第一章
集合、常用逻辑用语、不等式
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式本章在高考中一般考查2～4个小题，选择题、填空题均可能出现．2.考查内容从考查内容看，集合主要考查两个方面：一是集合的概念及表示；二是集合的基本运算．常用逻辑用语主要从四个方面考查，分别为命题及其关系、充分必要条件的判断、逻辑联结词“或”“且”“非”以及全称量词与存在量词．不等式主要考查一元二次不等式的解法和简单的线性规划问题.
集合
[考试要求]
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.
3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和?表示．
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
(或N＋)
Z
Q
R
2．集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A?B或B?A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB或BA
集合相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
提醒：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
?UA＝{x|x∈U且x?A}
(1)对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
(2)A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( )
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( )
(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )
(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是( )
A．{a}?A
B．a?A
C．{a}∈A
D．a?A
D [a＝2?N，则a?A，故选D.]
2．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
(－2,1) (－∞，3) [∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，
∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．]
3．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则?U(A∪B)＝________.
[答案] {x|x是直角}
4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________．
64 [∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，
∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，
∴M∪N的子集有26＝64个．]
考点一 集合的含义与表示
解决与集合中的元素有关问题的一般思路
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
A [由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为CC＝9，故选A.]
2．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2
021＋b2
021＝________.
－1 [由已知得a≠0，则＝0，
所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2
021＋b2
021＝(－1)2
021＋02
021＝－1.]
3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.
0或 [当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.]
考点二 集合间的基本关系
判断集合关系的三种方法
[典例1] (1)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则
( )
A．AB
B．BA
C．A?B
D．B＝A
(2)(2020·武汉模拟)集合{x|－1＜x＜3，x∈N
}的非空子集个数为( )
A．3
B．4
C．7
D．8
(3)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2－a＜x＜1＋a}，若B?A，则实数a的取值范围为________．
(1)B (2)A (3)(－∞，2] [(1)由1－x2≥0得－1≤x≤1，则A＝{x|－1≤x≤1}，
由－1≤m≤1得0≤m2≤1，则B＝{x|0≤x≤1}，
所以BA，故选B.
(2){x|－1＜x＜3，x∈N
}＝{1,2}，其非空子集个数为3，故选A.
(3)A＝{x|－1＜x＜3}．①若B＝?，满足B?A，
此时2－a≥1＋a，即a≤.
②若B≠?，由B?A得，解得＜a≤2.
由①②知a的取值范围为(－∞，2]．]
点评：(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有B?A时，应分B＝?和B≠?两种情况讨论，确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入验证，否则易增解或漏解．
1．(2020·北京模拟)已知集合M＝{x∈R|x≥0}，N?M，则在下列集合中符合条件的集合N可能是( )
A．{0,1}
B．{x|x2＝1}
C．{x|x2＞0}
D．R
A [因为0∈M,1∈M，所以{0,1}?M，故选A.]
2．若集合A＝{1，m}，B＝{m2，m＋1}，且A＝B，则m＝( )
A．0
B．1
C．±1
D．0或1
A [由题意知解得m＝0，故选A.]
考点三 集合的基本运算
集合运算三步骤
集合的交、并、补运算
[典例2－1] (1)(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N
，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
(2)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B等于( )
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1，＋∞)
D．(0，＋∞)
(3)(2020·衡水中学模拟)已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2＋2，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg(x－1)}，则阴影部分所示集合为( )
A．[1,2]
B．(1,2)
C．(1,2]
D．[1,2)
(1)C (2)C (3)B [(1)由题意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C.
(2)∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，
∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.
(3)由Venn图可知，阴影部分所示集合为B∩(?UA)．
又A＝{y|y＝x2＋2，x∈R}＝[2，＋∞)．
∴?UA＝(－∞，2)．
又B＝{x|y＝lg(x－1)}＝{x|x＞1}．
∴B∩(?UA)＝(1,2)．
故选B.]
点评：集合运算的常用方法
(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．
(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点是实心还是空心．
根据集合的运算结果求参数
[典例2－2] (1)(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
A．－4
B．－2
C．2
D．4
(2)(2020·秦皇岛模拟)若集合A＝{x|x≥3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，则实数a的取值范围为( )
A．[2，＋∞)
B．
C．
D．(－∞，2]
(1)B (2)C [(1)易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B.
(2)B＝{x|x≥a或x≤a－1}，由A∪B＝R得3－2a≤a－1，解得a≥，故选C.]
1．(2019·天津高考)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则(A∩C)∪B＝( )
A．{2}
B．{2,3}
C．{－1,2,3}
D．{1,2,3,4}
D [由题意可知A∩C＝{1,2}，则(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}，故选D.]
2．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则( )
A．A∩B＝{x|x＜0}
B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x＞1}
D．A∩B＝?
A [B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，又A＝{x|x＜1}，
则A∩B＝{x|x＜0}．A∪B＝{x|x＜1}，故选A.]
3．已知集合A＝[1，＋∞)，B＝[0,3a－1]，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
B．
C．
D．(1，＋∞)
C [由A∩B≠?得3a－1≥1，解得a≥，故选C.]
PAGE命题及其关系、充分条件与必要条件
[考试要求]
1.理解命题的概念.
2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
提醒：在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0,2,4.
