第四章
三角函数、解三角形
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式从高考题型、题量来看，一般有两种方式：二个小题或一个小题另加一个解答题，分值为为10分或17分左右．2．考查内容(1)客观题主要考查三角函数的定义，图像与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识．(2)解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图像与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.
任意角、弧度制及任意角的三角函数
[考试要求]
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝
rad；②1
rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
提醒：有关角度与弧度的两个注意点
(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
3．任意角的三角函数
(1)定义
设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝(x≠0)．
拓展：任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，
则sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
1．象限角
2．轴线角
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( )
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( )
(3)不相等的角终边一定不相同．( )
(4)若α为第一象限角，则sin
α＋cos
α＞1.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．若θ满足sin
θ＜0，cos
θ＞0，则θ的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [∵sin
θ＜0，cos
θ＞0，∴θ的终边落在第四象限．]
2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
C [∵＝2π＋，
∴与终边相同．
又角度制与弧度制不可同时混用，故选C.]
3．角－225°＝________弧度，这个角的终边落在第________象限．
[答案] － 二
4．设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos
θ－sin
θ＝________.
[由已知并结合三角函数的定义，得sin
θ＝－，
cos
θ＝，所以2cos
θ－sin
θ＝2×－＝.]
5．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________rad.
[弦和两条半径构成等边三角形，因此这条弦所对的圆心角大小为rad.]
考点一 象限角及终边相同的角
1.象限角的两种判断方法
2．求或nθ(n∈N
)所在象限的步骤
(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；
(2)两边同除以n或乘n；
(3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N
)所在的象限．
1．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是
( )
A
B
C D
B [当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边相同；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤的终边相同，故选B.]
2．设θ是第三象限角，且＝－cos
，则是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
B [∵θ是第三象限角，
∴π＋2kπ＜θ＜＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z，
∴的终边落在第二、四象限，
又＝－cos
，∴cos
＜0，
∴是第二象限角．]
3．与－2
010°终边相同的最小正角是________．
150° [与－2
010°终边相同的角可表示为α＝－2
010°＋k·360°，k∈Z，
又当k＝6时，α＝150°，故与－2
010°终边相同的最小正角为150°.]
4．终边在直线y＝x上的角的集合是________．
[终边在直线y＝x上且在第一象限的角为α＝2kπ＋(k∈Z)，终边在直线y＝x上且在第三象限的角为β＝2kπ＋π＋＝(2k＋1)π＋(k∈Z)．
则终边在直线y＝x上的角的集合为.]
点评：利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
考点二 扇形的弧长及面积公式的应用
有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
[典例1] 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10
cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10
cm，面积是4
cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20
cm，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
[解] (1)α＝60°＝rad，
所以l＝α·R＝×10＝(cm)．
(2)由题意得?(舍去)或
故扇形圆心角为rad.
(3)由已知得l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5
cm时，S取得最大值25
cm2，
此时l＝10
cm，α＝2
rad.
1．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A.
B.
C.3
D.
D [如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，
作OM⊥AB，垂足为M，
在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，
∴AM＝r，AB＝r，
∴l＝r，
由弧长公式得α＝＝＝.]
2．已知扇形弧长为20
cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.
[由弧长公式l＝|α|r，
得r＝＝，
所以S扇形＝lr＝×20×＝.]
考点三 三角函数的定义及应用
利用三角函数的定义求值
三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．
(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．
[典例2－1] (1)已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin
α·tan
α＝
( )
A．－
B．±
C．－
D．±
(2)若角α的终边经过点P(－，m)(m≠0)，且sin
θ＝m，则cos
θ＝________.
(3)若角α的终边在直线y＝－x上，求sin
α，cos
α和tan
α的值．
(1)C (2)－ [(1)由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，则y＝或y＝－.
当y＝时，sin
α＝，tan
α＝－，此时，sin
α·tan
α＝－；
当y＝－时，sin
α＝－，tan
α＝，此时，sin
α·tan
α＝－.
综上所述，选C.
(2)r＝，由sin
θ＝＝m，
整理得m2＝5，则r＝＝＝2.
∴cos
θ＝＝－.]
(3)[解] 由题意知tan
α＝－，
①当角α终边落在第二象限，设角α终边上一点P(－3,4)，r＝5，∴sin
α＝，cos
α＝－，
②当角α终边落在第四象限，设角α终边上一点P(3，－4)，r＝5，sin
α＝
－，cos
α＝.
点评：充分利用三角函数的定义解题是解答此类问题的关键，对于含字母的方程求解要注意字母的范围．
三角函数值的符号判断
已知一角的三角函数值(sin
α，cos
α，tan
α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．
[典例2－2] (1)(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( )
A．cos
2α＞0
B．cos
2α＜0
C．sin
2α＞0
D．sin
2α＜0
(2)若sin
α·tan
α＜0，且＜0，则角α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
(1)D (2)C [(1)∵α是第四象限角，
∴sin
α＜0，cos
α＞0，
∴sin
2α＝2sin
αcos
α＜0，故选D.
(2)由sin
α·tan
α＜0可知sin
α，tan
α异号，
则α为第二象限角或第三象限角．
由＜0可知cos
α，tan
α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角，故选C.]
1．函数y＝loga(x－3)＋2(a＞0且a≠1)的图像过定点P，且角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，则sin
α＋cos
α的值为( )
A.
B.
C.
D.
D [∵函数y＝loga(x－3)＋2的图像恒过定点P(4,2)，且角α的终边过点P，设P(x，y)，∴x＝4，y＝2，r＝2，∴sin
α＝，cos
α＝，∴sin
α＋cos
α＝＋＝.]
2．已知点P(tan
α，cos
α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B [∵tan
α＜0，cos
α＜0，∴α在第二象限．]
3．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos
α＝x，则tan
α＝________.
－ [r＝，由cos
α＝＝x，整理得＝5，
解得x＝±3.∵α是第二象限角，∴x＜0，∴x＝－3，则tan
α＝－.]
PAGE 同角三角函数的基本关系与诱导公式
[考试要求]
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2
α＋cos2
α＝1，＝tan
α.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan
α＝.
提醒：平方关系对任意角α都成立，而商数关系中α≠kπ＋，k∈Z.
2．诱导公式
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin
α
－sin
α
sin
α
cos
α
cos_α
余弦
cos
α
－cos
α
cos
α
－cos_α
sin
α
－sin
α
正切
tan
α
tan
α
－tan
α
－tan_α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos
α)(1－cos
α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin
α)(1－sin
α)．
(2)(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α.
(3)sin
α＝tan
αcos
α.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( )
(2)若α∈R，则tan
α＝恒成立．( )
(3)sin(π＋α)＝－sin
α成立的条件是α为锐角．( )
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin
α＝.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．化简sin
690°的值是( )
A.
B．－
C.
D．－
B [sin
690°＝sin(720°－30°)＝－sin
30°＝－.选B.]
2．若sin
α＝，＜α＜π，则tan
α＝________.
