函数
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式本章在高考中一般为1～3个客观题．2.考查内容高考对本章内容的考查主要涉及指数、对数的运算，指数函数、对数函数的图像与性质，分段函数的求值，函数奇偶性的判断，函数奇偶性、单调性及周期性的综合应用，函数的零点等内容.
函数及其表示
[考试要求]
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系f：A→B
如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)和它对应
集合A与B存在着对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，集合B中总有唯一的元素y与之对应
名称
把对应关系f叫作定义在集合A上的函数
称这种对应为从集合A到集合B的映射
记法
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
集合A叫作函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．
(4)函数的表示法：
表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．
提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
常见函数定义域的求法
类型
x满足的条件
(n∈N
)
f(x)≥0
(n∈N
)
f(x)有意义
与[f(x)]0
f(x)≠0
logaf(x)(a＞0且a≠1)
f(x)＞0
af(x)(a＞0且a≠1)
f(x)有意义
tan[f(x)]
f(x)≠＋kπ，k∈Z
四则运算组成的函数
各个函数定义域的交集
实际问题
使实际问题有意义
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( )
(3)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一个函数．( )
(4)函数f(x)的图像与直线x＝1最多有一个交点．( )
(5)已知f(x)＝m(x∈R)，则f(m3)＝m3.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
二、教材习题衍生
1．函数y＝＋的定义域为( )
A.
B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C.∪(3，＋∞)
D．(3，＋∞)
C [由题意知
解得x≥且x≠3.]
2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A．y＝()2
B．y＝＋1
C．y＝＋1
D．y＝＋1
B [y＝＋1＝x＋1，且函数定义域为R，故选B.]
3．函数y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)，则a的值为( )
A．－1
B．－
C．1
D．2
C [由题意知解得a＝1，故选C.]
4．已知f(x)＝＋，若f(－2)＝0，则a的值为________．
1 [f(－2)＝＋＝0，即＝－1，解得a＝1.]
考点一 求函数的定义域
1．已知函数的具体解析式求定义域的方法
构造使函数有意义的不等式(组)求解即可，详如[常用结论]所示．
2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围．
已知函数解析式求定义域
[典例1－1] (1)函数y＝的定义域是( )
A．(－1,3)
B．(－1,3]
C．(－1,0)∪(0,3)
D．(－1,0)∪(0,3]
(2)函数y＝＋(2x－5)0的定义域为________．
(1)D (2)
[(1)由题意知即解得－1＜x＜0或0＜x≤3，故选D.
(2)由题意知即
解得2＜x＜3且x≠，即函数的定义域为.]
求抽象函数的定义域
[典例1－2] (1)已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为( )
A．(－2,0)
B．(－2,2)
C．(0,2)
D．
(2)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
(1)C (2)[－1,2] [(1)由题意得即解得0＜x＜2，
即函数g(x)的定义域为(0,2)，故选C.
(2)由题意知－≤x≤，则－1≤x2－1≤2，
即函数y＝f(x)的定义域为[－1,2]．]
点评：函数f(g(x))的定义域指的是自变量x的取值范围，而不是g(x)的取值范围，如本例T(2)．
1．若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(x)的定义域为________，f(log2
x)的定义域为________．
[，4] [由－1≤x≤1得2－1≤2x≤2，即≤2x≤2，所以f(x)的定义域为，由≤log2x≤2，即log22≤log2x≤log222，
得≤x≤4，所以函数f(log2
x)的定义域为[，4]．]
2．(2020·重庆模拟)已知函数f(x)＝ln(－x－x2)，则函数f(2x＋1)
的定义域为________．
[由－x－x2＞0得－1＜x＜0，即f(x)的定义域为(－1,0)，
由－1＜2x＋1＜0得－1＜x＜－，
所以函数f(2x＋1)的定义域为.]
考点二 求函数的解析式
求函数解析式的四种方法
[典例2] (1)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．
(2)已知f(1－sin
x)＝cos2
x，则f(x)的解析式为________．
(3)已知f
＝x2＋，则f(x)＝________.
(4)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f
·－1，则f(x)＝________.
(1)f(x)＝x2－x＋3 (2)f(x)＝2x－x2(0≤x≤2) (3)x2－2(x≥2或x≤－2) (4)＋ [(1)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.
所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2，所以所以
所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
(2)(换元法)令1－sin
x＝t(0≤t≤2)，则sin
x＝1－t，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，∴f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)．
(3)(配凑法)f＝x2＋＝－2＝2－2，所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
(4)(解方程组法)在f(x)＝2f·－1中，将x换成，则换成x，得f＝2f(x)·－1，
由解得f(x)＝＋.]
点评：利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
1．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
2x＋7 [(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，
所以ax＋5a＋b＝2x＋17对任意实数x都成立，
所以解得
所以f(x)＝2x＋7.]
2．已知f
＝＋，则f(x)的解析式为________．
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) [令＝t，则t＝1＋，t≠1，所以＝t－1，
所以f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，
即f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]
3．已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)＝________.
[由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x，
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝.]
考点三 分段函数及其应用
1.分段函数求值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．
(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
2．求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
3．分段函数与不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图像比较容易画出，也可以画出函数图像后，结合图像求解．
分段函数的求值问题
[典例3－1] (1)(2020·合肥模拟)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝( )
A．－
B．2
C．4
D．11
(2)设函数f(x)＝则f(5)的值为( )
A．－7
B．－1
C．0
D．
(1)C (2)D [(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.故选C.
(2)f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝.故选D.]
求参数或自变量的值
[典例3－2] (1)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________.
(2)已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，
则f
＝________.
(1)－ (2)8 [(1)当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3，无解；
当a＞1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，得a＋1＝8，
解得a＝7，
所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－.
(2)由题意得a＞0.
当0＜a＜1时，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝，解得a＝，则f
＝f(4)＝8，
当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，不成立．所以f
＝8.]
点评：本例T(1)可根据函数值的范围确定a＞1.本例T(2)可根据单调性确定a≥1不可能成立．
分段函数与不等式问题
[典例3－3] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－∞，0)
D [法一：分类讨论法
①当即x≤－1时，
f(x＋1)＜f(2x)，即为2－(x＋1)＜2－2x，
即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1＜x≤0时，
f(x＋1)＜f(2x)，即1＜2－2x，解得x＜0.
因此不等式的解集为(－1,0)．
④当即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．
法二：数形结合法
∵f(x)＝
∴函数f(x)的图像如图所示．
结合图像知，要使f(x＋1)＜f(2x)，
则需或∴x＜0.]
点评：本例也可分x≤－1，－1＜x≤0，x＞0三种情况求解．
1．已知f(x)＝则f
＋f
的值等于( )
A．－2
B．4
C．2
D．－4
B [由题意得f
＝2×＝，
f
＝f
＝f
＝2×＝，
所以f
＋f
＝4.]
2．设f(x)＝，若f(a)＝f(a＋1)，则f
＝( )
A．2
B．4
C．6
D．8
C [当0＜a＜1时，a＋1＞1，则f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)得＝2a，解得a＝，从而f
＝f(4)＝2×(4－1)＝6，当a≥1时，a＋1＞1，又函数f(x)＝2(x－1)，x≥1为增函数．因此f(a)＝f(a＋1)不成立，故选C.]
3．设函数f(x)＝则满足f(x)＋f＞1的x的取值范围是________．
[①当x≤0时，x－＜0，则f(x)＝x＋1，f
＝x－＋1＝x＋，
由f(x)＋f
＞1得(x＋1)＋＞1，解得x＞－.
又x≤0，所以－＜x≤0.
②当0＜x≤时，x－≤0，则f(x)＝2x，f
＝x－＋1＝x＋，从而f(x)＋f
＝2x＋＞1恒成立．
③当x＞时，x－＞0，则f(x)＝2x，f
＝2x－，
从而f(x)＋f
＝2x＋2x－＞1恒成立．
综上知x的取值范围是.]
核心素养1 用数学眼光观察世界——与高等数学接轨的三类函数
高考数学与高等数学知识(如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数)的接轨，常以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养．因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利于培养学生的探究、创新精神，拓宽思维，提升核心素养.
欧拉公式
(2020·郑州模拟)欧拉公式eix＝cos
x＋isin
x(i为虚数单位)是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当x＝π时，eiπ＋1＝0，欧拉公式被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B [由题意得e2i＝cos
2＋isin
2，所以e2i表示的复数在复平面中对应的点为(cos
2，sin
2)．因为2∈，所以cos
2＜0，sin
2＞0，所以e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.]
[评析] 此类以欧拉公式为背景考查复数几何意义的试题，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解此类题的关键：一是会揭开数学文化的面纱，读懂题意；二是会进行三角运算，如本题，在读懂题意的基础上，需利用弧度制，判断角的范围，从而判断角的三角函数值的符号，即可得出复数在复平面中对应的点的位置．
已知欧拉公式为eix＝cos
x＋isin
x(i为虚数单位)，若α∈(0,2π)，且e－iα表示的复数在复平面中对应的点位于第三象限内，则sin
α＋cos
α的取值范围是( )
A．(1，]
B．[－，]
C．(－1,1)
D．[－，－1)
C [因为e－iα＝cos(－α)＋isin(－α)＝cos
α－isin
α，所以结合题意可知点(cos
α，－sin
α)位于复平面的第三象限内，所以cos
α＜0且－sin
α＜0，又α∈(0,2π)，所以α∈，所以α＋∈，所以sin∈.
