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专题03
函数及其性质
重点题型
题型一、函数的概念
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
(7)y＝tanx的定义域为.
(8)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
2．函数的解析式
求函数解析式常用的方法
①换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
②配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
③待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
④方程组法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(?∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
(4)指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为.
求函数值域的常见方法：
①分离常数法：
将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为：
，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
②换元法：
对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数
可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
③配方法：
对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．
④数形结合法：
作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．
⑤单调性法：
函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．
⑥基本不等式法：
利用基本不等式(a>0，b>0)求最值．
若“和定”，则“积最大”，即已知a＋b＝s，则，ab有最大值，当a＝b时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知ab＝t，则，a＋b有最小值，当a＝b时取等号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”．
⑦判别式法：
将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域．
利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.
⑧有界性法：
充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.
⑨导数法：
利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.
题型二、分段函数
分段函数问题的常见类型及解题策略：
1．求定义域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
2．求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
3．求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
4．求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．
5．解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
6．求奇偶性、周期性：利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.
题型三、函数的单调性
1．判断函数单调性的方法：
（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小．
（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．
（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．
（4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．
（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.
2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．
3．函数单调性的应用主要有：
（1）由的大小关系可以判断与的大小关系，也可以由与的大小关系判断出的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.
（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．
（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内．
4．函数的最值：
（1）利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间上是增函数，则在上的最小值为，最大值为；若函数在闭区间上是减函数，则在上的最小值为，最大值为.
2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.
3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.
4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.
题型四、函数的奇偶性
1．利用定义判断函数奇偶性
2．图象法：
3．性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.
4．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．
（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数为偶函数，函数为奇函数．
②函数（且）为奇函数．
③函数（且）为奇函数．
④函数（且）为奇函数．
5．与函数奇偶性有关的问题及解决方法：
（1）已知函数的奇偶性，求函数的值．
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
（2）已知函数的奇偶性求解析式.
已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可.
（3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数.
在定义域关于原点对称的前提下，利用为奇函数，为偶函数，列式求解，也可以利用特殊值法求解.对于在处有定义的奇函数，可考虑列式求解.
（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.
利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性.
题型五、函数的对称性
对称性的三个常用结论：
（1）若函数是偶函数，即，则函数的图象关于直线对称；
（2）若对于上的任意x都有或，则的图象关于直线对称；
（3）若函数是奇函数，即，则函数关于点中心对称．
题型六、函数的周期性
（1）判断函数的周期，只需证明，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则且)也是函数的周期.
（3）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.
题型七、函数的图象
重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x轴、y轴的交点，最高、最低点等)．
识图的方法：
①定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；
②定量计算法：通过定量的计算来分析解决；
③排除法：利用本身性质或特殊点进行排除验证．
考点集训
一、单选题
1．设全集为R，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数在定义域上单调，且，则的值为（
）
A．3
B．1
C．0
D．﹣1
3．函数是定义在上的奇函数，当时，，则（
）
A．1
B．-1
C．
D．2021
4．函数的图象大致为(
)
A．
B．
C．
D．
5．定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
6．函数的值域为（
）
A．(-∞，-2]
B．[2，+∞)
C．(-∞，-2]
[2，+∞)
D．[-2，2]
7．
2018年翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，下图反映了在空中高速飞行的某翼人从某时刻开始15分钟内的速度v(x)与时间x的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图像是(
)
A．
B．
C．
D．
8．已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知定义域为R的偶函数y＝f（x）﹣3x在[0，+∞）单调递增，若f（m）+3≤f（1﹣m）+6m，则实数m的取值范围是（
）
A．（﹣∞，2]
B．[2，+∞）
C．[，+∞）
D．（﹣∞，]
10．已知函数，则
（
）
A．4040
B．4038
C．2
D．0
二、多选题
11．已知函数，则（
）
A．f(g(1))=11
B．g(f(1))=35
C．f(g(x))=3·2x+3x+2
D．
12．已知函数则下列结论正确的是（
）
A．是偶函数
B．
C．是增函数
D．的值域为
13．已知函数为偶函数，且，则下列结论一定正确的是（
）
A．的图象关于点中心对称
B．是周期为的周期函数
C．的图象关于直线轴对称
D．为偶函数
14．已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当时，，则（
）
A．函数不是偶函数
B．函数的最小正周期为4
C．函数在上有3个零点
D．
15．已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
16．对于函数，下列结论中错误的是（
）
A．为奇函数
B．在定义域上是单调递减函数
C．的图象关于点对称
D．在区间上存在零点
17．设函数且，下列关于该函数的说法正确的是（
）
A．若，则
B．若为R上的增函数，则
C．若，则
D．函数为R上奇函数
18．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德?牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，．若函数，则关于函数的叙述中正确的有（
）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．的值域是
D．是上的增函数
三、填空题
19．函数的定义域是___________.