－ [∵＜α＜π，∴cos
α＝－＝－，
∴tan
α＝＝－.]
3．已知tan
α＝2，则的值为________．
3 [原式＝＝＝3.]
4．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
－sin2α [原式＝·(－sin
α)·cos
α＝－sin2α.]
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
“知一求二”问题
对sin
α，cos
α，tan
α的知一求二问题
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan
α可以实现角α的弦切互化．
(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
1．若α∈，sin(π－α)＝，则tan
α＝( )
A．－
B.
C．－
D.
C [因为α∈，sin
α＝，所以cos
α＝－，所以tan
α＝－，故选C.]
2．已知tan
α＝2，π＜α＜，则sin
α＋cos
α＝( )
A．－
B．－
C．－
D．
A [由tan
α＝＝2，得sin
α＝2cos
α.
代入sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝.
又π＜α＜，∴cos
α＝－，sin
α＝tan
αcos
α＝－，
∴sin
α＋cos
α＝－，故选A.]
已知tan
α求sin
α，cos
α齐次式的值
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为1的二次式，可用sin2α＋cos2α做分母求解．
[典例1－1] (1)已知＝5，则cos2α＋sin
2α的值是( )
A．
B．－
C．－3
D．3
(2)已知α∈，sin
α＋cos
α＝，则tan
α＝( )
A．－
B．－或－
C．
D．或－
(1)A (2)A [(1)由＝5得＝5，可得tan
α＝2，则cos2α＋sin
2α＝cos2α＋sin
αcos
α＝＝＝.故选A.
(2)由sin
α＋cos
α＝，得1＋2sin
αcos
α＝，
即2sin
αcos
α＝－.
又2sin
αcos
α＝＝＝－，
∴12tan2α＋25tan
α＋12＝0，
解得tan
α＝－或tan
α＝－.
又∵α∈，∴tan
α∈(－1,1)，
∴tan
α＝－，故选A.]
点评：解题中要注意sin2α＋cos2α＝1的应用．
sin
α±cos
α与sin
αcos
α关系的应用
对于sin
α＋cos
α，sin
α－cos
α，sin
αcos
α这三个式子，知一可求二，若令sin
α＋cos
α＝t(t∈[－，])，则sin
αcos
α＝，sin
α－cos
α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
[典例1－2] 已知x∈(－π，0)，sin
x＋cos
x＝.
(1)求sin
x－cos
x的值；
(2)求的值．
[解] (1)由sin
x＋cos
x＝，
平方得sin2x＋2sin
xcos
x＋cos2x＝，
整理得2sin
xcos
x＝－.
∴(sin
x－cos
x)2＝1－2sin
xcos
x＝.
由x∈(－π，0)，知sin
x＜0，
又sin
x＋cos
x＞0，
∴cos
x＞0，则sin
x－cos
x＜0，
故sin
x－cos
x＝－.
(2)＝
＝
＝＝－.
点评：利用sin
αcos
α＞0(sin
αcos
α＜0)可知sin
α，cos
α同号还是异号，再结合角α的范围或sin
α±cos
α的正负，可进一步确定sin
α，cos
α的正负．
1．若|sin
θ|＋|cos
θ|＝，则sin4θ＋cos4θ＝( )
A.
B.
C.
D.
B [因为|sin
θ|＋|cos
θ|＝，
两边平方，得1＋|sin
2θ|＝.所以|sin
2θ|＝.所以sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝.故选B.]
2．已知＝－1，则
(1)＝________；
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2＝________.
(1)－ (2) [由＝－1得tan
α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2＝＝＝＝.]
3．已知θ为第二象限角，sin
θ，cos
θ是关于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则m＝________，sin
θ－cos
θ＝________.
－ [因为sin
θ，cos
θ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sin
θ＋cos
θ＝，sin
θ·cos
θ＝，可得(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θ·cos
θ＝1＋m＝，解得m＝－.因为θ为第二象限角，所以sin
θ＞0，cos
θ＜0，即sin
θ－cos
θ＞0，因为(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θ·cos
θ＝1－m＝1＋，所以sin
θ－cos
θ＝＝.]
考点二 诱导公式的应用
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
2．明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
[典例
2] (1)设f(α)＝
(1＋2sin
α≠0)，则f
＝________.
(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．
(1) (2)0 [(1)因为f(α)＝＝＝＝，所以f
＝＝＝＝.
(2)因为cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.]
点评：在使用诱导公式时，若不是诱导公式的标准形式，如：sin，cos(－π－α)等，先化为标准形式，再用诱导公式化简．
1．若sin
α是方程5x2－7x－6＝0的根，则＝( )
A.
B.
C.
D.
B [∵方程5x2－7x－6＝0的两根分别为x1＝2和x2＝－，∴sin
α＝－.
则
＝＝＝－＝，故选B.]
2．计算：sin(－1
200°)cos
1
290°＋cos(－1
020°)sin(－1
050°)＋tan
945°＝________.
2 [原式＝－sin
120°cos
210°＋cos
60°sin
30°＋tan
225°＝sin
120°cos
30°＋cos
60°sin
30°＋tan
45°＝＋＋1＝2.]
3．已知sin＝，则cos＝________.
－ [由题意知，cos＝cos＝－sin＝－.]
考点三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求
基本思路
①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式
化简要求
①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值
[典例3] 已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f＋f的值．
[解] (1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝＝＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝＝
＝sin2x，
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得f＋f
＝sin2＋sin2
＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.
1．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin
α的值是( )
A.
B.
C.
D.
C [由已知可得－2tan
α＋3sin
β＋5＝0.
tan
α－6sin
β－1＝0，
解得tan
α＝3，
又α为锐角，故sin
α＝.]
2．已知sin
α＋cos
α＝－，且＜α＜π，则＋的值为________．
[由sin
α＋cos
α＝－，两边平方得
sin
αcos
α＝－，
∵＜α＜π，
∴sin
α－cos
α＝＝，
∴＋＝－＝＝＝.]
PAGE 三角恒等变换
[考试要求]
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β；
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin
2α＝2sin
αcos
α；
(2)cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan
2α＝.
提醒：(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况．
(2)二倍角是相对的，如是的2倍，3α是的2倍．
3．辅助角公式
asin
α＋bcos
α＝sin(α＋φ)
1．公式的常用变式
tan
α±tan
β＝tan(α±β)(1?tan
αtan
β)；
sin
2α＝＝；
cos
2α＝＝.
2．降幂公式
sin2α＝；
cos2α＝；
sin
αcos
α＝sin
2α.
3．升幂公式
1＋cos
α＝2cos2；
1－cos
α＝2sin2；
1＋sin
α＝2；
1－sin
α＝2.
4．半角正切公式
tan
＝＝.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β成立．( )
(2)公式asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )
(3)cos
θ＝2cos2－1＝1－2sin2.( )
(4)当α是第一象限角时，sin
＝.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．已知cos
α＝－，α是第三象限角，则cos为( )
A．
B．－
C．
D．－
A [∵cos
α＝－，α是第三象限角，
∴sin
α＝－＝－.
