第五章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式本章在备考中一般为2～3个客观题．2.考查内容(1)对向量的考查，主要考查平面向量的线性运算、坐标运算、向量的平行与垂直、向量的数量积及应用，难度为容易或中档．(2)高考主要考查复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的加、减、乘、除四则运算，其中复数的运算是高考的热点，一般为选择题.
平面向量的概念及线性运算
[考试要求]
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.
2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.
3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则平行四边形法则
①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ
a)＝(λμ)
a；(λ＋μ)a＝λa＋μ
a；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一．
1．P为线段AB的中点?＝(＋)．
2．若G为△ABC的重心，则有
(1)＋＋＝0；(2)＝(＋)．
3．首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
4．对于起点相同、终点共线的三个向量，，(O与P1P2不共线)，总有＝u＋v，u＋v＝1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1.
5．对于任意两个向量a，b，都有：
(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
(2)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1.如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是( )
A.＝
B.与共线
C.与是相反向量
D.＝||
D [＝，故D错误．]
2．已知下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋；
③＋＋＋；
④－＋－，
其中结果为零向量的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [①中＋＋＝0；②中＋＋＋＝＋0＝；③中＋＋＋＝＋＝；④－＋－＝＋＝0.故①④正确，故选B.]
3．已知?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________.(用a，b表示)
b－a －a－b [如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.]
4．设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________.
[∵λa＋b与a＋2b共线，
∴存在实数μ使得
λa＋b＝μ(a＋2b),
∴∴]
考点一 平面向量的概念
解答与向量有关概念的四个关注点
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图像的平移混为一谈．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
1．给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是( )
A．②③
B．①②
C．③④
D．②④
A [①错误，a与b的方向不明；②正确，因为＝，且A，B，C，D不共线，所以AB綊CD，故四边形ABCD为平行四边形，反之也成立；③正确；④错误．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．]
2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是
( )
A．a＝2b
B．a∥b
C．a＝－b
D．a⊥b
C [由＋＝0可知a与b是共线且方向相反的向量，结合选项可知C正确．]
点评：向量的概念辨析问题要立足向量的两个要素：
①大小；②方向；同时关注一个特殊向量0.
考点二 平面向量的线性运算
平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
向量的线性运算
[典例1－1] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－
B.－
C.＋
D.＋
(2)(2020·长春模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝( )
A．－
B．－＋
C．－＋
D．－
(1)A (2)B [(1)＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A.
(2)根据平面向量的运算法则得＝＋，
＝，＝－.
因为＝＋，＝，
所以＝－＋＝－＋，故选B.]
点评：向量的线性运算问题要瞄准结论．如本例(1)待求的结论，其向量均是从端点A出发的，故首先将分解为＝－，然后借助几何关系及向量加法的平行四边形法则求解．
根据向量线性运算求参数
[典例1－2] (1)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y＝________.
(2)已知D为△ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．
(1)2 (2)－2 [(1)由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，
因为＝x＋y，
所以＝＋，
所以
解得
所以x－y＝2.
(2)因为D为边BC的中点，所以＋＝2，
又＋＋＝0，
所以＝＋＝2，
所以＝－2，
所以λ＝－2.]
点评：与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．
1．在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝( )
A．2＋
B.－2
C．2－
D.＋2
C [在△ABC中，D是AB边上的中点，
则＝＋＝＋
＝＋(＋)＝2－.故选C.]
2．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.
－ [＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝－
＝x＋y，
∴x＝，y＝－.]
考点三 共线向量定理的应用
共线向量定理的三个应用
(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
[典例2] 设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解] (1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共线．
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b和a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是两个不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，
∴k2－1＝0，∴k＝±1.
点评：证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
1．已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)，则与共线的条件是( )
A．m＋n＝0
B．m－n＝0
C．mn＋1＝0
D．mn－1＝0
D [由＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na＋b)，即所以mn－1＝0.]
2.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [法一：连接AO，
则＝(＋)＝＋，
因为M，O，N三点共线，
所以＋＝1，
所以m＋n＝2.
法二：连接AO.由于O为BC的中点，故＝(＋)，
＝－＝(＋)－＝＋，
同理，＝＋.
由于向量，共线，故存在实数λ使得＝λ，即＋＝λ.
由于，不共线，故得－＝λ且＝λ，
消去λ，得(m－2)(n－2)＝mn，
化简即得m＋n＝2.]
PAGE 平面向量的基本定理及坐标表示
[考试要求]
1.了解平面向量的基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线?x1y2－x2y1＝0.