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
p?q
p是q的充分条件，q是p的必要条件
p?q，且q
p
p是q的充分不必要条件
pq，且q?p
p是q的必要不充分条件
p?q
p是q的充要条件
pq，且qp
p是q的既不充分也不必要条件
提醒：A是B的充分不必要条件是指：A?B且BA，
A的充分不必要条件是B是指：B?A且AB，
弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．
1．等价转化法判断充分条件、必要条件
p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．其他情况
依次类推．
2．充分、必要条件与集合的子集之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若A?B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若A?B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．下列命题是真命题的是( )
A．矩形的对角线相等
B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若整数a是素数，则a是奇数
D．命题“若x2＞0,
则x＞1”的逆否命题
A [令a＝c＝0，b＝d＝－1，则ac＜bd，故B错误；当a＝2时，a是素数但不是奇数，故C错误；取x＝－1，则x2＞0，但x＜1，故D错误．]
2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是( )
A．“若x＜y，则x2＜y2”
B．“若x＞y，则x2＞y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2”
D．“若x≥y，则x2≥y2”
C [根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.]
3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.]
4．命题“若α＝，则sin
α＝”的逆命题为________命题，否命题为________命题．(填“真”或“假”)
假 假 [若α＝，则sin
α＝的逆命题为“若sin
α＝，则α＝”是假命题；否命题为“若α≠，则sin
α≠”是假命题．]
考点一 命题及其关系
判断命题真假的两种方法
1．命题“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x＝y＝0”的逆否命题是( )
A．若x≠y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2＝0
B．若x＝y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0
C．若x≠0且y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0
D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0
D [x2＋y2＝0的否定为x2＋y2≠0，x＝y＝0的否定为x≠0或y≠0，因此逆否命题为“若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0，”故选D.]
2．给出命题：若a＞－3，则a＞6.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
B [原命题是假命题，则其逆否命题也是假命题．其逆命题“若a＞6，则a＞－3”是真命题，则其否命题为真命题，因此真命题的个数为2，故选B.]
3．下列命题为假命题的是( )
A．命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题
B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的否命题
C．命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题
D．命题“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题
D [对于A，逆命题“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题．
对于B，逆命题“若x＞|y|，则x＞y”为真命题，从而否命题也为真命题．
对于C，由Δ＝4－4m≥0知，原命题正确，从而逆否命题正确．
对于D，由A∩B＝B知，B?A，则原命题错误，从而逆否命题错误，故选D.]
点评：在判断一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假时，只需判断原命题和它的逆命题的真假即可．
考点二 充分、必要条件的判定
判断充分、必要条件的三种方法
[典例1] (1)设p：x<3，q：－1
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2019·浙江高考)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)设a，b∈R，则“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(1)B (2)A (3)B [(1)p：x<3，q：－1则q是p成立的充分不必要条件．故选B.
(2)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5＞4，不满足a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，选A.
(3)(等价转化法)问题转化为判断“a＋b＝3”是“a＝1且b＝2”的什么条件．由a＋b＝3a＝1且b＝2，反之，a＝1且b＝2?a＋b＝3，因此“a＋b＝3”是“a＝1且b＝2”的必要不充分条件，从而“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的必要不充分条件，故选B.]
点评：判断充要条件时，要双向推导，说明推不出时，可恰当取特殊值作反例．
1．已知a，b都是实数，那么“3a＞3b”是“a3＞b3”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [3a＞3b?a＞b?a3＞b3，反之a3＞b3?a＞b?3a＞3b，因此3a＞3b是a3＞b3的充要条件，故选C.]
2．(2020·赣州模拟)“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席
1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神．其中“到长城”是“好汉”的( )
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分条件
D．必要条件
D [设綈p为不到长城，推出綈q非好汉，即綈p?綈q，则q?p，即好汉?
到长城，所以“到长城”是“好汉”的必要条件，故选D.]
考点三 充分、必要条件的探求与应用
1．充分、必要条件的探求方法(与范围有关)
先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件．
2．利用充要条件求参数的两个关注点
(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．
充分条件、必要条件的探求
[典例2－1] 不等式x(x－2)＜0成立的一个必要不充分条件是( )
A．x∈(0,2)
B．x∈[－1，＋∞)
C．x∈(0,1)
D．x∈(1,3)
B [解不等式x(x－2)＜0得0＜x＜2，因此x∈(0,2)是不等式x(x－2)＜0成立的充要条件，则所求必要不充分条件应包含集合{x|0＜x＜2}，故选B.]
利用充分、必要条件求参数的取值范围
[典例2－2] 已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
[0,3] [由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.
又S为非空集合，
则
∴0≤m≤3.
即所求m的取值范围是[0,3]．]
[母题变迁]
把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围．
[解] 由x∈P是x∈S的充分条件，知P?S，则解得m≥9，
即所求m的取值范围是[9，＋∞)．
1．命题“?x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥9
B．a≤9
C．a≥10
D．a≤10
C [由题意知，a≥x2对x∈[1,3]恒成立，则a≥9.
因此a≥10是命题“?x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件，故选C.]
2．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是( )
A．a＋b＞0
B．a－b＞0
C．ab＞1
D．＞1
A [a＞0，b＞0?a＋b＞0，但a＋b＞0a＞0，b＞0.
因此a＋b＞0是a＞0，b＞0的一个必要不充分条件，故选A.]
3．设p：1＜x＜2；q：(x－a)(x－1)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
[2，＋∞) [由题意知{x|1＜x＜2}{x|(x－a)(x－1)≤0}，则a＞1，即{x|1＜x＜2}{x|1≤x≤a}，从而a≥2.]
