 2 2 2
f?x?=?x-1?e -ax -b≥?x-1??x+1?-ax +b=?1-a?x +?b-1?，
1-b 2
当 x> 时， ?1-a x + b-1 >0，
1-a ? ? ?
取 x 1-b
0= 1，则 f x >0，
1-a ? 0?
1-b
即： f?0?<0,f? +1 >0，
1-a ?
而函数在区间 ?0,+∞? ?0,+∞? .
2
f?ln?2a??=2a?ln?2a?-1?-a?ln?2a?? +b
2
≤2a?ln?2a?-1?-a?ln?2a?? +2a
2
=2aln?2a?-a?ln?2a??
=aln?2a??-ln?2a??，
由于 02 ? ? ?
结合函数的单调性可知函数在区间 ?-∞ ,0? .
综上可得，题中的结论成立 .
·25·
2021年全国统一高考数学试卷 (文科 ) (甲卷 )
一 、 选择题 ：本题共 12小题 ，每小题 5分 ，共 60分。在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合要求的。
1.设集合 M = {1， 3， 5， 7， 9}， N = {x|2x>7}，则 M ∩N = ( )
A.{7， 9} B. {5， 7， 9} C. {3， 5， 7， 9} D.{1， 3， 5， 7， 9}
2.为 了 解 某 地 农 村 经 济 情 况 ，对 该 地 农 户 家 庭 年 收 入 进 行 抽 样 调 查 ，将 农 户 家 庭 年 收 入 的 调 查 数 据 整 理 得
到如下频率分布直方图 ：
频率
组距
0.20
0.14
0.10
0.04
0.02
2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.511.512.513.514.5 收入 /万元
( )
A.该地农户家庭年收入低于 4.5万元的农户比率估计为 6%
B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5万元的农户比率估计为 10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户 ，其家庭年收入介于 4.5万元至 8.5万元之间
2
3.已知 (1-i) z=3+2i，则 z= ( )
A.-1- 3i B. -1+ 3i C. - 3 ?i D.- 3 ?i
2 2 2 2
4.下列函数中是增函数的为 ( )
x 2 3
A. f(x) = -x B. f(x) = 2
? C. f(x) =x D. f(x) = x
3 ?
2 2
y
5.点 (3,0)到双曲线 x - 1的一条渐近线的距离为 ( )
16 9
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
5 5 5 5
6.青 少 年 视 力 是 社 会 普 遍 关 注 的 问 题 ，视 力 情 况 可 借 助 视 力 表 测 量 ． 通 常 用 五 分 记 录 法 和 小 数 记 录 法 记
录 视 力 数 据 ，五 分 记 录 法 的 数 据 L和 小 数 记 录 法 的 数 据 V满 足 L=5+lgV． 已 知 某 同 学 视 力 的 五 分 记
录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 10
( 101.259) ( )
A.1.5 B. 1.2 C. 0.8 D.0.6
7.在一个正方体中 ，过顶点 A的三条棱的中点分别为 E， F， G．该正方体截去三棱锥 A-EFG后 ，所得多
面体的三视图中 ，正视图如图所示 ，则相应的侧视图是 ( )
正视图
A. B. C. D.
8.在 ABC中 ，已知 B=120°， AC= 19， AB=2，则 BC= ( )
A.1 B. 2 C. 5 D.3
9.记 Sn为等比数列 {an}的前 n项和．若 S2=4， S4=6，则 S6= ( )
A.7 B. 8 C. 9 D.10
10.将 3个 1和 2个 0随机排成一行 ，则 2个 0不相邻的概率为 ( )
A.0.3 B. 0.5 C. 0.6 D.0.8
11.若 α∈?0,π ， tan2α= cosα ，则 tanα= ( )
2 ? 2-sinα
A. 15 B. 5 C. 5 D. 15
15 5 3 3
12.设 f(x)是定义域为 R的奇函数 ，且 f(1+x) =f(-x)．若 f -1 1 5
? = ，则 f = ( )
3 ? 3 ? 3 ?
A.- 5 B. - 1 C. 1 D. 5
3 3 3 3
二 、 填空题 ：本题共 4小题 ，每小题 5分 ，共 20分。
? ? ? ? ? ? ? ?
13.若向量 a， b满足 |a| =3， |a-b| =5， a?b=1，则 |b| = ． y
2
14.已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为 30π，则该圆锥的侧面积为 ．
15.已知函数 f(x) =2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示 ，则 f π
? = ．
2 ? O π 13π x
3 12
2 2
y
16.已 知 F1， F x
2为 椭 圆 C: ? 1的 两 个 焦 点 ， P， Q为 C上 关 于 坐 标 原 点 对
16 4
称的两点 ，且 |PQ| = |F1F2|，则四边形 PF1QF2的面积为 ．
三 、 解 答 题 ：共 70分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。 第 17~21题 为 必 考 题 ，每 个 试 题 考 生 都
必须作答。第 22、 23题为选考题 ，考生根据要求作答。
(一 )必考题 ：共 60分。
17.(12分 )甲 、乙 两 台 机 床 生 产 同 种 产 品 ，产 品 按 质 量 分 为 一 级 品 和 二 级 品 ，为 了 比 较 两 台 机 床 产 品 的 质 量 ，
分别用两台机床各生产了 200件产品 ，产品的质量情况统计如下表 ：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床 、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
2
n(ad-bc)
附 ： 2
K = ． P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
a+b) (c+d) (a+c) (b+d)
k 3.841 6.635 10.828
·27·
18.(12分 )记 Sn为数列 {an}的前 n项和 ，已知 an>0， a2=3a1，且数列 { Sn是等差数列 .
证明 ： {an}是等差数列．
19.(12分 )已 知 直 三 棱 柱 ABC -A1B1C1中 ，侧 面 AA1B1B为 正 方 形 ， AB=BC =2， E， F 分 别 为 AC 和
CC1的中点 ， BF⊥A1B1． A1 D B1
(1)求三棱锥 F-EBC的体积 ； C1
(2)已知 D为棱 A1B1上的点 ，证明 ： BF⊥DE．
F
A B
E
C
2 2
20.(12分 )设函数 f(x) =ax +ax-3lnx+1，其中 a>0．
(1)讨论 f(x)的单调性 ；
(2)若 y=f(x)的图像与 x轴没有公共点 ，求 a的取值范围．
·28·
21.(12分 )抛 物 线 C的 顶 点 为 坐 标 原 点 O，焦 点 在 x轴 上 ，直 线 l:x=1交 C于 P， Q两 点 ，且 OP⊥OQ．
已知点 M(2,0)，且 ⊙M 与 l相切．
(1)求 C， ⊙M 的方程 ；
(2)设 A1， A2， A3是 C上 的 三 个 点 ，直 线 A1A2， A1A3均 与 ⊙M 相 切 ． 判 断 直 线 A2A3与 ⊙M 的 位 置 关
系 ，并说明理由．
(二 )选考题 ：共 10分。请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做 ，则按所做的第一题计分。
[选修 4-4：坐标系与参数方程 ] (10分 )
22.(10分 )在 直 角 坐 标 系 xOy中 ，以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ，曲 线 C的 极 坐 标 方
程为 ρ=2 2cosθ．
(1)将 C的极坐标方程化为直角坐标方程 ； ??? ???
(2)设 点 A的 直 角 坐 标 为 (1,0)， M 为 C上 的 动 点 ，点 P满 足 AP= 2AM，写 出 P的 轨 迹 C1的 参 数 方
程 ，并判断 C与 C1是否有公共点．
[选修 4-5：不等式选讲 ] (10分 )
23.已知函数 f(x) = |x-2|， g(x) = |2x+3|-|2x-1|．
(1)画出 y=f(x)和 y=g(x)的图像 ；
(2)若 f(x+a) ≥g(x)，求 a的取值范围．
y
1
O 1 x
·29·
2021年全国统一高考数学试卷 (文科 ) (甲卷 )参考答案与试题解析
一 、 选择题 ：本题共 12小题 ，每小题 5分 ，共 60分。在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合要求的。
1.设集合 M = {1， 3， 5， 7， 9}， N = {x|2x>7}，则 M ∩N = ( )
A.{7， 9} B. {5， 7， 9} C. {3， 5， 7， 9} D.{1， 3， 5， 7， 9}
7
【解析】：因为 N = {x|2x>7} =???x?x> ?， M = {1， 3， 5， 7， 9}，
2 ??
所以 M ∩N = {5， 7， 9}．故选： B．
2.为了解某地农村经济情况 ，对该地农户家庭年收入进行抽样调查 ，将农户家庭年收入的调查数据整理得
到如下频率分布直方图 ：
频率
组距
0.20
0.14
0.10
0.04
0.02
2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.511.512.513.514.5 收入 /万元
( )
A.该地农户家庭年收入低于 4.5万元的农户比率估计为 6%
B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5万元的农户比率估计为 10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户 ，其家庭年收入介于 4.5万元至 8.5万元之间
【解 析】：对 于 A，该 地 农 户 家 庭 年 收 入 低 于 4.5万 元 的 农 户 比 率 为 (0.02+0.04) ×1=0.06=6%，故 选 项
A正确；
对 于 B，该 地 农 户 家 庭 年 收 入 不 低 于 10.5万 元 的 农 户 比 率 为 (0.04+0.02×3) ×1=0.1=10%，故 选 项 B
正确；
对 于 C，估 计 该 地 农 户 家 庭 年 收 入 的 平 均 值 为 3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2
+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5万元，故选项 C错误；
对于 D，家庭年收入介于 4.5万元至 8.5万元之间的频率为 (0.1+0.14+0.2+0.2) ×1=0.64>0.5，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5万元至 8.5万元之间，故选项 D正确．
故选： C．
3.已知 2
(1-i) z=3+2i，则 z= ( )
A.-1- 3i B. -1+ 3i C. - 3 ?i D.- 3 ?i
2 2 2 2
2 3+2i 3+2i)i
【解析】：因为 (1-i) z=3+2i，所以 z= 3+2i ?2+3i 3
2 ? 1+ i．
(1-i) -2i (-2i) ?i 2 2
故选： B．
4.下列函数中是增函数的为 ( )
x 2 3
A. f(x) = -x B. f(x) = 2
? C. f(x) =x D. f(x) = x
3 ?
·30·
【解析】：由一次函数性质可知 f(x) = -x在 R上是减函数，不符合题意；
2 x
由指数函数性质可知 f(x) =? 在 R上是减函数，不符合题意；
3 ?
2
由二次函数的性质可知 f(x) =x 在 R上不单调，不符合题意；
3
根据幂函数性质可知 f(x) = x在 R上单调递增，符合题意．故选： D．
2 2
y
5.点 (3,0)到双曲线 x - 1的一条渐近线的距离为 ( )
16 9
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
5 5 5 5
2 2
x y
【解析】：由题意可知，双曲线的渐近线方程为 ? 0，即 3x±4y=0，
16 9
结合对称性，不妨考虑点 (3,0)到直线 3x-4y=0 的距离，
则点 (3,0)到双曲线的一条渐近线的距离 d= 9-0 9．故选： A．
9+16 5
6.青少年视力是社会普遍关注的问题 ，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记
录视力数据 ，五分记录法的数据 L和小数记录法的数据 V满足 L=5+lgV．已知某同学视力的五分记
录法的数据为 10
4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 ( ) ( 101.259)
A.1.5 B. 1.2 C. 0.8 D.0.6
【解析】：在 L=5+lgV中， L=4.9，所以 4.9=5+lgV，即 lgV= -0.1，
-0.1
解得 V=10 = 1
0.1 1 1
10 0.8，
10 10 1.259
所以其视力的小数记录法的数据约为 0.8．故选： C．
7.在一个正方体中 ，过顶点 A的三条棱的中点分别为 E， F， G．该正方体截去三棱锥 A-EFG后 ，所得多
面体的三视图中 ，正视图如图所示 ，则相应的侧视图是 ( )
正视图
A1 B1
D1 C1
G
A E B
F
D C
【解析】：由题意，作出正方体，截去三棱锥 A-EFG，根据正视图，
可得 A-EFG在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，
可得相应的侧视图是 D图形，故选： D．
8.在 ABC中 ，已知 B=120°， AC= 19， AB=2，则 BC= ( )
A.1 B. 2 C. 5 D.3
【解析】：设角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，
2
结合余弦定理，可得 19=a +4?2×a×2×cos120°，
2
即 a +2a?15=0，解得 a=3(a= -5 舍去 )，
所以 BC=3．故选： D．
9.记 Sn为等比数列 {an}的前 n项和．若 S2=4， S4=6，则 S6= ( )
A.7 B. 8 C. 9 D.10
【解析】： ∵Sn为等比数列 {an}的前 n项和， S2=4， S4=6，
·31·
由等比数列的性质，可知 S2， S4-S2， S6-S4成等比数列，
2
∴4， 2， S6-6成等比数列， ∴2 =4(S6-6)，解得 S6=7．故选： A．
10.将 3个 1和 2个 0随机排成一行 ，则 2个 0不相邻的概率为 ( )
A.0.3 B. 0.5 C. 0.6 D.0.8
【解 析】：将 3个 1和 2个 0随 机 排 成 一 行 的 方 法 可 以 是 ： 00111， 01011， 01101， 01110， 10011， 10101，
10110， 11001， 11010， 11100，共 10种排法，
其中 2个 0不相邻的排列方法可以是： 01011， 01101， 01110， 10101， 10110， 11010，共 6种方法，
6
满足题意的概率为 =0.6，故选： C．
10
11.若 α∈?0,π ， tan2α= cosα ，则 tanα= ( )
2 ? 2-sinα
A. 15 B. 5 C. 5 D. 15
15 5 3 3
cosα sin2α cosα
【解析】：由 tan2α= ，得 = ，
2-sinα cos2α 2-sinα
2sinαcosα cosα
即 2 = ，
1-2sinα 2-sinα
∵α∈?0,π ， ∴cosα≠0，
2 ?
2
则 2sinα(2-sinα) =1-2sinα，解得 sinα= 1，
4
2 15
则 cosα= 1-sinα ，
4
1
∴tanα= sinα 4 15．故选： A．
cosα 15 15
4
12.设 f(x)是定义域为 R的奇函数 ，且 f(1+x) =f(-x)．若 f?-1 = 1 ，则 f 5 = ( )
3 ? 3 ? 3 ?
A.- 5 B. - 1 C. 1 D. 5
3 3 3 3
【解析】：解法一：由题意得 f(-x) = -f(x)，
1
又 f(1+x) =f(-x) = -f(x)，所以 f(2+x) =f(x) 1
，又 f?- = ，
3 ? 3
5 1 1 1
则 f? =f 2- =f - = ．故选： C．
3 ? ? 3 ? ? 3 ? 3
解法二：由 f(1+x) =f(?x) 1
知函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称，
2
又 f(x)为奇函数，所以 f(x) 1
是周期函数，且 T=4?0- =2，
2 ?
5 5 1 1
则 f? =f ?2 =f ? = ，故选 C.
3 ? ? 3 ? ? 3 ? 3
二 、 填空题 ：本题共 4小题 ，每小题 5分 ，共 20分。
? ? ? ?
13.若向量 ? ? ? ?
a， b满足 |a| =3， |a-b| =5， a?b=1，则 |b| = 3 2 ．
? ?
2 ?2 ? ? ?
2
【解析】：由题意，可得 (a?b) a 2a?b+b 25，
? ? ? ?
2
因为 |a| =3， a?b=1，所以 9?2×1+b 25，
?
2 ? ?
2
所以 b 18,|b| = b 3 2．故答案为： 3 2．
14.已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为 30π，则该圆锥的侧面积为 39π ．
【解析】：由圆锥的底面半径为 6，其体积为 30π，
1 2
设圆锥的高为 h，则 × (π×6 ) ×h=30π，解得 h= 5，
3 2
5 2 2
所以圆锥的母线长 l= ? ?6 13，
2 ? 2
·32·
所以圆锥的侧面积 S=πrl=π×6× 13 39π．故答案为： 39π．
2
15.已知函数 f(x) =2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示 ，则 f π y
? = - 3 ．
2 ?
2
【解析】：由图可知， f(x)的最小正周期 T= 4 13π ?π =π，
3 ? 12 3 ?
所以 ω= 2π 2，因为 f 13π =2cos 13π+φ =2，得 φ= -π ?2kπ，
T ?12 ? ? 6 ? 6 O π 13π x
3 12
π π
所 以 f(x) =2 cos?2x- ，则 f =2 cos 2× π ?π = -2 cosπ = - 3.