∴cos＝(cos
α－sin
α)＝
＝.故选A.]
2．已知sin
α－cos
α＝，则sin
2α＝( )
A．－
B．－
C．
D．
A [∵sin
α－cos
α＝，
∴(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α
＝1－sin
2α＝，
∴sin
2α＝－.
故选A.]
3．计算：sin
108°cos
42°－cos
72°·sin
42°＝________.
[原式＝sin(180°－72°)cos
42°－cos
72°sin
42°
＝sin
72°cos
42°－cos
72°sin
42°＝sin(72°－42°)
＝sin
30°＝.]
4．若tan
α＝，tan(α＋β)＝，则tan
β＝________.
[tan
β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.]
第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
考点一 公式的直接应用
应用公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
[典例1] (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos
2α－8cos
α＝5，则sin
α＝( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知α，β为锐角，tan
α＝，cos(α＋β)＝－.
①求cos
2α的值；
②求tan(α－β)的值．
(1)A [由3cos
2α－8cos
α＝5，得3(2cos2α－1)－8cos
α＝5，
即3cos2α－4cos
α－4＝0，
解得cos
α＝－或cos
α＝2(舍去)．
又∵α∈(0，π)，∴sin
α＞0，
∴sin
α＝＝＝，故选A.]
(2)[解] ①因为tan
α＝，
所以sin
α＝cos
α.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此cos
2α＝2cos2α－1＝－.
②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).
又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan
α＝，所以tan
2α＝＝－，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
1．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan
θ－tan
＝7，则tan
θ＝( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
D [由已知得2tan
θ－＝7，得tan
θ＝2.]
2．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin
2α＝cos
2α＋1，则sin
α＝( )
A.
B.
C.
D.
B [由二倍角公式可知4sin
αcos
α＝2cos2α.
∵α∈，∴cos
α≠0，
∴2sin
α＝cos
α，∴tan
α＝，∴sin
α＝.故选B.]
考点二 公式的逆用和变形
两角和、差及倍角公式的逆用和变形的技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)公式的一些常用变形
①sin
αsin
β＋cos(α＋β)＝cos
αcos
β；
②cos
αsin
β＋sin(α－β)＝sin
αcos
β；
③1±sin
α＝2；
④sin
2α＝＝；
⑤cos
2α＝＝；
⑥tan
α±tan
β＝tan(α±β)(1?tan
αtan
β)．
公式的逆用
[典例2－1] (1)(2020·全国卷Ⅲ)已知sin
θ＋sin＝1，则sin＝
( )
A.
B.
C.
D.
(2)化简＝________.
(1)B (2) [(1)由sin
θ＋sin＝1，得sin
θ＋sin
θcos
＋cos
θsin
＝1，
整理得sin
θ＋cos
θ＝1，
即＝1，
即sin＝1，
∴sin＝，故选B.
(2)＝
＝＝＝.]
点评：(1)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
(2)tan
αtan
β，tan
α＋tan
β(或tan
α－tan
β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
公式的变形
[典例2－2] (1)若0＜θ＜π，则＝________.
(2)化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________．
(1)－cos
θ (2) [(1)由θ∈(0，π)，得0＜＜，
∴cos
＞0，
∴＝＝2cos
.
又(1＋sin
θ＋cos
θ)
＝
＝2cos
＝－2cos
cos
θ，
故原式＝＝－cos
θ.
(2)原式＝＋－sin2α
＝1－－sin2α
＝1－cos
2α·cos
－sin2α
＝1－－＝.]
1．设a＝cos
50°cos
127°＋cos
40°cos
37°，b＝(sin
56°－cos
56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
D [由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos
50°cos
127°＋cos
40°cos
37°＝cos
50°cos
127°＋sin
50°sin
127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos
77°＝sin
13°，b＝(sin
56°－cos
56°)＝sin
56°－cos
56°＝sin(56°－45°)＝sin
11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos
78°＝sin
12°.因为函数y＝sin
x，x∈为增函数，所以sin
13°＞sin
12°＞sin
11°，所以a＞c＞b.故选D.]
2．若α＋β＝－π，则(1＋tan
α)(1＋tan
β)＝________.
2 [由α＋β＝－π得tan(α＋β)＝tan＝1，
∴(1＋tan
α)(1＋tan
β)＝1＋tan
α＋tan
β＋tan
αtan
β
＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)＋tan
αtan
β＋1
＝1－tan
αtan
β＋tan
αtan
β＋1＝2.]
考点三 利用“角的变换”求值
三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[典例3] (1)已知cos＝，则cos
x＋cos＝( )
A.
B.
C.
D.
(2)若α∈，且sin＝，则cos＝________.
(3)已知sin＝，则cos＝________.
(1)D (2) (3)－ [(1)法一：cos
x＋cos＝cos＋cos
＝2coscos＝，故选D.
法二：cos
x＋cos＝cos
x＋cos
xcos
＋sin
xsin
＝sin
x＋cos
x
＝＝cos
＝，故选D.
(2)由于角α为锐角，且sin＝，
则cos＝，
则cos＝cos
＝coscos
＋sinsin
＝×＋×＝.
(3)cos＝cos＝sin＝，
∴cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.]
点评：常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
1．已知sin＝，α∈，
则(1)cos
α＝________；
(2)sin＝________.
(1)－ (2)－ [(1)由α∈知α＋∈，
∴cos＝－＝－＝－，
∴cos
α＝cos
＝coscos
＋sinsin
＝－×＋×＝－.
(2)由α∈和(1)知，得sin
α＝.
∴sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝－，
cos
2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－，
∴sin＝sin
2αcos
－cos
2αsin
＝＝－.]
2．已知cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为________．
[cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝，
所以cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝.]
PAGE第2课时 简单的三角恒等变换
考点一 三角函数式的化简
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
1．化简：＝________.
2cos
α [＝＝2·cos
α.]
2．化简：＝________.
cos
2x [原式＝
＝
＝＝＝cos
2x.]
3．化简：－2cos(α＋β)＝________.
[原式＝
＝
＝＝＝.]
点评：(1)化简标准：函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等．
(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用．
考点二 三角函数式的求值
三角函数式求值的三种题型
(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．
(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．
(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是，选正弦函数．
给角求值
[典例1－1] [2sin
50°＋sin
10°(1＋tan
10°)]·＝________.
[原式＝·sin
80°＝·cos
10°＝2[sin
50°·cos
10°＋sin
10°·cos(60°－10°)]＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.]
给值求值
[典例1－2] (1)设α为锐角，若cos＝－，则sin的值为( )
A.
B.
C.－
D.
(2)已知0＜x＜，sin＝，则＝________.
(1)B (2) [(1)由0＜α＜得＜α＋＜π，
∴sin＝＝，
∴sin＝2sincos＝－，
cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－，
∴sin＝sin＝sin·cos－cossin
＝×－×＝，故选B.
(2)法一：(先化简后求值)
＝＝(cos
x＋sin
x)＝2cos.