故sin
α＋cos
α＝sin∈(－1,1)．故选C.]
高斯函数
(2020·长沙长郡中学模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域是( )
A．{0,1}
B．(0,2)
C．(0,1)
D．{－1,0,1}
A [法一：因为f(x)＝＝＝2－∈(0,2)，
所以当f(x)∈(0,1)时，y＝[f(x)]＝0；当f(x)∈[1,2)时，y＝[f(x)]＝1.
所以函数y＝[f(x)]的值域是{0,1}．故选A.
法二：因为y＝[f(x)]不可能为小数，所以排除B，C；
又2x＞0，所以f(x)＝＞0，所以y＝[f(x)]≠－1，排除D.选A.]
[评析] 求解此类题的关键是理解高斯函数的含义，若是以选择题的形式考查，可用取特值法达到秒解，如本题的方法二，对特殊值的敏感和对已知选项的挖掘，常常可从中提取有效的信息，而对它们的视而不见，则会导致与简便解法“擦肩而过”．注意对特值的选定，一要典型，能定性说明问题，二要简单，便于计算．
(2020·淄博一模)高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.则下列结论：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x]＋[－x]＝0；③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x≤3；④当－1≤x＜1时，[x＋1]＋[－x＋1]的值为1,2.其中正确的结论有________．(写出所有正确结论的序号)
①④ [①[－2.1]＋[1]＝－3＋1＝－2，正确；
②[x]＋[－x]＝0，错误，例如：[2.5]＝2，[－2.5]＝－3,2＋(－3)≠0；
③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3，故错误；
④当－1≤x＜1时，0≤x＋1＜2,0＜－x＋1≤2，
∴[x＋1]＝0或1，[－x＋1]＝0或1或2，
当[x＋1]＝0时，[－x＋1]＝1或2；
当[x＋1]＝1时，[－x＋1]＝1或0；
所以[x＋1]＋[－x＋1]的值为1,2，故正确．]
狄利克雷函数
(2020·上海徐汇区模拟)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数f(x)＝被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，关于函数f(x)有如下四个命题：
①f(f(x))＝0；
②函数f(x)是偶函数；
③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立；
④存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形．
其中真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C [对于①，当x为有理数时，f(x)＝1，f(f(x))＝f(1)＝1，故①是假命题．
对于②，若x∈Q，则－x∈Q；若x∈?RQ，则－x∈?RQ，所以，无论x是有理数还是无理数，都有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故②是真命题．
对于③，当x为有理数时，x＋T为有理数，满足f(x＋T)＝f(x)＝1；当x为无理数时，x＋T为无理数，满足f(x＋T)＝f(x)＝0，故③是真命题．
对于④，当A，B，C三点满足A，B(0,1)，C时，△ABC为等边三角形，故④是真命题．
综上所述，真命题的个数是3.故选C.]
[评析] 破解本题的关键如下：一是明晰狄利克雷函数的实质是分段函数，注意理解集合?RQ表示无理数集；二是会活用函数的奇偶性、周期性的定义判断函数的奇偶性、周期性；三是判断含有存在量词命题真假的关键是找到一个满足题意的条件．
(2020·陕西长安一中3月质检)已知著名的狄利克雷函数f(x)＝其中R为实数集，Q为有理数集，若m∈R，则f(f(f(m)))的值为( )
A．0
B．1
C．0或1
D．无法求
B [若m∈Q，则f(m)＝1，所以f(f(f(m)))＝f(f(1))＝f(1)＝1.
若m∈?RQ，则f(m)＝0，所以f(f(f(m)))＝f(f(0))＝f(1)＝1.故选B.]
PAGE 函数的单调性与最值
[考试要求]
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.
2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的
图像描述
自左向右看图像是上升的
自左向右看图像是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间A是增加的或减少的，那么称A为单调区间．
提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．
(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件
①对于任意的x∈D，都有f(x)≤M；②存在x0∈D，使得f(x0)＝M
①对于任意的x∈D，都有f(x)≥M；②存在x0∈D，使得f(x0)＝M
结论
M为y＝f(x)的最大值
M为y＝f(x)的最小值
1．函数单调性的结论
(1)对任意x1，x2∈D(x1≠x2)，?f(x)在D上是增函数；?f(x)在D上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．
(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．
(4)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．
(5)函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反．
(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．
2．函数最值存在的两个结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
(2)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．( )
(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( )
(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．下列函数中，定义域为R且为减函数的是( )
A．y＝e－x
B．y＝x3
C．y＝ln
x
D．y＝|x|
A [函数y＝e－x定义域为R且为减函数．y＝x3定义域为R且为增函数．函数y＝ln
x定义域为(0，＋∞)．函数y＝|x|定义域为R，但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，故选A.]
2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________．
[1，＋∞) [f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，因此函数f(x)的单调递增区间为
[1，＋∞)．]
3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．
[因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，
即k＜－.]
4．已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
2 [易知函数f(x)＝在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]
考点一 求函数的单调区间
1.求函数单调区间的常用方法
2．求复合函数单调区间的一般步骤
(1)求函数的定义域(定义域先行)；
(2)求简单函数的单调区间；
(3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．
[典例1] 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋1；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝.
[解] (1)由于y＝
即y＝
画出函数图像如图所示．由图像可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)由x＋1≠0得x≠－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
f(x)＝＝＝2－
，其图像如图所示．
由图像知，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)．
(3)由x2＋x－6≥0得x≤－3或x≥2，即函数f(x)的定义域为(－∞，－3]∪[2，＋∞)，
令u＝x2＋x－6，
则y＝可以看作是由y＝与u＝x2＋x－6复合而成的函数．
易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数，
所以y＝的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为
[2，＋∞)．
[母题变迁]
若把本例T(1)函数解析式改为f(x)＝|x2－4x＋3|，试求函数f(x)的单调区间．
[解] 先作出函数y＝x2－4x＋3的图像，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y＝|x2－4x＋3|的图像．如图所示．
由图可知f(x)在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f(x)的单调递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]，[2,3]．
点评：(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．
(2)重视函数f(x)＝(ac≠0)的图像与性质(对称中心、单调性、渐近线)．
1．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是( )
A．[1,2]
B．[－1,0]
C．(0,2]
D．[2，＋∞)
A [由题意得，f(x)＝
当x≥2时，[2，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间；
当x＜2时，(－∞，1]是函数f(x)的单调递增区间，[1,2]是函数f(x)的单调递减区间．]
2．函数y＝ln(－x2＋2x＋3)的递减区间是( )
A．(－1,1]
B．[1,3)
C．(－∞，1]
D．[1，＋∞)
B [令t＝－x2＋2x＋3，由t＞0得－1＜x＜3.
故函数的定义域为(－1,3)．
又t＝－x2＋2x＋3在(－1,1)上是增函数，在[1,3)上是减函数，且y＝ln
t在
(0，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可知函数y＝ln(－x2＋2x＋3)的递减区间为[1,3)，故选B.]
3．函数f(x)＝的单调递减区间为________．
(－∞，1)和(1，＋∞) [由x－1≠0得x≠1，即函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
又f(x)＝＝＝1＋，其图像如图所示，由图像知，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．]
考点二 函数单调性的判断与证明
1.定义法证明函数单调性的步骤
2．判断函数单调性的四种方法
(1)图像法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法．
3．证明函数单调性的两种方法
(1)定义法；(2)导数法．
[典例2] 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
[解] 法一：设－1＜x1＜x2＜1，
f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，
由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上递增．
法二：f′(x)＝＝，
所以当a＞0时，f′(x)＜0，当a＜0时，f′(x)＞0，
即当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为减函数，
当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
判断函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．
[解] 设x1，x2是任意两个正数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1x2－a)．
当0＜x1＜x2≤时，0＜x1x2＜a，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在(0，]上是减函数；
当≤x1＜x2时，x1x2＞a，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．
综上可知，函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
考点三 函数单调性的应用
1．比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．
2．求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域．
3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系．
比较函数值的大小
[典例3－1] 已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f
，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＞a＞b
B．c＞b＞a
C．a＞c＞b
D．b＞a＞c
D [根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a＝f
＝f
，f(2)＞f(2.5)＞f(3)，所以b＞a＞c.]
点评：本例先由[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0得出f(x)在(1，＋∞)上是减函数，然后借助对称性，化变量－，2,3于同一单调区间，并借助单调性比较大小．
解函数不等式
[典例3－2] 已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1,1)，则不等式f(1－m)＜f(m2－1)的解集为________．
(0,1) [f(x)＝则f(x)在(－1,1)上单调递减，不等式f(1－m)＜f(m2－1)可转化为
解得0＜m＜1.]
点评：解答此类题目时，应注意隐含条件，如本例
求参数的值或取值范围
[典例3－3] (1)函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．{－3}
B．(－∞，3)
C．(－∞，－3]
D．[－3，＋∞)
(2)已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是( )
A.(1,2)
B.
C.
D.
(1)C (2)C [(1)y＝＝1＋＝1＋，由题意知得a≤－3.
所以a的取值范围是(－∞，－3]．
(2)由已知条件得f(x)为增函数，
所以
解得≤a＜2，
所以a的取值范围是.故选C.]
点评：分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如本例(2)．
1．若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是
( )
A．[1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1]
B [因为函数f(x)＝2|x－a|＋3＝因为函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a＞1.
所以a的取值范围是(1，＋∞)．故选B.]