6 ? ? 2 ? ? 2 6 ? 6
故答案为： - 3．
2 2
y
16.已知 F1， F x
2为椭圆 C: ? 1的两个焦点 ， P， Q为 C上关于坐标原点对称的两点 ，且 |PQ| =
16 4
|F1F2|，则四边形 PF1QF2的面积为 8．
【解析】：解法一：因为 P， Q为 C上关于坐标原点对称的两点，且 |PQ| = |F1F2|，
所以四边形 PF1QF2为矩形，
设 |PF1| =m， |PF2| =n，
2 2
由椭圆的定义可得 ||PF1|+|PF2|| =m+n=2a=8，所以 m +2mn+n =64，
2 2 2 2 2 2 2 2
因为 |PF1|? PF2| F1F2| 4c =4(a -b ) =48，即 m +n =48，所以 mn=8，
所以四边形 PF1QF2的面积为 |PF1||PF2| =mn=8．故答案为： 8．
解法二：因为四边形 PF1QF2的对角线 ?PQ? =?F1F2?，所以四边形 PF1QF2为矩形，
2 π
则由焦点三角形面积公式得 SF1QF2P=2b tan =2×4×1=8.
4
三 、 解 答 题 ：共 70分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。 第 17~21题 为 必 考 题 ，每 个 试 题 考 生 都
必须作答。第 22、 23题为选考题 ，考生根据要求作答。
(一 )必考题 ：共 60分。
17.(12分 )甲 、乙两台机床生产同种产品 ，产品按质量分为一级品和二级品 ，为了比较两台机床产品的质量 ，
分别用两台机床各生产了 200件产品 ，产品的质量情况统计如下表 ：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床 、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
2
n(ad-bc)
附 ： 2
K = ． P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
a+b) (c+d) (a+c) (b+d)
k 3.841 6.635 10.828
【解析】：由题意，可得甲机床 、乙机床生产总数均为 200件，
因为甲的一级品的频数为 150 150 3
，所以甲的一级品的频率为 = ；
200 4
120 3
因为乙的一级品的频数为 120，所以乙的一级品的频率为 = ；
200 5
2
2 n(ad-bc)
(2)根据 2×2列联表，可得 K = a+b) (c+d) (a+c) (b+d)
2
400(150×80-50×120)
= 10.256>6.635．
270×130×200×200
所以有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
18.(12分 )记 Sn为数列 {an}的前 n项和 ，已知 an>0， a2=3a1，且数列 { Sn是等差数列 .
证明 ： {an}是等差数列．
【解答】证明：设等差数列 { Sn的公差为 d，
·33·
由题意得 S1= a1； S2= a1+a2 4a1 2 a1，
则 d= S2? S1 2 a1- a1 a1，所以 Sn= a1? n-1) a1 n a1，
2
所以 Sn=na1①；
2
当 n≥2时，有 Sn-1= (n-1) a1②．
2 2
由①②，得 an=Sn-Sn-1=na1- (n-1) a1= (2n-1)a1③，
经检验，当 n=1时也满足③．
所以 an= (2n-1)a1， n∈N+，
当 n≥2时， an-an-1= (2n-1)a1- (2n-3)a1=2a1，
所以数列 {an}是等差数列．
19.(12分 )已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中 ，侧面 AA1B1B为正方形 ， AB=BC=2， E， F分别为 AC和
CC1的中点 ， BF⊥A1B1．
(1)求三棱锥 F-EBC的体积 ； A1 D B1
(2)已知 D为棱 A1B1上的点 ，证明 ： BF⊥DE． C1
【解析】： (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， BB1⊥A1B1，
又 BF⊥A1B1， BB1∩BF=B， BB1， BF?平面 BCC1B1，
∴A1B1⊥平面 BCC1B1， F
∵AB?A1B1， ∴AB⊥平面 BCC1B1， ∴AB⊥AC， A B
2 2 G
又 AB=AC，故 AC= 2 +2 2 2， E
C
∴CE= 2 BE，而侧面 AA1B1B为正方形，
∴CF= 1CC = 1AB=1，
2 1 2
∴V= 1S ?CF= 1 1 2 21= 1 1
，即三棱锥 F-EBC的体积为
3 EBC 3 2 3 3
(2)证明：如图，取 BC中点 G，连接 EG， B1G，设 B1G∩BF=H，
∵点 E是 AC的中点，点 G时 BC的中点，
∴EG?AB， ∴EG?AB?B1D，
∴E、 G、 B1、 D四点共面，由 (1)可得 AB⊥平面 BCC1B1，
∴EG⊥平面 BCC1B1， ∴BF⊥EG，
∵tan∠CBF= CF 1?tan∠BB BG 1
1G= ，且这两个角都是锐角， ∴ ∠CBF= ∠BB1G，
BC 2 BB1 2
∴ ∠BHB1= ∠BGB1+ ∠CBF= ∠BGB1+ ∠BB1G=90°， ∴BF⊥B1G，
又 EG∩B1G=G， EG， B1G?平面 EGB1D，
∴BF⊥平面 EGB1D，又 DE?平面 EGB1D，
∴BF⊥DE．
2 2
20.(12分 )设函数 f(x) =ax +ax-3lnx+1，其中 a>0．
(1)讨论 f(x)的单调性 ；
(2)若 y=f(x)的图像与 x轴没有公共点 ，求 a的取值范围．
2 2 2ax+3) (ax-1)
【解析】： 2
(1)f′ (x) =2ax+a- 3 2ax +ax-3 ， x>0，
x x x
因为 a>0 3
，所以 - 0< 1，
2a a
所以在 ?0,1 f′ (x) <0， f(x) 1
单调递减，在 +∞ f′ (x) >0， f(x)单调递增．
a? ?a ?
综上所述， f(x) 1 1
在 ?0, +∞ f(x)单调递增．
a? ?a ?
2 2
(2) 1 1 1 1
由 (1)可知， f(x)min f? =a × ?a× 3ln +1=3+3lna，
a? ?a? a a
因为 y=f(x) 1
的图像与 x轴没有公共点，所以 3+3lna>0，所以 a> ，
e
1
所以 a的取值范围为 ? +∞
e ?
·34·
21.(12分 )抛物线 C的顶点为坐标原点 O，焦点在 x轴上 ，直线 l:x=1交 C于 P， Q两点 ，且 OP⊥OQ．
已知点 M(2,0)，且 ⊙M 与 l相切．
(1)求 C， ⊙M 的方程 ；
(2)设 A1， A2， A3是 C上 的 三 个 点 ，直 线 A1A2， A1A3均 与 ⊙M 相 切 ． 判 断 直 线 A2A3与 ⊙M 的 位 置 关
系 ，并说明理由．
2
【解析】： (1)因为 x=1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线 C的方程为： y =2px(p>0)，
令 x=1，则 y= ± 2p，
根据抛物线的对称性，不妨设 P在 x轴上方， Q在 X轴下方，故 P(1, 2p Q(1,? 2p，
因为 OP⊥OQ，故 1+ 2p 2p 0?p= 1，
2
2
抛物线 C的方程为： y =x，
2 2
因为 ⊙M 与 l相切，故其半径为 1，故 ⊙M : (x-2) ?y =1．
(2)设 A1(x1， y1)， A2(x2， y2)， A3(x3， y3)．
当 A1， A2， A3其中某一个为坐标原点时 (假设 A1为坐标原点时 )，
设直线 A1A2方程为 kx-y=0 2k
，根据点 M(2,0)到直线距离为 1可得 2 =1，解得 k= ± 3，
1+k 3
联立直线 A1A2与抛物线方程可得 x=3，
此时直线 A2A3与 ⊙M 的位置关系为相切，
当 A1， A2， A3都不是坐标原点时，即 x1≠x2≠x3，直线 A1A2的方程为 x? (y1+y2)y+y12=0，
|2+y12| 2 2 2
此时有， 2 =1，即 (y1?1)y2+2y12+3?y1=0，
1+ (y1+y2)
2 2 2
同理，由对称性可得， (y1?1)y3+2y13+3?y1=0，
2 2 2
所以 y2， y3是方程 (y1?1)t +2y1t+3?y1=0 的两根，
依题意有，直线 A2A3的方程为 x? (y2+y3)y+y23=0，
2
3-y1 2
2 2+
2
2 (2+y23) ? 1-1 ?
令 M 到直线 A2A3的距离为 d，则有 d =
2 1，
1+ (y2+y3) -2y1 2
1+? 2
1-1?
此时直线 A2A3与 ⊙M 的位置关系也为相切，
综上，直线 A2A3与 ⊙M 相切．
(二 )选考题 ：共 10分。请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做 ，则按所做的第一题计分。
[选修 4-4：坐标系与参数方程 ] (10分 )
22.(10分 )在直角坐标系 xOy中 ，以坐标原点为极点 ， x轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，曲线 C的极坐标方
程为 ρ=2 2cosθ．
(1)将 C的极坐标方程化为直角坐标方程 ； ??? ???
(2)设 点 A的 直 角 坐 标 为 (1,0)， M 为 C上 的 动 点 ，点 P满 足 AP= 2AM，写 出 P的 轨 迹 C1的 参 数 方
程 ，并判断 C与 C1是否有公共点．
2
【解析】： (1)由极坐标方程为 ρ=2 2cosθ，得 ρ =2 2ρcosθ，
2 2
化为直角坐标方程是 x +y =2 2x，
2 2
即 (x- 2?y =2，表示圆心为 C( 2， 0)，半径为 2
(2)设点 P的直角坐标为 (x,y)， M(x1， y1)，因为 A(1,0)，
??? ???
所以 AP= (x-1,y)， AM = (x1-1， y1)，
??? ???
由 AP= 2AM，
? 2
x-1= 2x1-1) ??x1= x-1) +1
2
即 ?
??y= 2y1 ?
???y 2
1= x
2
M 2 2 2
? (x-1) +1 2 2 2
， y ，代入 C的方程得 ?
??? (x-1) +1- 2?? + y 2，
2 2 ? 2 ?? ? 2 ?
·35·
2 2
化简得点 P的轨迹方程是 (x-3+ 2?y =4，表示圆心为 C1(3- 2， 0)，半径为 2 的圆；
x=3- 2?2cosθ
化为参数方程是 ? θ为参数；
??y=2sinθ
计算 |CC1| = |(3- 2 ?2 3-2 2<2- 2，
所以圆 C与圆 C1内含，没有公共点．
[选修 4-5：不等式选讲 ] (10分 )
23.已知函数 f(x) = |x-2|， g(x) = |2x+3|-|2x-1|．
(1)画出 y=f(x)和 y=g(x)的图像 ；
(2)若 f(x+a) ≥g(x)，求 a的取值范围．
x-2, x≥2
【解析】： (1)函数 f(x) = |x-2| =? ，
??2-x, x<2
7A4,x≥ 1
2
A 3 1
g(x) = |2x+3|-|2x-1| =84x+2,- °x< ．
2 2
A
9A?4,x≤ -3
2
画出 y=f(x)和 y=g(x)的图像；
y
f?x?=?x-2?
1
O 1 x
g?x?=?2x+3?-?2x-1?
(2)由图像可得： f(6) =4 1
， g? =4，
2 ?
若 f(x+a) ≥g(x)，说明把函数 f(x)的图像向左或向右平移 |a|单位以后， f(x)的图像不在 g(x)的下方，
由图像观察可得： a≥2- 1 ?4= 11
2 2
a 11
的取值范围为 ??? +∞
2 ?
·36·
2021年全国统一高考数学试卷 (理科 ) (甲卷 )
一 、选择题 ：本题共 12小题 ，每小题 5分 ，共 60分。在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合要求的。
1.设集合 M = {x|0? ≤x≤5?
3 ??，则 M ∩N = ( )
A.{x?0? ≤x<4? C. {x|4≤x<5} D.
目录
2021年全国统一新高考数学试卷 (新高考Ⅰ卷 )?????????????????????????????????????????????????????????????????1
2021年全国统一新高考数学试卷 (新高考Ⅰ卷 )参考答案与试题解析 ?????????????????????????????????5
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2021年全国统一高考数学试卷 (新高考全国Ⅱ卷 )参考答案与试题解析 ????????????????????????????18
2021年全国统一高考数学试卷 (文科 ) (甲卷 ) ?????????????????????????????????????????????????????????????????26
2021年全国统一高考数学试卷 (文科 ) (甲卷 )参考答案与试题解析 ??????????????????????????????????30
2021年全国统一高考数学试卷 (理科 ) (甲卷 ) ?????????????????????????????????????????????????????????????????37
2021年全国统一高考数学试卷 (理科 ) (甲卷 )参考答案与试题解析 ??????????????????????????????????41
2021年全国统一高考数学试卷 (文科 ) (乙卷 ) ?????????????????????????????????????????????????????????????????50
2021年全国统一高考数学试卷 (文科 ) (乙卷 )参考答案与试题解析 ??????????????????????????????????54
2021年全国统一高考数学试卷 (理科 ) (乙卷 )??????????????????????????????????????????????????????????????????61
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2021年普通高等学校招生全国统一考试 (北京卷 )数学 ????????????????????????????????????????????????????73
2021年普通高等学校招生全国统一考试 (北京卷 )数学参考答案与试题解析 ?????????????????????77
2021年天津市高考统一试卷 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????84
2021年天津市高考统一试卷参考答案与试题解析 ?????????????????????????????????????????????????????????????88
2021年浙江省高考数学试卷 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????96
2021年浙江省高考数学试卷数学参考答案与试题解析 ????????????????????????????????????????????????????100
2021年上海市春季高考数学试卷 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????109
2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析 ????????????????????????????????????????????????????113
2021年上海市夏季高考数学试卷 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????118
2021年上海市夏季高考数学试卷参考答案与试题解析 ????????????????????????????????????????????????????121
2021年全国统一新高考数学试卷 (新高考Ⅰ卷 )
一 、 选择题 ：本题共 8小题 ，每小题 5分 ，共 40分。每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A= {x|-2
?
2.已知 z=2-i，则 z(z+i) = ( )
A.6-2i B. 4-2i C. 6+2i D.4+2i
3.已知圆锥的底面半径为 2 ( )
A.2 B. 2 2 C. 4 D.4 2
4.下列区间中 ，函数 f(x) =7sin(x- π单调递增的区间是 ( )
6
A.(0,π B. (π， π) C. (π,3π D.(3π， 2π)
2 2 2 2
2 2
y
5.已知 F1， F x
2是椭圆 C: ? 1的两个焦点 ，点 M 在 C上 ，则 |MF| ? |MF|的最大值为 ( )
9 4 1 2
A.13 B. 12 C. 9 D.6
sinθ(1+sin2θ)
6.若 tanθ= -2，则 = ( )
sinθ+cosθ
A.- 6 B. - 2 C. 2 D. 6
5 5 5 5
x
7.若过点 (a,b)可以作曲线 y=e 的两条切线 ，则 ( )
b a b a
A.e 有 6个 相 同 的 球 ，分 别 标 有 数 字 1， 2， 3， 4， 5， 6，从 中 有 放 回 的 随 机 取 两 次 ，每 次 取 1个 球 ． 甲 表 示 事 件
“第 一 次 取 出 的 球 的 数 字 是 1”，乙 表 示 事 件“第 二 次 取 出 的 球 的 数 字 是 2”，丙 表 示 事 件“两 次 取 出 的 球 的
数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则 ( )
A.甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
二 、 选 择 题 ：本 题 共 4小 题 ，每 小 题 5分 ，共 20分 。 在 每 小 题 给 出 的 选 项 中 ，有 多 项 符 合 题 目 要 求 。 全 部 选 对
的得 5分 ，部分选对的得 2分 ，有选错的得 0分。
9.有 一 组 样 本 数 据 x1， x2， ?， xn，由 这 组 数 据 得 到 新 样 本 数 据 y1， y2， ?， yn，其 中 yi=xi+c(i=1， 2， ?，
n)， c为非零常数 ，则 ( )
A.两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同
10.已知 O为坐标原点 ，点 P1(cosα,sinα)， P2(cosβ,-sinβ)， P3(cos(α+β)， sin(α+β))， A(1,0)，则 ( )
??? ??? ??? ???
A.|OP1| = |OP2| B. |AP1| = |AP2|
??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???
C. OA?OP3=OP1?OP2 D.OA?OP1=OP2?OP3
2 2
11.已知点 P在圆 (x-5)? y-5) 16上 ，点 A(4,0)， B(0,2)，则 ( )
A.点 P到直线 AB的距离小于 10 B. 点 P到直线 AB的距离大于 2
C. 当 ∠PBA最小时 ， |PB| =3 2 D.当 ∠PBA最大时 ， |PB| =3 2
·1·
??? ??? ???