20．已知函数，若，则______．
21．设函数，则不等式的解集是___________.
22．函数的值域为___________.
23．已知函数，若，使得成立，请写出一个符合条件的函数的表达式__________.
24．已知奇函数的定义域为，且当时，，若，则实数________．
25．函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)+2g(x)=ex，若对任意x∈(0，2]，不等式f(2x)﹣mg(x)≥0成立，则实数m的取值范围是___________.
26．已知，若，则实数的值是___________；若，则实数的取值范围是___________.
27．已知定义在R上的偶函数满足，当时，，则___________；当时，___________.
28．已知函数的定义域为，且满足，，则的最小正周期为___________，的一个解析式可以为___________.
四、解答题
29．已知函数是定义在上的偶函数，当时，(，且).又直线恒过定点A，且点A在函数的图像上.
(1)
求实数的值；
(2)
求的值；
(3)
求函数的解析式.
30．已知实数是常数，函数.
（1）求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，设，记的取值组成的集合为，则函数的值域与函数()的值域相同.试解决下列问题：
（i）求集合；
（ii）研究函数在定义域上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数的最小值.
31．已知函数为实常数.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
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函数及其性质
重点题型
题型一、函数的概念
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
(7)y＝tanx的定义域为.
(8)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
2．函数的解析式
求函数解析式常用的方法
①换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
②配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
③待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
④方程组法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(?∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
(4)指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为.
求函数值域的常见方法：
①分离常数法：
将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为：
，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
②换元法：
对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数
可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
③配方法：
对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．
④数形结合法：
作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．
⑤单调性法：
函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．
⑥基本不等式法：
利用基本不等式(a>0，b>0)求最值．
若“和定”，则“积最大”，即已知a＋b＝s，则，ab有最大值，当a＝b时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知ab＝t，则，a＋b有最小值，当a＝b时取等号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”．
⑦判别式法：
将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域．
利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.
⑧有界性法：
充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.
⑨导数法：
利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.
题型二、分段函数
分段函数问题的常见类型及解题策略：
1．求定义域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
2．求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
3．求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
4．求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．
5．解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
6．求奇偶性、周期性：利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.
题型三、函数的单调性
1．判断函数单调性的方法：
（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小．
（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．
（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．
（4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．
（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.
2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．
3．函数单调性的应用主要有：
（1）由的大小关系可以判断与的大小关系，也可以由与的大小关系判断出的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.
（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．
（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内．
4．函数的最值：
（1）利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间上是增函数，则在上的最小值为，最大值为；若函数在闭区间上是减函数，则在上的最小值为，最大值为.
2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.
3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.
4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.
题型四、函数的奇偶性
1．利用定义判断函数奇偶性
2．图象法：
3．性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.
4．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．
（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数为偶函数，函数为奇函数．
②函数（且）为奇函数．
③函数（且）为奇函数．
④函数（且）为奇函数．
5．与函数奇偶性有关的问题及解决方法：
（1）已知函数的奇偶性，求函数的值．
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
（2）已知函数的奇偶性求解析式.
已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可.
（3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数.