2．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,2)
B．[0,2)
C．[0,1)
D．[－1,1)
C [因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，
所以函数在[－2,2]上单调递增，
所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1，故选C.]
3．若函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．
(－∞，－4) [函数y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上是增函数．
y＝＝＝2＋，
由题意知函数y＝在(3，＋∞)上是增函数，
则有4＋k＜0，解得k＜－4.]
4．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为________．
[由题意知，
解得
所以a∈.]
考点四 函数的最值(值域)
求函数最值的五种常用方法
[典例4] (1)若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,2]
B．[－1,0]
C．[1,2]
D．[0,2]
(2)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
(3)函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．
(1)D (2)3 (3) [(1)当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝，
即x＝1时，等号成立．
故当x＝1时取得最小值2＋a，
∵f(x)的最小值为f(0)，
∴当x≤0时，f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，
此时的最小值为f(0)＝a2，故2＋a≥a2，得－1≤a≤2.
又a≥0，得0≤a≤2.故选D.
(2)∵f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上单调递减，∴f(x)max＝f(－1)＝3－log21＝3.
(3)令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，当t＝，即x＝时，ymax＝.]
1．函数f(x)＝x＋的最小值为________．
1 [法一：(换元法)令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，
所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方得y＝2＋，
又因为t≥0，所以y≥＋＝1，
故函数y＝x＋的最小值为1.
法二：(单调性法)因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)内为增函数，所以ymin＝1.]
2．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2
x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
1 [法一：在同一坐标系中，
作函数f(x)，g(x)图像，
依题意，h(x)的图像如图所示．
易知点A(2,1)为图像的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
法二：依题意，h(x)＝
当0＜x≤2时，h(x)＝log2
x是增函数，
当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，
所以h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
PAGE 函数的奇偶性与周期性
[考试要求]
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，
会判断、应用简单函数的周期性．
1．函数的奇偶性
偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
图像特征
关于y轴对称
关于原点对称
提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
①f(x)为奇函数?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?＝－1.
②f(x)为偶函数?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?＝1.
2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．
1．函数奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
(4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．
2．周期性的几个常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．
3．函数的图像的对称性
(1)函数y＝f(x)，若其图像关于直线x＝a对称(a＝0时，f(x)为偶函数)，则
①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a＋x)＝f(－x)；③f(2a－x)＝f(x)．
(2)函数y＝f(x)，若其图像关于点(a,0)中心对称(a＝0时，f(x)为奇函数)，则
①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a＋x)＝－f(－x)；
③f(2a－x)＝－f(x)．
(3)函数y＝f(x)，若其图像关于点(a，b)中心对称，则
①f(a＋x)＋f(a－x)＝2b；②f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；③f(2a－x)＋f(x)＝2b.
(4)函数f(x)与g(x)的图像关于直线x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)．
(5)函数f(x)与g(x)的图像关于直线y＝a对称，则g(x)＝2a－f(x)．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )
(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．( )
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x3
B．y＝x2
C．y＝|ln
x|
D．y＝2－x
B [A为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B.]
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则
f(－1)＝________.
－2 [f(1)＝1×2＝2，
又f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2.]
3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.
1 [f＝f＝－4×2＋2＝1.]
4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
(－2,0)∪(2,5] [由图像可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；
当2＜x≤5时，f(x)＜0，
又f(x)是奇函数，
∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.
综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．]
考点一 函数奇偶性的判断
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图像法：
(3)性质法：
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
[典例1] (1)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝＋；
②f(x)＝；
③f(x)＝
(1)C [令F1(x)＝f(x)·g(x)，
则F1(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)
＝－F1(x)，
∴f(x)g(x)为奇函数，故A错误．
令F2(x)＝|f(x)|g(x)，则F2(－x)＝|f(－x)|g(－x)
＝|f(x)|g(x)＝F2(x)，∴F2(x)为偶函数，故B错误．
令F3(x)＝f(x)|g(x)|，则F3(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F3(x)，∴F3(x)为奇函数，故C正确．
令F4(x)＝|f(x)g(x)|，则F4(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|＝F4(x)，∴F4(x)为偶函数，故D错误．]
(2)[解] ①由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
②由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．
点评：(1)本例T(2)第②小题求出定义域后，利用定义域去掉绝对值号是解题的关键．
(2)y＝ln，y＝lg(＋x)都是奇函数．
1．下列函数既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝－x2＋1
B．y＝
C．y＝－
D．y＝x|x|
D [对于A，f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，函数f(x)是偶函数，不是奇函数，排除A.
对于B，函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，函数为非奇非偶函数，排除B.
对于C，函数是奇函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增函数，排除C.
对于D，f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，函数为奇函数，又y＝x|x|＝，则函数为增函数，故选D.]
2．设函数f(x)＝，则下列结论错误的是( )
A．|f(x)|是偶函数
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
D [∵f(x)＝，
则f(－x)＝＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
∵f(|－x|)＝f(|x|)，
∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．]
考点二 函数奇偶性的应用
已知函数奇偶性可以解决的三个问题
利用函数的奇偶性求值
[典例2－1] (1)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln
2)＝8，则a＝________.
(2)(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.
(1)－3 (2)－2 [(1)法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，
∴x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，
则f(ln
2)＝e－aln
2＝8，
∴－aln
2＝ln
8＝3ln
2，∴a＝－3.
法二：由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln
2)＝－f
＝－(－ealn)＝8，∴aln
＝ln
8＝3ln
2，∴a＝－3.
(2)∵f(a)＋f(－a)＝ln(－a)＋1＋ln(＋a)＋1
＝ln(1＋a2－a2)＋2＝2.
∴f(－a)＝2－f(a)＝2－4＝－2.]
点评：本例T(2)中含有奇函数的解析式，解答此类题目时可先求f(x)＋f(－x)的值，再求所求．
求函数解析式
[典例2－2] (2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝( )
A．e－x－1
B．e－x＋1
C．－e－x－1
D．－e－x＋1
D [当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
故选D.]
点评：先设x为待求区间上的任意量，然后将－x转化到已知区间上，从而求出f(－x)，然后利用奇偶性求f(x)．
利用奇偶性求参数的值
[典例2－3] 若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
±1 [法一：(定义法)因为函数f(x)＝在定义域上为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－，
化简得(k2－1)(22x＋1)＝0，
即k2－1＝0，解得k＝±1，经检验k＝±1时，函数f(x)为奇函数．
法二：(特值法)因为函数f(x)＝为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即＝－，
即＝.整理得k2＝1，解得k＝±1.经检验，当k＝±1时，函数f(x)为奇函数．]
点评：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解．用两种方法求得参数后，一定要注意验证．
1．函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，则f(log2
)等于
( )
A．
B．－9
C．－8
D．－
C [由f(0)＝40＋t＝0得t＝－1.
则f(log2
)＝f(－log2
3)＝－f(log2
3)＝－(4log2
3－1)＝－2log2
9＋1＝－8.故选C.]
2．已知函数f(x)＝x3＋sin
x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.
0 [设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin
x，显然F(x)为奇函数．
又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.]
3．函数f(x)＝＋log2为奇函数，则实数a＝________.
1 [∵函数f(x)＝＋log2为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0.
即－＋log2＋＋log2＝0，
即log2＝0.
∴·＝＝1，则1－a2x2＝1－x2，∴a2＝1，即a＝±1.
当a＝－1时，f(x)＝＋log2，
则f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠1}，
此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；
当a＝1时，f(x)＝＋log2，定义域为{x|－1＜x＜1且x≠0}，满足题意，∴a＝1.]
考点三 函数的周期性、图像的对称性及应用
1.函数周期性的判断与应用
(1)判断：判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.
(2)应用：函数的周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，利用周期性可把自变量变大或变小．
2．函数图像的对称性的判断与应用
(1)判断：函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝(a＋b)对称．
(2)应用：转化自变量的值或与函数的奇偶性配合得到函数的周期性．
[典例3] (1)(2020·南昌模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(4－x)＝f(x)，当0＜x＜2时，f(x)＝2x＋2－x，则f(5)＝( )
A．3
B．－3
C．7
D．－7
(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋1)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2
021)＝________.
(1)D (2)1
011 [(1)法一：(利用对称性)：由f(4－x)＝f(x)得函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，则f(5)＝f(－1)，又函数f(x)是奇函数，则f(5)＝f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2－1)＝－7，故选D.
法二：(利用等式转化)：由f(4－x)＝f(x)得f(5)＝f[4－(－1)]＝f(－1)＝－f(1)＝－(23－1)＝－7.故选D.
(2)由f(x)＝－f(x＋1)得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数，又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，
∴f(0)＝0，f(1)＝1.
∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2
020)＝0，
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2
021)＝1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2
021)＝1
011.]
点评：当自变量较小时，可直接利用对称性或等式转化自变量，无需求出周期．
1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2
021)＋f(2
019)的值为( )
A．0
B．－4
C．－2
D．2
A [当x≥0时，f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(－2
021)＝f(2
021)＝f(1)＝log2
2＝1，f(2
019)＝f(3)＝－＝－1，所以f(－2
021)＋f(2
019)＝0.故选A.]
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
021)＝( )
A．2
021
B．0
C．1
D．－1
C [由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)是奇函数．
所以f(1)＝1，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(4)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
021)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＝1，故选C.]