12.在 正 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， AB=AA1=1，点 P满 足 BP=λBC+μBB1，其 中 λ∈ [0， 1]， μ∈ [0， 1]，
则 ( )
A.当 λ=1时 ， △AB1P的周长为定值
B. 当 μ=1时 ，三棱锥 P-A1BC的体积为定值
C. 当 λ= 1 时 ，有且仅有一个点 P，使得 AP⊥BP
2 1
D.当 μ= 1 时 ，有且仅有一个点 P，使得 AB⊥平面 ABP
2 1 1
三 、 填空题 ：本题共 4小题 ，每小题 5分 ，共 20分。
13.已知函数 3 x -x
f(x) =x (a?2 -2 )是偶函数 ，则 a= ．
14.已 知 O为 坐 标 原 点 ，抛 物 线 2
C:y =2px(p>0)的 焦 点 为 F， P为 C上 一 点 ， PF与 x轴 垂 直 ， Q为 x轴
上一点 ，且 PQ⊥OP．若 |FQ| =6，则 C的准线方程为 ．
15.函数 f(x) = |2x-1|-2lnx的最小值为 ．
16.某 校 学 生 在 研 究 民 间 剪 纸 艺 术 时 ，发 现 剪 纸 时 经 常 会 沿 纸 的 某 条 对 称 轴 把 纸 对 折 ． 规 格 为 20 dm×
12 dm的 长 方 形 纸 ，对 折 1次 共 可 以 得 到 10 dm×12 dm， 20 dm×6 dm两 种 规 格 的 图 形 ，它 们 的 面 积 之 和
2
S1=240dm ，对 折 2次 共 可 以 得 到 5 dm×12 dm， 10 dm×6 dm， 20 dm×3 dm三 种 规 格 的 图 形 ，它 们 的 面
积 之 和 2
S2=180 dm ，以 此 类 推 ． 则 对 折 4次 共 可 以 得 到 不 同 规 格 图 形 的 种 数 为 ；如 果 对 折 n
n
次 ，那么 2
?Sk= dm．
k=1
四 、 解答题 ：本题共 6小题 ，共 70分。解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤。
an+1,n为奇数 ,
17.(10分 )已知数列 {an}满足 a1=1， an+1=???an+2,n为偶数 ?
(1)记 bn=a2n，写出 b1， b2，并求数列 {bn}的通项公式 ；
(2)求 {an}的前 20项和．
18.(12分 )某 学 校 组 织“一 带 一 路”知 识 竞 赛 ，有 A， B两 类 问 题 ． 每 位 参 加 比 赛 的 同 学 先 在 两 类 问 题 中 选
择 一 类 并 从 中 随 机 抽 取 一 个 问 题 回 答 ，若 回 答 错 误 则 该 同 学 比 赛 结 束 ；若 回 答 正 确 则 从 另 一 类 问 题 中 再
随 机 抽 取 一 个 问 题 回 答 ，无 论 回 答 正 确 与 否 ，该 同 学 比 赛 结 束 ． A类 问 题 中 的 每 个 问 题 回 答 正 确 得 20
分 ，否则得 0分 ； B类问题中的每个问题回答正确得 80分 ，否则得 0分．
已 知 小 明 能 正 确 回 答 A类 问 题 的 概 率 为 0.8，能 正 确 回 答 B类 问 题 的 概 率 为 0.6，且 能 正 确 回 答 问 题 的 概
率与回答次序无关．
(1)若小明先回答 A类问题 ，记 X为小明的累计得分 ，求 X的分布列 ；
(2)为使累计得分的期望最大 ，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
·2·
19.(12分 )记 2
△ABC的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c． 已 知 b =ac，点 D在 边 AC上 ， BDsin∠ABC
=asinC．
(1)证明 ： BD=b；
(2)若 AD=2DC，求 cos∠ABC．
20.(12分 )如图 ，在三棱锥 A-BCD中 ，平面 ABD⊥平面 BCD， AB=AD， O为 BD的中点．
(1)证明 ： OA⊥CD；
(2)若 △OCD是 边 长 为 1的 等 边 三 角 形 ，点 E在 棱 AD上 ， DE=2EA，且 二 面 角 E-BC-D的 大 小 为
45°，求三棱锥 A-BCD的体积．
A
E
O
B D
C
·3·
21.(12分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ，已 知 点 F1( - 17， 0)， F2( 17， 0)，点 M 满 足 |MF1| - |MF2| =2． 记 M
的轨迹为 C．
(1)求 C的方程 ；
(2)设 点 T在 直 线 x= 1 上 ，过 T的 两 条 直 线 分 别 交 C于 A， B两 点 和 P， Q两 点 ，且 |TA| ? |TB| = |TP|
2
? |TQ|，求直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和．
22.(12分 )已知函数 f(x) =x(1-lnx．
(1)讨论 f(x)的单调性 ；
(2)设 a， b为两个不相等的正数 ，且 blna-alnb=a-b，证明 ： 2< 1 1 e．
a b
·4·
2021年全国统一新高考数学试卷 (新高考Ⅰ卷 )参考答案与试题解析
一 、 选择题 ：本题共 8小题 ，每小题 5分 ，共 40分。每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A= {x|-2
【解析】： ∵A= {x|-2
z=2-i，则 z(z+i) = ( )
A.6-2i B. 4-2i C. 6+2i D.4+2i
【解析】： ∵z=2-i，
? 2
∴z(z+i) = (2-i) (2+i+i) = (2-i) (2+2i) =4+4i-2i-2i =6+2i．故选： C．
3.已知圆锥的底面半径为 2 ( )
A.2 B. 2 2 C. 4 D.4 2
【解析】：由题意，设母线长为 l，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，
则有 2π? 2 π?l，解得 l=2 2，
所以该圆锥的母线长为 2 2．故选： B．
4.下列区间中 ，函数 f(x) =7sin(x- π单调递增的区间是 ( )
6
A.(0,π B. (π， π) C. (π,3π D.(3π， 2π)
2 2 2 2
π
【解析】：令 - ?2kπ≤x- π π ?2kπ， k∈Z．
2 6 2
π 2π
则 - ?2kπ≤x≤ ?2kπ， k∈Z．
3 3
π 2π
当 k=0时， k∈ [- ， ]，
3 3
(0,π ?π 2π
， ]，故选： A．
2 3 3
2 2
y
5.已知 F x
1， F2是椭圆 C: ? 1的两个焦点 ，点 M 在 C上 ，则 |MF| ? |MF|的最大值为 ( )
9 4 1 2
A.13 B. 12 C. 9 D.6
2 2
x y
【解析】： F1， F2是椭圆 C: ? 1的两个焦点，点 M 在 C上， |MF|+|MF| =6，
9 4 1 2
|MF1|+|MF2| 2
所以 |MF1| ? |MF2| ≤ ( 9，当且仅当 |MF| = |MF| =3时，取等号，
2 1 2
所以 |MF1| ? |MF2|的最大值为 9．故选： C．
sinθ(1+sin2θ)
6.若 tanθ= -2，则 = ( )
sinθ+cosθ
A.- 6 B. - 2 C. 2 D. 6
5 5 5 5
2 2
sinθ(1+sin2θ) sinθ(sinθ+cos θ+2sinθcosθ)
【解析】：由题意可得： =
sinθ+cosθ sinθ+cosθ
2
sinθ(sinθ+cosθ)
sinθ(sinθ+cosθ)
sinθ+cosθ
·5·
2 2
= sinθ+sinθcosθ tanθ+tanθ
2 2 2
sinθ+cos θ 1+tanθ
4-2 2．故选： C．
1+4 5
x
7.若过点 (a,b)可以作曲线 y=e 的两条切线 ，则 ( )
b a b a
A.e x x
【解析】：函数 y=e 是增函数， y′ =e >0恒成立， y
函数的图象如图， y>0，即取得坐标在 x轴上方，
如果 (a,b)在 x轴下方，连线的斜率小于 0，不成立．
点 (a,b)在 x轴或下方时，只有一条切线． x
y=e
如果 (a,b)在曲线上，只有一条切线； ?a,b?
(a,b)在曲线上侧，没有切线； O x
由 图 象 可 知 (a,b)在 图 象 的 下 方 ，并 且 在 x轴 上 方 时 ，有 两 条
a
切线，可知 0
“第 一 次 取 出 的 球 的 数 字 是 1”，乙 表 示 事 件“第 二 次 取 出 的 球 的 数 字 是 2”，丙 表 示 事 件“两 次 取 出 的 球 的
数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则 ( )
A.甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
【解析】：由题意可知，两点数和为 8的所有可能为： (2,6)， (3,5)， (4,4)， (5,3)， (6,2)，
两点数和为 7的所有可能为 (1,6)， (2,5)， (3,4)， (4,3)， (5,2)， (6,1)，
P( 1 1 5
甲 ) = ， P(乙 ) = ， P( 5 6 1
丙 ) = ， P(丁 ) = ，
6 6 6×6 36 6×6 6
A.P(甲丙 ) =0≠P(甲 )P(丙 )， B. P( 1
甲丁 ) = P(甲 )P(丁 )，
36
C. P( 1
乙丙 ) = P(乙 )P(丙 )， D.P(丙丁 ) =0≠P(丙 )P(丁 )，
36
故选： B．
二 、 选 择 题 ：本 题 共 4小 题 ，每 小 题 5分 ，共 20分 。 在 每 小 题 给 出 的 选 项 中 ，有 多 项 符 合 题 目 要 求 。 全 部 选 对
的得 5分 ，部分选对的得 2分 ，有选错的得 0分。
9.有 一 组 样 本 数 据 x1， x2， ?， xn，由 这 组 数 据 得 到 新 样 本 数 据 y1， y2， ?， yn，其 中 yi=xi+c(i=1， 2， ?，
n)， c为非零常数 ，则 ( )
A.两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同
【解析】：对于 A，两组数据的平均数的差为 c，故 A错误；
对于 B，两组样本数据的样本中位数的差是 c，故 B错误；
对于 C， ∵标准差 D(yi) =D(xi+c) =D(xi)，
∴两组样本数据的样本标准差相同，故 C正确；
对于 D， ∵yi=xi+c(i=1， 2， ?， n)， c为非零常数，
x的极差为 xmax-xmin， y的极差为 (xmax+c) - (xmin+c) =xmax-xmin，
∴两组样本数据的样本极差相同，故 D正确．故选： CD．
10.已知 O为坐标原点 ，点 P1(cosα,sinα)， P2(cosβ,-sinβ)， P3(cos(α+β)， sin(α+β))， A(1,0)，则 ( )
??? ??? ??? ???
A.|OP1| = |OP2| B. |AP1| = |AP2|
??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???
C. OA?OP3=OP1?OP2 D.OA?OP1=OP2?OP3
【解析】： ∵P1(cosα,sinα)， P2(cosβ,-sinβ)， P3(cos(α+β)， sin(α+β))， A(1,0)，
??? ???
∴OP1= (cosα,sinα)， OP2= (cosβ,-sinβ)，
??? ???
OP3= (cos(α+β)， sin(α+β))， OA= (1,0)，
·6·
??? ???
AP1= (cosα-1,sinα)， AP2= (cosβ-1,-sinβ)，
???
2 2 ???
2 2 ??? ???
则 |OP1| = cos +sin 1， |OP2| = cos + (-sinβ) 1，则 |OP1| = |OP2|，故 A正确；
???
2 2 2 2
|AP1| = (cosα-1) ?sin cos +sin-2cosα+1 2-2cosα，
???
2 2 2 2
|AP2| = (cosβ-1)? ?sinβ) cos +sin -2cosβ+1 2-2cosβ，
??? ???
|AP1| ≠ |AP2|，故 B错误；
??? ???
OA?OP3=1×cos(α+β) +0×sin(α+β) =cos(α+β)，
? ???
OP1?OP2=cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β)，
??? ??? ??? ???
∴OA?OP3=OP1?OP2，故 C正确；
??? ???
OA?OP1=1×cosα+0×sinα=cosα，
??? ???
OP2?OP3=cosβcos(α+β) -sinβsin(α+β) =cos[β+ (α+β)] =cos(α+2β)，
??? ??? ??? ???
∴OA?OP1≠OP2?OP3，故 D错误．故选： AC．
2 2
11.已知点 P在圆 (x-5)? y-5) 16上 ，点 A(4,0)， B(0,2)，则 ( )
A.点 P到直线 AB的距离小于 10 B. 点 P到直线 AB的距离大于 2
C. 当 ∠PBA最小时 ， |PB| =3 2 D.当 ∠PBA最大时 ， |PB| =3 2
【解析】： ∵A(4,0)， B(0,2)，
y
∴ x
过 A、 B的直线方程为 + 1，即 x+2y-4=0，
4 2
2 2
圆 (x-5)? y-5) 16的圆心坐标为 (5,5)，
|1×5+2×5-4| 11 11 5
圆心到直线 x+2y-4=0的距离 d=
2 2 ±4，
1 +2 5 5
∴点 P到直线 AB 11 5 11 5
的距离的范围 为 [ ?4， +4]，
5 5 y
∵ 11 5 °5， ∴ 11 5 ?4<1 11 5
， +4<10， P2
5 5 5 C
∴点 P到直线 AB的距离小于 10，但不一定大于 2，故 A正确， B错误；
如图，当过 B的直线与圆相切时，满足 ∠PBA最小或最大 B
(P点位于 P1时 ∠PBA最小，位于 P2时 ∠PBA最大 )，
2 2 P1
此时 |BC| = (5-0)? 5-2) 25+9 34， A x
2 2
∴ |PB| = |BC| ?4 18 3 2，故 CD正确．
故选： ACD．
??? ??? ???
12.在 正 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， AB=AA1=1，点 P满 足 BP=λBC+μBB1，其 中 λ∈ [0， 1]， μ∈ [0， 1]，
则 ( )
A.当 λ=1时 ， △AB1P的周长为定值
B. 当 μ=1时 ，三棱锥 P-A1BC的体积为定值
C. 当 λ= 1 时 ，有且仅有一个点 P，使得 AP⊥BP
2 1 A1 C1
D.当 μ= 1 时 ，有且仅有一个点 P，使得 AB⊥平面 ABP
2 1 1 B1
??? ??? ???
【解析】：对于 A，当 λ=1时， BP=BC+μBB1， P
??? ??? ??? ???
即 CP=μBB1，所以 CP//BB1，
故点 P在线段 CC1上，此时 △AB1P的周长为 AB1+B1P+AP， A C
当点 P为 CC1的中点时， △AB1P的周长为 5+ 2，
当点 P在点 C1处时， △AB1P的周长为 2 2+1， B
故周长不为定值，故选项 A错误；
·7·
??? ??? ??? ??? ??? ??? ???
对于 B，当 μ=1时， BP=λBC+BB1，即 B1P=λBC，所以 B1P//BC， A1 C1
故点 P在线段 B1C1上， B1 P
因为 B1C1//平面 A1BC，
所以直线 B1C1上的点到平面 A1BC的距离相等，
又 △A1BC的面积为定值，
所以三棱锥 P-A1BC的体积为定值，故选项 B正确； A C
对于 C，当 λ= 1 时，取线段 BC， BC 的中点分别为 M， M ，连结 M M，
2 1 1 1 1 B
??? 1 ??? ??? ??? ??? ??? ???
因为 BP= BC+μBB，即 MP=μBB，所以 MP//BB，
2 1 1 1
则点 P在线段 M1M上，
当点 P在 M1处时， A1M1⊥B1C1， A1M1⊥B1B， A1 M1 C1
B1
又 B1C1∩B1B=B1，所以 A1M1⊥平面 BB1C1C，
又 BM1?平面 BB1C1C，所以 A1M1⊥BM1，即 A1P⊥BP， P
同理，当点 P在 M 处， A1P⊥BP，故选项 C错误；
对于 D，当 μ= 1 时，取 CC 的中点 D， BB 的中点 D，
2 1 1 1 A C
??? ??? M
1 ??? ??? ??? ??? ???
因为 BP=λBC+ BB，即 DP=λBC，所以 DP//BC，
2 1 B
则点 P在线的 DD1上，
当点 P在点 D1处时，取 AC的中点 E，连结 A1E， BE，
因为 BE⊥平面 ACC1A1，又 AD1?平面 ACC1A1，所以 AD1⊥BE， A1 C1
在正方形 ACC1A1中， AD1⊥A1E， B1
又 BE∩A1E=E， BE， A1E?平面 A1BE， D1?P?