PAGE 全称量词与存在量词、逻辑联结词
[考试要求]
1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.
2.理解全称量词和存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一个”“一切”等．
(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等．
2．全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题．
(2)含有存在量词的命题叫特称命题．
3．命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.
提醒：(1)命题的否定与否命题的区别：否命题是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；命题的否定即“非p”，只是否定命题p的结论．
(2)对含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
4．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词．
(2)简单复合命题的真值表：
p
q
綈p
綈q
p或q
p且q
真
真
假
假
真
真
真
假
假
真
真
假
假
真
真
假
真
假
假
假
真
真
假
假
含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p或q：“有真则真，全假才假”，即p，q中只要有一个真命题，则p或q为真命题，只有p，q都是假命题时，p或q才是假命题．
(2)p且q：“有假则假，全真才真”，即p，q中只要有一个假命题，则p且q为假命题，只有p，q都是真命题时，p且q才是真命题．
(3)綈p：綈p与p的真假相反．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．( )
(2)若命题p且q为假命题，则命题p，q都是假命题．( )
(3)“全等的三角形面积相等”是全称命题．( )
(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．命题“对任意x∈R，x2＋x≥0”的否定是( )
A．存在x∈R，x2＋x≤0
B．存在x∈R，x2＋x＜0
C．对任意x∈R，x2＋x≤0
D．对任意x∈R，x2＋x＜0
B [由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．故选B.]
2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．]
3．下列命题中的假命题是( )
A．存在x∈R，lg
x＝1
B．存在x∈R，sin
x＝0
C．对任意x∈R，x3＞0
D．对任意x∈R,2x＞0
C [当x＝10时，lg
10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin
0＝0，则B为真命题；当x≤0时，x3≤0，则C为假命题；由指数函数的性质知，对任意x∈R,2x＞0，则D为真命题．故选C.]
4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．
存在一个实数的平方不是正数 [全称命题的否定是特称命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]
考点一 全称命题、特称命题
1.全称命题与特称命题的否定
(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否结论：对原命题的结论进行否定．
2．全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
全称命题、特称命题的否定
[典例1－1] (1)命题“对任意x＞0，＞0”的否定是( )
A．存在x＜0，≤0
B．存在x＞0,0≤x≤1
C．对任意x＞0，≤0
D．对任意x＜0,0≤x≤1
(2)已知命题p：存在m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则綈p为( )
A．存在m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
B．对任意m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
C．存在m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
D．对任意m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
(1)B (2)D [(1)因为＞0，
所以x＜0或x＞1，
所以＞0的否定是0≤x≤1，
所以命题的否定是存在x＞0,0≤x≤1，故选B.
(2)由特称命题的否定可得綈p为“对任意m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]
点评：(1)＞0的否定不是≤0，而是≤0或x＝1，可先求出不等式＞0的解集，再写＞0的否定．
(2)改写量词时自变量的范围不变．
全称命题、特称命题的真假判断
[典例1－2] (1)下列命题中的假命题是( )
A．对任意x∈R，x2≥0
B．对任意x∈R,2x－1＞0
C．存在x∈R，lg
x＜1
D．存在x∈R，sin
x＋cos
x＝2
(2)下列四个命题：
p1：存在x∈(0，＋∞)，x＜x；
p2：存在x∈(0,1)，logx＞logx；
p3：对任意x∈(0，＋∞)，x＞logx；
p4：对任意x∈，x＜logx.
其中的真命题是( )
A．p1，p3
B．p1，p4
C．p2，p3
D．p2，p4
(1)D (2)D [(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg
x＜1，所以C正确；因为sin
x＋cos
x＝sin，所以－≤sin
x＋cos
x≤，所以D错误．
(2)对于p1，当x∈(0，＋∞)时，总有x＞x成立，故p1是假命题；对于p2，当x＝时，有1＝log＝log＞log
成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝x与对数函数y＝logx在(0，＋∞)上的图像，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝x与对数函数y＝log
x在上的图像可以判断p4是真命题．]
点评：因为命题p与綈p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．
1．命题“对任意x∈R，存在n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．对任意x∈R，存在n∈N
，使得n＜x2
B．对任意x∈R，对任意n∈N
，使得n＜x2
C．存在x∈R，存在n∈N
，使得n＜x2
D．存在x∈R，对任意n∈N
，使得n＜x2
D [改写量词为：存在x∈R，对任意n∈N
，否定结论为：n＜x2，故选D.]
2．在下列给出的四个命题中，为真命题的是( )
A．对任意a∈R，存在b∈Q，a2＋b2＝0
B．对任意n∈Z，存在m∈Z，nm＝m
C．对任意n∈Z，存在m∈Z，n＞m2
D．对任意a∈R，存在b∈Q，a2＋b2＝1
B [对于A：当a＝2时，a2＋b2＝0不成立，故A错误；
对于B：当m＝0时，nm＝m恒成立，故B正确；
对于C：当n＝－1时，n＞m2不成立，故C错误；
对于D：当a＝2时，a2＋b2＝1不成立，故D错误．]
考点二 含有逻辑联结词的命题
判断含有逻辑联结词命题真假的三个步骤
[典例2] (1)在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p或q表示( )
A．甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米
C．甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米
D．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米
(2)已知命题p：存在x∈R，使得lg
cos
x＞0；命题q：对任意x＜0,3x＞0，则下列命题为真命题的是( )
A．p且q
B．p或(綈q)
C．(綈p)且(綈q)
D．p或q
(1)D (2)D [(1)p或q表示甲的试跳成绩超过2米或乙的试跳成绩超过2米．即甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米，故选D.