PAGE 函数性质的综合问题
考点一 函数的奇偶性与单调性
函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．
[典例1] (1)(2019·全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A．f
＞f
＞f
B．f
＞f
＞f
C．f
＞f
＞f
D．f
＞f
＞f
(2)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
(1)C (2)D [(1)∵f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∴f
＝f(－log34)＝f(log34)．
又∵log34＞log33＝1，且1＞2＞2＞0，
∴log34＞2＞2＞0.
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(2)＞f(2)＞f(log34)＝f
.故选C.
(2)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]
点评：解答此类题目时，奇偶性的作用是把不在同一单调区间的自变量转化到同一单调区间上．
1．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)＜f
＜f
B．f
＜f(1)＜f
C．f
＜f
＜f(1)
D．f
＜f(1)＜f
B [∵函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数y＝f(x)在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数y＝f(x)满足f(2－x)＝
f(2＋x)，
∴f(1)＝f(3)，f
＜f(3)＜f
，
即f
＜f(1)＜f
.]
2．已知f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
A.
B.
C．[－1,1]
D.
B [∵f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1.
∵f(x)在[2b,0]上为增函数，即函数f(x)在[－2,0]上为增函数，故函数f(x)在(0,2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，
解得－1≤x≤.
由于定义域为[－2,2]，
∴
解得∴－1≤x≤，故选B.]
3．已知奇函数f(x)在x＞0时单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为( )
A．{x|0＜x＜1或x＞2}
B．{x|x＜0或x＞2}
C．{x|x＜0或x＞3}
D．{x|x＜－1或x＞1}
A [∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，则－1＜x＜0或x＞1时，f(x)＞0；x＜－1或0＜x＜1时，f(x)＜0.∴不等式f(x－1)＞0即－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2，故选A.]
考点二 函数的奇偶性与周期性
利用函数的奇偶性和周期性求值的策略
已知f(x)是周期函数且为偶(奇)函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．
[典例2] (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，若当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.
(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，并且f(x)＝－f(x＋2)，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝则f(2
022)＝________.
(1)2.5 (2)0 [(1)由f(x＋2)＝－得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.
(2)由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
又f(x)是奇函数，
则有即
解得
∴f(x)＝
∴f(2
022)＝f(2)＝×2－1＝0.]
设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：
①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x＋1)＝f(x－1)；③当0≤x＜1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f
＋f(2)＋f
＝________.
－1 [由f(x)＋f(－x)＝0得f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数，由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．
所以f(0)＝0，f
＝f
，f(2)＝f(0)＝0，f
＝f
.
又f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0.
所以f
＋f(1)＋f
＋f(2)＋f
＝f
＋f
＋f
＝f
＝2－1＝
－1.]
考点三 函数性质的综合应用
函数的奇偶性、周期性与对称性的解题技法
(1)函数的奇偶性、周期性、对称性，一般是知二得一，特别是已知奇偶性和对称性，一般要先确定周期性．
(2)奇函数在x＝0处有意义，则一定有f(0)＝0，偶函数一定有f(|x|)＝f(x)，要注意这两个结论在解题中的应用．
(3)如果f(x)的图像关于点(a,0)对称，且关于直线x＝b对称，则函数f(x)的周期T＝4|a－b|.(类比y＝sin
x的图像)
(4)如果f(x)的图像关于点(a,0)对称，且关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sin
x的图像)
(5)若函数f(x)关于直线x＝a与直线x＝b对称，那么函数的周期是2|b－a|.(类比y＝sin
x的图像)
[典例3] (1)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，f为偶函数，当0＜x≤时，f(x)＝－x，则f(2
021)＋f(2
022)＝________.
(2)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________.
(1)1 (2)2 [(1)由f(x)＋f(－x)＝0得f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数，由
f
为偶函数知f
＝f
，结合f(x)是奇函数，可得f
＝
－f
，∴f(x＋3)＝－f(x)．
∴f(x＋6)＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数．
∴f(2
021)＝f(－1)＝－f(1)＝1，f(2
022)＝f(0)＝0，
∴f(2
021)＋f(2
022)＝1.
(2)法一：(直接法)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图像关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
法二：(特例法)由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图像如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.]
点评：求和问题一般是先求一个周期的和，再求总和．
1．已知奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(2
021)＋f(2
022)＝( )
A．－2
B．－1
C．0
D．2
D [由f(x＋1)为偶函数得f(－x＋1)＝f(x＋1)，
又函数f(x)是奇函数，则f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，
∴f(2
021)＝f(1)＝2，f(2
022)＝f(2)＝f(0)＝0，
∴f(2
021)＋f(2
022)＝2，故选D.]
2．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)及f(x)＝－f(－x)，且在[0,1]上有f(x)＝x2，则f
＝( )
A．
B．
C．－
D．－
D [函数f(x)的定义域是R，f(x)＝－f(－x)，所以函数f(x)是奇函数．又f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f
＝f
＝f
＝－f
.因为在[0,1]上有f(x)＝x2，所以f
＝2＝，故f
＝－，故选D.]
核心素养2 用数学思维思考世界——用活函数性质中的三个结论
数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展．通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
2 [显然函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图像的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]
已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0
B．2
C．4
D．8
C [f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.]
抽象函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2
017)＋f(2
018)＝( )
A．3 B．2 C．1 D．0
C [因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(－2
017)＝－f(2
017)，
因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．
又当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，
∴f(2
017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，
f(2
018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.
故f(－2
017)＋f(2
018)＝－f(2
017)＋3＝1.]
已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f
＝________.
[∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f
＝f
，又2≤x≤3时，f(x)＝x，
∴f
＝，∴f
＝.]
抽象函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图像关于点(a,0)对称．
函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图像关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2
016)＋f(2
017)＋f(2
018)的值为________．
4 [因为函数y＝f(x－1)的图像关于点(1,0)对称，
所以函数y＝f(x)的图像关于原点对称，
所以f(x)是R上的奇函数，
则f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
所以f(2
017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，
f(2
016)＝f(504×4)＝f(0)＝0，
f(2
018)＝f(504×4＋2)＝f(2)＝f(0)＝0，
所以f(2
016)＋f(2
017)＋f(2
018)＝4.]
已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝( )
A．0
B．m
C．2m
D．4m
B [∵函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，
故函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，
函数y＝|x2－2x－3|的图像也关于直线x＝1对称，
故函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图像的交点也关于直线x＝1对称，且相互对称的两点横坐标和为2.当f(x)不过点(1,4)时，xi＝×2＝m，当f(x)的图像过点(1,4)时，xi＝×2＋1＝m.综上，xi＝m.]
PAGE 二次函数与幂函数
[考试要求]
1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图像，了解它们的变化情况.
2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函数的图像和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图像
定义域
R
R
值域
单调性
在x∈上单调递减；在x∈上单调递增
在x∈上单调递增；在x∈上单调递减
对称性
函数的图像关于直线x＝－对称
提醒：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数特征
(1)二次项系数a的正负决定图像的开口方向．
(2)－的值决定图像对称轴的位置．
(3)c的取值决定图像与y轴的交点．
(4)Δ＝b2－4ac的正负决定图像与x轴的交点个数．
3．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图像和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图像
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)
上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)
1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的三个重要结论
(1)当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增．
(2)当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．
(3)当x∈(0,1)时，α越大，函数值越小，当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．
2．根与系数的关系
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac＞0时，其图像与x轴有两个交点M1(x1,0)，M2(x2,0)，这里的x1，x2是方程f(x)＝0的两个根，且|M1M2|＝|x1－x2|＝.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
(2)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)( )
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D [设幂函数的解析式为y＝xα，将点(3，)的坐标代入解析式得3α＝，解得α＝，∴y＝x，故选D.]
2．若幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图像是( )
A
B
C
D
C [令f(x)＝xα，则4α＝2，解得α＝，
∴f(x)＝x，则f(x)的图像如选项C中所示．]
3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是
( )
A．a≥3
B．a≤3
C．a＜－3
D．a≤－3
D [函数f(x)＝x2＋4ax的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，所以－2a≥6，解得a≤－3，故选D.]
4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________．
[－1,3] [∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，
∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝－1，
又g(0)＝0，g(3)＝9－6＝3，
∴g(x)max＝3，
即g(x)的值域为[－1,3]．]
考点一 幂函数的图像及其性质
与幂函数有关问题的解题思路
(1)若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
1．已知幂函数f(x)的图像过点，则该函数的单调递增区间为( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．不存在
A [设f(x)＝xα，则f
＝α＝4，解得α＝－2.
所以f(x)＝x－2，函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上为增函数，故选A.]
2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为( )
A．－2
B．1
C．1或－2
D．m≠
B [因为函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，
所以解得m＝1.]
3．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
D [因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝＞b＝，因为y＝x是减函数，
所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c.]
4．若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
[易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以解得－1≤a＜.]
点评：比较大小时，若底数相同，可考虑指数函数的单调性．若指数相同，可考虑幂函数的单调性，有时需要通过化简，使底数(指数)相同．如本例T3，也可化简为a＝，b＝，c＝，再通过y＝x的单调性比较大小．
考点二 求二次函数的解析式
求二次函数解析式的策略
[典例1] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
[解] 法一：(利用二次函数的一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用二次函数的顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝.
∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
点评：求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同．
1．已知二次函数f(x)的图像的顶点坐标是(－2，－1)，且图像经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)＝________.
x2＋x－ [法一：(一般式)设所求函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由已知得解得
所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.
法二：(顶点式)设所求函数的解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k.
由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，
将点(1,0)代入，得a＝，所以f(x)＝(x＋2)2－1，
即f(x)＝x2＋x－.]