故 AD1⊥平面 A1BE，又 A1B?平面 A1BE，所以 A1B⊥AD1，
在正方形 ABB1A1中， A1B⊥AB1， ED
A C
又 AD1∩AB1=A， AD1， AB1?平面 AB1D1，所以 A1B⊥平面 AB1D1，
因为过定点 A与定直线 A1B垂直的平面有且只有一个， B
故有且仅有一个点 P，使得 A1B⊥平面 AB1P，故选项 D正确．
故选： BD．
三 、 填空题 ：本题共 4小题 ，每小题 5分 ，共 20分。
13.已知函数 3 x -x
f(x) =x (a?2 -2 )是偶函数 ，则 a= ．
3 x -x 3
【解析】：因为函数 f(x) =x (a?2 -2 )是偶函数， y=x 为 R上的奇函数，
x -x 0 0
故 y=a?2 -2 也为 R上的奇函数，所以 y|x=0 a?2 -2 =a-1=0，
所以 a=1．故答案为： 1．
14.已 知 O为 坐 标 原 点 ，抛 物 线 2
C:y =2px(p>0)的 焦 点 为 F， P为 C上 一 点 ， PF与 x轴 垂 直 ， Q为 x轴
上一点 ，且 x= -3
PQ⊥OP．若 |FQ| =6，则 C的准线方程为 2 ．
p
【解析】：解法一：由题意，不妨设 P在第一象限，则 P( ， p)， k =2， PQ⊥OP．
2 OP
1 1 p 5p
所以 kPQ= - ，所以 PQ的方程为： y-p= - x- ， y=0时， x= ，
2 2 2 2
5p p
|FQ| =6，所以 - 6，解得 p=3，
2 2
3 3
所以抛物线的准线方程为： x= - ．故答案为： x= - ．
2 2
p p
解法二：由题意，不妨设 P在第一象限，则 P( ， p)， Q( ?6,0)
2 2
??? ??? ???
则 PQ= (6,-p)，因为 PQ⊥OP，所以 PQ?OP=0，解得 p=3，
3
所以抛物线的准线方程为： x= - ．故答案为： x= -3．
2 2
·8·
15.函数 f(x) = |2x-1|-2lnx的最小值为 1 ．
【解析】：函数 f(x) = |2x-1|-2lnx的定义域为 (0,+∞)．
1
当 0
此时函数 f(x) 1
在 (0， ]上为减函数，
2
所以 f(x) ≥f(1 ?2× 1 ?1-2ln1 =2ln2；
2 2 2
2(x-1)
当 x> 1 时， f(x) = |2x-1|-2lnx=2x-1-2lnx，则 f′ (x) =2- 2 ，
2 x x
当 x∈ (1， 1)时， f′ (x) <0， f(x)单调递减，当 x∈ (1,+∞)时， f′ (x) >0， f(x)单调递增，
2
∴当 x=1时 f(x)取得最小值为 f(1) =2×1-1-2ln1=1．
∵2ln2=ln4>lne=1，
∴函数 f(x) = |2x-1|-2lnx的最小值为 1．故答案为： 1．
16.某 校 学 生 在 研 究 民 间 剪 纸 艺 术 时 ，发 现 剪 纸 时 经 常 会 沿 纸 的 某 条 对 称 轴 把 纸 对 折 ． 规 格 为 20 dm×
12 dm的 长 方 形 纸 ，对 折 1次 共 可 以 得 到 10 dm×12 dm， 20 dm×6 dm两 种 规 格 的 图 形 ，它 们 的 面 积 之 和
2
S1=240 dm ，对 折 2次 共 可 以 得 到 5 dm×12 dm， 10 dm×6 dm， 20 dm×3 dm三 种 规 格 的 图 形 ，它 们 的 面
积 之 和 2
S2=180 dm ，以 此 类 推 ． 则 对 折 4次 共 可 以 得 到 不 同 规 格 图 形 的 种 数 为 5 ；如 果 对 折 n次 ，
n 240(3- n+3
那么 n 2
?Sk= 2 dm．
k=1
【解析】：易知有 20dm× 3dm,10dm× 3dm,5dm×3dm,5dm×6dm 5
， dm×12dm，共 5种规格；
4 2 2 4
240 240(k+1)
由题可知，对折 k次共有 k+1种规格，且面积为 k Sk=
k ，
2 2
n n n n
则 ?Sk=240 k+1 k+1 1 k+1
? k ，记 Tn=? k ，则 Tn=? k+1 ，
k=1 k=1 2 k=1 2 2
k=1 2
n n n-1 n
∴ 1T = k+1 - k+1 =1+ ( k+2 - k+2) - n+1
2 n ? k ? k+1 ? k+1 ? k+1 n+1
k=1 2 k=1 2 k=1 2 k=1 2 2
11- 1
4 n-1
1+ 2 ?n+1 3 n+3
n+1 ? n+1 ，
1- 1 2 2 2
2
n
∴T n+3
n=3-
n ， ∴?Sk=240(3- n+3
n ．故答案为： 5； 240(3- n+3
n ．
2 k=1 2 2
四 、 解答题 ：本题共 6小题 ，共 70分。解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤。
an+1,n为奇数 ,
17.(10分 )已知数列 {an}满足 a1=1， an+1=???an+2,n为偶数 ?
(1)记 bn=a2n，写出 b1， b2，并求数列 {bn}的通项公式 ；
(2)求 {an}的前 20项和．
an+1,n为奇数
【解析】： (1)因为 a1=1， an+1=? ，
??an+2,n为偶数
所以 a2=a1+1=2， a3=a2+2=4， a4=a3+1=5，
所以 b1=a2=2， b2=a4=5，
bn-bn-1=a2n-a2n-2=a2n-a2n-1+a2n-1-a2n-2=1+2=3，
所以数列 {bn}是以 b1=2为首项，以 3为公差的等差数列，
所以 bn=2+3(n-1) =3n-1．
(2)解法一：由 (1)可得 a2n=3n-1， n∈N *，
则 a2n-1=a2n-2+2=3(n-1) -1+2=3n-2， n≥2，
当 n=1时， a1=1也适合上式，所以 a2n-1=3n-2， n∈N *，
所以数列 {an}的奇数项和偶数项分别为等差数列，
·9·
则 {an}的前 20项和为 a1+a2+...+a20= (a1+a3+? +a19) + (a2+a4+? +a20)
=10+ 10×9 3+10×2+ 10×9 3=300．
2 2
解法二： a1+a2+...+a20= (a1+a3+? +a19) + (a2+a4+? +a20)
= (a1+a2+2+a3+2+?a18+2) + (b1+b2+b3+? +b10)
=19+ (b1+b2+b3+? +b9) + (b1+b2+b3+? +b10)
9(2+26) 10(2+29)
=19+ ? 300
2 2
18.(12分 )某 学 校 组 织“一 带 一 路”知 识 竞 赛 ，有 A， B两 类 问 题 ． 每 位 参 加 比 赛 的 同 学 先 在 两 类 问 题 中 选
择 一 类 并 从 中 随 机 抽 取 一 个 问 题 回 答 ，若 回 答 错 误 则 该 同 学 比 赛 结 束 ；若 回 答 正 确 则 从 另 一 类 问 题 中 再
随 机 抽 取 一 个 问 题 回 答 ，无 论 回 答 正 确 与 否 ，该 同 学 比 赛 结 束 ． A类 问 题 中 的 每 个 问 题 回 答 正 确 得 20
分 ，否则得 0分 ； B类问题中的每个问题回答正确得 80分 ，否则得 0分．
已 知 小 明 能 正 确 回 答 A类 问 题 的 概 率 为 0.8，能 正 确 回 答 B类 问 题 的 概 率 为 0.6，且 能 正 确 回 答 问 题 的 概
率与回答次序无关．
(1)若小明先回答 A类问题 ，记 X为小明的累计得分 ，求 X的分布列 ；
(2)为使累计得分的期望最大 ，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【解析】： (1)由已知可得， X的所有可能取值为 0， 20， 100，
则 P(X=0) =1-0.8=0.2， P(X=20) =0.8× (1-0.6) =0.32， P(X=100) =0.8×0.6=0.48，
所以 X的分布列为：
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由 (1)可知小明先回答 A类问题累计得分的期望为
E(X) =0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4，
若小明先回答 B类问题，记 Y为小明的累计得分，
则 Y的所有可能取值为 0， 80， 100，
P(Y=0) =1-0.6=0.4， P(Y=80) =0.6× (1-0.8) =0.12， P(Y=100) =0.6×0.8=0.48，
则 Y的期望为 E(Y) =0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6，
因为 E(Y) >E(X)，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答 B类问题．
19.(12分 )记 ABC的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c． 已 知 2
b =ac，点 D在 边 AC上 ， BDsin∠ABC=
asinC．
(1)证明 ： BD=b；
(2)若 AD=2DC，求 cos∠ABC．
b
【解析】： (1) c
解法一：证明：由正弦定理知， = 2R，
sin∠ABC sin∠ACB
∴b=2Rsin∠ABC， c=2Rsin∠ACB，
2
∵b =ac， ∴b?2Rsin∠ABC=a?2Rsin∠ACB，即 bsin∠ABC=asinC，
∵BDsin∠ABC=asinC． ∴BD=b；
b c
解法二：证明：由正弦定理知， = bsinC=csin∠ABC,
sin∠ABC sinC
2 2
又 ∵b =ac,∴bsinC= b sin∠ABC,
a
∴asinC=bsin∠ABC=BDsin∠ABC,
∴BD=b.
(2)解法一：由 (1)知 BD=b，
∵AD=2DC 2
， ∴AD= b， DC= 1b，
3 3
·10·
2 2 2
2 2 2 b + (2b) ?c 2 2
在 ABD中，由余弦定理知， cos∠BDA= BD +AD -AB 3 13b -9c ，
2BD?AD 2b? 2 2
b 12b
3
2 2 2
2 2 2 b + (1b) ?a 2 2
在 CBD中，由余弦定理知， cos∠BDC= BD +CD -BC 3 10b -9a ，
2BD?CD 2b? 1 2
b 6b
3
∵ ∠BDA+ ∠BDC=π，
2 2 2 2 2 2 2
∴cos∠BDA+cos∠BDC=0 13b -9c 10b -9a
，即 2 +
2 0，得 11b =3c +6a，
12b 6b
2 2 2
∵b =ac， ∴3c -11ac+6a =0， ∴c=3a 2
或 c= a，
3
2 2 2 2 2
a +c -b a +c -ac
在 ABC中，由余弦定理知， cos∠ABC= ，
2ac 2ac
当 c=3a时， cos∠ABC= 7 ±1( 2 7
舍 )；当 c= a时， cos∠ABC= ；
6 3 12
综上所述， cos∠ABC= 7 ．
12
??? ??? ???
2 2 2
解法二：在 △ABC 1 2 1 4 4
中 ,BD= BC+ BA,平方得： BD = a + c + accosB ①
3 3 9 9 9
2 2 2
由余弦定理得 b =a +c -2accosB ②，
2 2 2
联立①②得 11b =3c +6a，
2 2 2
∵b =ac 2
， ∴3c -11ac+6a =0， ∴c=3a或 c= a，
3
2 2 2 2 2
a +c -b a +c -ac
在 ABC中，由余弦定理知， cos∠ABC= ，
2ac 2ac
7
当 c=3a时， cos∠ABC= ±1(舍 )；当 c= 2a 7
时， cos∠ABC= ；
6 3 12
综上所述， cos∠ABC= 7 ．
12
20.(12分 )如图 ，在三棱锥 A-BCD中 ，平面 ABD⊥平面 BCD， AB=AD， O为 BD的中点．
(1)证明 ： OA⊥CD；
(2)若 OCD是 边 长 为 1的 等 边 三 角 形 ，点 E在 棱 AD上 ， DE=2EA，且 二 面 角 E-BC -D的 大 小 为
45°，求三棱锥 A-BCD的体积．
【解析】： (1)证明：因为 AB=AD， O为 BD的中点，所以 AO⊥BD，
又平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD=BD， z
AO?平面 BCD， A
所以 AO⊥平面 BCD，又 CD?平面 BCD，
所以 AO⊥CD； E
(2)取 OD的中点 F，因为 OCD为正三角形，所以 CF⊥OD，
过 O作 OM//CF与 BC交于点 M，则 OM ⊥OD， O F
所以 OM， OD， OA两两垂直， B M D y
如图所示，以点 O为坐标原点，分别以 OM， OD， OA为 x轴， C
y轴， z轴建立空间直角坐标系， x
则 B(0， -1， 0) 3 1
， C( ? ?0)， D(0， 1， 0) 1 2t
，设 A(0， 0， t)，则 E(0, ? ，
2 2 3 3
???
因为 OA⊥平面 BCD，故平面 BCD的一个法向量为 OA= (0,0,t)，
?
设平面 BCE的法向量为 n= (x,y,z)，
??? 3 3 ???
又 BC= ( ? ?0) ,BE= (0,4?2t，
2 2 3 3
·11·
? ??? ? 3 3
n?BC=0 ?? x+ y=0
所以由 2 2
?? ???
?? ?
n?BE=0 4y+ 2t
??? z=0
3 3
?
x= 3 2 2
，则 y= -1， z= ，故 n= ( 3??1, ，
t t
因为二面角 E-BC-D的大小为 45°，
? ???
? ??? |n?OA|
所以 |cos
? ??? = ，
|n||OA| 2
t 4+ 4
2
t
解得 t=1，所以 OA=1，
1 3 3 3
又 SOCD= 1×1× ，所以 S = ，
2 2 4 BCD 2
故 V 1 1 3 3
A-BCD= S ?OA= 1= ．
3 BCD 3 2 6
解法二： (传统几何法 )在平面 ABD中，作 EM ?BD于 M，在平面 BCD中，作于 MN ?BC于 N，
连接 EN，由⑴得 OA⊥BD,
∴EM ∥OA,∴EM ⊥平面 BCD, A
∵BC?平面 BCD,∴EM ⊥BC,∵MN ⊥BC, E
∴ ∠ENM 即为二面角 E-BC-D的平面角，
?
∴ ∠ENM =45， ∵OC=OD=OB=CD=1， O M
∴BC⊥CD， ∴MN ∥CD, 2 2
且 MN =EM = CD= ?
3 3 B D
N C
BC= 3?OA=1,∴V 1 1 1 3
A-BCD= S
3 △BCD?OA= 1× 31=
3 2 6
21.(12分 )在平面直角坐标系 xOy中 ，已知点 F1(- 17， 0)， F2( 17， 0)，点 M 满足 |MF1|-|MF2| =2．
记 M 的轨迹为 C．
(1)求 C的方程 ；
(2)设点 T在直线 x= 1 上 ，过 T的两条直线分别交 C于 A， B两点和 P， Q两点 ，
2
且 |TA| ? |TB| = |TP| ? |TQ|，求直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和．
【解析】： (1)由双曲线的定义可知， M 的轨迹 C是双曲线的右支，
2 2
x y
设 C的方程为 2 -
2 1(a>0,b>0) ,x≥1，
a b
c= 17 a=1
根据题意 ?2a=2 7b=4
??