(2)由－1≤cos
x≤1，得lg
cos
x≤0，所以命题p为假命题．
当x∈R时，3x＞0，故命题q为真命题．
所以p或q为真命题，p且q为假命题，p或(綈q)为假命题，(綈p)且(綈q)为假命
题，故选D.]
1．“a2＋b2≠0”的含义为( )
A．a和b都不为0
B．a和b至少有一个为0
C．a和b至少有一个不为0
D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0
C [a2＋b2＝0?a＝0且b＝0，因此a2＋b2≠0?a≠0或b≠0，故选C.]
2．已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；命题q：存在x∈R，|x＋1|≤x，则( )
A．(綈p)或q为真命题
B．p且(綈q)为假命题
C．p且q为真命题
D．p或q为真命题
D [由a＞b?2a＞2b知，命题p是真命题，对x∈R，都有|x＋1|＞x，因此命题q是假命题，从而p或q为真命题，故选D.]
考点三 根据命题的真假求参数的取值范围
1.根据复合命题的真假求参数的步骤
(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围．
2．根据全(特)称命题的真假求参数的思路
与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
[典例3] 已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：对任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．
[解] 由p或q为假命题知p、q均为假命题，则綈p为真命题，即对任意x∈R，mx2＋1＞0为真命题，则有m≥0，当q为真命题时，有Δ＝m2－4＜0，即－2＜m＜2，因此由p，q均为假命题得即m≥2.
所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．
[母题变迁]
1．在本例条件下，若p且q为真，求实数m的取值范围．
[解] 依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m＜0；
当q是真命题时，有－2＜m＜2，
由
可得－2＜m＜0.
所以实数m的取值范围为(－2,0)．
2．在本例条件下，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围．
[解] 若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．
当p真q假时
所以m≤－2；
当p假q真时
所以0≤m＜2.
所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．
点评：(1)当p是全称(特称)命题且为假命题时，要转化为綈p为真命题去处
理，无非转化为恒成立或能成立问题．
(2)对于“p且q为假，p或q为真”，建议先分别求出p，q为真的参数范围，再分p真q假，p假q真讨论．
1．若命题“存在x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
[－，] [命题“存在x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，
即“对任意x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，
故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.]
2．已知p：x2＋2x－3＞0；q：＞1.若綈q且p为真，则x的取值范围是
________．
(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) [由綈q且p为真知p真，q假，当p为真命题
时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，而q为真命题时，由＞1解得2＜x＜3.
则p真q假时有，解得x≥3或1＜x≤2或x＜－3.
所以x的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．]
PAGE 不等关系与不等式
[考试要求]
1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.
2.了解不等式(组)的实际背景．
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a>c；(单向性)
(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c；(双向性)
(4)加法法则：a>b，c>d?a＋c>b＋d；(单向性)
(5)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；(单向性)
a>b，c<0?ac(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0?ac>bd；(单向性)
(7)乘方法则：a>b>0?an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)
(8)开方法则：a>b>0?>(n≥2，n∈N)．(单向性)
提醒：同向不等式可相加，不能相减．
1．倒数性质
(1)a＞b，ab＞0?；
(2)a＜0＜b?；
(3)a＞b＞0，d＞c＞0?.
2．分数性质
若a＞b＞0，m＞0，则
(1)真分数性质：
(b－m＞0)；
(2)假分数性质：
(b－m＞0)．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＞b，则ac2＞bc2.( )
(2)若ac2＞bc2，则a＞b.( )
(3)若＞1，则a＞b.( )
(4)若a＋c＞b＋c，则a＞b.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．设a，b，c∈R，且a＞b，则( )
A．ac＞bc
B．＜
C．a2＞b2
D．a3＞b3
D [取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D.]
2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则( )
A．ad＞bc
B．ad＜bc
C．ac＞bd
D．ac＜bd
D [c＜d＜0?－c＞－d＞0，则有－ac＞－bd，所以ac＜bd，故选D.]
3．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－c＜b－d
B．ac＜bd
C．a＋c＞b＋d
D．a＋d＞b＋c
C [由a＞b，c＞d得a＋c＞b＋d，故选C.]
4．设a＝＋，b＝＋，则a与b的大小关系为( )
A．a＝b
B．a＞b
C．a＜b
D．无法判断
B [a2＝17＋2，b2＝17＋2，
由2＞2，知a2＞b2，又a＞0，b＞0，
所以a＞b，故选B.]
考点一 比较两个数(式)的大小
比较两个数或代数式的大小的三种方法
(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．
步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．
变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．
(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．
步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．
(3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较．
[典例1] (1)若0＜x＜1，p，q∈N
，则M＝1＋xp＋q与N＝xp＋xq的大小关系为
( )
A．M＞N
B．M＜N
C．M＝N
D．不确定
(2)若a＝，b＝，则a________b．(填“＞”或“＜”)
(1)A (2)＜ [(1)(1＋xp＋q)－(xp＋xq)＝(1－xp)＋xq(xp－1)＝(1－xp)(1－xq)，
∵0＜x＜1，p，q∈N
，
∴1－xp＞0,1－xq＞0，
∴(1－xp)(1－xq)＞0，
∴1＋xp＋q＞xp＋xq，即M＞N，故选A.