由0＜x＜得0＜－x＜，
∴cos＝＝＝，
∴原式＝2×＝.
法二：(先局部后整体)
cos＝cos＝sin＝，
由0＜x＜得0＜－x＜，
∴cos＝＝＝，
∴cos
2x＝sin＝2sincos
＝2××＝.
∴＝×＝.]
点评：(1)给值求值的关键是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．
(2)注意与互余，sin
2＝cos
2x，cos
2＝sin
2x的灵活应用．
给值求角
[典例1－3] (1)已知sin
α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β的值是________．
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan
β＝－，则2α－β的值为________．
(1) (2)－π [(1)由0＜α＜，0＜β＜，得－＜α－β＜，
∴cos(α－β)＝＝.
又cos
α＝，
∴sin
β＝sin[α－(α－β)]＝sin
αcos(α－β)－cos
αsin(α－β)＝×－×＝.
又∵角β是锐角，
∴β＝.
(2)∵tan
α＝tan[(α－β)＋β]
＝＝＝＞0，
∴0＜α＜.
又∵tan
2α＝＝＝＞0，
∴0＜2α＜，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan
β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，
∴2α－β＝－.]
点评：求角时，一定要注意所求角的范围，并在解题过程中根据三角函数值的正负进一步缩小有关角的范围，以保证所求角在最小的范围内．
1.＋＝( )
A．－4
B．4
C．－2
D．2
B [＋＝－＝
＝＝＝4.]
2．若sin
2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A.
B.
C.或
D.或
A [因为α∈，且0＜sin
2α＝＜，所以2α∈，
所以α∈，cos
2α＝－＝－.
因为β∈，所以β－α∈，
又sin(β－α)＝＞0，所以β－α∈，
所以cos(β－α)＝－＝－.
所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]
＝cos
2αcos(β－α)－sin
2αsin(β－α)
＝－×－×＝.
又α∈，β∈，所以α＋β∈，所以α＋β＝.故选A.]
3．已知sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，则sin(α＋β)＝________.
－ [由sin
α＋cos
β＝1得sin2α＋cos2β＋2sin
αcos
β＝1①，
由cos
α＋sin
β＝0得cos2α＋sin2β＋2cos
αsin
β＝0②，
①＋②得2＋2(sin
αcos
β＋cos
αsin
β)＝1，
即2sin(α＋β)＝－1，
∴sin(α＋β)＝－.]
4．已知α－β＝，tan
α－tan
β＝3，则cos(α＋β)＝________.
－ [由tan
α－tan
β＝3得－＝
＝＝＝3，
∴cos
αcos
β＝.
又cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝，
∴sin
αsin
β＝－，
∴cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝－＝－.]
PAGE 三角函数的图像与性质
[考试要求]
1.能画出y＝sin
x，y＝cos
x，y＝tan
x的图像，了解三角函数的周期性.
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin
x，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图像
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
递增区间：，k∈Z，递减区间：，k∈Z
递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
递增区间，k∈Z
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心(kπ，0)，k∈Z
对称中心，k∈Z
对称中心，k∈Z
对称轴x＝kπ＋(k∈Z)
对称轴x＝kπ(k∈Z)
周期性
2π
2π
π
提醒：(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y＝tan
x无单调递减区间，y＝tan
x在整个定义域内不单调．
(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数?φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数?φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数?φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数?φ＝kπ(k∈Z)．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数y＝tan
x在定义域内是增函数．( )
(2)已知y＝ksin
x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(3)函数y＝sin
x的图像关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．( )
(4)y＝sin|x|与y＝|sin
x|都是周期函数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．若函数y＝2sin
2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
A [T＝＝π，A＝2－1＝1，故选A.]
2．函数y＝tan
2x的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
D [由2x≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z，
∴y＝tan
2x的定义域为.]
3．y＝sin的单调减区间是________．
(k∈Z) [由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.]
4．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.
5 ＋2kπ(k∈Z) [函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝π＋2kπ(k∈Z)．]
考点一 三角函数的定义域
三角函数定义域的求法
(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)．
(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图像或三角函数线．
(3)对于函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域可令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z求解．
1．函数y＝的定义域为________．
[要使函数有意义，必须有
即
故函数的定义域为.]
2．函数y＝lg(sin
x)＋的定义域为________．
[函数有意义，则
即
解得
所以2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，
所以函数的定义域为.]
3．函数y＝的定义域为________．
[法一：要使函数有意义，必须使sin
x－cos
x≥0.利用图像，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin
x和y＝cos
x的图像，如图所示．在[0,2π]内，满足sin
x＝cos
x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
法二：sin
x－cos
x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin
x的图像和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以定义域为.]
点评：若定义域中含kπ或2kπ应注明k∈Z.
考点二 三角函数的值域(最值)
求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路
(1)形如y＝asin
x＋bcos
x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin
x＋c的三角函数，可先设sin
x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin
xcos
x＋b(sin
x±cos
x)＋c的三角函数，可先设t＝sin
x±cos
x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
[典例1] (1)已知函数f(x)＝2sin2x＋2sin
xcos
x－，则函数f(x)在区间上的值域是________．
(2)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos
x的最小值为________．
(3)函数y＝sin
x－cos
x＋sin
xcos
x的值域为________．
(1)(－1,2] (2)－4 (3) [(1)f(x)＝2sin2x＋2sin
xcos
x－＝(1－cos
2x)＋sin
2x－＝sin
2x－cos
2x＝2sin.
∵＜x＜，
∴＜2x－＜，
∴－＜sin≤1，
∴－1＜2sin≤2，
即函数f(x)在区间上的值域是(－1,2]．
(2)∵f(x)＝sin－3cos
x＝－cos
2x－3cos
x＝－2cos2x－3cos
x＋1，
令cos
x＝t，则t∈[－1,1]．
∴f(t)＝－2t2－3t＋1＝－22＋，
易知当t＝1时，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.
故f(x)的最小值为－4.
(3)设t＝sin
x－cos
x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin
x·cos
x，sin
xcos
x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为.]
点评：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，令t＝ωx＋φ，求出t的范围，再根据y＝sin
t的图像求sin
t的值域，这是常用的方法．
1．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________．
[当x∈时，2x－∈，
∴sin∈，
故3sin∈，
∴函数f(x)在区间上的值域为.]
2．函数f(x)＝sin2x＋cos
x－的最大值是________．
1 [依题意，f(x)＝sin2x＋cos
x－
＝－cos2x＋cos
x＋＝－2＋1，
因为x∈，所以cos
x∈[0,1]，
因此当cos
x＝时，f(x)max＝1.]
考点三 三角函数的单调性
求三角函数的单调区间
三角函数单调区间的求法
(1)将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数．
(2)根据y＝sin
x和y＝cos
x的单调区间及A的正负，列不等式求解．
[典例2－1] (1)函数f(x)＝3sin的一个单调递减区间是( )
A.
B.
C.
D.