(1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
(3)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.( )
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )
(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝( )
A．(－2，－1)
B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
D [∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，
∴a＝，b＝，
∴a－b＝＝(－1,2)，故选D.]
2．若P1(1,3)，P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为( )
A．(2,2)
B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1)
D．(2,2)或(3,1)
D [由题意可知＝(3，－3)．
若＝，则P点坐标为(2,2)；
若＝，则P点坐标为(3,1)，故选D.]
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.
－ [由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，
得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
得＝，
所以＝－.]
4．已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
(1,5) [设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得]
考点一 平面向量基本定理的应用
平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
[典例1] 如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
[解] (1)由题意知，A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则，
得＋＝2，
所以＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由题意知，∥，故设＝x.
因为＝－＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，＝2a－b.
所以(2－λ)a－b＝x.
因为a与b不共线，由平面向量基本定理，
得解得
故λ＝.
点评：本例(2)在求解中，以D，E，C三点共线为切入点，借助∥及向量的合成与分解的相关知识求得λ的值．如果是小题，本题可以直接设＝x＋(1－x)·，利用＝＋及同基底下向量表示的唯一性求得λ.
1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1＋3e2与6e2＋2e1
D [选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；
选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；
选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；
选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．故选D.]
2．(2020·三明模拟)如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内的向量是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
B [由向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得＝u＋v成立，且u＋v＝1.
可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足＝u＋v，且u＞0，v＞0，u＋v＞1.
∵1＋2＞1，∴点P位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B.]
考点二 平面向量的坐标运算
平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
[典例2] (1)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
①求3a＋b－3c；
②求M，N的坐标及向量的坐标．
(1)D [以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1，可得a＝(－1,1)，
b＝(6,2)，
c＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
∴
解得λ＝－2，μ＝－.
∴＝4.]
(2)[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
②设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．
点评：本例(1)在求解中，借助坐标系，把平面向量的线性运算坐标化，完美展示了坐标法的便捷性，在平时训练中，应注意这种意识的培养，尤其是规则几何图形中的向量问题，如正方形、矩形、直角三角形等．
1．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，＝(2，－3)，则点D的坐标为( )
A．(6,1)
B．(－6，－1)
C．(0，－3)
D．(0,3)
A [＝(－3，－2)＝，∴＝＋＝－＝(5，－1)，则D(6,1)．故选A.]
2.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
[法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1,1)，
∵＝λ＋μ＝，
∴解得
∴λ＋μ＝.
法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，
∴解得∴λ＋μ＝.]
考点三 向量共线的坐标表示
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
利用向量共线求参数
[典例3－1] 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
[解] (1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，
∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
∴k＝－.
(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，
∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，
∴m＝.
点评：熟记两向量a，b共线的条件是求解此类问题的关键所在．
利用向量共线求向量或点的坐标
[典例3－2] 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
(3,3) [法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3,3)，
所以点P的坐标为(3,3)．
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3)．]
点评：本例中“AC与OB的交点为P”，实际上变相告知“A，P，C三点共线”，故该问题便可转化为考向1，只需引入参数表示出点P的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可．
1．已知向量a＝(1,3)，b＝，若c为单位向量，且c∥(a－2b)，则c＝
( )
A.或
B.或
C.或
D.或
B [由题意可知a－2b＝(－3,4)，又c∥(a－2b)，
∴c＝λ(－3,4)，即c＝(－3λ，4λ)．又|c|＝1，∴5|λ|＝1，
∴λ＝±，即c＝或，故选B.]
2．(2020·北师大附中模拟)已知向量a＝(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若∥a，则点B的坐标为________．
(－3，－6) [设B(x,2x)，则＝(x－3,2x)．
∵∥a，∴x－3＝2x，即x＝－3.
∴B(－3，－6)．]
备考技法3 共线定理的推广及应用
平面向量的等和线由平面向量基本定理，＝λ＋μ，当点P不在直线AB上时，可以过点P作直线AB的平行线，且与OA，OB所在的直线分别交于M，N两点，则由三点P，M，N共线，不难得出：＝x＋y，且x＋y＝1，又由平行线分线段成比例定理，得：＝k，＝k，则＝x＋y＝kx＋ky，即λ＝kx，μ＝ky，故λ＋μ＝k(x＋y)＝k.把过点P作直线AB的平行线MN称为等和线．等和线的相关结论(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；(2)当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0,1)；(3)当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过点O时，k＝0；(5)
若两等和线关于点O对称，则定值k互为相反数.