(2)法一：(作商法)易知a＞0，b＞0，＝＝＝log89＞1，所以b＞a.
法二：(作差法)b－a＝－＝(2ln
3－3ln
2)
＝(ln
9－ln
8)＞0.
所以b＞a.]
1．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有( )
A．M＞N
B．M≥N
C．M＜N
D．M≤N
A [M－N＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，∴M＞N，故选A.]
2．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是
( )
A．A≤B
B．A≥B
C．A＜B
D．A＞B
B [因为A≥0，B≥0，A2－B2＝a＋2＋b－(a＋b)＝2≥0，所以A≥B.故选B.]
考点二 不等式性质的应用
1.判断不等式是否成立的方法
(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件．
(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．
(3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
2．利用不等式的性质求取值范围的方法
(1)已知x，y的范围，求F(x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．
(2)已知f(x，y)，g(x，y)的范围，求F(x，y)的范围．
可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．
判断不等式是否成立
[典例2－1] (1)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.＞
B.＜
C.＞
D.＜
(2)(2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则( )
A．ln(a－b)＞0
B．3a＜3b
C．a3－b3＞0
D．|a|＞|b|
(1)B (2)C [(1)由c＜d＜0得＜＜0，则－＞－＞0，
∴－＞－，∴＜，故选B.
(2)由函数y＝ln
x的图像(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln(a－b)<0，故A错误；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B错误；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b点评：本例第(1)题也适合用特殊值法求解．
求代数式的取值范围
[典例2－2] (1)已知－1＜x＜4,2＜y＜3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．
(2)已知－1＜x＋y＜4,2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________．
(1)(－4,2) (1,18) (2)(3,8) [(1)∵－1＜x＜4,2＜y＜3，
∴－3＜－y＜－2，
∴－4＜x－y＜2；
由－1＜x＜4,2＜y＜3得
－3＜3x＜12,4＜2y＜6，
∴1＜3x＋2y＜18.
(2)设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)，则
2x－3y＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
∴，解得
∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)．
由－1＜x＋y＜4得－2＜－(x＋y)＜，
由2＜x－y＜3得5＜(x－y)＜.
∴3＜2x－3y＜8.]
点评：x＋y，x－y,2x－3y看作三个整体，整体中x，y相互制约．
1．“a＞b＞0”是“a2＋a＞b2＋b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由a＞b＞0得a2＞b2，∴a2＋a＞b2＋b.
反之由a2＋a＞b2＋b可得(a2＋a)－(b2＋b)＞0，
即(a－b)(a＋b＋1)＞0，
∴或
即或无法推出a＞b＞0.
因此，“a＞b＞0”是“a2＋a＞b2＋b”的充分不必要条件，故选A.]
2．已知－1＜x＜y＜3，则x－y的取值范围是________．
(－4,0) [由－1＜x＜y＜3得，－1＜x＜3，－3＜－y＜1.
∴－4＜x－y＜4，又x＜y.
所以x－y＜0.
∴－4＜x－y＜0.]
3．已知角α，β满足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．
(－π，2π) [设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)，则
3α－β＝(m＋n)α＋(n－m)β.
∴，解得，
∴3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)．
由－＜α－β＜得－π＜2(α－β)＜π，
∴－π＜3α－β＜2π.]
PAGE 一元二次不等式及其解法
[考试要求]
1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.
2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图．
1．一元二次不等式
把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式
，称为一元二次不等式，其一般形式为ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
2．一元二次不等式的解法步骤
(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．
(2)求出相应的一元二次方程的根．
(3)利用二次函数的图像与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
提醒：二次项系数为正的一元二次不等式的解集求法：“大于取两边，小于取中间”．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
提醒：解集的端点是对应方程的根．
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，x∈R恒成立?a＞0且Δ＜0；
(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，x∈R恒成立?a＜0且Δ＜0.
2．简单分式不等式
(1)≥0?
(2)＞0?f(x)g(x)＞0.
3．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立?a＞f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1}
B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|x＜－2或x＞1}
D．{x|x＜－1或x＞2}
A [方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A.]
2．已知集合A＝{x|x2－x－6＞0}，则?RA等于( )
A．{x|－2＜x＜3}
B．{x|－2≤x≤3}
C．{x|x＜－2}∪{x|x＞3}
D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}
B [由x2－x－6＞0得x＞3或x＜－2，即A＝{x|x＜－2或x＞3}，∴?RA＝
{x|－2≤x≤3}，故选B.]
3．关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集为?，则a的取值范围是________．
(9，＋∞) [由题意知，x2－6x＋a＞0的解集为R，则Δ＝(－6)2－4a＜0，解得a＞9.]
4．关于x的不等式－x2＋2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，则m＝________.
1 [由题意知，x＝2是方程－x2＋2x＝mx的一个根，则2m＝－×22＋2×2＝2，解得m＝1.]
考点一 不含参数的一元二次不等式
解一元二次不等式的四个步骤
1．不等式2x＋3－x2＞0的解集是( )
A．{x|－1＜x＜3}
B．{x|x＞3或x＜－1}
C．{x|－3＜x＜1}
D．{x|x＞1或x＜－3}
A [不等式2x＋3－x2＞0可化为x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜3，故选A.]