在定义域关于原点对称的前提下，利用为奇函数，为偶函数，列式求解，也可以利用特殊值法求解.对于在处有定义的奇函数，可考虑列式求解.
（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.
利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性.
题型五、函数的对称性
对称性的三个常用结论：
（1）若函数是偶函数，即，则函数的图象关于直线对称；
（2）若对于上的任意x都有或，则的图象关于直线对称；
（3）若函数是奇函数，即，则函数关于点中心对称．
题型六、函数的周期性
（1）判断函数的周期，只需证明，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则且)也是函数的周期.
（3）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.
题型七、函数的图象
重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x轴、y轴的交点，最高、最低点等)．
识图的方法：
①定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；
②定量计算法：通过定量的计算来分析解决；
③排除法：利用本身性质或特殊点进行排除验证．
考点集训
一、单选题
1．设全集为R，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
求出集合，，由此能求出．
【详解】
解：全集为，集合，，
或，
．
故选：．
2．已知函数在定义域上单调，且，则的值为（
）
A．3
B．1
C．0
D．﹣1
【答案】A
【分析】
先求出函数的解析式，将代入计算即可.
【详解】
因为函数在定义域上单调，且，
所以为常数，不妨设，则
由得，解得：，
所以，
所以.
故选：A
3．函数是定义在上的奇函数，当时，，则（
）
A．1
B．-1
C．
D．2021
【答案】A
【分析】
根据奇函数的定义可知，自变量互为相反数时，函数也互为
相反数.
【详解】
解：因为函数是定义在上的奇函数，当时，，
则.
故选：A.
4．函数的图象大致为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
分析函数f(x)定义域，排除两个选项，再取特殊值得解.
【详解】
∵令g(x)=，x>0时，x2是递增的，cosx在(0,)上递减，
则有g(x)在(0,)上单调递增，而，
所以存在使得，
中，排除C、D，
∵时，排除B，所以选A.
故选：A
【点睛】
给定解析式，识别图象，可以从分析函数定义域、函数奇偶性、在特定区间上单调性及特殊值等方面入手.
5．定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，解得，即可知选项A正确.
【详解】
由抽象函数的定义域可知，
，解得，
所以所求函数的定义域为.
故选A.
6．函数的值域为（
）
A．(-∞，-2]
B．[2，+∞)
C．(-∞，-2]
[2，+∞)
D．[-2，2]
【答案】C
【分析】
利用基本不等式可求该函数的值域.
【详解】
当时，，
当时，，
所以函数的值域为，，故选：C．
【点睛】
本题考查函数值域、基本不等式，注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，本题属于基础题.
7．
2018年翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，下图反映了在空中高速飞行的某翼人从某时刻开始15分钟内的速度v(x)与时间x的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图像是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据，“速度差函数”u（x）的定义，分x∈[0，6]、x∈[6，10]、x∈[10，12]、x∈[12，15]四种情况，分别求得函数的解析式，从而得到函数的图象．
【详解】
由题意可得，当x∈[0，6]时，翼人做匀加速运动，v（x）=80+x，
“速度差函数”u（x）=x．
当x∈[6，10]时，翼人做匀减速运动，速度v（x）从160开始下降，一直降到80，
u（x）=160﹣80=80．
当x∈[10，12]时，翼人做匀减速运动，v（x）从80开始下降，v（x）=180﹣10x，
u（x）=160﹣（180﹣10x）=10x﹣20．
当x∈[12，15]时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”u（x）=160﹣60=100，
结合所给的图象，
故选D．
【点睛】
本题主要考查，“速度差函数”u（x）的定义，函数的图象，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
8．已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
将条件等价于函数函数为定义域上的单调减函数，由分段函数的单调性要求，结合指数函数、一次函数的单调性得到关于的不等式组，求解即得.
【详解】
由题意，函数对任意的都有成立，
即函数为上的减函数，
可得解得，
故选:C.
