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专题01
集合
重点题型
题型一、集合的基本概念
1．元素与集合的关系：.
2．集合中元素的特征：
确定性
一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合
互异性
集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素
无序性
集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系
3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作.
4．常用数集及其记法：
集合
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
或
注意：实数集不能表示为{x|x为所有实数}或{}，因为“{
}”包含“所有”“全体”的含义.
5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.
6．解决集合概念问题的一般思路：首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．
题型二、集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号语言
图示
基
本基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B的元素
（或
）
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
（或
）
相等
集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
，
必记结论：（1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即.
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.
题型三、集合的基本运算
1．集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
2．集合运算的相关结论
交集
并集
补集
3．必记结论
；.
考点集训
一、单选题
1．已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知集合A={(x，y)|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（
）
A．9
B．8
C．5
D．4
3．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．设集合，，，则集合中元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
5．设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．已如集合，则满足的集合的个数是（
）
A．4
B．6
C．7
D．8
7．已知全集为U，集合，，集合A和集合B的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知集合，，若集合，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知集合，集合，若，则实数不可以取（
）
A．
B．
C．
D．
10．设集合，，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知非空集合、满足以下两个条件：（1），；（2）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素.则有序集合对的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
12．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草?植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”?“合格”2个等级，结果如下表：
等级
项目
优秀
合格
合计
除草
30
15
45
植树
20
25
45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（
）
A．5
B．10
C．15
D．20
二、多选题
13．下面关于集合的表示正确的是?（
）
A．
B．
C．
D．
14．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．或
15．对于集合、，定义集合．下列结论一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
16．（多选）下列选项中的两个集合相等的有（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
三、填空题
17．设集合，，则______．
18．设集合，若，则的值为_________.
19．若集合中有且仅有一个元素，则k的值为___________.
20．某单位工会组织75名会员观看《光荣与梦想》?《觉醒年代》?《跨过鸭绿江》三部建党百年优秀电视，对这三部剧的观看情况统计如下：
观看情况
观看人数
只看过《光荣与梦想》
12
只看过《觉醒年代》
11
只看过《跨过鸭绿江》
8
只看过《光荣与梦想》和《觉醒年代》
7
只看过《光荣与梦想》和《跨过鸭绿江》
4
只看过《觉醒年代》和《跨过鸭绿江》
5
同时看过《光荣与梦想》?《觉醒年代》和《跨过鸭绿江》
21
则会员中看过《跨过鸭绿江》的共有___________人，三部电视剧中，看过至少一部的有___________人.
21．设集合，，则________，若，都有或，则实数a的取值范围是_______．
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专题01
集合
重点题型
题型一、集合的基本概念
1．元素与集合的关系：.
2．集合中元素的特征：
确定性
一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合
互异性
集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素
无序性
集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系
3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作.
4．常用数集及其记法：
集合
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
或
注意：实数集不能表示为{x|x为所有实数}或{}，因为“{
}”包含“所有”“全体”的含义.
5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.
6．解决集合概念问题的一般思路：首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．
题型二、集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号语言
图示
基
本基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B的元素
（或
）
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
（或
）
相等
集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
，
必记结论：（1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即.
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.
题型三、集合的基本运算
1．集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
2．集合运算的相关结论
交集
并集
补集
3．必记结论
；.
考点集训
一、单选题
1．已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用集合的交、补运算判断A、B，进而由元素与集合的关系判断D的正误，根据已知集合判断A、B是否有包含关系.
【详解】
A：，错误；
B：，错误；
C：没有包含、被包含关系，错误；
D：由A知：，正确.
故选：D.
2．已知集合A={(x，y)|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（
）
A．9
B．8
C．5
D．4
【答案】A
【分析】
根据x，y满足的关系式求得x，y的可能值，从而求得集合元素个数.
【详解】
由x2+y2≤3知，.
又x∈Z，y∈Z，所以x∈{-1，0，1}，y∈{-1，0，1}，
易知，x与y的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为，
故选：A.
3．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
解出集合，利用并集的定义可求得.
【详解】
因为，因此，.
故选：C.
4．设集合，，，则集合中元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
分别在集合中取，由此可求得所有可能的取值，进而得到结果.
【详解】
当，时，；当，时，；
当，或时，；当，时，；
当，或，时，；当，时，；
，故中元素的个数为个.
故选：B.
5．设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
分别求解两个集合，再判断选项.
【详解】
，，
，，
，其他都不正确.
故选：D
6．已如集合，则满足的集合的个数是（
）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】
先求出，再根据和子集个数的计算公式可得正确的选项．
【详解】
，
因为，故有元素，且可能有元素，
故满足的集合的个数为，
故选：D．
7．已知全集为U，集合，，集合A和集合B的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
图中阴影部分是表示在集合中，但不在集合中的元素
【详解】
，，
图中阴影部分是表示在集合中，但不在集合中的元素
，
故选A．
8．已知集合，，若集合，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
首先解一元二次不等式得到集合A，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围；
【详解】
解：因为，所以，解得
所以，因为，且
所以，即
故选：C
9．已知集合，集合，若，则实数不可以取（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先求得范围为，根据题意可得，逐项分析判断即可得解.