(2)函数y＝sin
x＋cos
x的单调递增区间是________．
(1)B (2) [(1)f(x)＝3sin
＝－3sin.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，
＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
k＝0时，≤x≤，
k＝1时，π≤x≤π，
k＝－1时，－≤x≤－，
∴是f(x)的一个单调递减区间，故选B.
(2)∵y＝sin
x＋cos
x＝sin，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，
又x∈，∴函数的单调递增区间为.]
点评：本例(2)
在整体求得函数y＝sin
x＋cos
x的增区间后，采用对k赋值的方式求得x∈上的区间．
已知三角函数的单调性求参数
已知单调区间求参数范围的三种方法
[典例2－2] (1)(2020·西安模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A.(0,2]
B.
C.
D.
(2)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos
x－sin
x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是
( )
A.
B.
C.
D.π
(1)D (2)A [(1)法一：(反子集法)∵x∈，∴ωx＋∈.
∵f(x)在上单调递减，
∴
解得
又ω＞0，k∈Z，
∴k＝0，此时≤ω≤，故选D.
法二：(子集法)由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，得＋≤x≤＋，k∈Z，
因为f(x)＝sin在上单调递减，
所以解得因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，
所以≤ω≤，即ω的取值范围为.故选D.
(2)f(x)＝cos
x－sin
x＝cos，
由0≤x＋≤π得－≤x≤π.
∴是f(x)的一个单调递减区间．
由题意知[－a，a]?，
∴0＜a≤，则a的最大值为，故选A.]
1．(2020·湖南省湘东六校联考)函数f(x)＝sin－，则下列表述正确的是( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
D [f(x)＝sin－，由2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，当k＝0时，x∈，所以函数f(x)在上单调递增，故选D.]
2．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若f(x)在区间上单调递增，则φ的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.∪
C [∵函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)在区间上单调递增，∴函数y＝2sin(2x＋φ)在区间上单调递减，
由＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ－≤x≤＋kπ－，k∈Z，∴＋kπ－≤，≤＋kπ－，k∈Z，∴＋kπ≤≤＋kπ，k∈Z，＋2kπ≤φ≤＋2kπ，k∈Z，∵|φ|＜π，∴令k＝0，解得≤φ≤，∴φ的取值范围是.故选C.]
3．函数g(x)＝－cos的单调递增区间为________．
， [g(x)＝－cos＝－cos，
欲求函数g(x)的单调递增区间，
只需求函数y＝cos的单调递减区间．
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
因为x∈，
所以函数g(x)的单调递增区间为，.]
4．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f＝________.
[由题意知＝－＝，故T＝π，
所以ω＝＝2，
又因为f
＝1，所以sin＝1.
因为|φ|＜，所以φ＝，
即f(x)＝sin.
故f
＝sin＝cos
＝.]
考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
三角函数的周期性
求三角函数周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的周期为T＝；
②函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝.
(2)对称性求最值
①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于；
②对称中心到对称轴距离的最小值等于；
③两个最大(小)值点之差的最小值等于T.
[典例3－1] (1)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos
2x|
B．f(x)＝|sin
2x|
C．f(x)＝cos|x|
D．f(x)＝sin|x|
(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
(1)A (2)B [(1)对于选项A，作出y＝|cos
2x|的部分图像，如图1所示，则f(x)在上单调递增，且最小正周期T＝，故A正确．
对于选项B，作出f(x)＝|sin
2x|的部分图像，如图2所示，则f(x)在上单调递减，且最小正周期T＝，故B不正确．
对于选项C，∵f(x)＝cos|x|＝cos
x，
∴最小正周期T＝2π，故C不正确．
对于选项D，作出f(x)＝sin|x|的部分图像，如图3所示．显然f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.
图1 图2
图3
(2)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝2cos2x－sin2x＋2sin2x＋2cos2x
＝4cos2x＋sin2x＝3cos2x＋1＝(1＋cos
2x)＋1
＝cos
2x＋，
因此函数f(x)的最小正周期为π，最大值为＋＝4，故选B.]
点评：带绝对值的三角函数求周期时，一般画出函数的图像，结合图像求周期．
三角函数的奇偶性
1.三角函数是奇、偶函数的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数?φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数?φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数?φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数?φ＝kπ(k∈Z)．
2．若y＝f(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，y＝0；
若y＝f(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，y取最大值或最小值．
[典例3－2] 已知函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)．
(1)若f(x)为偶函数，则φ＝________；
(2)若f(x)为奇函数，则φ＝________.
(1)π (2) [(1)因为f(x)＝3sin为偶函数，
所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，
又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.
(2)因为f(x)＝3sin为奇函数，
所以－＋φ＝kπ，k∈Z，
又φ∈(0，π)，
所以φ＝.]
三角函数的对称性
求对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)图像的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f(x)＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f(x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝(k∈Z)，求x.
[典例3－3] (1)已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图像( )
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
(2)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝对称，则φ的值为________．
(1)B (2)－ [(1)因为函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，
即f(x)＝2sin.
令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，
故f(x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)，
令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)．
故f(x)的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知B正确．
(2)由题意得f＝sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．
∵φ∈，∴φ＝－.]
点评：(1)已知x＝a是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一条对称轴，则f(a)＝±A，即ωa＋φ＝kπ＋，k∈Z.
(2)已知点(b,0)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个对称中心，则f(b)＝0，即ωb＋φ＝kπ，k∈Z.
1．函数f(x)＝的最小正周期为( )
A．
B．
C．π
D．2π
C [∵f(x)＝＝＝sin
2x，
∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，故选C.]
2．(2020·广西桂林模拟)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，那么函数y＝f(x)的图像( )
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝－对称
B [由题意知函数f(x)的周期T＝×2＝，
由＝得ω＝4，
∴f(x)＝sin.
由f
＝sin＝－1知，f(x)的图像关于直线x＝－对称．
由f
＝sin
0＝0知，f(x)的图像关于点对称，故选B.]
3．若函数y＝3cos为奇函数，则|φ|的最小值为________．
[由题意得φ－＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，
当k＝－1时，φ＝－，|φ|＝，|φ|的最小值为.]
PAGE 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用
[考试要求]
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.
2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
提醒：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像，其中相邻两点的横向距离均为.
3．由y＝sin
x的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图像
提醒：(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图像变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图像平移的规律：“左加右减，上加下减”．
(2)由y＝sin
ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将y＝3sin
2x的图像左移个单位后所得图像的解析式是y＝3sin.( )
(2)把y＝sin
x的图像上各点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图像对应的函数解析式为y＝sin
.( )
(3)y＝sin的图像是由y＝sin的图像向右平移个单位得到的．( )
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A．2,4π，
B．2，，
C．2，，－
D．2,4π，－
C [由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.]
2．为了得到函数y＝2sin的图像，可以将函数y＝2sin
2x的图像( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
A [y＝2sin＝2sin
2.]
3．为了得到y＝3cos的图像，只需把y＝3cos图像上的所有点的
( )
A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D [因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cos图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到函数y＝3cos的图像，故选D.]