(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )
A．3
B．2
C．
D．2
A [如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝＝＝＝3，故选A.]
[评析] 应用等和线解题的步骤
(1)求k＝1的等和线；
(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；
(3)从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值．
1.如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．
[3,4] [当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈＝[3,4]．
]
2.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的动点，若＝x＋y，则x＋3y的取值范围是________．
[1,3] [＝x＋3y，如图，作＝，则考虑以向量，为基底．显然，当C在A点时，经过m＝1的平行线，当C在B点时，经过m＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x＋3y的取值范围是[1,3]．]
3．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量＝m＋n(m，n为实数)，则m＋n的取值范围是( )
A．(1,2]
B．[5,6]
C．[2,5]
D．[3,5]
C [随着动点圆心Q在线段CD(含端点)上运动，点P的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF的平行线l，使得l与阴影区域有公共点，离BF最近的直线l记为P1G(P1为l与圆C的切点，G为l与直线AB的交点)，离BF最远的直线l记为P2H(P2为l与圆D的切点，H为l与直线AB的交点)．
设＝m＋n，
由等和线结论，m＋n＝＝＝2.
此为m＋n的最小值．
设＝m＋n，
由等和线结论，m＋n＝＝5.
此为m＋n的最大值．
综上可知m＋n∈[2,5]．]
PAGE 平面向量的数量积与平面向量应用举例
[考试要求]
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos
θ叫作a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos
θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos
θ叫作向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积
3．平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
数量积
a·b＝|a||b|cos
θ
a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cos
θ＝
cos
θ＝
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤·
提醒：a∥b与a⊥b所满足的坐标关系不同．a∥b?x1y2＝x2y1；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．两个向量a，b的夹角为锐角?a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角?a·b＜0且a，b不共线．
3．a在b方向上的投影为，b在a方向上的投影为.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( )
A．(－15,12)
B．0
C．－3
D．－11
C [∵a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3.]
2．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于( )
A．13＋6
B．2
C．
D．
D [∵a＝(1,1)，∴|a|＝＝.
∴a·b＝|a||b|cos
45°＝2×＝2.
∴|3a＋b|＝
＝
＝.故选D.]
3．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝________.
8 [∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，
∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得
(a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.]
4．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ＝________，a在b方向上的投影为________．
－ [cos
θ＝＝＝－.
又因为0≤θ≤π，所以θ＝.a在b方向上的投影为＝＝－.]
考点一 平面向量数量积的运算
平面向量数量积的三种运算方法
[典例1] (1)(2020·阜阳模拟)已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，若E，F分别为AB，BC的中点，则·＝( )
A．8
B．10
C．12
D．14
(2)已知两个单位向量a与b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的投影为________．
(1)B (2) [(1)法一：(定义法)根据题意，得·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋2×1×cos
0＋2×4×cos
0＋0＝10.
法二：(坐标法)以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(0,0)，B(4,0)，C(4,2)，D(0,2)．
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴E(2,0)，F(4,1)．
∵＝(2，－2)，＝(4，－1)，
∴·＝2×4＋(－2)×(－1)＝10.
(2)由两个单位向量a和b的夹角为60°，可得a·b＝1×1×＝，
所以(a－b)·a＝a2－a·b＝1－＝，
所以向量a－b在向量a方向上的投影为＝＝.]
点评：解决涉及几何图形的向量的数量积运算常有两种思路：一是定义法，二是坐标法，定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系．
1．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·等于( )
A.
B．6
C．12
D．18
D [如图，过点O作OD⊥AB于D，
可知AD＝AB＝3，
则·＝(＋)·＝·＋·＝3×6＋0＝18.]
2．(2020·成都模拟)在?ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝________.
24 [法一：(定义法)·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24.
法二：(特例图形)：若?ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，
则N(4,6)，M(8,4)．
所以＝(8,4)，＝(4，－2)，
所以·＝(8,4)·(4，－2)＝32－8＝24.]
考点二 平面向量数量积的应用
平面向量的模
求向量模的方法
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
[典例2－1] (1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
(1)A (2)5 [(1)因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2.
(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．
所以|＋3|
＝(0≤y≤b)．
当y＝b时，|＋3|min＝5.]
点评：求向量模的最值(范围)的方法
(1)代数法，先把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；
(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
平面向量的夹角
求向量夹角问题的方法
[典例2－2] (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
(1)B (2)∪ [(1)法一：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cos〈a，b〉－|b|2＝0，即cos〈a，b〉＝，又知〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，故选B.