9．已知定义域为R的偶函数y＝f（x）﹣3x在[0，+∞）单调递增，若f（m）+3≤f（1﹣m）+6m，则实数m的取值范围是（
）
A．（﹣∞，2]
B．[2，+∞）
C．[，+∞）
D．（﹣∞，]
【答案】D
【分析】
设，由题意可知函数为偶函数，并且在[0，+∞）单调递增，由，得，从而得，进而可求出实数m的取值范围
【详解】
解：设，由题意可知函数为偶函数，并且在[0，+∞）单调递增，
由，得，即，
所以，
因为在[0，+∞）单调递增，
所以，两边平方得，
解得，
所以实数m的取值范围是（﹣∞，]，
故选：D
10．已知函数，则
（
）
A．4040
B．4038
C．2
D．0
【答案】B
【分析】
根据函数解析式的特点，求解，进而可求结果.
【详解】
因为，
所以；
因为，
所以；
所以原式的结果为.
故选：B.
【点睛】
思路突破点：观察到所求式子的特征，发现，进而思考去求解，从而得到求解方案.
二、多选题
11．已知函数，则（
）
A．f(g(1))=11
B．g(f(1))=35
C．f(g(x))=3·2x+3x+2
D．
【答案】ACD
【分析】
由，分别代入求，，，.
【详解】
因为，，
所以，，
，
.
故选：ACD．
12．已知函数则下列结论正确的是（
）
A．是偶函数
B．
C．是增函数
D．的值域为
【答案】BD
【分析】
利用反例可判断AC错误，结合函数的解析式可判断BD为正确，从而可得正确的选项.
【详解】
，而，故不是偶函数，故A错误.
因为，故不是增函数，故C错误.
，故B正确.
当时，，当时，，
故的值域为，故D正确.
故选：BD.
13．已知函数为偶函数，且，则下列结论一定正确的是（
）
A．的图象关于点中心对称
B．是周期为的周期函数
C．的图象关于直线轴对称
D．为偶函数
【答案】AD
【分析】
由，可知的图象关于点中心对称；结合函数为偶函数可得是周期为以及关于直线轴对称，结合周期，对称中心和对称轴可判断出为偶函数
【详解】
因为，
所以的图象关于点中心对称，
又因为函数为偶函数，
所以是周期为的周期函数，且它的图象关于点中心对称和关于直线轴对称，所以为偶函数.
故选：AD.
14．已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当时，，则（
）
A．函数不是偶函数
B．函数的最小正周期为4
C．函数在上有3个零点
D．
【答案】AC
【分析】
根据是奇函数，为偶函数，可得的对称中心和对称轴，再结合时，解析式，作出的图象，可判断A、C的正误；根据对称轴和对称中心，即可得的最小正周期，可判断B的正误；根据的周期性及题干条件，代数化简，即可比较的大小，即可得答案.
【详解】
对于A：因为是奇函数，图象关于（0,0）对称，
所以图象关于（-1,0）对称，
因为为偶函数，图象关于x=0对称，
所以图象关于x=1对称，
又因为时，，作出图象，如下图所示
所以函数图象不关于y轴对称，即不是偶函数，故A正确；
对于B：因为是奇函数，
所以，即，
因为为偶函数，
所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以函数的最小正周期为8，故B错误；
对于C：由图象可得：在上图象与x轴有3个交点，所以函数在上有3个零点，故C正确；
对于D：由题意得：，，
所以，故D错误.
故选：AC
【点睛】
解题的关键是熟练掌握函数的周期性、对称性，并灵活应用，难点在于，根据对称性，得到周期性，再结合题意求解，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
15．已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】BCD
【分析】
分别求得和时的最小值，结合题意，即可得答案.
【详解】
当,，
当且仅当时,等号成立，
当时,为二次函数，要想在处取最小，
则对称轴要满足,且,
即，解得,
故选：BCD.
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查分析理解，求值化简的能力，考查分类讨论的思想，属中档题.
16．对于函数，下列结论中错误的是（
）
A．为奇函数
B．在定义域上是单调递减函数
C．的图象关于点对称
D．在区间上存在零点
【答案】ABD
【分析】
画出函数图象即可判断.