4．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份x
1
2
3
4
收购价格y(元/斤)
6
7
6
5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________．
y＝sin＋6 [设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin＋6，结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，
所以y＝sin＋6.]
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及图像变换
(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．
(2)由函数y＝sin
x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图像有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
[典例1] (1)若函数f(x)＝cos，为了得到函数g(x)＝sin
2x的图像，则只需将f(x)的图像( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
(2)已知函数f(x)＝4cos
x·sin＋a的最大值为2.
①求a的值及f(x)的最小正周期；
②画出f(x)在[0，π]上的图像．
(1)A [函数f(x)＝cos＝sin＝sin，为了得到函数g(x)＝sin
2x的图像，则只需将f(x)的图像向右平移个单位长度即可．故选A.]
(2)[解] ①f(x)＝4cos
xsin＋a＝4cos
x·＋a＝sin
2x＋2cos2x＋a
＝sin
2x＋cos
2x＋1＋a
＝2sin＋1＋a的最大值为2，
所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.
②由①知f(x)＝2sin，列表：
x
0
π
2x＋
π
2π
f(x)＝2sin
1
2
0
－2
0
1
画图如下：
点评：三角函数图像变换中的三个注意点
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图像，得到的是哪个函数的图像，切不可弄错方向；
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin
x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asin
ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位．
1．要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝cos
5x的图像( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
B [函数y＝cos
5x＝sin＝sin
5，
y＝sin＝sin
5，设平移|φ|个单位，
则＋φ＝－，
解得φ＝－，故把函数y＝cos
5x的图像向右平移个单位，可得函数y＝sin的图像．]
2．将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图像，则f(x)＝( )
A．sin
B．sin
C．sin
D．sin
B [由题设知，先将函数y＝sin的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图像向右平移个单位长度即得函数f(x)的图像，故f(x)＝sin＝sin.故选B.]
考点二 由图像确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法为代入法，即把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入．
[典例2] (1)(2020·新高考全国卷Ⅰ改编)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图像，则sin(ωx＋φ)＝( )
①sin；②sin；③cos；④cos.
A．①②
B．②③
C．①③④
D．②④
(2)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为________．
(1)B (2)y＝10sin＋20，x∈[6,14] [(1)由图像知＝－＝，得T＝π，所以ω＝＝2.又图像过点，
由“五点法”，结合图像可得φ＋＝π，即φ＝，
所以sin(ωx＋φ)＝sin，故①错误；
由sin＝sin＝sin知②正确；
由sin＝sin＝cos知③正确；
由sin＝cos＝cos
＝－cos知④错误．
综上可知，故选B.
(2)从题图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，
又×＝14－6，所以ω＝.
又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，
所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．]
点评：(1)当题目中已知最值点时，最好代入最值点求φ.
(2)若φ未指定范围，一般取|φ|最小的．
1．(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图像大致如图，则f(x)的最小正周期为( )
A.
B.
C.
D.
C [由题图知，f
＝0，∴－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－(k∈Z)．设f(x)的最小正周期为T，易知T<2π<2T，
∴<2π<，∴1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝，∴T＝＝.故选C.]
2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图像如图所示，则( )
A．f(x)＝3sin＋1
B．f(x)＝2sin＋2
C．f(x)＝2sin＋2
D．f(x)＝2sin＋2
D [根据图像知解得A＝2，b＝2.
f(x)的最小正周期T＝4×＝π，
∴ω＝＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋2.
又函数图像的一个最高点为，
将其坐标代入f(x)＝2sin(2x＋φ)＋2得sin＝1.
∵|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin＋2.]
考点三 三角函数图像与性质的综合应用
解决三角函数图像与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图像，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念．
[典例3] 已知函数f(x)＝2sin
ωxcos
ωx＋2sin2ωx－(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)在[0，b](b＞0)上至少含有10个零点，求b的最小值．
[解] (1)f(x)＝2sin
ωxcos
ωx＋(2sin2ωx－1)
＝sin
2ωx－cos
2ωx
＝2sin.
由最小正周期为π，得ω＝1，
所以f(x)＝2sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
整理得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin
2x＋1的图像，
所以g(x)＝2sin
2x＋1.
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，所以b的最小值为4π＋＝.
(2019·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝( )
A．－2
B．－
C.
D．2
C [∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，
∴φ＝kπ，k∈Z，又|φ|＜π，∴φ＝0，∴f(x)＝Asin
ωx，则g(x)＝Asin.由g(x)的最小正周期T＝2π，得＝＝1，∴ω＝2.又g＝Asin
＝A＝，∴A＝2，
∴f(x)＝2sin
2x，
∴f
＝2sin
＝，故选C.]
考点四 三角函数模型的应用
三角函数的应用体现两个方面
(1)已知函数模型求解数学问题；
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
[典例4] (2020·开封模拟)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．
[解] (1)H关于t的函数关系式为H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B，
由解得A＝62，B＝83，
又函数周期为30，
所以ω＝＝，可得H(t)＝62sin＋83，
又H(0)＝62sin＋83＝21，|φ|≤，
所以sin
φ＝－1，φ＝－，
所以摩天轮转动一周的解析式为：H(t)＝62sin＋83,0≤t≤30，
(2)H(t)＝62sin＋83＝－62cost＋83，
所以－62cos
t＋83＝52，cos
t＝，
所以t＝5.
(3)由题意知，经过t分钟后游客甲距离地面高度解析式为H甲＝－62cos
t＋83，
乙与甲间隔的时间为×6＝5分钟，
所以乙距离地面高度解析式为H乙＝－62cos
(t－5)＋83,5≤t≤30，
所以两人离地面的高度差h＝|H甲－H乙|＝＝62，5≤t≤30，
当t－＝或时，即t＝10或25分钟时，h取最大值为62米．
1.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
C [由题意，函数的周期为T＝60，∴ω＝＝，
设函数解析式为y＝sin(因为秒针是顺时针走动)，
∵初始位置为P0，∴t＝0时，y＝.
∴sin
φ＝，∴φ可取，∴函数解析式为y＝sin，故选C.]
2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为________元．
6
000 [作出函数简图如图所示，三角函数模型为：y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意知：A＝2
000，B＝7
000，
T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝＝.
将(3,9
000)看成函数图像的第二个特殊点，
则有×3＋φ＝，∴φ＝0，
故f(x)＝2
000sin
x＋7
000(1≤x≤12，x∈N
)．
∴f(7)＝2
000×sin
＋7
000＝6
000.
故7月份的出厂价格为6
000元．]
PAGE 正弦定理、余弦定理
[考试要求] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
1．正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形
(1)a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C；(2)a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C；(3)＝＝2R
cos
A＝；cos
B＝；cos
C＝
提醒：在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，求第三边时，使用余弦定理比使用正弦定理简洁．
2．三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin
C；(2)cos(A＋B)＝－cos
C；
(3)sin
＝cos
；(4)cos
＝sin
.
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos
C＋ccos
B；b＝acos
C＋ccos
A；c＝bcos
A＋acos
B.