法二：如图，令＝a，＝b，则＝－＝a－b，因为(a－b)⊥b，所以∠OBA＝90°，
又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝，即〈a，b〉＝.故选B.
(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，
所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，
所以4k－6－6＜0，所以k＜3.若2a－3b与c反向共线，则＝－6，解得k＝－，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是∪.]
点评：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．
两个向量垂直问题
(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
[典例2－3] (1)(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b
B．2a＋b
C．a－2b
D．2a－b
(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
(1)D (2) [(1)法一：由题意，得a·b＝|a||b|cos
60°＝.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D.
法二：不妨设a＝，b＝(1,0)，则a＋2b＝，2a＋b＝(2，)，a－2b＝，2a－b＝(0，)，易知，只有(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b，故选D.
(2)因为⊥，所以·＝0.
又＝λ＋，＝－，
所以(λ＋)·(－)＝0，
即(λ－1)·－λ2＋2＝0，
所以(λ－1)||||cos
120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝.]
点评：解答本例(2)的关键是的转化，考虑到＝λ＋，且与的夹角为120°，故＝－.从而⊥可转化为·＝0，即(λ＋)·(－)＝0.
1．(2020·南宁模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是( )
A.
B.
C.
D.
A [因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos
＝3，所以|a＋2b|＝.
又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos
＋2×＝＋＝，
所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，
所以a＋2b与b的夹角为.故选A.]
2．(2020·福州模拟)已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为( )
A.
B.
C．6
D．4
A [因为向量||＝3，||＝2，＝m＋n，与夹角为60°，所以·＝3×2×cos
60°＝3，
所以·＝(－)·(m＋n)
＝(m－n)·－m||2＋n||2
＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以＝，故选A.]
3．(2020·全国卷Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
[∵a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝1，
∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×＝3，∴|a－b|＝.]
考点三 平面向量的应用
平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问题综合起来考查，还会与一些物理知识相结合考查．解决此类问题的关键是把向量作为载体，将题干关系转化为向量的运算，进一步转化为实数运算来求解．
[典例3] (1)设P是△ABC所在平面内一点，若·(＋)＝2·，且2＝2－2·，则点P是△ABC的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
(2)在△ABC中，＝(sin
x，sin
x)，＝(－sin
x，cos
x)．
①设f(x)＝·，若f(A)＝0，求角A的值；
②若对任意的实数t，恒有|－t|≥||，求△ABC面积的最大值．
(1)A [由·(＋)＝2·，得·(＋－2)＝0，即·[(－)＋(－)]＝0，
所以·(＋)＝0.
设D为AB的中点，则·2＝0，故·＝0.
由2＝2－2·，得
(＋)·(－)＝－2·，
即(＋－2)·＝0.
设E为BC的中点，则(2－2)·＝0，则2·＝0，故·＝0.
所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，
所以P是△ABC的外心．故选A.]
(2)[解] ①f(x)＝·＝－sin2
x＋sin
xcos
x＝－×＋＝sin－.∵f(A)＝0，
∴sin＝.
又∵A∈(0，π)，∴2A＋∈，∴2A＋＝，∴A＝.
②如图，设＝t，则－t＝，
即||≥||恒成立，∴AC⊥BC.
∵||＝＝≤2，||＝1，
∴||＝≤，
∴△ABC的面积S＝BC·AC≤，当且仅当cos
2x＝0，即x＝＋kπ，k∈Z时等号成立，∴△ABC面积的最大值为.
点评：运用向量表示三角形的外心、重心、垂心及内心
(1)||＝||＝||(或2＝2＝2)?O是△ABC的内心；
(2)＋＋＝0?O是△ABC的重心；
(3)·＝·＝·?O是△ABC的垂心；
(4)·＝·＝·?O是△ABC的内心．
1．(2020·济南一模)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400
N，则该学生的体重(单位：kg)约为( )
(参考数据：取重力加速度大小为g＝10
m/s2，≈1.732)
A．63
B．69
C．75
D．81
B [设该学生两只胳膊的拉力分别为F1，F2，
由题意知，F1＝F2＝400，夹角θ＝60°，
所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)．
所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos
60°＋4002＝3×4002，
|G|＝400(N)，则该学生的体重约为40＝40×1.732≈69(kg)，故选B.]