2．已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则函数的解析式f(x)＝________.
x2－4x＋3 [∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图像被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图像经过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.]
考点三 二次函数的图像与性质
二次函数图像的识别
识别二次函数图像应学会“三看”
[典例2－1] (1)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是( )
A B
C
D
(2)如图所示的是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，且过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：
①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正确的是( )
A．②④
B．①④
C．②③
D．①③
(1)C (2)B [(1)若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，故排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，故排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－＜0，而图中二次函数图像的对称轴在y轴的右侧，故排除B.故选C.
(2)因为图像与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确．
因为对称轴为直线x＝－1，所以－＝－1，即2a－b＝0，②错误．
结合图像，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误．
由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a.又函数图像开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．]
点评：对于判断两个函数的图像在同一坐标系中的题目，可假设一个图像正确，然后判断另一个图像是否正确．如本例T(1)．
二次函数的单调性
二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．
[典例2－2] (1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是减少的，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0)
B．(－∞，－3]
C．[－2,0]
D．[－3,0]
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，则f()，f
，f()的大小关系是( )
A．f()＜f
＜f()
B．f
＜f()＜f(3)
C．f()＜f()＜f
D．f()＜f()＜f
(1)D (2)D [(1)当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知
解得－3≤a＜0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．
(2)∵二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，
∴函数的图像开口方向朝上，对称轴为直线x＝1.
∵＞|－1|＞|－1|，
∴f()＜f()＜f
，故选D.]
[母题变迁]
将本例(1)改为“若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)”，则实数a＝________.
－3 [由题意知解得a＝－3.]
二次函数的最值问题
二次函数最值问题的类型及解题思路
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
[典例2－3] 求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最值．
[解] f(x)＝(x＋a)2＋1－a2.
①当－a＜－1，即a＞1时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，
∴f(x)min＝f(－1)＝2－2a，f(x)max＝f(2)＝4a＋5.
②当－1≤－a＜，即－＜a≤1时，函数f(x)在区间[－1,2]上先减后增，∴f(x)min＝f(－a)＝1－a2，f(x)max＝f(2)＝4a＋5.
③当≤－a≤2，即－2≤a≤－时，函数f(x)在区间[－1,2]上先减后增，∴f(x)min＝f(－a)＝1－a2，f(x)max＝f(－1)＝2－2a.
④当－a＞2，即a＜－2时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，
∴f(x)min＝f(2)＝4a＋5，f(x)max＝f(－1)＝2－2a.
综上知，f(x)min＝
f(x)max＝
点评：对称轴分区间讨论，书写结论时要注意合并区间．
与二次函数有关的恒成立问题
1．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
2．ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在区间[m，n]上恒成立的条件．设f(x)＝ax2＋bx＋c，则
[典例2－4] (1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为________．
(1) (2)(－∞，1) [(1)作出二次函数f(x)的草图如图所示，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，
则有
即
解得－＜m＜0.
(2)由题意得x2＋x＋1＞k在区间[－3，－1]上恒成立．
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
则g(x)在[－3，－1]上递减．
∴g(x)min＝g(－1)＝1.
∴k＜1.故k的取值范围为(－∞，1)．]
1．已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是( )
A
B
C
D
D [A项，因为a＜0，－＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错．B项，因为a＜0，－＞0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．C项，因为a＞0，－＜0，所以b＞0.
又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．D项，因为a＞0，－＞0，所以b＜0.因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故D正确．]
2．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，0]
B.
C．(－∞，0)∪
D.
D [由f(x)＜－m＋4得m(x2－x＋1)＜5，
又x2－x＋1＝2＋＞0，
∴m＜，
当1≤x≤3时，1≤x2－x＋1≤7，∴≤≤5，
∴m＜.故选D.]
3．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．
[0,2] [依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图像的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以a＞0，即函数图像的开口向上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.]
4．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
[解] f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
当a＞0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
当a＜0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
PAGE 指数与指数函数
[考试要求]
1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图像.
3.体会指数函数是一类重要的函数模型．
1．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N
，且n＞1)；
②负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N
，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算．
2．指数函数的概念
函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，指数函数的定义域为R.
提醒：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
3．指数函数的图像与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图像
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数
1．指数函数图像的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
2．指数函数的图像与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像越高，底数越大．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x－1是指数函数．( )
(2)(－1)＝(－1)＝.( )
(3)函数y＝a
x2＋1
(a＞1)的值域是(0，＋∞)．( )
(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图像经过点P，则f(－1)＝______.
[由题意知＝a2，所以a＝，
所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.]
2．化简(x＜0，y＜0)＝________.
－2x2y [＝＝|2x2y|＝－2x2y.]
3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是______．
c＜b＜a [∵y＝x是减函数，
∴＞＞0，
则a＞b＞1，
又c＝＜0＝1，
∴c＜b＜a.]
4．某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为________．
y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N) [当x＝1时，y＝a＋ap%＝a(1＋p%)，
当x＝2时，y＝a(1＋p%)＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)2，
当x＝3时，y＝a(1＋p%)2＋a(1＋p%)2p%＝a(1＋p%)3，
……
当x＝m时，y＝a(1＋p%)m，
因此y随年数x变化的函数解析式为y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)．]
考点一 指数幂的化简与求值
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
1．计算：＋0.002－10(－2)－1＋π0＝________.
－ [原式＝－2＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.]
2．化简·(a＞0，b＞0)＝________.
[原式＝.]
3．已知ab＝－5，则a＋b＝________.
0 [由ab＝－5知a与b异号，
∴a＋b＝a＋b＝＋＝0.]
点评：指数幂中当指数为负数时，可把底数变为其倒数，从而指数化为正数，如＝4.
考点二 指数函数的图像及其应用
指数函数图像问题的求解策略
变换作图
对指数型函数的图像与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像，然后数形结合使问题得解
数形结合
一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图像数形结合求解
[典例1] (1)函数f(x)＝ax－b的图像如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．
(1)D (2)(0,1) [(1)由f(x)＝ax－b的图像可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图像是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D.
(2)曲线y＝|3x－1|的图像是由函数y＝3x的图像向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图像是平行于x轴的一条直线，它的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)．]
[母题变迁]
1．若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．
(0，＋∞) [作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图像如图所示，数形结合可得m的取值范围是(0，＋∞)．
]
2．若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图像不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．
(－∞，－1] [作出函数y＝|3x－1|＋m的图像如图所示．
由图像知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．]
点评：注意区分函数y＝3|x|与y＝|3x|
y＝3|x|是偶函数，其图像关于y轴对称，y＝|3x|不是偶函数，其图像都在x轴上方，在这里y＝|3x|＝3x.
1．已知函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的图像恒过点A，下列函数中图像不经过点A的是( )
A．y＝
B．y＝|x－2|
C．y＝2x－1
D．y＝log2(2x)
A [易知A(1,1)．经验证可得y＝的图像不经过点A(1,1)，故选A.]
2．已知实数a，b满足等式2
019a＝2
020b，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有________．(填序号)
③④ [作出y＝2
019x及y＝2
020x的图像如图所示，由图可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0时，有2
019a＝2
020b，而③④不可能成立．]
考点三 指数函数的性质及其应用
比较指数式的大小
比较幂值大小的三种类型及处理方法
[典例2－1] (1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
(2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( )
A．x＋y≥0
B．x＋y≤0
C．x－y≤0
D．x－y≥0
(1)A (2)B [(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图像可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c，故选A.
(2)设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数．
又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.]
点评：在比较指数式大小时，看底数能否化为同底是非常重要的一个思维意识．
解简单的指数方程或不等式
指数方程或不等式的解法
(1)解指数方程或不等式的依据
①af(x)＝ag(x)?f(x)＝g(x)．
②af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x)．
(2)解指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．
[典例2－2] (1)已知实数a≠1，函数f(x)＝
若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
(2)设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是________．
(1) (2)(－3,1) [(1)当a＜1时，41－a＝21，解得a＝；当a＞1时，代入不成立．故a的值为.
(2)若a＜0，则f(a)＜1?a－7＜1?a＜8，解得a＞－3，故－3＜a＜0；
若a≥0，则f(a)＜1?＜1，解得a＜1，故0≤a＜1.
综合可得－3＜a＜1.]
与指数函数有关的复合函数的单调性、值域
1.与指数函数有关的复合函数的单调性
形如函数y＝af(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：
(1)若a＞1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；
(2)若0＜a＜1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调减(增)区间．即“同增异减”．
2．与指数函数有关的复合函数的值域
形如y＝af(x)的函数的值域，可先求f(x)的值域再根据函数y＝at的单调性确定y＝af(x)的值域．
[典例2－3] 已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在
(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)由指数函数的性质知，要使f(x)的值域为(0，＋∞)，
应使y＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0(因为若a≠0，则y＝ax2－4x＋3为二次函数，其值域不可能为R)．
故a的值为0.
点评：形如y＝af(x)(a＞0)的函数的定义域就是函数y＝f(x)的定义域．
1．若2x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是( )
A.
B.
C.
D.[2，＋∞)
B [2
x2＋1≤x－2?2x2＋1≤24－2x?x2＋1≤4－2x，
解得－3≤x≤1，∴2－3≤2x≤2，即≤y≤2，故选B.]
2．已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，则f(a)，f(b)的大小关系是________．
f(a)＞f(b) [a＝＝，则＞，即a＞b，
又函数f(x)＝2x－2－x是R上的增函数．
∴f(a)＞f(b)．]
3．函数y＝
x2＋2x－1的值域是________．
(0,4] [设t＝x2＋2x－1，则y＝t.