4．三角形中的大角对大边
在△ABC中，A＞B?a＞b?sin
A＞sin
B.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )
(2)在△ABC中，若sin
A＞sin
B，则A＞B.( )
(3)在△ABC中，＝.( )
(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1 C. D.
D [由＝得b＝＝＝×2＝.]
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A.
B.
C.
D.
C [由题意知，a＝BC＝7，b＝AC＝3，c＝AB＝5，
由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－.
又因为∠BAC是△ABC的内角，
所以∠BAC＝，故选C.]
3．在△ABC中，acos
A＝bcos
B，则这个三角形的形状为________．
等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，
即sin
2A＝sin
2B，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝，△ABC的面积为，则b＝________.
7 [S△ABC＝acsin
B＝×a×5×sin
＝a＝，解得a＝3.
∴b2＝a2＋c2－2accos
B＝32＋52－2×3×5×＝49，
∴b＝7.]
考点一 利用正、余弦定理解三角形
解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c.
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos
A，先求出a，再求出角B，C.
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．
[典例1] (2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin
B－sin
C)2＝sin2A－sin
Bsin
C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin
C.
[解] (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin
Bsin
C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos
A＝＝.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin
A＋sin(120°－C)＝2sin
C，即＋cos
C＋sin
C＝2sin
C，可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，
故sin
C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos
60°－cos(C＋60°)sin
60°
＝.
点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C或C＝π－m－B，由此可消去B或C.
1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin
A－bsin
B＝4csin
C，cos
A＝－，则＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
A [∵asin
A－bsin
B＝4csin
C，
∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cos
A＝＝＝＝－，∴＝6.
故选A.]
2．[结构不良试题](2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csinA＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin
A＝sin
B，C＝，________？
[解] 方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin
A＝sin
B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin
A＝sin
B及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②csin
A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin
A＝sin
B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
考点二 利用正、余弦定理解决三角形面积问题
1.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
[典例2] (1)(2020·长沙模拟)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cos
C＝ccos
A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则a＋b＝________.
(2)(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
①若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
②若sin
A＋sin
C＝，求C.
(1) [由(3b－a)cos
C＝ccos
A，得3sin
Bcos
C－sin
Acos
C＝sin
Ccos
A，即3sin
Bcos
C＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝sin(A＋C)＝sin
B，又sin
B≠0，所以cos
C＝，得sin
C＝.由S△ABC＝absin
C＝3，得ab×＝3，得ab＝9.又c是a，b的等比中项，所以c2＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos
C得ab＝a2＋b2－ab.
∴a2＋b2＝ab＝×9＝15，即a2＋b2＝15，则(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝15＋18＝33，即a＋b＝.]
(2)[解] ①由题设及余弦定理，
得28＝3c2＋c2－2×c2×cos
150°，
解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而a＝2.
因此△ABC的面积为×2×2×sin
150°＝.
②在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin
A＋sin
C＝sin(30°－C)＋sin
C＝sin(30°＋C)，
故sin(30°＋C)＝.
而0°
所以30°＋C＝45°，故C＝15°.
1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin
B＝2sin
C，则△ABC的面积为________．
[因为a2＋b2－c2＝ab，
所以由余弦定理得cos
C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因为acsin
B＝2sin
C，所以结合正弦定理可得abc＝2c，所以ab＝2.故S△ABC＝absin
C＝×2sin
＝.]
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos
B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
[解] (1)证明：由正弦定理得sin
B＋sin
C＝2sin
Acos
B，
故2sin
Acos
B＝sin
B＋sin(A＋B)
＝sin
B＋sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
于是sin
B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，
所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)由S＝，得absin
C＝，
故有sin
Bsin
C＝sin
A＝sin
2B＝sin
Bcos
B，
由sin
B≠0，得sin
C＝cos
B.
又B，C∈(0，π)．所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
考点三 判断三角形的形状
1.判定三角形形状的两种常用途径
2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
[典例3] (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos
C＋ccos
B＝asin
A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
(2)在△ABC中，已知a－b＝ccos
B－ccos
A.
①判断△ABC的形状；
②若C＝120°，a＝2，求c.
(1)B [由正弦定理得sin
Bcos
C＋sin
Ccos
B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin
A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin
A＞0，
∴sin
A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．]
(2)[解] ①由正弦定理＝＝及a－b＝ccos
B－ccos
A，
可得：sin
A－sin
B＝sin
Ccos
B－sin
Ccos
A，
可得：sin(B＋C)－sin(A＋C)＝sin
Ccos
B－sin
Ccos
A，
可得：sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C－sin
Acos
C－cos
Asin
C＝sin
Ccos
B－sin
Ccos
A，
可得：sin
Bcos
C－sin
Acos
C＝0，
则cos
C(sin
B－sin
A)＝0，
则cos
C＝0或sin
B－sin
A＝0，
所以C＝90°或A＝B，
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．
②因为C＝120°，则△ABC为等腰三角形，从而a＝b＝2，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos
C，得c2＝4＋4－2×2×2×cos
120°，
所以c＝2.
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形
B．等腰非等边三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形
C [因为＝，所以＝.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos
A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.所以△ABC是等边三角形．]
2．在△ABC中，已知sin
Bsin
C＝cos2，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
B [∵sin
Bsin
C＝cos2＝，
∴2sin
Bsin
C＝－cos
Bcos
C＋sin
Bsin
C＋1，
∴cos
Bcos
C＋sin
Bsin
C＝cos(B－C)＝1，
∵－π＜B－C＜π，
∴B－C＝0，B＝C，
∴三角形为等腰三角形，故选B.]
PAGE 正弦定理、余弦定理的综合应用
[考试要求] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
测量中的几个常用术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0°，360°)
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：
坡角与坡度
坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡度(坡比)，即i＝＝tan
θ
提醒：涉及到角时，一定要弄清此角的始边和终边所在位置．如方位角135°的始边是指北方向线，始边顺时针方向旋转135°得到终边；方向角南偏西30°的始边是指南方向线，向西旋转30°得到终边．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向．( )
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．点A在点B的北偏东60°，则点B在点A的( )
A．北偏西60°
B．南偏东30°
C．南偏西60°
D．北偏西30°
C [如图所示，点B在点A的南偏西60°，故选C.
]
2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50
m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50
m
B．50
m
C．25
m
D．
A [由正弦定理得＝，
又∵B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．]
3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.
a [由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，所以AC＝a，所以在Rt△ACB中，AB＝AC·sin∠ACB＝a.]
4．在一幢10
m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔基在同一水平地面上，则塔的高度为________m.
40 [如图所示，BD＝10
m，
则AB＝20
m，
AD＝20
cos
30°＝10
m，
在△ACD中，CD＝10·tan
60°＝30
m，
所以塔的高度CB＝30＋10＝40
m．]
考点一 解三角形的实际应用
利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤
[典例1] (1)(2020·宜宾模拟)海上一艘轮船以60
nmile/h的速度向正东方向航行，在A处测得小岛C在北偏西30°的方向上，小岛D在北偏东30°的方向上，航行20
min后到达B处测得小岛C在北偏西60°的方向上，小岛D在北偏西15°的方向上，则两个小岛间的距离CD＝________nmile.