2．已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是( )
A．{x|2B．{x|x≤2或x≥3}
C.
D.
B [∵不等式ax2－bx－1>0的解集是，
∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，
∴
解得
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]
3．不等式0＜x2－x－2≤4的解集是( )
A．{x|－2≤x＜－1}
B．{x|2＜x≤3}
C．{x|－2≤x≤3}
D．{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}
D [原不等式等价于????－2≤x＜－1或2＜x≤3，故选D.]
考点二 含参数的一元二次不等式
解含参不等式的分类讨论依据
[典例1] 解关于x的不等式
(1)x2＋ax＋1＜0(a∈R)；
(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0.
[解] (1)Δ＝a2－4.
①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式无解．
②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，
则原不等式的解集为
.
综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式无解．
当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为
.
(2)若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，
解得x＞1.
若a＜0，原不等式等价于(x－1)＞0，
解得x＜或x＞1.
若a＞0，原不等式等价于(x－1)＜0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)＜0无解；
②当a＞1时，＜1，解(x－1)＜0，得＜x＜1；
③当0＜a＜1时，＞1，解(x－1)＜0，得1＜x＜.
综上所述，当a＜0时，解集为；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；
当a＝1时，解集为?；
当a＞1时，解集为.
点评：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．
(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．
(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．
解关于x的不等式12x2－ax＞a2(a∈R)．
[解] 原不等式可化为12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a＞0时，不等式的解集为∪；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a＜0时，不等式的解集为∪.
考点三 一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题的解法
(1)函数法(图像法)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
①f(x)＞0在x∈R上恒成立?a＞0且Δ＜0；
②f(x)＜0在x∈R上恒成立?a＜0且Δ＜0；
③当a＞0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立?或或
f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立?
④当a＜0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立?f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立?或或
(2)最值法
对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题．
a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max，
a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min.
在R上的恒成立问题
[典例2－1] 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．[－2,2]
C．(－2,2]
D．(－∞，－2)
C [当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0，对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2＜a＜2.
所以实数a的取值范围是(－2,2]．]
点评：本题在求解中常因忽略“a－2＝0”的情形致误，只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况．
在给定区间上的恒成立问题
[典例2－2] (1)若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－3]
B．(－∞，0]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，1]
(2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0,2]恒有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是( )
A．
B．[－1,1]
C．(－∞，1]
D．
(1)A (2)C [(1)法一：(函数法)令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，
得
解得a≤－3，故选A.
法二：(最值法)当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2])．而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3，故选A.
(2)f(x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0,2]恒有f(x)≥0成立，即2a≤x＋在x∈(0,2]上恒成立．因为x＋≥2，当且仅当x＝1时取最小值2，所以2a≤2，即a≤1.故选C.]
[母题变迁]
若将本例(1)改为“若存在x∈[－1,2]，使得x2－2x＋a≤0(a为常数)，试求a的取值范围．”
[解] 由题意知a≤－x2＋2x在x∈[－1,2]时有解．
则a≤(－x2＋2x)max，x∈[－1,2]，
又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，x∈[－1,2]，
∴a≤1，
即a的取值范围是(－∞，1]．
点评：本例T(2)若用函数法求解有三种情况，较复杂．
1．若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3,0)
B．[－3,0)
C．[－3,0]
D．(－3,0]
D [当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立．
则
解得－3＜k＜0.
综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．故选D.]
2．(2021·深圳中学模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．
[∵满足10恒成立，可知a≠0，
∴a>＝2，满足1∵<<1,2∈，
实数a的取值范围为.]
PAGE 基本不等式
[考试要求]
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．几个重要的不等式
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)x＋y≥2，若xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2(简记：积定和最小)．
(2)xy≤2，若x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大)．
提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视．
重要不等式链
若a≥b＞0，则a≥≥≥≥≥b.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．( )
(2)若a>0，则a3＋的最小值为2.( )
(3)函数f(x)＝sin
x＋，x∈(0，π)的最小值为4.( )
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
C [xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]
2．若x＞0，则x＋( )
A．有最大值，且最大值为4
B．有最小值，且最小值为4
C．有最大值，且最大值为2
D．有最小值，且最小值为2
B [x＞0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立．故选B.]
3．若把总长为20
m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
25 [设一边长为x
m，则另一边长可表示为(10－x)m，
由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5
m时面积取到最大值25
m2.]
4．已知x＞2，则x＋的最小值为________．
6 [∵x＞2，∴x＋＝(x－2)＋＋2≥6.]
考点一 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的三种方法
直接法求最值
[典例1－1] (1)若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)·(b＋1)的最大值为
( )
A. B．2 C. D．4
(2)ab＞0，则的最小值为( )
A．2
B.
C．3
D．2
(3)(2020·天津高考)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
(1)C (2)A (3)4 [(1)(a＋1)(b＋1)≤2＝2＝，当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝时等号成立，故选C.
(2)∵ab＞0，∴＝＋≥2＝2，
当且仅当＝，即a＝b时等号成立，故选A.
(3)由a＞0，b＞0，ab＝1得＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当即时取等号，
因此＋＋的最小值为4.]
