上海市2022届高三一轮复习——多个未知数求最值
【知识梳理】
1、含有两个未知数，优先考虑基本不等式；
2、含有三角函数，从三角函数的值域入手求解；
3、含有两个未知数的分式，分母为多项式时，可以考虑换元法（换
两个未知数）
【解决问题】
含有两个及其以上的未知数求函数最值
【例题精讲】
例1、
【答案】
【解析】化简原式得，等式左边的值域为，等号右边的值域为。根据等式两边的值域可以看出，=2①，取到2时，）=1②，由①②式解得，解得
变式练习：
已知，其中，则的最小值为
【答案】
【解析】
例2、若正实数a,b满足a+b=ab,则
的最小值为
【答案】7
【解析】
例3、已知正数，满足，试写出一个取不到的正整数
值是______．
【答案】7（设满足条件的正整数为，则满足
且）
【详解】
由
当且仅当时，等号成立．
设，则，易知在上单调递增，
所以，
故．
所以取不到的正整数满足
且
故答案为：7（设满足条件的正整数为，则满足
且）
例4、对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值为
．
【答案】
【解析】令
则
当且仅当，即时取得等号。
故，即
例5、若正数满足，则的最小值为
．
【答案】
【解析】分母复杂时采取换元。
令，则问题变为已知，求的最小值。
当且仅当，即，时取得等号。
【备注】解法二：齐次化
记，视为线段上的点与坐标原点连线的斜率
设，
例6、已知正数满足，则的最大值为
．
【答案】
【解析】
令，得
则
当且仅当，即时取得等号。
【备注】解法二：
令，则
令，则
原式
当且仅当，即时取得等号
例7、已知，则的最大值是_______。
【答案】
【解析】令，，则，
所以
【备注】解法二：令，，
则，
目标函数为
画出点所在的可行域如图为抛物线一部分上的点，
如图，目标函数与相切时
当且仅当，即时取得
解法三：三角换元，，则，
令，
故
解法四：令，
，则
则，
例8、已知实数，满足，则的最小值为__________.
【答案】.
【解析】令,则
且仅当即时取等号.
故答案为:.
例9、已知为实数，且，则的最小值为
．
【答案】
【解析】令，则，且
所以
【备注】解法二：齐次化转函数求值域
令，
例10
、已如，则的最小值为______.
【答案】7
【解析】设，则，
所以
当且仅当时取等号，即的最小值为
例11、已知函数，且。对恒成立，则的最小值为
。
【答案】
【解析】由题意可知，即
此时已经转成齐次式了，所以分子分母同除
则
当且仅当及时，即时取得。
【备注】解法二：齐次化思想
根据条件有，则
因此
令，则
解法三：根据条件有，则
故
令得
当且仅当及时取得最小值，即时取得
例12、已知
的最大值为
【答案】
【解析】上海市2022届高三一轮复习——多个未知数求最值
【知识梳理】
1、含有两个未知数，优先考虑基本不等式；
2、含有三角函数，从三角函数的值域入手求解；
3、含有两个未知数的分式，分母为多项式时，可以考虑换元法（换
两个未知数）
【解决问题】
含有两个及其以上的未知数求函数最值
【例题精讲】
例1、
变式练习：
已知，其中，则的最小值为
例2、若正实数a,b满足a+b=ab,则
的最小值为
例3、已知正数，满足，试写出一个取不到的正整数
值是______．
例4、对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值为
．
例5、若正数满足，则的最小值为
．
例6、已知正数满足，则的最大值为
．
例7、已知，则的最大值是_______。
例8、已知实数，满足，则的最小值为__________.
例9、已知为实数，且，则的最小值为
．
例10
、已如，则的最小值为______.
例11、已知函数，且。对恒成立，则的最小值为
。
例12、已知
的最大值为
交大附中高三期中数学试卷
2020.05
填空题
C
1.计算矩阵的乘积:(ab
2.计算:C0+3C!+9C2
3"C
3.已知nb
n-+
cos
,则sinb
4.若双曲线
1的焦距为6,则该双曲线的虚轴长为
5.在首项为21,公比为的等比数列中,最接近于1的项是第
项
6.如图,二面角a-l-B的大小是,线段ABga,B∈l,AB与l所成的角为,则
AB与平面B所成的角是
用反三角函数表示)
7.已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的
对边,a=2,且(2+b)sinA-sinB)=(c-b)sinC,则
△ABC面积的最大值为
8.已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)是以2为周期的偶函数,且当0≤x≤1时,有g(x)
f(x),则函数y=g(x)(x∈[,2])的反函数是y
9.已知y=f(x)是定义在R上的函数,方程f(2019+x)×f(2020-x)=0恰好有7个解,
则这7个解的和为
10.设0.ab是一个循环节长度为两位的循环纯小数,其中a和b分别为10以内的非负整数,
且a≠b,b≠0,若集合A={n|=0.ab,n∈N},则A中所有元素的和为
3an+1an为奇数
11.已知数列{an}满足an
2%为数(n∈N),a=27(k是一个已知
的正整数),若存在m∈N,当n>m且an为奇数时,an恒为常数p,则p
12.若实数x、y满足205(x+y-1=(x+1D+(y=)-2x,则x的最小值为
x-y+
选择题
13.已知函数y=f(x)是R上的增函数,则对任意x1,x2∈R
f(x1)