(2)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos
θ的值为________．
(1)10 (2) [(1)∵△ABC中，由题意可得：
∠CAB＝120°，∠BCA＝30°，AB＝60×＝20，
∴由正弦定理＝，
∴BC＝＝＝20.
∵在△ABD中，由于∠DAB＝60°，∠ADB＝45°，
由正弦定理可得：＝，可得：BD＝＝＝10，
∴△BCD中，由余弦定理可得CD2＝(10)2＋(20)2－2×10×20×cos
45°，
∴解得CD＝10.即两个小岛之间的距离CD为10
nmile.
(2)在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
120°＝2
800，
得BC＝20.
由正弦定理，得＝，
即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，
则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，得cos
θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos
30°－sin∠ACBsin
30°＝.]
点评：解答此类问题的关键是正确理解题意，包括所涉及的方向角、方位角及仰角、俯角等，依据题意画出示意图．
1．(2020·开封模拟)国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为25米，则旗杆的高度约为( )
A．17米
B．22米
C．31米
D．35米
C [如图所示，依题意可知∠ADC＝45°，
∠ACD＝180°－60°－15°＝105°，
∴∠DAC＝180°－45°－105°＝30°，
由正弦定理可知＝，
∴AC＝＝25米．
∴在Rt△ABC中，
AB＝AC·sin∠ACB＝25×＝≈31米．
∴旗杆的高度约为31米，故选C.]
2．(2020·宜昌模拟)如图所示，为了测量A，B两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45°的方向上，B在C的北偏东15°的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得B在E的北偏西30°的方向上，再开回C处，由C向西开2百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5°的方向上，则A，B两座岛屿间的距离为( )
A．3百海里
B．3百海里
C．4百海里
D．4百海里
B [如图所示，
根据题意知：∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∠ACB＝60°，DC＝2，CE＝2，∠BCE＝75°，
∠CBE＝45°，∠CEB＝60°.
所以在△BCE中，利用正弦定理＝，解得BC＝，
在△ADC中，∠ADC＝∠DAC＝67.5°，所以DC＝AC＝2，
则在△ACB中，利用余弦定理AB2＝AC2＋CB2－2AC·CB·cos
60°，解得AB＝3，故选B.]
考点二 平面几何中的解三角形问题
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
[典例2] 如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．
(1)求sin∠CED；
(2)求BE的长．
[解] 设∠CED＝α.
因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，
所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，
又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，
所以∠BEC＝.
(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，
即7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，
解得CD＝2(CD＝－3舍去)．
在△CDE中，由正弦定理得＝，
于是sin
α＝＝＝，
即sin∠CED＝.
(2)由题设知0＜α＜，由(1)知cos
α＝＝＝，又∠AEB＝π－∠BEC－α＝－α，
所以cos∠AEB＝cos＝cos
cos
α＋sin
sin
α＝－×＋×＝.
在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝＝，
所以BE＝4.
点评：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
(2020·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝，B＝45°.
(1)求sin
C的值；
(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC的值．
[解] (1)在△ABC中，因为a＝3，c＝，B＝45°，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B，
得b2＝9＋2－2×3×cos
45°＝5，所以b＝.
在△ABC中，由正弦定理＝，
得＝，所以sin
C＝.
(2)在△ADC中，因为cos∠ADC＝－，
所以∠ADC为钝角．
而∠ADC＋∠C＋∠CAD＝180°，所以∠C为锐角．
故cos
C＝＝，则tan
C＝＝.
因为cos∠ADC＝－，
所以sin∠ADC＝＝，
所以tan∠ADC＝＝－.
从而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－∠C)
＝－tan(∠ADC＋∠C)＝－
＝－＝.
考点三 与三角形有关的最值、范围问题
1．三角形中的最值、范围问题的解题策略
(1)定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．
(2)构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．
(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．
2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．
求角(函数值)的最值(范围)
[典例3－1] (2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin
A－a＝0.
(1)求角B的大小；
(2)求cos
A＋cos
B＋cos
C的取值范围．
[解] (1)由正弦定理，得2sin
Bsin
A＝sin
A，
故sin
B＝，由题意得B＝.
(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A.
由△ABC是锐角三角形，得A∈.
由cos
C＝cos＝－cos
A＋sin
A，得
cos
A＋cos
B＋cos
C＝sin
A＋cos
A＋
＝sin＋∈.
故cos
A＋cos
B＋cos
C的取值范围是.
点评：求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解．
求边(周长)的最值(范围)
[典例3－2] (2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin
Bsin
C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
[解] (1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB. ①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos
A． ②
由①②得cos
A＝－.
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，
从而AC＝2sin
B，
AB＝2sin(π－A－B)＝3cos
B－sin
B.
故BC＋AC＋AB＝3＋sin
B＋3cos
B＝3＋2sin.
又0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.
点评：求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解．
求三角形面积的最值(范围)
[典例3－3] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin
A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
[解] (1)由题设及正弦定理得sin
Asin＝
sin
Bsin
A.
因为sin
A≠0，所以sin＝sin
B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝2sincos.
因为cos≠0，故sin＝，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°因此，△ABC面积的取值范围是.
点评：求三角形面积的最值(范围)的两种思路
(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．
(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc的最值从而求出三角形面积的最值．
1．在钝角△ABC中
，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos
A＝bsin
A，则sin
A＋sin
C的最大值为( )
A.
B.
C.1
D.
B [∵acos
A＝bsin
A，由正弦定理可得，sin
Acos
A＝sin
Bsin
A，∵sin
A≠0，∴cos
A＝sin
B，又B为钝角，
∴B＝A＋，sin
A＋sin
C＝sin
A＋sin(A＋B)＝sin
A＋cos
2A＝sin
A＋1－2sin2A＝－22＋，
∴sin
A＋sin
C的最大值为.]
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝.
(1)求△ABC的外接圆直径；
(2)求a＋c的取值范围．
[解] (1)因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，
又因为A＋B＋C＝π，所以B＝.
根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R＝＝＝1.
(2)由B＝，知A＋C＝，可得0＜A＜.
由(1)知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，＝＝＝1，
所以a＋c＝sin
A＋sin
C＝sin
A＋sin＝＝sin.
因为0＜A＜，所以＜A＋＜.
所以＜sin≤1，
从而＜sin≤，
所以a＋c的取值范围是.
3．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin
B－bcos
A＝0.
(1)求角A；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
[解] (1)由asin
B－bcos
A＝0及正弦定理得，
sin
Asin
B－sin
Bcos
A＝0，
因为sin
B≠0，所以sin
A＝cos
A，即tan
A＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)因为a＝2，所以4＝c2＋b2－bc≥2bc－bc，所以4(2＋)≥bc，因为S△ABC＝bcsin
A＝bc，所以当且仅当b＝c＝＋时S△ABC最大，所以△ABC面积的最大值为2＋.
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