点评：解答本例T(2)，T(3)时，先把待求最值的式子变形，这是解题的关键．
配凑法求最值
[典例1－2] (1)(2020·大连模拟)已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是( )
A．
B．
C．3
D．9
(2)已知不等式2x＋m＋＞0对一切x∈恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m＞－6
B．m＜－6
C．m＞－7
D．m＜－7
(3)若－4＜x＜1，则f(x)＝( )
A．有最小值1
B．有最大值1
C．有最小值－1
D．有最大值－1
(1)C (2)A (3)D [(1)∵a>0，b>0,4a＋3b＝6，
∴a(a＋3b)＝·3a(a＋3b)≤2＝×2＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a(a＋3b)的最大值是3.
(2)由题意知，－m＜2x＋对一切x∈恒成立，又x≥时，x－1＞0，
则2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当2(x－1)＝，即x＝2时等号成立．
∴－m＜6，即m＞－6，故选A.
(3)∵－4＜x＜1，∴0＜1－x＜5，
∴f(x)＝＝＝－·≤－×2＝－1，当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立．
∴函数f(x)有最大值－1，无最小值，故选D.]
点评：形如f(x)＝的函数，可化为f(x)＝的形式，再利用基本不等式求解，如本例T(3)．
常数代换法求最值
[典例1－3] (1)(2020·深圳市福田区模拟)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值为( )
A.＋
B.＋
C．3＋2
D.＋
(2)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
(1)A (2)4 [(1)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1，
又a－1＞0，则＋＝[(a－1)＋b]
＝1＋＋＋≥＋2＝＋.
当且仅当＝，a＋b＝2时取等号．
则＋的最小值为＋.故选A.
(2)因为a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，等号成立．]
[母题变迁]
1．若本例(2)条件不变，求的最小值．
[解] ＝
＝·
＝5＋2≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
2．本例(2)中把“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，求＋的最小值．
[解] 因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.
所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋.
当且仅当a＝b时，等号成立．
点评：常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值．
1．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．12
B．4
C．
D．
D [由题意知3a·3b＝(3)2，即3a＋b＝33，
∴a＋b＝3，∴＋＝(a＋b)
＝≥＝，
当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，故选D.]
2．(2019·天津高考)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为________．
4 [∵x＞0，y＞0，x＋2y＝5，
∴＝＝＝2＋≥2＝4，
当且仅当2＝，即，即或时等号成立，因此的最小值为4.]
考点二 基本不等式的实际应用
利用基本不等式解决实际问题的三个注意点
(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f(x)＝x＋(a＞0)的单调性．
[典例2] (2020·黄山模拟)习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”．常州市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与肥料费用10x(单位：元)满足如下关系：W(x)＝其他成本投入(如培育管理等人工费)为20x(单位：元)．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为f(x)(单位：元)．
(1)求f(x)的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？
[解] (1)由已知f(x)＝10W(x)－20x－10x＝10W(x)－30x＝
则f(x)＝
(2)由(1)f(x)＝变形得
f(x)＝
当0≤x≤2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
且f(0)＝100＜f(2)＝240，
∴f(x)max＝f(2)＝240；
当2＜x≤5时，f(x)＝510－30，
∵x＋1＋≥2＝8，
当且仅当＝1＋x时，即x＝3时等号成立．
∴f(x)max＝510－30×8＝270，
因为240＜270，所以当x＝3时，f(x)max＝270.
所以，当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是270元．
点评：解答本例第(2)问时，把f(x)＝－30x变形为f(x)＝510－30是解题的关键．
1．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
30 [一年的总运费为6×＝(万元)．
一年的总存储费用为4x万元．
总运费与总存储费用的和为万元．
因为＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，
所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]
2．一批救灾物资随51辆汽车从某市以v
km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400
km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于
km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要________小时．
10 [设全部物资到达灾区所需时间为t小时，
由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km＋400
km所用的时间，
因此，t＝＝＋≥2＝10.
当且仅当＝，即v＝80时取“＝”．
故这些汽车以80
km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．]
备考技法1 利用均值不等式连续放缩求最值
当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性.
(1)已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为________．
(2)若x，y是正数，则2＋2的最小值是________．
(1)4 (2)4 [(1)由题意a＞b＞0，则a－b＞0，
所以b(a－b)≤2＝，
所以a2＋≥a2＋≥2＝4，
当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号，所以a2＋的最小值为4.
(2)∵x＞0，y＞0，
∴2＋2≥2.
又2＝2xy＋＋2≥4，
∴2＋2≥4，当且仅当
即x＝y＝时等号成立．]
[评析] 第一次使用基本不等式是对原不等式的一次放缩，并为第二次使用基本不等式创造了条件，因此要使结果为原不等式的最值，两次使用基本不等式等号成立的条件应该是一致的．
若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．
4 [因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.]
PAGE二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
[考试要求]
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2．线性规划中的相关概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
关于x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )
(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( )
A．(0,0)
B．(－1,1)
C．(－1,3)
D．(2，－3)
C [∵－1＋3－1＞0，∴点(－1,3)不在x＋y－1≤0表示的平面区域内，故选C.]
2．不等式组表示的平面区域是( )
A
B
C
D
C [把点(0,0)代入不等式组可知，点(0,0)不在x－3y＋6＜0表示的平面区域内，点(0,0)在x－y＋2≥0表示的平面区域内，故选C.]
3．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1
400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)
[用表格列出各数据：
A
B
总数
产品吨数
x
y
资金
200x
300y
1
400
场地
200x
100y
900
所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1
400,200x＋100y≤900.