2 2 2
c =a +b 89c= 17
2
2 y
∴C的方程为 x - 1(x≥1)；
16
x= 1 ?tcosθ
(2) ( 1
法一 )设 T( ?m)，直线 AB的参数方程为 2
2 ???y=m+tsinθ
2 2 2 2
C的方程并整理可得， (16cos θ-sinθ)t + (16cosθ-2msinθ)t- (m +12) =0，
2 2
由参数的几何意义可知， |TA| =t m +12 m +12
1， |TB| =t2，则 t1t2=
2 2 2 ，
sin-16cos 1-17cos
x= 1 ?λcosβ 2
m +12
设直线 PQ的参数方程为 ? 2 |TP| =λ1， |TQ| =λ2，同理可得， λ12=
2 ，
??y=m+λsinβ 1-17cos
2 2
m +12 m +12 2 2
依题意， 2 =
2 ，则 cos θ=cos β，
1-17cos 1-17cos
又 θ≠β，故 cosθ= -cosβ，则 cosθ+cosβ=0，
即直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和为 0．
·12·
( 1
法二 )设 T( ?t) 1
，直线 AB的方程为 y=k(x- ?t， A(x， y) 1
， B(x ， y)，设
将直线 AB方程代入 C的方程化简并整理可得，
2 2 2 2 2
(16-k1)x - (k 1
1-2tk1)x- k +kt-t -16=0，
4 1 1
2 1 2 2
k1-2k1t - k1+k1t-t -16
由韦达定理有， x1+x 4
2=
2 ?x1x2=
2 ，
k1-16 16-k1
1 1 2 1
又由 A(x1,k1x1- k +t) ,T( ?t)可得 |AT| = 1+k x - ，
2 1 2 1 1 2
2
同理可得 |BT| = 1+k1x 1
2- ，
2
2 2
2 1+k1) (t +12)
∴ |AT| ? |BT| = (1+k1) (x 1 1
1- x - ，
2 2 2 2
k1-16
1 1
设直线 PQ的方程为 y=k2(x- ?t,P(x ,y) ,Q(x ,y)，设
2 2
(1+k2) (t +12)
同理可得 |PT| ? |QT| =
2 ，
k2-16
2 2
1+k1 1+k2 2 2
又 |AT||BT| = |PT||QT|，则 2 =
2 ，化简可得 k1=k2，
k1-16 k2-16
又 k1≠k2，则 k1= -k2，即 k1+k2=0，
即直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和为 0．
22.(12分 )已知函数 f(x) =x(1-lnx)．
(1)讨论 f(x)的单调性 ；
(2)设 a， b为两个不相等的正数 ，且 blna-alnb=a-b，证明 ： 2< 1 1 e．
a b
?
【解析】： (1)解：由函数的解析式可得 f (x) =1-lnx-1= -lnx，
∴x∈ (0,1)， f′ (x) >0， f(x)单调递增，
x∈ (1,+∞)， f′ (x) <0， f(x)单调递减，
则 f(x)在 (0,1)单调递增，在 (1,+∞)单调递减．
(2)证明：由 blna-alnb=a-b 1 1 1 1 1 1
，得 - ln + ln = ，
a a b b b a
1
即 (1-ln1) = 11-ln1)，
a a b b
由 (1)f(x)在 (0,1)单调递增，在 (1,+∞)单调递减，
所以 f(x)max f(1) =1，且 f(e) =0，
1 1
令 x1= ， x = ，则 x， x 为 f(x) =k 的两根，其中 k∈ (0,1)．
a 2 b 1 2
不妨令 x1∈ (0,1)， x2∈ (1,e)，则 2-x1>1，
先证 2
则 h′ (x) =f′ (x) +f′ (2-x) = -lnx-ln(2-x) = -ln[x(2-x)] >0，
故函数 h(x)单调递增，
∴h(x)
令 φ(x) =f(x) -f(e-x)， x∈ (0,1)，则 φ(x) = -ln[x(e-x)]，令 φ′ (x0) =0，
? ?
x∈ (0,x0)， φ(x) >0， φ(x)单调递增， x∈ (x0， 1)， φ(x) <0， φ(x)单调递减，
又 x>0， f(x) >0，且 f(e) =0，故 x→0， φ(0) >0，
φ(1) =f(1) -f(e-1) >0，
∴φ(x) >0恒成立， x1+x2
则 2< e．
a b
·13·
2021年全国统一高考数学试卷 (新高考Ⅱ卷 )
一 、 选择题 ：本题共 12小题 ，每小题 5分 ，共 60分．在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合要求的．
1. 复数 2-i ( )
1-3i
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
2. 设集合 U= {1,2,3,4,5,6} ,A= {1,3,6} ,B= {2,3,4}，则 A∩??UB?= ( )
A.{3} B. {1,6} C. {5,6} D.{1,3}
2
3. 若抛物线 y =2px(p>0)的焦点到直线 y=x+1的距离为 2p= ( )
A.1 B. 2 C. 2 2 D.4
4. 北 斗 三 号 全 球 卫 星 导 航 系 统 是 我 国 航 天 事 业 的 重 要 成 果 ． 在 卫 星 导 航 系 统 中 ，地 球 静 止 同 步 卫 星 的 轨
道 位 于 地 球 赤 道 所 在 平 面 ，轨 道 高 度 为 36000 km(轨 道 高 度 是 指 卫 星 到 地 球 表 面 的 距 离 )． 将 地 球 看 作
是 一 个 球 心 为 O，半 径 r为 6400 km的 球 ，其 上 点 A的 纬 度 是 指 OA与 赤 道 平 面 所 成 角 的 度 数 ． 地 球 表
面 上 能 直 接 观 测 到 一 颗 地 球 静 止 同 步 轨 道 卫 星 点 的 纬 度 最 大 值 为 α，记 卫 星 信 号 覆 盖 地 球 表 面 的 表 面 积
为 2 2
S=2πr (1-cosα) (单位 ： km)，则 S占地球表面积的百分比约为 ( )
A.26% B. 34% C. 42% D.50%
5. 正四棱台 上 ?下底面的边长分别为 2， 4，侧棱长为 2，则其体积为 ( )
A.20+12 3 B. 28 2 C. 56 D. 28 2
3 3
2
6. 某物理量的测量结果服从正态分布 N?10,σ ?，下列结论中不正确的是 ( )
A.σ越小 ，该物理量在一次测量中在 (9.9,10.1)的概率越大
B. σ越小 ，该物理量在一次测量中大于 10 概率为 0.5
C. σ越小 ，该物理量在一次测量中小于 9.99与大于 10.01的概率相等
D.σ越小 ，该物理量在一次测量中落在 (9.9,10.2)与落在 (10,10.3)的概率相等
7. 已知 a=log52， b=log 1
83， c= ，则下列判断正确的是 ( )
2
A.c
A. f -1
? =0 B. f -1 =0 C. f 2 =0 D. f 4 =0
2 ? ? ? ? ? ? ?
二 、 选 择 题 ：本 题 共 4小 题 ，每 小 题 5分 ，共 20分 ． 在 每 小 题 给 出 的 选 项 中 ，有 多 项 符 合 题 目 要 求 ． 全 部 选 对
的得 5分 ，部分选对的得 2分 ，有选错的得 0分．
9. 下列统计量中 ，能度量样本 x1,x2,? ,xn的离散程度的是 ( )
A.样本 x1,x2,? ,xn的标准差 B. 样本 x1,x2,? ,xn的中位数
C. 样本 x1,x2,? ,xn的极差 D.样本 x1,x2,? ,xn的平均数
10. 如 图 ，在 正 方 体 中 ， O为 底 面 的 中 心 ， P为 所 在 棱 的 中 点 ， M， N 为 正 方 体 的 顶 点 ． 则 满 足 MN ⊥OP
的是 ( )
·14·
N N
M P
P
O O
A. )e M
N
M
P P
M
O N O
*e +e
2 2 2 2
e已知直线 l:ax+by-r =0与圆 C:x +y =r ，点 A(a,b)，则下列说法正确的是 ( )
A.若点 A在圆 C上 ，则直线 l与圆 C相切 B. 若点 A在圆 C内 ，则直线 l与圆 C相离
C. 若点 A在圆 C外 ，则直线 l与圆 C相离 D.若点 A在直线 l上 ，则直线 l与圆 C相切
12. 设 正 整 数 0 k-1 k
n=a0?2 +a1?2+? +ak-1?2 +ak?2 ，其 中 ai∈ ?0,1?，记 ω?n? =a0+a1+? +ak． 则
( )
A.ω?2n?=ω?n? B. ω?2n+3?=ω?n?+1
n
C. ω?8n+5?=ω?4n+3? D.ω?2 -1?=n
三 、 填空题 ：本题共 4小题 ，每小题 5分 ，共 20分．
2 2
y
13. 已知双曲线 x
2 -
2 1?a>0,b>0?的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为 __________.
a b
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f?x?: __________.
① ? ?
f?x1x2?=f?x1??2?；②当 x∈ (0,+∞)时 ， f (x) >0；③ f (x)是奇函数．
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15. 已知向量 a+b+c=0， ?a? =1， ?b? = ?c? =2， a?b+b?c+c?a= __________.
16. 已 知 函 数 x
f(x) = ?e -1?,x1<0,x2>0，函 数 f(x)的 图 象 在 点 A?x1,f?x1??和 点 B?x2,f?x2??的 两 条 切 线
|AM|
互相垂直 ，且分别交 y轴于 M， N 两点 ，则 __________.
|BN|
四 、 解答题 ：本题共 6小题 ，共 70分．解答应写出文字说明 ? 证明过程或演算步骤．
17. 记 Sn是公差不为 0的等差数列 ?an? n项和 ，若 a3=S5,a2a4=S4．
(1)求数列 ?an? an；
(2)求使 Sn>an成立的 n的最小值．
·15·
18. 在 △ABC中 ，角 A、 B、 C所对的边长分别为 a、 b、 c， b=a+1， c=a+2.．
(1)若 2sinC=3sinA，求 △ABC的面积 ；
(2)是否存在正整数 a，使得 △ABC为钝角三角形 ?若存在 ，求出 a的值 ；若不存在 ，说明理由．
19. 在四棱锥 Q-ABCD中 ，底面 ABCD是正方形 ，若 AD=2,QD=QA= 5?QC=3．
(1)证明 ：平面 QAD⊥平面 ABCD；
(2)求二面角 B-QD-A的平面角的余弦值． Q
A D
B C
2 2
y
20. 已知椭圆 C的方程为 x 6
2 +
2 1(a>b>0)，右焦点为 F( 2?0)，且离心率为
a b 3
(1)求椭圆 C的方程 ；
2 2
(2)设 M， N 是 椭 圆 C上 的 两 点 ，直 线 MN 与 曲 线 2
x +y =b (x>0)相 切 ． 证 明 ： M， N， F三 点 共 线 的
充要条件是 |MN| = 3．
·16·
21. 一 种 微 生 物 群 体 可 以 经 过 自 身 繁 殖 不 断 生 存 下 来 ，设 一 个 这 种 微 生 物 为 第 0代 ，经 过 一 次 繁 殖 后 为 第 1
代 ，再 经 过 一 次 繁 殖 后 为 第 2代 ??，该 微 生 物 每 代 繁 殖 的 个 数 是 相 互 独 立 的 且 有 相 同 的 分 布 列 ，设 X
表示 1个微生物个体繁殖下一代的个数 ， P(X=i) =pi(i=0,1,2,3)．
(1)已知 p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求 E?X?；
2 3
(2)设 p表 示 该 种 微 生 物 经 过 多 代 繁 殖 后 临 近 灭 绝 的 概 率 ， p是 关 于 x的 方 程 ： p0+p1x+p2x +p3x =x
的一个最小正实根 ，求证 ：当 E(X) ≤1时 ， p=1，当 E(X) >1时 ， p<1；
(3)根据你的理解说明 (2)问结论的实际含义．
22. 已知函数 x 2
f(x) = (x-1)e -ax +b．
(1)讨论 f(x)的单调性 ；
(2)从下面两个条件中选一个 ，证明 ： f(x)有一个零点
2
① 1
·17·
2021年全国统一高考数学试卷 (新高考全国Ⅱ卷 )参考答案与试题解析
一 、 选择题 ：本题共 12小题 ，每小题 5分 ，共 60分．在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合要求的．
1. 复数 2-i ( )
1-3i
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
2-i ?2-i??1+3i? 5+5i 1+i 1 1
【解析】： = ，所以该复数对应的点为 ,
1-3i 10 10 2 ? 2 2 ?
A.
2. 设集合 U= {1,2,3,4,5,6} ,A= {1,3,6} ,B= {2,3,4}，则 A∩??UB?= ( )
A.{3} B. {1,6} C. {5,6} D.{1,3}
【解析】：由题设可得 ?UB=?1,5,6?，故 A∩??UB?=?1,6?，故选： B.
2
3. 若抛物线 y =2px(p>0)的焦点到直线 y=x+1的距离为 2p ( )
A.1 B. 2 C. 2 2 D.4
p
? ?0+1
p 2 ?
【解 析】：抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 ? ,0 x-y+1=0的 距 离 ： d= 2，解 得 ： p=
2 ? 1+1
2(p= -6舍去 ) 故选： B.
4. 北 斗 三 号 全 球 卫 星 导 航 系 统 是 我 国 航 天 事 业 的 重 要 成 果 ． 在 卫 星 导 航 系 统 中 ，地 球 静 止 同 步 卫 星 的 轨
道 位 于 地 球 赤 道 所 在 平 面 ，轨 道 高 度 为 36000 km(轨 道 高 度 是 指 卫 星 到 地 球 表 面 的 距 离 )． 将 地 球 看 作
是 一 个 球 心 为 O，半 径 r为 6400 km的 球 ，其 上 点 A的 纬 度 是 指 OA与 赤 道 平 面 所 成 角 的 度 数 ． 地 球 表
面 上 能 直 接 观 测 到 一 颗 地 球 静 止 同 步 轨 道 卫 星 点 的 纬 度 最 大 值 为 α，记 卫 星 信 号 覆 盖 地 球 表 面 的 表 面 积
为 2 2
S=2πr (1-cosα) (单位 ： km)，则 S占地球表面积的百分比约为 ( )
A.26% B. 34% C. 42% D.50%
【解析】：由题意可得， S占地球表面积的百分比约为：
2 6400
2πr (1-cosα) 1-
1-cosα 6400+36000
2 = 0.42=42%.故选： C.
4πr 2 2
5. 正四棱台的上 ?下底面的边长分别为 2， 4，侧棱长为 2，则其体积为 ( )
A.20+12 3 B. 28 2 C. 56 D. 28 2
3 3
【解析】：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为 2， 4，侧棱长为 2，
2 2
所以该棱台的高 h= 2 -?2 2- 2? 2，
下底面面积 S1=16，上底面面积 S2=4，
所以该棱台的体积 V= 1h?S +S + SS
3 1 2 1 2?
= 1 2?16+4+ 64 = 28 2.故选： D.
3 ? 3
6. 某物理量的测量结果服从正态分布 2
N?10,σ ?，下列结论中不正确的是 ( )
A.σ越小 ，该物理量在一次测量中在 (9.9,10.1)的概率越大
B. σ越小 ，该物理量在一次测量中大于 10的概率为 0.5
C. σ越小 ，该物理量在一次测量中小于 9.99与大于 10.01的概率相等
D.σ越小 ，该物理量在一次测量中落在 (9.9,10.2)与落在 (10,10.3)的概率相等
·18·
2
【解 析】：对 于 A， σ 为 数 据 的 方 差 ，所 以 σ越 小 ，数 据 在 μ=10附 近 越 集 中 ，所 以 测 量 结 果 落 在 ?9.9,10.1?
A正确；
对于 B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于 10的概率为 0.5，故 B正确；
对 于 C，由 正 态 分 布 密 度 曲 线 的 对 称 性 可 知 该 物 理 量 一 次 测 量 结 果 大 于 10.01的 概 率 与 小 于 9.99的 概 率
相等，故 C正确；
对 于 D，因 为 该 物 理 量 一 次 测 量 结 果 落 在 ?9.9,10.0? ?10.2,10.3?
?9.9,10.2? ?10,10.3? D错误 .
故选： D.
7. 已知 a=log52， b=log83， c= 1 ，则下列判断正确的是 ( )
2
A.c
8. 已知函数 f?x?的定义域为 R， f?x+2?为偶函数 ， f?2x+1?为奇函数 ，则 ( )
A. f -1
? =0 B. f -1 =0 C. f 2 =0 D. f 4 =0
2 ? ? ? ? ? ? ?
【解析】：因为函数 f?x+2?为偶函数，则 f?2+x?=f?2-x?，可得 f?x+3?=f?1-x?，
因为函数 f?2x+1?为奇函数，则 f?1-2x?= -f?2x+1?，所以， f?1-x?= -f?x+1?，
所以， f?x+3?= -f?x+1?=f?x-1?，即 f?x?=f?x+4?，
故函数 f?x?是以 4为周期的周期函数，
因为函数 F?x?=f?2x+1?为奇函数，则 F?0?=f?1?=0，
故 f?-1?= -f?1?=0，其它三个选项未知 .故选： B.