因为0＜＜1，所以y＝t为关于t的减函数．
因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0＜y＝t≤－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．]
4．函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．
[令t＝x，由x∈[－3,2]得t∈，
y＝t2－t＋1＝2＋，
当t＝时，ymin＝，当t＝8时，ymax＝57，故所求值域为.]
考点四 指数型函数的综合应用
指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性解决问题．
[典例3] 已知函数f(x)＝(a＞0且a≠1)是定义在R上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)当x∈[1,2]时，2＋mf(x)－2x≥0恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，得a＝2.
(注：本题也可由f(0)＝0解得a＝2，但要进行验证)
(2)由(1)可得f(x)＝＝＝1－，
∴函数f(x)在R上单调递增．
又2x＋1＞1，∴－2＜－＜0，
∴－1＜1－＜1.
∴函数f(x)的值域为(－1,1)．
(3)当x∈[1,2]时，f(x)＝＞0.
由题意得mf(x)＝m·≥2x－2在x∈[1,2]时恒成立，
∴m≥在x∈[1,2]时恒成立．
令t＝2x－1,1≤t≤3，
则有m≥＝t－＋1.
∵当1≤t≤3时，函数y＝t－＋1为增函数，
∴max＝.∴m≥.
故实数m的取值范围为.
点评：在指数型函数的综合应用中，把ax看作一个整体，即令t＝ax是常用的思维意识．
已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性．
[解] (1)由ax＋1＞1知，f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1－，
由ax＋1＞1得0＜＜2，
∴－1＜f(x)＜1，即函数f(x)的值域为(－1,1)．
(2)因为f(－x)＝＝＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝＝1－.
设x1，x2是R上任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x1＜x2，
所以当a＞1时，ax2＞ax1＞0，
从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)为R上的增函数；
当0＜a＜1时，ax1＞ax2＞0，
从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)为R上的减函数．
PAGE 对数与对数函数
[考试要求]
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图像.
3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．
1．对数的概念
如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
提醒：指数式与对数式的关系
2．对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：
①loga1＝0；②alogaN＝N；③logaab＝b(a＞0，且a≠1)．
(2)换底公式：
logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．
(3)对数的运算性质：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
3．对数函数的定义、图像与性质
定义
函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数
图像
a＞1
0＜a＜1
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数
在(0，＋∞)上为减函数
4．反函数
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数的图像与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．( )
(2)log2x2＝2log2x.( )
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图像不在第二、三象限．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．(log29)·(log34)＝( )
A．
B．
C．2
D．4
D [(log29)·(log34)＝×＝×＝4.故选D.]
2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
D [因为0＜a＜1，b＜0，c＝log＝log23＞1.所以c＞a＞b.故选D.]
3．函数y＝eq
\r(log?2x－1?)的定义域是________．
[由log(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1.
∴＜x≤1.
∴函数y＝eq
\r(log?2x－1?)的定义域是.]
4．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图像恒过点________．
(3,1) [当4－x＝1，即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.
所以函数的图像恒过点(3,1)．]
考点一 对数式的化简与求值
对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
(3)转化：①利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
②ab＝N?b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．
[典例1] (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A.
B．10
C．20
D．100
(2)计算log23·log38＋()log34的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
(3)(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数，当I(t
)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t
约为(ln
19≈3)( )
A．60
B．63
C．66
D．69
(1)A (2)D (3)C [(1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.故选A.
(2)log23·log38＝log28＝3，()log34＝3log34＝3log32＝2，
∴log23·log38＋()log34＝5，故选D.
(3)由题意可得，当I(t
)＝0.95K时，＝0.95K，
∴＝e－0.23(t
－53)，∴ln
19＝0.23(t
－53)，∴t
－53≈13，∴t
≈66，故选C.]
点评：对数运算中logab＝是常用的性质之一．
1．(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝( )
A.
B.
C.
D.
B [法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B.
法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝
3－2＝＝，故选B.
法三：因为alog34＝2，所以＝＝log43，所以4＝3，两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故选B.]
2．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg
，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1
B．10.1
C．lg
10.1
D．10－10.1
A [由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg
，所以lg
＝10.1，
所以＝1010.1，故选A.]
考点二 对数函数的图像及其应用
利用对数函数的图像解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
[典例2] (1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a＞0，且a≠1)的图像可能是( )
A B
C D
(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A.
B.
C.(1，)
D.(，2)
(1)D (2)B [(1)对于函数y＝loga，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的图像恒过定点，排除选项A、C；函数y＝与y＝loga在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图像，可知f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.]
[母题变迁]
将本例(2)中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，a的取值范围是________．
[若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图像在上有交点．
由图像可知解得0＜a≤，即a的取值范围为.]
1.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )
A．a＞1，c＞1
B．a＞1,0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1
D．0＜a＜1,0＜c＜1
D [由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0＜a＜1,0＜c＜1.]
2．已知不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为________．
[由x2－logax＜0得x2＜logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图像在f2(x)＝logax图像的下方即可．当a＞1时，显然不成立；
当0＜a＜1时，如图所示．
要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，所以有2≤loga，解得a≥，
所以≤a＜1.
即实数a的取值范围是.]
考点三 对数函数的性质及其应用
比较对数值的大小
比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较
[典例3－1] (1)已知a＝log3
，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
(2)(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
(3)(2020·全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则( )
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
(1)D (2)A (3)A [(1)∵c＝log＝log35，log35＞log3＞log33＝1，
即c＞a＞1，又＜0＝1.
∴c＞a＞b，故选D.
(2)∵a＝log52＜log5＝，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝＞，0.50.2＜1，∴a＜c＜b，故选A.
(3)∵23＜32，∴2＜3，∴log32＜log33＝，∴a＜c.
∵33＞52，∴3＞5，∴log53＞log55＝，∴b＞c，∴a＜c＜b，故选A.]
点评：本例T(1)和T(3)主要使用了化为同底和中间量比较大小，其中常数化为同底，利用了性质m＝logaam，本例T(2)主要使用中间量比较大小．
解简单对数不等式
求解对数不等式的两种类型及方法
类型
方法
logax＞logab
借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论
logax＞b
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解
[典例3－2] (1)若loga＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
(2)若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是________．
(1)∪(1，＋∞) (2) [(1)当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；
当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
(2)由题意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a，
又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1，
同时2a＞1，所以a＞.综上，a∈.]
点评：在对数不等式中，真数大于0是隐含条件，不能忘记！
与对数函数有关的复合函数的单调性
求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤
一求
求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论
二判
判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况
判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
[典例3－3] (1)(2020·新高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，
＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1]
B．(－∞，2]
C．[2，＋∞)
D．[5，＋∞)
(2)设函数f(x)＝log(4x2－4ax＋3a)在(0,1)上是增函数，则a的取值范围是________．
(1)D (2)[2,4] [(1)由x2－4x－5＞0，得x＜－1或x＞5，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．令t＝x2－4x－5，则t＝(x－2)2－9，所以函数t在(－∞，－1)上单调递减，在(5，＋∞)上单调递增，又函数y＝lg
t在(0，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，由题意知(a，＋∞)?(5，＋∞)，
∴a≥5，故选D.
(2)令t＝4x2－4ax＋3a，由y＝logt在(0，＋∞)是减函数可得t＝4x2－4ax＋3a在(0,1)上是减函数，且t＞0在(0,1)上恒成立，
又t＝4x2－4ax＋3a＝42－a2＋3a，
∴解得2≤a≤4.]
点评：已知f(x)＝loga[g(x)]在区间[m，n]上是增函数，对于这类问题，应从两个方面考虑：一是根据a与1的关系确定g(x)在[m，n]上的单调性，二是g(x)＞0在x∈[m，n]时恒成立，此时只需g(x)min＞0即可．
1．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜b＜a
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
A [∵a＝log27＞log24＝2,1＜b＝log38＜log39＝2，c＝0.30.2＜1，
∴c＜b＜a，故选A.]
2．设函数f(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,log?－x?，x＜0.))若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是
( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
C [由题意得eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞loga))或eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(a＜0，,log?－a?＞log2?－a?，))
即或
即或
解得a＞1或－1＜a＜0，故选C.]
3．函数y＝log
(x2－3x＋2)的单调递增区间为________，值域为________．
(－∞，1) R [由x2－3x＋2＞0得x＞2或x＜1，即函数的定义域为{x|x＞2或x＜1}，
当x在定义域内变化时，x2－3x＋2取遍(0，＋∞)内的每一个值，
∴值域为R.
令t＝x2－3x＋2(t＞0)，t在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，而函数y＝logt在其定义域内是单调递减函数，
∴y＝log
(x2－3x＋2)在(－∞，1)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，即函数y＝log(x2－3x＋2)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(2，＋∞)．]
4．已知a＞0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是________．
[要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上单调递增，
则y＝ax2－x在[3,4]上单调递增，
且在[3,4]上y＝ax2－x＞0恒成立，
即解得a＞.]
PAGE 函数的图像
[考试要求]
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.