]
4．设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
3 [根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z.
作出直线y＝－x，并平移该直线，
当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取得最大值．
由图知A(3,0)，故zmax＝3＋0＝3.]
考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
1.求平面区域面积的方法
(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．
2．根据平面区域确定参数的方法
在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．
[典例1] (1)不等式组表示的平面区域的面积为( )
A．1
B.
C．2
D.
(2)已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数k的值为( )
A．－1
B．－
C．
D．1
(1)A (2)D [(1)不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求平面区域的面积．
求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1，故选A.
(2)由题意知k>0，且不等式组所表示的平面区域如图所示．
∵直线y＝kx－1与x轴的交点为，
直线y＝kx－1与直线y＝－x＋2的交点为
，
∴三角形的面积为××＝，
解得k＝1或k＝，经检验，k＝不符合题意，
∴k＝1.]
点评：计算平面区域的面积时，根据平面区域的形状，先求出有关的交点坐标、线段长度，最后根据相关图形的面积公式进行计算，如果是不规则图形，则可通过割补法计算面积．
1．不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A. B. C. D.
C [由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC的面积为×1×＝.故选C.]
2．若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是( )
A．a≥
B．0C．1≤a≤
D．0D [作出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．]
考点二 求目标函数的最值问题
求线性目标函数的最值
求线性目标函数(z＝ax＋by)最值的一般步骤
[典例2－1] (1)(2019·北京高考)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为( )
A．－7
B．1
C．5
D．7
(2)(2020·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为________．
(1)C (2)1 [(1)由题意作出可行域如图阴影部分所示.
设z＝3x＋y，y＝z－3x，当直线l0：y＝z－3x经过点C(2，－1)时，z取最大值5.故选C.
(2)如图，作出约束条件所表示的可行域．易得A点的坐标为A(1,0)，当目标函数经过A点时，z取得最大值，可得z＝x＋7y的最大值为1＋7×0＝1.]
点评：(1)求解此类问题的关键是明确目标函数的几何意义，倘若本例T(2)目标函数换成z＝x－7y，则zmax＝－7×(－1)＝.
(2)解答本例T(1)时，首先把约束条件变为其次设目标函数为z＝3x＋y.
求非线性目标函数的最值
常见的两种非线性目标函数及其几何意义
[典例2－2] 实数x，y满足
(1)若z＝，则z的取值范围为________；
(2)若z＝x2＋y2，则z的取值范围为________．
(1)[2，＋∞) (2)[1,5] [由作出可行域，如图中阴影部分所示．
(1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率．
因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．
由得B(1,2)，
所以kOB＝＝2，即zmin＝2，
所以z的取值范围是[2，＋∞)．
(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．
因此x2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2.
由得A(0,1)，
所以OA2＝()2＝1，
OB2＝()2＝5，
所以z的取值范围是[1,5]．]
点评：求定点到区域内动点的距离的最小值时，要数形结合，可能转化为点到直线的距离问题．
求参数的值或取值范围
求解线性规划中含参问题的两种基本方法
(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围．
(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
[典例2－3] (1)若实数x，y满足不等式组其中m＞0，且x＋y的最大值为9，则实数m＝________.
(2)(2020·湖南湘东六校联考)若变量x，y满足且z＝ax－y的最小值为－1，则实数a的值为________．
(1)1 (2)2 [(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z＝x＋y，则y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过点A时，x＋y有最大值，此时x＋y＝9，由得A(4,5)，将A(4,5)代入x－my＋1＝0得4－5m＋1＝0，解得m＝1.
(2)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若a≥3，则直线z＝ax－y经过点B(1,2)时，z取得最小值，由a－2＝－1，得a＝1，与a≥3矛盾；若0若a≤0，则直线z＝ax－y经过点A(2,5)或C(3,2)时，z取得最小值，此时2a－5＝－1或3a－2＝－1，解得a＝2或a＝，与a≤0矛盾，综上可知实数a的值为2.]
点评：当参数在目标函数中时，应把斜率值的大小对最优解的影响作为解题突破口．
1．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．
9 [作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．
由
解得
即C点坐标为(3,0)，
故zmax＝3×3－0＝9.]
2．若实数x，y满足约束条件则的最小值为________．
－ [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为表示平面区域内的点与定点P(0,1)连线的斜率．由图知，点P与点A连线的斜率最小，所以min＝kPA＝＝－.]
3．已知x，y满足约束条件且z＝x＋3y的最小值为2，则常数k＝________.
－2 [作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由z＝x＋3y得y＝－x＋，结合图形可知当直线y＝－x＋过点A时，z最小，此时x＋3y＝2.
由得A(2,0)，又点A(2,0)在直线x＋y＋k＝0上，则2＋k＝0，解得k＝－2.]
考点三 线性规划的实际应用
解线性规划应用问题的一般步骤
[典例3] (2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，
并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
[解] (1)由已知，x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分中的整数点．
图1
图2
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一组平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值就最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得则点M的坐标为(6,3)．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．
点评：本例中x，y∈N，因此二元一次不等式组所表示的平面区域是整数点组成的．
(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5
kg，乙材料1
kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5
kg，乙材料0.3
kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2
100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150
kg，乙材料90
kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
216
000 [设生产A产品x件，B产品y件，则
目标函数z＝2
100x＋900y.
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．
当直线z＝2
100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2
100×60＋900×100＝216
000(元)．]
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