二 、 选 择 题 ：本 题 共 4小 题 ，每 小 题 5分 ，共 20分 ． 在 每 小 题 给 出 的 选 项 中 ，有 多 项 符 合 题 目 要 求 ． 全 部 选 对
的得 5分 ，部分选对的得 2分 ，有选错的得 0分．
9. 下列统计量中 ，能度量样本 x1,x2,? ,xn的离散程度的是 ( )
A.样本 x1,x2,? ,xn的标准差 B. 样本 x1,x2,? ,xn的中位数
C. 样本 x1,x2,? ,xn的极差 D.样本 x1,x2,? ,xn的平均数
【解析】：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选： AC
10. 如 图 ，在 正 方 体 中 ， O为 底 面 的 中 心 ， P为 所 在 棱 的 中 点 ， M， N 为 正 方 体 的 顶 点 ． 则 满 足 MN ⊥OP
的是 ( )
N N
M P
P
O O
A. )e M
N
M
P P
M
O N O
*e +e
【解析】：设正方体的棱长为 2，
·19·
对于 A，如图 (1)所示，连接 AC，则 MN ?AC， N
故 ∠POC(或其补角 )为异面直线 OP,MN 所成的角， M P
在直角三角形 OPC， OC= 2， CP=1，故 tan∠POC= 1 2，
2 2 ①
故 MN ⊥OP不成立，故 A错误 . O
(或者易得 OP在上底面的射影为 MN，故 MN ⊥OP不成立 )
对于 B，如图 (2)所示，取 NT的中点为 Q，连接 PQ， OQ， N C
则 OQ⊥NT， PQ⊥MN， S B
由正方体 SBCM -NADT可得 SN ⊥平面 ANDT，而 OQ?平面 ANDT，
故 SN ⊥OQ，而 SN ∩MN =N，故 OQ⊥平面 SNTM， ②
P T
又 MN ?平面 SNTM， OQ⊥MN，而 OQ∩PQ=Q， Q D
O
所以 MN ⊥平面 OPQ，而 PO?平面 OPQ，故 MN ⊥OP，故 B正确 . M A
对于 C，如图 (3)，连接 BD，则 BD?MN，由 B的判断可得 OP⊥BD，
故 OP⊥MN，故 C正确 . S
对于 D，如图 (4)，取 AD的中点 Q， AB的中点 K， B M
连接 AC,PQ,OQ,PK,OK，则 AC?MN， P ③
因为 DP=PC，故 PQ?AC，故 PQ?MN， D N
所以 ∠QPO或其补角为异面直线 PO,MN 所成的角， O
C T
1
因为正方体的棱长为 2，故 PQ= AC= 2，
2
2 2 S
OQ= AO +AQ 1+2 3 M
， P C
2 2 D
PO= PK +OK 4+1 5， ④
2 2 2
QO
故选： BC A K B
2 2 2 2
11. 已知直线 l:ax+by-r =0与圆 C:x +y =r ，点 A(a,b)，则下列说法正确的是 ( )
A.若点 A在圆 C上 ，则直线 l与圆 C相切 B. 若点 A在圆 C内 ，则直线 l与圆 C相离
C. 若点 A在圆 C外 ，则直线 l与圆 C相离 D.若点 A在直线 l上 ，则直线 l与圆 C相切
2
【解析】：圆心 C?0,0 r
?到直线 l的距离 d=
2 2，
a +b
2 2 2 2
若点 A?a,b r
?在圆 C上，则 a +b =r ，所以 d=
2 2 ?r?，则直线 l与圆 C相切，故 A正确；
a +b
2 2 2 2
若点 A?a,b?在圆 C内，则 a +b
a +b
2 2 2 2
若点 A?a,b?在圆 C外，则 a +b >r ，所以 d= r
2 2 °?r?，则直线 l与圆 C相交，故 C错误；
a +b
2 2 2 2 2 2 2
若点 A?a,b?在直线 l上，则 a +b -r =0即 a +b =r ，所以 d= r
2 2 ?r?，直线 l与圆 C相切，
a +b
故 D正确 .故选： ABD.
0 k-1 k
12. 设 正 整 数 n=a0?2 +a1?2+? +ak-1?2 +ak?2 ，其 中 ai∈ ?0,1?，记 ω?n? =a0+a1+? +ak.则
( )
A.ω?2n?=ω?n? B. ω?2n+3?=ω?n?+1
n
C. ω?8n+5?=ω?4n+3? D.ω?2 -1?=n
1 2 k k+1
【解析】：对于 A选项， ω?n?=a0+a1+? +ak， 2n=a0?2 +a1?2 +? +ak-1?2 +ak?2 ，
所以， ω?2n?=a0+a1+? +ak=ω?n?， A选项正确；
0 1 2
对于 B选项，取 n=2， 2n+3=7=1?2 +1?2 +1?2 ， ∴ω?7?=3，
0 1
而 2=0?2 +1?2，则 ω?2?=1，即 ω?7?≠ω?2?+1， B选项错误；
·20·
3 4 k+3 0 2 3 4 k+3
对于 C选项， 8n+5=a0?2 +a1?2 +? +ak?2 +5=1?2 +1?2 +a0?2 +a1?2 +? +ak?2 ，
所以， ω?8n+5?=2+a0+a1+? +ak，
2 3 k+2 0 1 2 3 k+2
4n+3=a0?2 +a1?2 +? +ak?2 +3=1?2 +1?2 +a0?2 +a1?2 +? +ak?2 ，
所以， ω?4n+3?=2+a0+a1+? +ak，因此， ω?8n+5?=ω?4n+3?， C选项正确；
n 0 1 n-1 n
对于 D选项， 2 -1=2 +2 +? +2 ，故 ω?2 -1?=n， D选项正确 .
故选： ACD.
三 、 填空题 ：本题共 4小题 ，每小题 5分 ，共 20分．
2 2
y
13. 已知双曲线 x
2 -
2 1?a>0,b>0?的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为 _________.
a b
2 2
x y
【解析】：因为双曲线 2 -
2 1?a>0,b>0?的离心率为 2，
a b
2 2 2 2
c a +b b
所以 e=
2 2 2，所以 2 =3，
a a a
所以该双曲线的渐近线方程为 y= ±bx= ± 3x.故答案为： y= ± 3x.
a
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f?x?: _______．
① ? ?
f?x1x2?=f?x1??2?；②当 x∈ (0,+∞)时 ， f (x) >0；③ f (x)是奇函数．
4 4 4 4
【解析】：取 f?x?=x ，则 f?x1x2?=?x1x2? x1x2=f?x1??2?，满足①，
? 3 ?
f ?x?=4x ， x>0时有 f ?x?>0，满足②，
? 3
f ?x?=4x 的定义域为 R，
? 3 ? ?
又 f ?-x?= -4x = -f ?x?，故 f ?x?是奇函数，满足③ .
4 2n *
故答案为： f?x?=x (答案不唯一， f?x?=x ?n∈N ?均满足 )
? ? ? ? ?
15. 已知向量 ? ? ? ? ? ? ? ?
a+b+c=0， ?a? =1， ?b? = ?c? =2， a?b+b?c+c?a= _______．
? ? ? 2 ?2 ?
2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
【解析】：由已知可得 ?a+b+c? =a ?b ?c ?2?a?b+b?c+c?a?=9+2?a?b+b?c+c?a?=0，
? ? ? ? ? ? 9 9
因此， a?b+b?c+c?a= - .故答案为： - .
2 2
x
16. 已 知 函 数 f(x) = ?e -1?,x1<0,x2>0，函 数 f(x)的 图 象 在 点 A?x1,f?x1??和 点 B?x2,f?x2??的 两 条 切 线
|AM|
互相垂直 ，且分别交 y轴于 M， N 两点 ，则 _______．
|BN|
x x
x 1-e , x<0 ? -e , x<0
【解析】：解法一：由题意， f?x?=?e -1? =??? x ，则 f ?x?=?
x ，
e -1, x≥0 ??e , x>0
x x x x
所以点 A?x1,1-e 1?和点 B?x2,e 2-1?， kAM= -e 1,kBN=e 2,
x x
所以 -e 1?e 2= -1,x1+x2=0，
x x x x
所以 AM :y-1+e 1= -e 1?x-x1?,M?0,e 1x1-e 1+1?，
2 x 2 2x
所以 ?AM? = x1+?e 1x1? 1+e 1?x1?，
2x
同理 ?BN? = 1+e 2?x2?,
2x
?AM? 1+e 1?x1? 2x 2x
1+e 1 1+e 1 x
所以 = = 1
2x -2x e ∈?0,1?.
?BN? 2x 2 1
1+e 2?x2? 1+e 1+e y
F
故答案为： ?0,1 B
?
x x
e -1, x>0 ? e , x>0 A
f?x?=? ，得 f ?x?=? ，
?? x x
-e +1, x<0 ??-e , x<0
x x E M x
故 kAM= -e 1， k O
AN=e 2，
x+x
又 AM ⊥AN ?kAM?kAN= -e 1 2= -1，得 x1+x2=0， N
如图易得 △AEM ? △BFN，且有 ?BF? =?OE?，
?AM? ?AE? ?AE?
所以 = = =tan∠AOE，
?BN? ?BF? ?OE?
·21·
0 ?AM?
而 0
四 、 解答题 ：本题共 6小题 ，共 70分．解答应写出文字说明 ? 证明过程或演算步骤．
17. 记 Sn是公差不为 0的等差数列 ?an? n项和 ，若 a3=S5,a2a4=S4．
(1)求数列 ?an? an；
(2)求使 Sn>an成立的 n的最小值．
【解析】： (1)由等差数列的性质可得： S5=5a3，则： a3=5a3,∴a3=0，
2
设等差数列的公差为 d，从而有： a2a4=?a3-d??a3+d?= -d ，
S4=a1+a2+a3+a4=?a3-2d?+?a3-d?+a3+?a3-d?= -2d，
2
从而： -d = -2d，由于公差不为零，故： d=2，
数列的通项公式为： an=a3+?n-3?d=2n-6.
n?n-1? 2
(2)由数列的通项公式可得： a1=2-6= -4，则： Sn=n×?-4?+ 2=n -6n，
2
2
则不等式 Sn>an即： n -5n>2n-6，整理可得： ?n-1??n-6?>0，
解得： n<1或 n>6，又 n为正整数，故 n的最小值为 7.
18. 在 △ABC中 ，角 A、 B、 C所对的边长分别为 a、 b、 c， b=a+1， c=a+2.．
(1)若 2sinC=3sinA，求 △ABC的面积 ；
(2)是否存在正整数 a，使得 △ABC为钝角三角形 ?若存在 ，求出 a的值 ；若不存在 ，说明理由．
【解析】： (1)因为 2sinC=3sinA，则 2c=2?a+2?=3a，则 a=4，故 b=5， c=6，
2 2 2 2
cosC= a +b -c 1，所以， C 锐角，则 sinC= 1-cos C 3 7，
2ab 8 8
1 1 3 7
因此， S△ABC= absinC= 4×5× 15 7；
2 2 8 4
(2)显然 c>b>a，若 △ABC为钝角三角形，则 C为钝角，
2 2 2 2 2 2
a +?a+1? ??a+2? 2
由余弦定理可得 cosC= a +b -c = a -2a-3 <0，
2ab 2a?a+1? 2a?a+1?
解得 -1
19. 在四棱锥 Q-ABCD中 ，底面 ABCD是正方形 ，若 AD=2,QD=QA= 5?QC=3．
(1)证明 ：平面 QAD⊥平面 ABCD；
(2)求二面角 B-QD-A的平面角的余弦值．
【解析】： (1)取 AD的中点为 O，连接 QO,CO. Q
因为 QA=QD， OA=OD，则 QO⊥AD，
而 AD=2,QA= 5，故 QO= 5-1 2.
在正方形 ABCD中，因为 AD=2，故 DO=1，故 CO= 5，
2 2 2
因为 QC=3，故 QC =QO +OC ， A O D
故 △QOC为直角三角形且 QO⊥OC， B C
因为 OC∩AD=O，故 QO⊥平面 ABCD，
因为 QO?平面 QAD，故平面 QAD⊥平面 ABCD.
(2)解法一：在平面 ABCD内，过 O作 OT?CD，交 BC于 T，则 OT⊥AD，
结合 (1)中的 QO⊥平面 ABCD，故可建如图所示的空间坐标系 .
??? ???
则 D?0,1,0?,Q?0,0,2?,B?2,-1,0?，故 BQ=?-2,1,2?,BD=?-2,2,0?.
?
设平面 QBD的法向量 n=?x,y,z?，
? ???
n?BQ=0 -2x+y+2z=0
则 ?? ??? ? x=1 1
，则 y=1,z= ，
??n?BD=0 ??-2x+2y=0 2
·22·
?
故 n=?1,1,1 . z
2 ?
? ? ? Q
而平面 QAD的法向量为 m=?1,0,0?，故 cos?m,n 1 2
?= .
1× 3 3
2
二面角 B-QD-A 2
的平面角为锐角，故其余弦值为 .
3
解法二： (浙江王海雷补解 )过 B作 BM ⊥QD于点 M A O D
由 (1)可知：平面 QAD⊥平面 ABCD y
C
∵BA⊥AD B
x
∴BA⊥面 QAD,易知 ∠BMA为二面角 B-QD-A的平面角。
2 2
在 BQD中， BQ= QA +AB 3,QD= 5， BD=2 2 Q
2 2 2
QB +QD -BD
cos∠BQD= 5，
2×QB×QD 5 M
即 sin∠BQD= BM 2 5 6 5
得： BM =
BQ 5 5 A O D
即 sin∠BMA= BA 5， cos∠BMA= 2
BM 3 3 B C
即二面角 B-QD-A 2
的平面角的余弦值为 3
2 2
y
20. 已知椭圆 C的方程为 x
2 +
2 1(a>b>0)，右焦点为 F( 2?0)，且离心率为 6
a b 3
(1)求椭圆 C的方程 ；
2 2
(2)设 M， N 是 椭 圆 C上 的 两 点 ，直 线 MN 与 曲 线 2
x +y =b (x>0)相 切 ． 证 明 ： M， N， F三 点 共 线 的
充要条件是 |MN| = 3．
【解析】： (1)由题意，椭圆半焦距 c= 2 c 6
且 e= ，所以 a= 3，
a 3
2 2 2 2
x 2
又 b =a -c =1，所以椭圆方程为 +y =1；
3
2 2
(2)由 (1)得，曲线为 x +y =1(x>0)，
当直线 MN 的斜率不存在时，直线 MN :x=1，不合题意；
当直线 MN 的斜率存在时，设 M?x1,y1?,N?x2,y2?，
必要性：
若 M， N， F三点共线，可设直线 MN :y=k?x- 2?即 kx-y- 2k=0，
2 2 ? 2k?
由直线 MN 与曲线 x +y =1(x>0)相切可得 2 =1，解得 k= ±1，
k +1
y= ±?x- 2?
联立 ?
2 2
x 2 4x -6 2x+3=0 3 2 3
，所以 x1+x2= ?x1?x2= ，
?? ?y =1 2 4
3
2
所以 ?MN? = 1+1 ?x1+x2? ?4x1?x2 3?
所以必要性成立；
充分性：设直线 MN :y=kx+b,?kb<0?即 kx-y+b=0，
2 2 ?b? 2 2
由直线 MN 与曲线 x +y =1(x>0)相切可得 2 =1，所以 b =k +1，
k +1
y=kx+b
2 2 2
联立 ? 2
x 2 ?1+3k ?x +6kbx+3b -3=0，
?? +y =1
3
2
6kb
所以 x1+x2= -
2?x 3b -3
1?x2=
2，
1+3k 1+3k
2 2 2 2
6kb 2 3b -3
所以 ?MN? = 1+k ?x1+x2? ?4x1?x2 1+k ?? 2 ?4?
2
1+3k ? 1+3k
2 2
1+k 24k
2 3，
1+3k
·23·
2 2
化简得 3?k -1? =0，所以 k= ±1，
k=1 k= -1
所以 ? ? MN :y=x- 2或 y= -x+ 2，
??b= - 2 ??b= 2
所以直线 MN 过点 F( 2?0)， M， N， F三点共线，充分性成立；
所以 M， N， F三点共线的充要条件是 |MN| = 3．
21. 一 种 微 生 物 群 体 可 以 经 过 自 身 繁 殖 不 断 生 存 下 来 ，设 一 个 这 种 微 生 物 为 第 0代 ，经 过 一 次 繁 殖 后 为 第 1
代 ，再 经 过 一 次 繁 殖 后 为 第 2代 ??，该 微 生 物 每 代 繁 殖 的 个 数 是 相 互 独 立 的 且 有 相 同 的 分 布 列 ，设 X
表示 1个微生物个体繁殖下一代的个数 ， P(X=i) =pi(i=0,1,2,3)．
(1)已知 p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求 E(X)；
(2)设 p表 示 该 种 微 生 物 经 过 多 代 繁 殖 后 临 近 灭 绝 的 概 率 ， p是 关 于 x的 方 程 ： 2 3
p0+p1x+p2x +p3x =x
的一个最小正实根 ，求证 ：当 E(X) ≤1时 ， p=1，当 E(X) >1时 ， p<1；
(3)根据你的理解说明 (2)问结论的实际含义．
【解析】： (1)E(X) =0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.