2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质，并运用函数的图像解简单的方程(不等式)问题．
1．利用描点法作函数的图像
描点法作函数图像的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．
(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．
(3)描点、连线．
2．利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换
提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减．
(2)对称变换
①y＝f(x)的图像y＝－f(x)的图像；
②y＝f(x)的图像y＝f(－x)的图像；
③y＝f(x)的图像y＝－f(－x)的图像；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图像y＝logax(a＞0且a≠1)的图像．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)的图像
y＝f(ax)的图像；
②y＝f(x)的图像
y＝af(x)的图像．
(4)翻转变换
①y＝f(x)的图像y＝|f(x)|的图像；
②y＝f(x)的图像y＝f(|x|)的图像．
1．函数图像自身的轴对称
(1)f(－x)＝f(x)?函数y＝f(x)的图像关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)的图像关于x＝a对称?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)?f(－x)＝f(2a＋x)；
(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．
2．函数图像自身的中心对称
(1)f(－x)＝－f(x)?函数y＝f(x)的图像关于原点对称；
(2)函数y＝f(x)的图像关于(a,0)对称?f(a＋x)＝－f(a－x)?f(x)＝－f(2a－x)?f(－x)＝－f(2a＋x)；
(3)函数y＝f(x)的图像关于点(a，b)成中心对称?f(a＋x)＝2b－f(a－x)?f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．两个函数图像之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图像关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图像关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)对称．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图像，可由y＝f(－x)的图像向左平移1个单位得到．( )
(2)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．( )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图像与y＝|f(x)|的图像相同．( )
(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于原点对称．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．则与以上事件吻合最好的图像是( )
A
B
C
D
C [距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快．]
2．下列图像是函数y＝的图像的是( )
A B
C D
[答案] C
3．函数f(x)＝－x的图像关于( )
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
C [∵f(x)＝－x是奇函数，
∴图像关于原点对称．]
4．函数y＝log
(1－x)的大致图像是( )
A
B C
D
D [由定义域知x<1，排除A，B，且y＝log(1－x)在区间(－∞，1)上是增函数，故选D.]
考点一 作函数的图像
作函数图像的两种常用方法
[典例1] 作出下列函数的图像．
(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
[解] (1)先作出y＝x的图像，保留y＝x图像中x≥0的部分，再作出y＝x的图像中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图像，如图1实线部分．
图1 图2
(2)将函数y＝log2x的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图2.
(3)∵y＝＝2＋，故函数图像可由y＝图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图3.
图3
图4
(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像如图4.
点评：画函数的图像一定要注意函数的定义域，对于图像无限趋近的渐近线也应用虚线画出．
1．作出下列函数的图像．
(1)y＝3|x|；(2)y＝|log2x－1|；(3)y＝|x－2|·(x＋1)．
[解] (1)先作出函数y＝3x(x≥0)的图像，再作出x≥0时图像关于y轴对称的图像，即得y＝3|x|的图像，如图所示：
(2)先作出y＝log2x的图像，再将其图像向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图像翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图像，如图所示：
(3)y＝|x－2|·(x＋1)
＝＝
分段画出其图像如图所示：
考点二 函数图像的辨识
辨析函数图像的入手点
(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图像的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图像．
(4)从函数的单调性，判断图像的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图像的循环往复．
[典例2] (1)(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图像大致为( )
A
B C
D
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝－f(2－x)的图像为( )
A B
C D
(1)B (2)B [(1)设f(x)＝(x∈[－6,6])，则f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除选项C；当x＝4时，y＝＝＞7，因此排除A、D，故选B.
(2)法一：(图像变换法)作出与函数y＝f(x)的图像关于y轴对称的图形得到函数y＝f(－x)的图像，再把得到的图像向右平移2个单位，得到函数y＝f(2－x)的图像，再作出与此图像关于x轴对称的图形，得到y＝－f(2－x)的图像，故选B.
法二：(特殊值验证)当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；
当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.
观察各选项可知，应选B.]
点评：在识图时，先判断奇偶性，再用特殊值排除．
1．(2020·淄博模拟)函数f(x)＝ln(x2＋2)－ex－1的图像可能是( )
A B C
D
A [当x→＋∞时，f(x)→－∞，故排除D；
易知f(x)在R上连续，故排除B；
且f(0)＝ln
2－e－1＞0，故排除C，故选A.]
2．已知图1中的图像是函数y＝f(x)的图像，则图2中的图像对应的函数可能是( )
图1 图2
A．y＝f(|x|)
B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|)
D．y＝－f(－|x|)
C [因为题图2中的图像是在题图1的基础上，去掉函数y＝f(x)的图像在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图像翻折到y轴右侧得来的，所以题图2中的图像对应的函数可能是y＝f(－|x|)．故选C.]
考点三 函数图像的应用
研究函数的性质
根据函数的图像研究函数性质的方法
(1)观察函数图像是否连续，左右范围以及最高点和最低点，确定定义域、值域．
(2)观察函数图像是否关于原点或y轴对称，确定函数的奇偶性．
(3)根据函数图像上升和下降的情况，确定单调性．
[典例3－1] (1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
(2)对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
(1)C (2) [(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
(2)函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图像如图所示，由图像可得，其最小值为.
]
利用图像解不等式
利用函数图像研究不等式
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图像(图像易得)的上、下关系问题，利用图像法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图像，再结合图像求解．
[典例3－2] (2020·北京高考)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是( )
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0,1)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D [f(x)＞0?2x＞x＋1，在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图像，如图所示，两图像交点坐标为A(0,1)和B(1,2)，
观察图像可知不等式f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D.]
研究方程根的个数(求参数的取值范围)
利用函数图像研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图像研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是f(x)的图像与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与函数y＝g(x)图像的交点的横坐标．
[典例3－3] (1)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝x|x－4|，若直线y＝a与函数f(x)的图像有三个交点A，B，C，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是________．
(1) (2)(8,6＋2) [(1)先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图像，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.
(2)f(x)＝x|x－4|＝
其图像如图所示．
由图像可得x1＋x2＝4,4＜x3＜2＋2，
所以8＜x1＋x2＋x3＜6＋2.]
1．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的图像关于点(1,2)中心对称
B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数
C．函数f(x)的图像上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴
D．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称
A [因为y＝＝＝＋2，所以该函数图像可以由y＝的图像向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图像关于点(1,2)中心对称，A正确，D错误；易知函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误；易知函数f(x)的图像是由y＝的图像平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误．故选A.]
2.如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1＜x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|－1＜x≤2}
C [令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图像如图所示．
由得
所以结合图像知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．]
3．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．
(0,1] [作出函数y＝f(x)与y＝k的图像，如图所示，
由图可知k∈(0,1]．]
PAGE 函数与方程
[考试要求] 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．
1．函数的零点
(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
(4)二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图像
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
有关函数零点的三个结论
(1)若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像连续不断，且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点．
(2)f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
(3)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图像连续不断，则f(a)·f(b)<0?函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( )
(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )
(5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
二、教材习题衍生
1．已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
B [∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点．]
2．函数f(x)＝ln
x＋2x－6的零点所在的区间是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
C [由题意得f(1)＝ln
1＋2－6＝－4＜0，
f(2)＝ln
2＋4－6＝ln
2－2＜0，
f(3)＝ln
3＋6－6＝ln
3＞0，
f(4)＝ln
4＋8－6＝ln
4＋2＞0，
∴f(x)的零点所在的区间为(2,3)．]
3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．
1 [∵函数f(x)＝ex＋3x在R上是增函数，且f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，
∴f(－1)·f(0)＜0，因此函数f(x)有唯一零点．]
4．若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
(－∞，4) [由题意知Δ＝16－4a＞0，解得a＜4.]
考点一 判定函数零点所在区间
判断函数零点所在区间的方法
1．设函数f(x)＝x－ln
x，则函数y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)上均有零点
B．在区间，(1，e)上均无零点
C．在区间上有零点，在区间(1，e)上无零点
D．在区间上无零点，在区间(1，e)上有零点
D [当x∈时，函数图像是连续的，且f′(x)＝－＝＜0，所以f(x)在区间上单调递减，又f＝＋1＞0，
f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，所以函数f(x)在区间(1，e)上有唯一零点，故选D.]
2．若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间( )
A.
B.
C.
D.
C [令f(x)＝x－x，则x0是函数f(x)的零点，函数f(x)在R上图像是连续的，
且f(0)＝1＞0，f
＝－＞0，
f
＝－＜0，∴f
·f
＜0，
因此x0∈，故选C.]
3．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
A [∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，
由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；
又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，
因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.]
4．(2020·天津模拟)设函数f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝ln
x－，若f(x1)＝g(x2)＝0，则( )
A．0＜g(x1)＜f(x2)
B．g(x1)＜0＜f(x2)
C．f(x2)＜0＜g(x1)
D．f(x2)＜g(x1)＜0
B [函数f(x)是R上的增函数，g(x)是(0，＋∞)上的增函数，∵f(0)＝e－1－4＜0，f(1)＝5－4＝1＞0，又f(x1)＝0，
∴0＜x1＜1，
∵g(1)＝－1＜0，g(2)＝ln
2－＞0，又g(x2)＝0，
∴1＜x2＜2，
∴f(x2)＞f(1)＞0，g(x1)＜g(1)＜0，
∴g(x1)＜0＜f(x2)，故选B.]
点评：由f(a)·f(b)＞0，并不能说明函数f(x)在区间(a，b)上没有零点，若f(x)在(a，b)上是单调函数，则f(x)在(a，b)上无零点．
考点二 确定函数零点的个数
确定函数零点个数的方法
[典例1] (1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin
x－sin
2x在[0,2π]的零点个数为
( )
A．2
B．3
C．4
D．5
(2)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(1)B (2)D (3)C [(1)由f(x)＝2sin
x－sin
2x＝2sin
x－2sin
xcos
x＝2sin
x·(1－cos
x)＝0得sin
x＝0或cos
x＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零点有3个，故选B.