【详解】
，由图象可知，图象关于点对称，
因此不是奇函数，在定义域内函数为增函数，在上没有零点.
故选：ABD.
17．设函数且，下列关于该函数的说法正确的是（
）
A．若，则
B．若为R上的增函数，则
C．若，则
D．函数为R上奇函数
【答案】AB
【详解】
对于选项A，因为，所以，所以选项A正确；对于选项B，欲使得该函数为增函数，则满足，解得，所以选项B正确；对于选项C，使得，此时且，与条件不符，所以选项C错误；对于选项D，该函数为非奇非偶函数，所以选项D错误，综上只有选项AB符合题意，故选AB．
18．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德?牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，．若函数，则关于函数的叙述中正确的有（
）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．的值域是
D．是上的增函数
【答案】AC
【分析】
分类讨论求出的值域，利用高斯函数的定义求出的解析式，根据解析式可得答案.
【详解】
因为，
所以当，即或时，，，
当，即时，，，
所以，
所以为偶函数，的值域为.
故选：AC
【点睛】
关键点点睛：理解高斯函数的定义，求出的值域是解题关键，考查了分类讨论的思想以及数学运算能力.
三、填空题
19．函数的定义域是___________.
【答案】
【分析】
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义
的不等式组，求出解集即可.
【详解】
由题意可得,
,
解可得,
,
故函数的定义域为
.
故答案为：
20．已知函数，若，则______．
【答案】
【分析】
本题首先可根据得出，然后根据即可得出结果.
【详解】
因为，所以，，
则，
故答案为：.
21．设函数，则不等式的解集是___________.
【答案】
【分析】
由解析式可得图象，根据图象可确定自变量的大小关系，解不等式组可求得结果.
【详解】
函数的图象如图所示，
由图象可知：要满足不等式，则，
解得：.
故答案为：.
22．函数的值域为___________.
【答案】
【分析】
先求得函数的定义域和单调性，由此可求得函数的值域.
【详解】
由已知得，解得，所以的定义域为，
且时与都是减函数，所以在上是减函数，，所以的值域为.
故答案为：.
23．已知函数，若，使得成立，请写出一个符合条件的函数的表达式__________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】
由知，，变形得，由对称性画出的图象，找出一个能与之有交点的函数图象即可
【详解】
由，使得可得，
由与图象关于原点对称可得与图像关于原点对称，如图：
取时，在第三象限显然有一交点，故取符合，
故答案为：
【点睛】
本题考查函数与零点的综合应用，能有效利用对称性作图是解题关键，对于函数的对称性问题，有以下结论：
①与关于轴对称；
②与关于轴对称；
③与关于原点对称.
24．已知奇函数的定义域为，且当时，，若，则实数________．
【答案】1
【分析】
根据定义在上的奇函数的性质，可得且，代入计算即可得解；
【详解】
解：由为上的奇函数，得且，
所以，又，
所以，得．
故答案为：
25．函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)+2g(x)=ex，若对任意x∈(0，2]，不等式f(2x)﹣mg(x)≥0成立，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
由函数的奇偶性列方程组求解函数f(x)，g(x)的解析式，由f(2x)﹣mg(x)≥0分离参数得，通过换元法构造新函数结合基本不等式求取最值即可有结果．
【详解】
解：根据题意，函数f(x)?g(x)分别是定义在R上的偶函数?奇函数，且f(x)+2g(x)=ex，①
可得，即，②
联立①②，解得，
设，
由x∈(0，2]，可得，由在递增，可得，
对任意，不等式f(2x)﹣mg(x)≥0成立，
即
又由，则，
当且仅当时等号成立，
则的最小值为，
若在上恒成立，必有，
即的取值范围为
故答案为：
【点睛】
方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
26．已知，若，则实数的值是___________；若，则实数的取值范围是___________.