【详解】
对集合A解不等式，解得，
由则，
当时，，则，
此时，符合题意；
当时，，，符合题意，
当时，，
此时，符合题意，
当时，
此时
，不符题意，
故选：D
10．设集合，，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先解出集合A，
根据,可知,构造关于a
的不等式组,解得a的范围.
【详解】
，，
由得，所以.
故选：A.
【点睛】
（1），.
（2）由求参数的范围容易漏掉的情况．
11．已知非空集合、满足以下两个条件：（1），；（2）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素.则有序集合对的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
对集合中的元素个数进行分类讨论，列举出集合，由此可求得结果.
【详解】
由题意可知，集合不能是空集，也不可能为.
若集合只有一个元素，则集合为；
若集合有两个元素，则集合为、、；
若集合有三个元素，则集合为、、；
若集合有四个元素，则集合为.
综上所述，有序集合对的个数为.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于对集合中的元素个数进行分类讨论，由此确定集合，由此得解.
12．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草?植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”?“合格”2个等级，结果如下表：
等级
项目
优秀
合格
合计
除草
30
15
45
植树
20
25
45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（
）
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】C
【分析】
用集合表示除草优秀的学生，表示椿树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．
【详解】
用集合表示除草优秀的学生，表示椿树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，
设两个项目都优秀的人数为，两个项目都是合格的人数为，由图可得，，因为，所以．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．
二、多选题
13．下面关于集合的表示正确的是?（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】
本题首先可根据判断出A错误，然后根据这种情况判断出B错误，再然后根据判断出C正确，最后根据无解判断出D正确.
【详解】
A项：因为，所以，故A错误；
B项：若，则，故B错误；
C项：，故C正确；
D项：因为，所以无解，故D正确，
故选：CD.
【点睛】
本题考查元素与集合、集合与集合之间的关系，只有当两个集合中包含的元素完全相同时两个集合才相等，能否确定集合中包含的元素是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题.
14．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．或
【答案】AB
【分析】
化简集合A,B，即得解.
【详解】
，，
所以，，或，
故选:AB
【点睛】
易错点睛：化简集合A时，容易漏掉函数的定义域，导致得到，导致后面运算出错，所以函数的问题必须要注意定义域优先的原则.
15．对于集合、，定义集合．下列结论一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】
对各选项中的运算进行验证，由此可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，，，成立，A选项正确；
对于B选项，，则，，
所以，，B选项正确；
对于C选项，，则，，
所以，，C选项错误；
对于D选项，，则，，
所以，，D选项错误.
故选：AB.
【点睛】
关键点点睛：本题考查集合的新定义，在判断各选项的正误时，一定要紧扣题中的新定义，同时化简集合、，结合新定义运算加以判断即可.
16．（多选）下列选项中的两个集合相等的有（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】AC
【分析】
根据集合相等的定义，分别对选项进行判断．
【详解】
选项A中集合，都表示所有偶数组成的集合，所以；
选项B中是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，，所以；
选项C中，当为奇数时，当为偶数时，，所以，；
选项D中集合表示直线上点的横坐标构成的集合，而集合表示直线上点的坐标构成的集合，所以.
故选AC.
【点睛】
本题考查了集合的相等问题，牢记定义是解题的关键，本题是一道基础题．
三、填空题
17．设集合，，则______．
【答案】
【分析】
先解一元二次不等式求出集合N，然后再求两集合的交集
【详解】
解：由，得，所以，
因为，
所以，
故答案为：
18．设集合，若，则的值为_________.
【答案】-3
【分析】
根据交集的定义分类讨论求解参数的值即可得出答案.
【详解】
根据题意：时，或
（1）时，或
时，，集合
B中两元素相等不合题意.
时，
此时，符合题意
（2）时，，此时
，此时
不合题意
所以
故答案为：-3
19．若集合中有且仅有一个元素，则k的值为___________.
【答案】0或1
【分析】
转化为求方程有且仅有一个解的条件，分k=0和k≠0，利用一次方程和二次方程的解的个数的判定方法求解.
【详解】
当k=0时，方程为2x+1=0,有且只有一解，符合题意；
当k≠0时，方程有且仅有一个解等价于,解得k=1,
故答案为：0或1.
20．某单位工会组织75名会员观看《光荣与梦想》?《觉醒年代》?《跨过鸭绿江》三部建党百年优秀电视，对这三部剧的观看情况统计如下：
观看情况
观看人数
只看过《光荣与梦想》
12
只看过《觉醒年代》
11
只看过《跨过鸭绿江》
8
只看过《光荣与梦想》和《觉醒年代》
7
只看过《光荣与梦想》和《跨过鸭绿江》
4
只看过《觉醒年代》和《跨过鸭绿江》
5
同时看过《光荣与梦想》?《觉醒年代》和《跨过鸭绿江》
21
则会员中看过《跨过鸭绿江》的共有___________人，三部电视剧中，看过至少一部的有___________人.
【答案】38；
68.
【分析】
根据条件画出对应的Venn图，进而即可求解．
【详解】
解：根据题意，将数据利用韦恩图表示，如图所示：
由图可知看过《跨过鸭绿江》的共有人；三部电视剧中，看过至少一部的有人.
故答案为：38；68.
21．设集合，，则________，若，都有或，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】
化简集合A，直接计算补集，再根据求解即可.
【详解】
因为，
所以
因为，都有或，
所以，
所以
故答案为：；
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