(2)依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝ln
x与y＝x2－2x的图像(如图)，可知两个函数的图像有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，综上，函数f(x)有3个零点．故选D.
(3)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．
当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图像，如图所示，两函数图像有1个交点，所以函数f(x)有1个零点．
根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.]
点评：数形结合法确定函数零点个数的关键是正确画出函数的图像．在画函数的图像时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．
1．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，
可得|log0.5x|＝x.
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x.
在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．故选B.]
2．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数是( )
A．0
B．2
C．4
D．6
C [画出函数y＝f(x)和y＝log3|x|的部分图像如图所示．由图知，函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数为4.
]
考点三 求与零点有关的参数问题
已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围的方法
根据函数零点的个数求参数的取值范围
[典例2－1] (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
C [函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图像与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图像，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]
点评：已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图像的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．
根据函数有零点求参数的取值范围
[典例2－2] (1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C.
D.
(2)已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)总有零点时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞)
B．[－1,2)
C．[－1,0)∪(1,2]
D．[0,1]
(1)D (2)A [(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，所以实数a的取值范围是.
(2)由F(x)＝0，得f(x)＝a2－a－1.∵函数f(x)的值域为(－1，＋∞)，
∴a2－a－1＞－1，解得a＜0或a＞1.故选A.]
点评：函数f(x)有零点?f(x)＝0有解，此时可分离参数，化为a＝g(x)的形式，则a的取值范围就是g(x)的值域．
1．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，1]
C．[－1,0)
D．(0,1]
D [当x＞0时，由2x－1＝0得x＝，即x＝是函数f(x)的一个零点，故方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一个解．即a＝2x在(－∞，0]上有一个解，又当x∈(－∞，0]时0＜2x≤1，则0＜a≤1，故选D.]
2．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．
[∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．
令y＝4x－2x＝2－.
∵x∈[－1,1]，∴2x∈，
∴2－∈.
∴实数a的取值范围是.]
核心素养3 用数学的眼光观察世界——解嵌套函数的零点问题
函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图像、性质求解.
嵌套函数零点个数的判断
已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是( )
A．4
B．5
C．6
D．7
A [令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0的根的问题．
令y＝f(t)－2t－＝0，则f(t)＝2t＋.
分别作出y＝f(t)和y＝2t＋的图像，如图1，由图像可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1＜t2)，则t1＝0,1＜t2＜2；
由图2，结合图像，当f(x)＝0时，有一解，即x＝2；
当f(x)＝t2时，结合图像，有3个解．
所以y＝f[f(x)]－2f(x)－共有4个零点．
]
图1 图2
[评析] 1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤
(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．
(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图像交点个数．
2．抓住两点：(1)转化换元．(2)充分利用函数的图像与性质．
已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是_____．
5 [由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝或f(x)＝1，
作出函数y＝f(x)的图像如图所示．
由图像知y＝与y＝f(x)的图像有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图像有3个交点．
因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个．]
已知嵌套函数的零点个数求参数
函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
[－1，＋∞) [设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图像(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图像有两个交点．
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1.
当t1＜－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．]
[评析] (1)求解本题抓住分段函数的图像性质，由y＝a与y＝f(t)的图像，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图像确定零点的个数．
(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．
设定义域为R的函数f(x)＝若关于x的方程2f2(x)＋2bf(x)＋1＝0有8个不同的实数根，则b的取值范围是________．
(－1.5，－) [根据题意作出f(x)的简图：
由图像可得当f(x)∈(0,1)时，有四个不同的x与f(x)对应．再结合题中“方程2f2(x)＋2bf(x)＋1＝0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于K的方程2K2＋2bK＋1＝0有两个不同的实数根K1，K2，且K1和K2均为大于0且小于1的实数．
列式如下：即
可得－1.5＜b＜－.]
PAGE 函数模型及其应用
[考试要求]
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
1．常见的7种函数模型
(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
提醒：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
2．三种函数模型的性质
函数性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性
增加的
增加的
增加的
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图像的变化
随x的增大，逐渐表现为与y轴平行
随x的增大，逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)内单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
(2)当x＞0时，x＝时取最小值2，
当x＜0时，x＝－时取最大值－2.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )
(2)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.( )
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞1)的增长速度．( )
(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )
(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
二、教材习题衍生
1．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如表所示：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x
B．y＝x2－1
C．y＝2x－2
D．y＝log2x
D [在直角坐标系中，描点连线画出图像，观察图像知选D.]
2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )
(注：结余＝收入－支出)
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
D [由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．]
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
18 [利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．]
4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100
km，票价是0.5元/km；如果超过100
km，超过100
km的部分按0.4元/km定价．则客运票价y(元)与行程数x(km)之间的函数关系式是________．
y＝ [由题意可得y＝]
考点一 用函数图像刻画变化过程
判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法
1．(2020·新高考全国卷Ⅱ改编)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是
( )
①这11天复工指数和复产指数均逐日增加；
②这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；
③第3天至第11天复工复产指数均超过80%；
④第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量．
A．①③④ B．②③④ C．③④ D．①④
C [对于①，由折线图知这11天的复工复产指数有增有减，故①错．
对于②，由第1天和第11天复工和复产指数位置可知，复产指数的增量小于复工指数的增量，故②错．
对于③，由折线图知，第3天至第11天复工、复产指数均超过80%，故③正确．
对于④，由折线图知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故④正确．]
2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
D [根据图像知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．]
3.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4
m和a
m(0＜a＜12)．不考虑树的粗细，现用16
m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图像大致是( )
A B C
D
B [设AD的长为x
m，则CD的长为(16－x)m，则矩形ABCD的面积为x(16－x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a(16－a)．画出函数图像可得其形状与B选项接近，故选B.]
点评：明确横纵坐标所表示的量，正确理解所给的图像是解题的关键．
考点二 已知函数模型解决实际问题
已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
[典例1] (1)(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln
2≈0.69)( )
A．1.2天
B．1.8天
C．2.5天
D．3.5天
(2)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2020年前三个月的煤气费如下表：
月份
用气量
煤气费
一月份
4
m3
4元
二月份
25
m3
14元
三月份
35
m3
19元
若四月份该家庭使用了20
m3的煤气，则其煤气费为( )
A．11.5元
B．11元
C．10.5元
D．10元
(1)B (2)A [(1)∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.
若则e0.38(t2－t1)＝2,0.38(t2－t1)＝ln
2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B.
(2)根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝
所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5，故选A.]
1．某工厂生产某种产品固定成本为2
000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K(单位：万元)是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
2
500 [由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2
000＝－10Q－2
000＝－(Q－300)2＋2
500，
所以当Q＝300时，L(Q)max＝2
500(万元)．]
2．一个容器装有细沙a
cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t
min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8
min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
16 [当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，
∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－b
t＝a，e－b
t＝＝(e－8
b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16
min.]
考点三 构建函数模型解决实际问题
构建函数模型解决实际问题的步骤
构建一次函数、二次函数模型
[典例2－1] 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．
[解] (1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－120，
令＝x，则x2＝6t，即t＝，所以y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，
所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，
即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨．
(2)由(1)及题意得400＋10x2－120x＜80，
即x2－12x＋32＜0，
解得4＜x＜8，即4＜＜8，＜t＜.
因为－＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．
点评：二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．
构建指数函数、对数函数模型
[典例2－2] (1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg
1.12≈0.05，lg
1.3≈0.11，lg
2≈0.30)
A．2018年
B．2019年
C．2020年
D．2021年
(2)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据：lg
2≈0.301
0,100.007
5≈1.017)( )
A．1.5%
B．1.6%
C．1.7%
D．1.8%
(1)C (2)C [(1)设第n(n∈N
)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
根据题意得130(1＋12%)n－1＞200，
即1.12n－1＞，
两边取常用对数得n－1＞，
解得n＞，
又n∈N
，∴n≥5，因此该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年，故选C.
(2)设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg
2，所以lg(1＋x)＝≈0.007
5，所以100.007
5＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%.故选C.]
构建y＝x＋(a＞0)函数模型
[典例2－3] 某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
[解] 设该养殖场x(x∈N
)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元．
因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)．
从而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥2＋357＝417，
当且仅当＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
点评：利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件．
构建分段函数模型
[典例2－4] “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x≤4时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数；当x≥20时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．
(1)当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？求出最大值．
[解] (1)由题意得当0＜x≤4时，v＝2；
当4＜x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)，
由已知得解得
所以v＝－x＋.
故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，
依题意并由(1)可得f(x)＝
当0＜x≤4时，
f(x)为增函数，
故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；
当4＜x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5.
所以当0＜x≤20时，f(x)的最大值为12.5.
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
点评：求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小求出分段函数的最值．
1.(2020·南昌模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的
上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________.
2 [由题意可得9＝·x，得BC＝－，
∴y＝＋≥2＝6，当且仅当＝(2≤x＜6)，即x＝2时等号成立．]
2．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
[解] (1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3，
∵x为正整数，∴3≤x≤6，x∈N
.
当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈N
.
∴y＝
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N
)，
显然当x＝6时，ymax＝185；
对于y＝－3x2＋68x－115＝－32＋(6＜x≤20，x∈N
)，当x＝11时，ymax＝270.
∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
PAGE