3 2
(2)设 f?x?=p3x +p2x +?p1-1?x+p0，
3 2
因为 p3+p2+p1+p0=1，故 f?x?=p3x +p2x -?p2+p0+p3?x+p0，
若 E?X?≤1，则 p1+2p2+3p3≤1，故 p2+2p3≤p0.
? 2
f ?x?=3p3x +2p2x-?p2+p0+p3?，
? ?
因为 f ?0?= -?p2+p0+p3?<0， f ?1?=p2+2p3-p0≤0，
?
故 f ?x?有两个不同零点 x1,x2，且 x1<0<1≤x2，
? ?
且 x∈?-∞ ,x1?∪?x2,+∞?时， f ?x?>0； x∈?x1,x2?时， f ?x?<0；
故 f?x?在 ?-∞ ,x1??x2,+∞? ?x1,x2?
x2=1，因为 f?x?在 ?x2,+∞? f?1?=0，
而当 x∈?0,x2?时，因为 f?x?在 ?x1,x2? f?x?>f?x2?=f?1?=0，
2 3
故 1为 p0+p1x+p2x +p3x =x的一个最小正实根，
2 3
若 x2>1，因为 f?1?=0且在 ?0,x2? 1为 p0+p1x+p2x +p3x =x的一个最小正实根，
综上，若 E?X?≤1，则 p=1.
若 E?X?>1，则 p1+2p2+3p3>1，故 p2+2p3>p0.
? ?
此时 f ?0?= -?p2+p0+p3?<0， f ?1?=p2+2p3-p0>0，
?
故 f ?x?有两个不同零点 x3,x4，且 x3<0
且 x∈?-∞ ,x3?∪?x4,+∞?时， f ?x?>0； x∈?x3,x4?时， f ?x?<0；
故 f?x?在 ?-∞ ,x3??x4,+∞? ?x3,x4?
f?1?=0，故 f?x4?<0，
又 f?0?=p0>0，故 f?x?在 ?0,x4? p，且 p<1.
2 3
所以 p为 p0+p1x+p2x +p3x =x的一个最小正实根，此时 p<1，
故当 E?X?>1时， p<1.
(3)意 义 ：每 一 个 该 种 微 生 物 繁 殖 后 代 的 平 均 数 不 超 过 1，则 若 干 代 必 然 灭 绝 ，若 繁 殖 后 代 的 平 均 数 超 过
1，则若干代后被灭绝的概率小于 1.
22. 已知函数 x 2
f(x) = (x-1)e -ax +b．
(1)讨论 f(x)的单调性 ；
(2)从下面两个条件中选一个 ，证明 ： f(x)有一个零点
2
① 1
2 2
② 0
x
【解析】： (1)由函数的解析式可得： f'?x?=x?e -2a?，
当 a≤0时，若 x∈?-∞ ,0?，则 f'?x?<0,f?x?单调递减，
·24·
若 x∈?0,+∞?，则 f'?x?>0,f?x?单调递增；
当 0
2 ?? ? ? ? ?
若 x∈?ln?2a?,0?，则 f'?x?<0,f?x?单调递减，
若 x∈?0,+∞?，则 f'?x?>0,f?x?单调递增；
当 a= 1 时， f'?x ≥0,f x 在 R上单调递增；
2 ? ? ?
1
当 a> 时，若 x∈?-∞ ,0 ，则 f' x >0,f x 单调递增，
2 ? ? ? ? ?
若 x∈?0,ln?2a??，则 f'?x?<0,f?x?单调递减，
若 x∈?ln?2a?,+∞?，则 f'?x?>0,f?x?单调递增；
(2)若选择条件①：
2
1 e 2
由于
2 2 ? ?
-b 2
而 f?-b?=?-1-b?e -ab -b<0，
而函数在区间 ?-∞ ,0? ?-∞ ,0? .
2
f?ln?2a??=2a?ln?2a?-1?-a?ln?2a?? +b
2
>2a?ln?2a?-1?-a?ln?2a?? +2a
2
=2aln?2a?-a?ln?2a??
=aln?2a??-ln?2a??，
2
1 e 2
由于
结合函数的单调性可知函数在区间 ?0,+∞? .
综上可得，题中的结论成立 .
若选择条件②：
1
由于 0
2 2
当 b≥0时， e >4,4a<2， f?2?=e -4a+b>0，
而函数在区间 ?0,+∞? ?0,+∞? .
x ? x
当 b<0时，构造函数 H?x?=e -x-1，则 H ?x?=e -1，
?
当 x∈?-∞ ,0?时， H ?x?<0,H?x?单调递减，
?
当 x∈?0,+∞?时， H ?x?>0,H?x?单调递增，
x
注意到 H?0?=0，故 H?x?≥0恒成立，从而有： e ≥x+1，此时：
x 2 2 2
f?x?=?x-1?e -ax -b≥?x-1??x+1?-ax +b=?1-a?x +?b-1?，
1-b 2
当 x> 时， ?1-a x + b-1 >0，
1-a ? ? ?
取 x 1-b
0= 1，则 f x >0，
1-a ? 0?
1-b
即： f?0?<0,f? +1 >0，
1-a ?
而函数在区间 ?0,+∞? ?0,+∞? .
2
f?ln?2a??=2a?ln?2a?-1?-a?ln?2a?? +b
2
≤2a?ln?2a?-1?-a?ln?2a?? +2a
2
=2aln?2a?-a?ln?2a??
=aln?2a??-ln?2a??，
由于 0
结合函数的单调性可知函数在区间 ?-∞ ,0? .
综上可得，题中的结论成立 .
·25·
2021年全国统一高考数学试卷 (文科 ) (甲卷 )
一 、 选择题 ：本题共 12小题 ，每小题 5分 ，共 60分。在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合要求的。
1.设集合 M = {1， 3， 5， 7， 9}， N = {x|2x>7}，则 M ∩N = ( )
A.{7， 9} B. {5， 7， 9} C. {3， 5， 7， 9} D.{1， 3， 5， 7， 9}
2.为 了 解 某 地 农 村 经 济 情 况 ，对 该 地 农 户 家 庭 年 收 入 进 行 抽 样 调 查 ，将 农 户 家 庭 年 收 入 的 调 查 数 据 整 理 得
到如下频率分布直方图 ：
频率
组距
0.20
0.14
0.10
0.04
0.02
2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.511.512.513.514.5 收入 /万元
( )
A.该地农户家庭年收入低于 4.5万元的农户比率估计为 6%
B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5万元的农户比率估计为 10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户 ，其家庭年收入介于 4.5万元至 8.5万元之间
2
3.已知 (1-i) z=3+2i，则 z= ( )
A.-1- 3i B. -1+ 3i C. - 3 ?i D.- 3 ?i
2 2 2 2
4.下列函数中是增函数的为 ( )
x 2 3
A. f(x) = -x B. f(x) = 2
? C. f(x) =x D. f(x) = x
3 ?
2 2
y
5.点 (3,0)到双曲线 x - 1的一条渐近线的距离为 ( )
16 9
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
5 5 5 5
6.青 少 年 视 力 是 社 会 普 遍 关 注 的 问 题 ，视 力 情 况 可 借 助 视 力 表 测 量 ． 通 常 用 五 分 记 录 法 和 小 数 记 录 法 记
录 视 力 数 据 ，五 分 记 录 法 的 数 据 L和 小 数 记 录 法 的 数 据 V满 足 L=5+lgV． 已 知 某 同 学 视 力 的 五 分 记
录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 10
( 101.259) ( )
A.1.5 B. 1.2 C. 0.8 D.0.6
7.在一个正方体中 ，过顶点 A的三条棱的中点分别为 E， F， G．该正方体截去三棱锥 A-EFG后 ，所得多
面体的三视图中 ，正视图如图所示 ，则相应的侧视图是 ( )
正视图
A. B. C. D.
8.在 ABC中 ，已知 B=120°， AC= 19， AB=2，则 BC= ( )
A.1 B. 2 C. 5 D.3
9.记 Sn为等比数列 {an}的前 n项和．若 S2=4， S4=6，则 S6= ( )
A.7 B. 8 C. 9 D.10
10.将 3个 1和 2个 0随机排成一行 ，则 2个 0不相邻的概率为 ( )
A.0.3 B. 0.5 C. 0.6 D.0.8
11.若 α∈?0,π ， tan2α= cosα ，则 tanα= ( )
2 ? 2-sinα
A. 15 B. 5 C. 5 D. 15
15 5 3 3
12.设 f(x)是定义域为 R的奇函数 ，且 f(1+x) =f(-x)．若 f -1 1 5
? = ，则 f = ( )
3 ? 3 ? 3 ?
A.- 5 B. - 1 C. 1 D. 5
3 3 3 3
二 、 填空题 ：本题共 4小题 ，每小题 5分 ，共 20分。
? ? ? ? ? ? ? ?
13.若向量 a， b满足 |a| =3， |a-b| =5， a?b=1，则 |b| = ． y
2
14.已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为 30π，则该圆锥的侧面积为 ．
15.已知函数 f(x) =2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示 ，则 f π
? = ．
2 ? O π 13π x
3 12
2 2
y
16.已 知 F1， F x
2为 椭 圆 C: ? 1的 两 个 焦 点 ， P， Q为 C上 关 于 坐 标 原 点 对
16 4
称的两点 ，且 |PQ| = |F1F2|，则四边形 PF1QF2的面积为 ．
三 、 解 答 题 ：共 70分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。 第 17~21题 为 必 考 题 ，每 个 试 题 考 生 都
必须作答。第 22、 23题为选考题 ，考生根据要求作答。
(一 )必考题 ：共 60分。
17.(12分 )甲 、乙 两 台 机 床 生 产 同 种 产 品 ，产 品 按 质 量 分 为 一 级 品 和 二 级 品 ，为 了 比 较 两 台 机 床 产 品 的 质 量 ，
分别用两台机床各生产了 200件产品 ，产品的质量情况统计如下表 ：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床 、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
2
n(ad-bc)
附 ： 2
K = ． P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
a+b) (c+d) (a+c) (b+d)
k 3.841 6.635 10.828
·27·
18.(12分 )记 Sn为数列 {an}的前 n项和 ，已知 an>0， a2=3a1，且数列 { Sn是等差数列 .
证明 ： {an}是等差数列．
19.(12分 )已 知 直 三 棱 柱 ABC -A1B1C1中 ，侧 面 AA1B1B为 正 方 形 ， AB=BC =2， E， F 分 别 为 AC 和
CC1的中点 ， BF⊥A1B1． A1 D B1
(1)求三棱锥 F-EBC的体积 ； C1
(2)已知 D为棱 A1B1上的点 ，证明 ： BF⊥DE．
F
A B
E
C
2 2
20.(12分 )设函数 f(x) =ax +ax-3lnx+1，其中 a>0．
(1)讨论 f(x)的单调性 ；
(2)若 y=f(x)的图像与 x轴没有公共点 ，求 a的取值范围．
·28·
21.(12分 )抛 物 线 C的 顶 点 为 坐 标 原 点 O，焦 点 在 x轴 上 ，直 线 l:x=1交 C于 P， Q两 点 ，且 OP⊥OQ．
已知点 M(2,0)，且 ⊙M 与 l相切．
(1)求 C， ⊙M 的方程 ；
(2)设 A1， A2， A3是 C上 的 三 个 点 ，直 线 A1A2， A1A3均 与 ⊙M 相 切 ． 判 断 直 线 A2A3与 ⊙M 的 位 置 关
系 ，并说明理由．
(二 )选考题 ：共 10分。请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做 ，则按所做的第一题计分。
[选修 4-4：坐标系与参数方程 ] (10分 )
22.(10分 )在 直 角 坐 标 系 xOy中 ，以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ，曲 线 C的 极 坐 标 方
程为 ρ=2 2cosθ．
(1)将 C的极坐标方程化为直角坐标方程 ； ??? ???
(2)设 点 A的 直 角 坐 标 为 (1,0)， M 为 C上 的 动 点 ，点 P满 足 AP= 2AM，写 出 P的 轨 迹 C1的 参 数 方
程 ，并判断 C与 C1是否有公共点．
[选修 4-5：不等式选讲 ] (10分 )
23.已知函数 f(x) = |x-2|， g(x) = |2x+3|-|2x-1|．
(1)画出 y=f(x)和 y=g(x)的图像 ；
(2)若 f(x+a) ≥g(x)，求 a的取值范围．
y
1
O 1 x
·29·
2021年全国统一高考数学试卷 (文科 ) (甲卷 )参考答案与试题解析
一 、 选择题 ：本题共 12小题 ，每小题 5分 ，共 60分。在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合要求的。
1.设集合 M = {1， 3， 5， 7， 9}， N = {x|2x>7}，则 M ∩N = ( )
A.{7， 9} B. {5， 7， 9} C. {3， 5， 7， 9} D.{1， 3， 5， 7， 9}
7
【解析】：因为 N = {x|2x>7} =???x?x> ?， M = {1， 3， 5， 7， 9}，
2 ??
所以 M ∩N = {5， 7， 9}．故选： B．
2.为了解某地农村经济情况 ，对该地农户家庭年收入进行抽样调查 ，将农户家庭年收入的调查数据整理得
到如下频率分布直方图 ：
频率
组距
0.20
0.14
0.10
0.04
0.02
2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.511.512.513.514.5 收入 /万元
( )
A.该地农户家庭年收入低于 4.5万元的农户比率估计为 6%
B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5万元的农户比率估计为 10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户 ，其家庭年收入介于 4.5万元至 8.5万元之间
【解 析】：对 于 A，该 地 农 户 家 庭 年 收 入 低 于 4.5万 元 的 农 户 比 率 为 (0.02+0.04) ×1=0.06=6%，故 选 项
A正确；
对 于 B，该 地 农 户 家 庭 年 收 入 不 低 于 10.5万 元 的 农 户 比 率 为 (0.04+0.02×3) ×1=0.1=10%，故 选 项 B
正确；
对 于 C，估 计 该 地 农 户 家 庭 年 收 入 的 平 均 值 为 3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2
+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5万元，故选项 C错误；
对于 D，家庭年收入介于 4.5万元至 8.5万元之间的频率为 (0.1+0.14+0.2+0.2) ×1=0.64>0.5，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5万元至 8.5万元之间，故选项 D正确．
故选： C．
3.已知 2
(1-i) z=3+2i，则 z= ( )
A.-1- 3i B. -1+ 3i C. - 3 ?i D.- 3 ?i
2 2 2 2
2 3+2i 3+2i)i
【解析】：因为 (1-i) z=3+2i，所以 z= 3+2i ?2+3i 3
2 ? 1+ i．
(1-i) -2i (-2i) ?i 2 2
故选： B．
4.下列函数中是增函数的为 ( )
x 2 3
A. f(x) = -x B. f(x) = 2
? C. f(x) =x D. f(x) = x
3 ?
·30·
【解析】：由一次函数性质可知 f(x) = -x在 R上是减函数，不符合题意；
2 x
由指数函数性质可知 f(x) =? 在 R上是减函数，不符合题意；
3 ?