【答案】或
【分析】
（1）对分两种情况，可分别得到方程，再解方程；
（2）利用换元法令，将不等式转化为，再进一步解的取值范围；
【详解】
（1）当时，解得，
当时，解得或(舍).
（2）设，由得；
由，解得.
故答案为：或；.
【点睛】
本题考查分段函数的基本性质，分段不等式的求解，求解时注意自变量的取值范围.
27．已知定义在R上的偶函数满足，当时，，则___________；当时，___________.
【答案】2
【分析】
（1）由，得，所以是以4为周期的周期函数，利用周期性把所给的两个自变量转化到区间上，代入求值即可；
（2）先结合奇偶性求出的解析式，再结合周期性求出的解析式即可
【详解】
（1）由，得，
所以是以4为周期的周期函数.
所以.
（2）设，则.
因为是R上的偶函数，
所以当时，.
当时，，
所以.
28．已知函数的定义域为，且满足，，则的最小正周期为___________，的一个解析式可以为___________.
【答案】
(答案不唯一)
【分析】
通过得出，即可求出的最小正周期；通过得出函数关于点对称，然后列举一个满足关于点对称以及最小正周期为的方程即可.
【详解】
因为，
所以，的最小正周期为.
因为，
所以函数关于点对称，
满足关于点对称以及最小正周期为的方程可以为.
故答案为：；（答案不唯一）.
四、解答题
29．已知函数是定义在上的偶函数，当时，(，且).又直线恒过定点A，且点A在函数的图像上.
(1)
求实数的值；
(2)
求的值；
(3)
求函数的解析式.
【答案】(1)
；(2)
；(3)
.
【分析】
(1)
求出直线所过定点，由定点在函数图象上，求出的值；
(2)
利用偶函数的性质，求，进而可求出的值；
(3)
利用偶函数的性质求出时，的表达式.
【详解】
(1)
由直线过定点可得：，
由，解得，
所以直线过定点.
又因为时，，
所以，
有，.
(2)
，
因为为偶函数，所以，
所以.
(3)
由(1)知，当时，.
当时，，，
又为偶函数，所以，
综上可知，.
30．已知实数是常数，函数.
（1）求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，设，记的取值组成的集合为，则函数的值域与函数()的值域相同.试解决下列问题：
（i）求集合；
（ii）研究函数在定义域上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数的最小值.
【答案】（1）定义域为，为偶函数，理由见解析；（2）（i）；（ii）在上是减函数，证明见解析，最小值为.
【分析】
（1）由函数解析式，根据根式的性质列不等式组，即可求函数定义域，由函数奇偶性的定义说明的关系即可证函数的奇偶性.
（2）（i）由题设可得，由根式的性质，即可求的取值集合，（ii）任意的且，根据解析式判断大小即可确定单调性，利用与()的值域相同求最小值.
【详解】
（1）实数是常数，函数，
由，解得.
函数的定义域是.
对于任意，有,，即对都成立(又不恒为零)，
∴函数是偶函数.
（2）由，有.
（i）()，则.
，，即.
.
（ii）由（i）知：的定义域为.
对于任意的且，有.
又且(这里二者的等号不能同时成立)，
，即.
函数在上是减函数.
.
又函数的值域与函数的值域相同，
函数的最小值为.
【点睛】
关键点点睛：
（1）根据根式的性质求定义域，利用函数奇偶性的定义说明奇偶性；
（2）由根式性质，求换元后t的范围，利用单调性定义判断的单调性，进而由的值域求的最小值.
31．已知函数为实常数.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）函数是奇函数，理由见解析；（2）.
【分析】
（1）若函数为奇函数，由奇函数的定义可求得的值；又当时，且，函数是非奇非偶函数；
（2）对任意，不等式恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u的最大值．
【详解】
解：（1）当时，
即；故此时函数是奇函数；
因当时，，故
，且
于是此时函数既不是偶函数，也不是奇函数；
（2）因是奇函数，故由（1）知，从而；
由不等式，得，
令因，故
由于函数在单调递增，所以；
因此，当不等式在上恒成立时，
【点睛】
方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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