2
由二次函数的性质可知 f(x) =x 在 R上不单调，不符合题意；
3
根据幂函数性质可知 f(x) = x在 R上单调递增，符合题意．故选： D．
2 2
y
5.点 (3,0)到双曲线 x - 1的一条渐近线的距离为 ( )
16 9
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
5 5 5 5
2 2
x y
【解析】：由题意可知，双曲线的渐近线方程为 ? 0，即 3x±4y=0，
16 9
结合对称性，不妨考虑点 (3,0)到直线 3x-4y=0 的距离，
则点 (3,0)到双曲线的一条渐近线的距离 d= 9-0 9．故选： A．
9+16 5
6.青少年视力是社会普遍关注的问题 ，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记
录视力数据 ，五分记录法的数据 L和小数记录法的数据 V满足 L=5+lgV．已知某同学视力的五分记
录法的数据为 10
4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 ( ) ( 101.259)
A.1.5 B. 1.2 C. 0.8 D.0.6
【解析】：在 L=5+lgV中， L=4.9，所以 4.9=5+lgV，即 lgV= -0.1，
-0.1
解得 V=10 = 1
0.1 1 1
10 0.8，
10 10 1.259
所以其视力的小数记录法的数据约为 0.8．故选： C．
7.在一个正方体中 ，过顶点 A的三条棱的中点分别为 E， F， G．该正方体截去三棱锥 A-EFG后 ，所得多
面体的三视图中 ，正视图如图所示 ，则相应的侧视图是 ( )
正视图
A1 B1
D1 C1
G
A E B
F
D C
【解析】：由题意，作出正方体，截去三棱锥 A-EFG，根据正视图，
可得 A-EFG在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，
可得相应的侧视图是 D图形，故选： D．
8.在 ABC中 ，已知 B=120°， AC= 19， AB=2，则 BC= ( )
A.1 B. 2 C. 5 D.3
【解析】：设角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，
2
结合余弦定理，可得 19=a +4?2×a×2×cos120°，
2
即 a +2a?15=0，解得 a=3(a= -5 舍去 )，
所以 BC=3．故选： D．
9.记 Sn为等比数列 {an}的前 n项和．若 S2=4， S4=6，则 S6= ( )
A.7 B. 8 C. 9 D.10
【解析】： ∵Sn为等比数列 {an}的前 n项和， S2=4， S4=6，
·31·
由等比数列的性质，可知 S2， S4-S2， S6-S4成等比数列，
2
∴4， 2， S6-6成等比数列， ∴2 =4(S6-6)，解得 S6=7．故选： A．
10.将 3个 1和 2个 0随机排成一行 ，则 2个 0不相邻的概率为 ( )
A.0.3 B. 0.5 C. 0.6 D.0.8
【解 析】：将 3个 1和 2个 0随 机 排 成 一 行 的 方 法 可 以 是 ： 00111， 01011， 01101， 01110， 10011， 10101，
10110， 11001， 11010， 11100，共 10种排法，
其中 2个 0不相邻的排列方法可以是： 01011， 01101， 01110， 10101， 10110， 11010，共 6种方法，
6
满足题意的概率为 =0.6，故选： C．
10
11.若 α∈?0,π ， tan2α= cosα ，则 tanα= ( )
2 ? 2-sinα
A. 15 B. 5 C. 5 D. 15
15 5 3 3
cosα sin2α cosα
【解析】：由 tan2α= ，得 = ，
2-sinα cos2α 2-sinα
2sinαcosα cosα
即 2 = ，
1-2sinα 2-sinα
∵α∈?0,π ， ∴cosα≠0，
2 ?
2
则 2sinα(2-sinα) =1-2sinα，解得 sinα= 1，
4
2 15
则 cosα= 1-sinα ，
4
1
∴tanα= sinα 4 15．故选： A．
cosα 15 15
4
12.设 f(x)是定义域为 R的奇函数 ，且 f(1+x) =f(-x)．若 f?-1 = 1 ，则 f 5 = ( )
3 ? 3 ? 3 ?
A.- 5 B. - 1 C. 1 D. 5
3 3 3 3
【解析】：解法一：由题意得 f(-x) = -f(x)，
1
又 f(1+x) =f(-x) = -f(x)，所以 f(2+x) =f(x) 1
，又 f?- = ，
3 ? 3
5 1 1 1
则 f? =f 2- =f - = ．故选： C．
3 ? ? 3 ? ? 3 ? 3
解法二：由 f(1+x) =f(?x) 1
知函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称，
2
又 f(x)为奇函数，所以 f(x) 1
是周期函数，且 T=4?0- =2，
2 ?
5 5 1 1
则 f? =f ?2 =f ? = ，故选 C.
3 ? ? 3 ? ? 3 ? 3
二 、 填空题 ：本题共 4小题 ，每小题 5分 ，共 20分。
? ? ? ?
13.若向量 ? ? ? ?
a， b满足 |a| =3， |a-b| =5， a?b=1，则 |b| = 3 2 ．
? ?
2 ?2 ? ? ?
2
【解析】：由题意，可得 (a?b) a 2a?b+b 25，
? ? ? ?
2
因为 |a| =3， a?b=1，所以 9?2×1+b 25，
?
2 ? ?
2
所以 b 18,|b| = b 3 2．故答案为： 3 2．
14.已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为 30π，则该圆锥的侧面积为 39π ．
【解析】：由圆锥的底面半径为 6，其体积为 30π，
1 2
设圆锥的高为 h，则 × (π×6 ) ×h=30π，解得 h= 5，
3 2
5 2 2
所以圆锥的母线长 l= ? ?6 13，
2 ? 2
·32·
所以圆锥的侧面积 S=πrl=π×6× 13 39π．故答案为： 39π．
2
15.已知函数 f(x) =2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示 ，则 f π y
? = - 3 ．
2 ?
2
【解析】：由图可知， f(x)的最小正周期 T= 4 13π ?π =π，
3 ? 12 3 ?
所以 ω= 2π 2，因为 f 13π =2cos 13π+φ =2，得 φ= -π ?2kπ，
T ?12 ? ? 6 ? 6 O π 13π x
3 12
π π
所 以 f(x) =2 cos?2x- ，则 f =2 cos 2× π ?π = -2 cosπ = - 3.
6 ? ? 2 ? ? 2 6 ? 6
故答案为： - 3．
2 2
y
16.已知 F1， F x
2为椭圆 C: ? 1的两个焦点 ， P， Q为 C上关于坐标原点对称的两点 ，且 |PQ| =
16 4
|F1F2|，则四边形 PF1QF2的面积为 8．
【解析】：解法一：因为 P， Q为 C上关于坐标原点对称的两点，且 |PQ| = |F1F2|，
所以四边形 PF1QF2为矩形，
设 |PF1| =m， |PF2| =n，
2 2
由椭圆的定义可得 ||PF1|+|PF2|| =m+n=2a=8，所以 m +2mn+n =64，
2 2 2 2 2 2 2 2
因为 |PF1|? PF2| F1F2| 4c =4(a -b ) =48，即 m +n =48，所以 mn=8，
所以四边形 PF1QF2的面积为 |PF1||PF2| =mn=8．故答案为： 8．
解法二：因为四边形 PF1QF2的对角线 ?PQ? =?F1F2?，所以四边形 PF1QF2为矩形，
2 π
则由焦点三角形面积公式得 SF1QF2P=2b tan =2×4×1=8.
4
三 、 解 答 题 ：共 70分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。 第 17~21题 为 必 考 题 ，每 个 试 题 考 生 都
必须作答。第 22、 23题为选考题 ，考生根据要求作答。
(一 )必考题 ：共 60分。
17.(12分 )甲 、乙两台机床生产同种产品 ，产品按质量分为一级品和二级品 ，为了比较两台机床产品的质量 ，
分别用两台机床各生产了 200件产品 ，产品的质量情况统计如下表 ：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床 、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
2
n(ad-bc)
附 ： 2
K = ． P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
a+b) (c+d) (a+c) (b+d)
k 3.841 6.635 10.828
【解析】：由题意，可得甲机床 、乙机床生产总数均为 200件，
因为甲的一级品的频数为 150 150 3
，所以甲的一级品的频率为 = ；
200 4
120 3
因为乙的一级品的频数为 120，所以乙的一级品的频率为 = ；
200 5
2
2 n(ad-bc)
(2)根据 2×2列联表，可得 K = a+b) (c+d) (a+c) (b+d)
2
400(150×80-50×120)
= 10.256>6.635．
270×130×200×200
所以有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
18.(12分 )记 Sn为数列 {an}的前 n项和 ，已知 an>0， a2=3a1，且数列 { Sn是等差数列 .
证明 ： {an}是等差数列．
【解答】证明：设等差数列 { Sn的公差为 d，
·33·
由题意得 S1= a1； S2= a1+a2 4a1 2 a1，
则 d= S2? S1 2 a1- a1 a1，所以 Sn= a1? n-1) a1 n a1，
2
所以 Sn=na1①；
2
当 n≥2时，有 Sn-1= (n-1) a1②．
2 2
由①②，得 an=Sn-Sn-1=na1- (n-1) a1= (2n-1)a1③，
经检验，当 n=1时也满足③．
所以 an= (2n-1)a1， n∈N+，
当 n≥2时， an-an-1= (2n-1)a1- (2n-3)a1=2a1，
所以数列 {an}是等差数列．
19.(12分 )已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中 ，侧面 AA1B1B为正方形 ， AB=BC=2， E， F分别为 AC和
CC1的中点 ， BF⊥A1B1．
(1)求三棱锥 F-EBC的体积 ； A1 D B1
(2)已知 D为棱 A1B1上的点 ，证明 ： BF⊥DE． C1
【解析】： (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， BB1⊥A1B1，
又 BF⊥A1B1， BB1∩BF=B， BB1， BF?平面 BCC1B1，
∴A1B1⊥平面 BCC1B1， F
∵AB?A1B1， ∴AB⊥平面 BCC1B1， ∴AB⊥AC， A B
2 2 G
又 AB=AC，故 AC= 2 +2 2 2， E
C
∴CE= 2 BE，而侧面 AA1B1B为正方形，
∴CF= 1CC = 1AB=1，
2 1 2
∴V= 1S ?CF= 1 1 2 21= 1 1
，即三棱锥 F-EBC的体积为
3 EBC 3 2 3 3
(2)证明：如图，取 BC中点 G，连接 EG， B1G，设 B1G∩BF=H，
∵点 E是 AC的中点，点 G时 BC的中点，
∴EG?AB， ∴EG?AB?B1D，
∴E、 G、 B1、 D四点共面，由 (1)可得 AB⊥平面 BCC1B1，
∴EG⊥平面 BCC1B1， ∴BF⊥EG，
∵tan∠CBF= CF 1?tan∠BB BG 1
1G= ，且这两个角都是锐角， ∴ ∠CBF= ∠BB1G，
BC 2 BB1 2
∴ ∠BHB1= ∠BGB1+ ∠CBF= ∠BGB1+ ∠BB1G=90°， ∴BF⊥B1G，
又 EG∩B1G=G， EG， B1G?平面 EGB1D，
∴BF⊥平面 EGB1D，又 DE?平面 EGB1D，
∴BF⊥DE．
2 2
20.(12分 )设函数 f(x) =ax +ax-3lnx+1，其中 a>0．
(1)讨论 f(x)的单调性 ；
(2)若 y=f(x)的图像与 x轴没有公共点 ，求 a的取值范围．
2 2 2ax+3) (ax-1)
【解析】： 2
(1)f′ (x) =2ax+a- 3 2ax +ax-3 ， x>0，
x x x
因为 a>0 3
，所以 - 0< 1，
2a a
所以在 ?0,1 f′ (x) <0， f(x) 1
单调递减，在 +∞ f′ (x) >0， f(x)单调递增．
a? ?a ?
综上所述， f(x) 1 1
在 ?0, +∞ f(x)单调递增．
a? ?a ?
2 2
(2) 1 1 1 1
由 (1)可知， f(x)min f? =a × ?a× 3ln +1=3+3lna，
a? ?a? a a
因为 y=f(x) 1
的图像与 x轴没有公共点，所以 3+3lna>0，所以 a> ，
e
1
所以 a的取值范围为 ? +∞
e ?
·34·
21.(12分 )抛物线 C的顶点为坐标原点 O，焦点在 x轴上 ，直线 l:x=1交 C于 P， Q两点 ，且 OP⊥OQ．
已知点 M(2,0)，且 ⊙M 与 l相切．
(1)求 C， ⊙M 的方程 ；
(2)设 A1， A2， A3是 C上 的 三 个 点 ，直 线 A1A2， A1A3均 与 ⊙M 相 切 ． 判 断 直 线 A2A3与 ⊙M 的 位 置 关
系 ，并说明理由．
2
【解析】： (1)因为 x=1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线 C的方程为： y =2px(p>0)，
令 x=1，则 y= ± 2p，
根据抛物线的对称性，不妨设 P在 x轴上方， Q在 X轴下方，故 P(1, 2p Q(1,? 2p，
因为 OP⊥OQ，故 1+ 2p 2p 0?p= 1，
2
2
抛物线 C的方程为： y =x，
2 2
因为 ⊙M 与 l相切，故其半径为 1，故 ⊙M : (x-2) ?y =1．
(2)设 A1(x1， y1)， A2(x2， y2)， A3(x3， y3)．
当 A1， A2， A3其中某一个为坐标原点时 (假设 A1为坐标原点时 )，
设直线 A1A2方程为 kx-y=0 2k
，根据点 M(2,0)到直线距离为 1可得 2 =1，解得 k= ± 3，
1+k 3
联立直线 A1A2与抛物线方程可得 x=3，
此时直线 A2A3与 ⊙M 的位置关系为相切，
当 A1， A2， A3都不是坐标原点时，即 x1≠x2≠x3，直线 A1A2的方程为 x? (y1+y2)y+y12=0，
|2+y12| 2 2 2
此时有， 2 =1，即 (y1?1)y2+2y12+3?y1=0，
1+ (y1+y2)
2 2 2
同理，由对称性可得， (y1?1)y3+2y13+3?y1=0，
2 2 2
所以 y2， y3是方程 (y1?1)t +2y1t+3?y1=0 的两根，
依题意有，直线 A2A3的方程为 x? (y2+y3)y+y23=0，
2
3-y1 2
2 2+
2
2 (2+y23) ? 1-1 ?
令 M 到直线 A2A3的距离为 d，则有 d =
2 1，
1+ (y2+y3) -2y1 2
1+? 2
1-1?
此时直线 A2A3与 ⊙M 的位置关系也为相切，
综上，直线 A2A3与 ⊙M 相切．
(二 )选考题 ：共 10分。请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做 ，则按所做的第一题计分。
[选修 4-4：坐标系与参数方程 ] (10分 )
22.(10分 )在直角坐标系 xOy中 ，以坐标原点为极点 ， x轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，曲线 C的极坐标方
程为 ρ=2 2cosθ．
(1)将 C的极坐标方程化为直角坐标方程 ； ??? ???
(2)设 点 A的 直 角 坐 标 为 (1,0)， M 为 C上 的 动 点 ，点 P满 足 AP= 2AM，写 出 P的 轨 迹 C1的 参 数 方
程 ，并判断 C与 C1是否有公共点．
2
【解析】： (1)由极坐标方程为 ρ=2 2cosθ，得 ρ =2 2ρcosθ，
2 2
化为直角坐标方程是 x +y =2 2x，
2 2
即 (x- 2?y =2，表示圆心为 C( 2， 0)，半径为 2
(2)设点 P的直角坐标为 (x,y)， M(x1， y1)，因为 A(1,0)，
??? ???
所以 AP= (x-1,y)， AM = (x1-1， y1)，
??? ???
由 AP= 2AM，
? 2
x-1= 2x1-1) ??x1= x-1) +1
2
即 ?
??y= 2y1 ?
???y 2
1= x
2
M 2 2 2
? (x-1) +1 2 2 2
， y ，代入 C的方程得 ?
??? (x-1) +1- 2?? + y 2，
2 2 ? 2 ?? ? 2 ?
·35·
2 2
化简得点 P的轨迹方程是 (x-3+ 2?y =4，表示圆心为 C1(3- 2， 0)，半径为 2 的圆；
x=3- 2?2cosθ
化为参数方程是 ? θ为参数；
??y=2sinθ
计算 |CC1| = |(3- 2 ?2 3-2 2<2- 2，
所以圆 C与圆 C1内含，没有公共点．
[选修 4-5：不等式选讲 ] (10分 )
23.已知函数 f(x) = |x-2|， g(x) = |2x+3|-|2x-1|．
(1)画出 y=f(x)和 y=g(x)的图像 ；
(2)若 f(x+a) ≥g(x)，求 a的取值范围．
x-2, x≥2
【解析】： (1)函数 f(x) = |x-2| =? ，
??2-x, x<2
7A4,x≥ 1
2
A 3 1
g(x) = |2x+3|-|2x-1| =84x+2,- °x< ．
2 2
A
9A?4,x≤ -3
2
画出 y=f(x)和 y=g(x)的图像；
y
f?x?=?x-2?
1
O 1 x
g?x?=?2x+3?-?2x-1?
(2)由图像可得： f(6) =4 1
， g? =4，
2 ?
若 f(x+a) ≥g(x)，说明把函数 f(x)的图像向左或向右平移 |a|单位以后， f(x)的图像不在 g(x)的下方，
由图像观察可得： a≥2- 1 ?4= 11
2 2
a 11
的取值范围为 ??? +∞
2 ?
·36·
2021年全国统一高考数学试卷 (理科 ) (甲卷 )
一 、选择题 ：本题共 12小题 ，每小题 5分 ，共 60分。在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合要求的。
1.设集合 M = {x|0
3 ??，则 M ∩N = ( )
A.{x?0
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