2．(2020·华南师大附中模拟)在△ABC中，·＝3，其面积S∈，则与夹角的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
C [设与夹角为θ，∵·＝3，∴||||·cos
θ＝3，
即||||＝.
又S∈，故≤||||sin(π－θ)≤，
所以≤tan
θ≤，即≤tan
θ≤.
又θ∈[0，π]，∴≤θ≤.故选C.]
备考技法4 平面向量中的最值(范围)问题
平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.
数量积的最值(范围)问题
已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2
B．－
C．－
D．－1
B [法一：(极化恒等式)结合题意画出图形，如图1所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有＋＝2，
图1
则·(＋)＝2·＝2(＋)·(－)＝2(2－2)．而2＝2＝，
当点P与点E重合时，2有最小值0，故此时·(＋)取得最小值，最小值为－22＝－2×＝－.
法二：(坐标法)如图2，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.]
图2
[评析] 设a，b是平面内的两个向量，则有a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]；极化恒等式的几何意义是在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则·＝AD2－BD2.
具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则A·A的取值范围是( )
A．(－2,6)
B．(－6,2)
C．(－2,4)
D．(－4,6)
A [·＝||·||·cos∠PAB＝2||·cos∠PAB，又||cos∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形(图略)可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos
30°＝6，·＝2×2×cos
120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2,6)，故选A.]
2．在半径为1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值是________．
－ [法一：(极化恒等式)如图1，取OB的中点D，连接PD，则·＝PD2－OD2＝PD2－，即求PD的最小值．
图1
由图可知，当PD⊥OB时，PDmin＝，
则·的最小值是－.
法二：(坐标法)以OB所在的直线为x轴，过点A且垂直于OB的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，
图2
则A，O，
B，
可得直线AB的方程为2x＋y＝1，
设P，
则＝，
＝，
所以·＝4x2－3x＋＝42－，
当x＝时，·的最小值是－.]
模的最值问题
(2020·赣州模拟)已知平面向量a，b的夹角为θ，且|a|＝2，|b|＝1，若对任意的正实数λ，|a－λb|的最小值为，则cos
θ＝( )
A．
B．
C．±
D．0
B [法一：(函数法)根据题意，|a|＝2，|b|＝1，a，b的夹角为θ，则a·b＝2cos
θ，若对任意的正实数λ，|a－λb|的最小值为，则|a－λb|2的最小值为3，
则|a－λb|2＝a2＋λ2b2－2λa·b
＝4＋λ2－4λcos
θ＝(λ－2cos
θ)2＋4－4cos2
θ，
故当λ＝2cos
θ时，|a－λb|2取得最小值3，
即有4－4cos2θ＝3，即cos
θ＝±，
又由λ＞0，则cos
θ＝，故选B.
法二：(数形结合法)
如图，设＝a，＝λb(λ＞0)，则|a－λb|＝||，易知当BA⊥OA时|a－λb|取得最小值，此时sin
θ＝，cos
θ＝.故选B.]
[评析] 模的最值问题求解方法一种是借助函数，另一种是借助向量的几何意义．前者可以建系借助坐标法求解，后者常用三角形法则数形结合求解．
已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，(c－a)·(c－b)＝－1，则|c－a|的最大值为________．
＋1 [设＝a，＝b，＝c，以OA所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，
∵|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，
则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)．
∵(c－a)·(c－b)＝－1，∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，
即(x－3)2＋(y－1)2＝1表示以(3,1)为圆心，以1为半径的圆，|c－a|表示点A，C的距离即圆上的点与点A(4,0)的距离．
∵圆心到点A的距离为＝，
∴|c－a|的最大值为＋1.]
PAGE 数系的扩充与复数的引入
[考试要求]
1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.
2.了解复数的代数表示法及其几何意义.
3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N
)．
(3)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∈C，则a2≥0.( )
(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．( )
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi.( )
(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．设z＝(1＋i)(2－i)，则复数z在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A [z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，故复数z在复平面内所对应的点(3,1)位于第一象限．]
2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是( )
A．1－2i
B．－1＋2i
C．3＋4i
D．－3－4i
D [∵＝＋＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.]
3．设复数z满足＝i，则|z|等于( )
A．1
B．
C．
D．2
A [＝i，则z＝＝i，∴|z|＝1.]
4．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.
2＋i [由(1＋2i)＝4＋3i得＝＝＝2－i.
∴z＝2＋i.]
考点一 复数的有关概念
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(3)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R?b＝0(a，b∈R)；②z∈R?z＝；③z∈R?z2≥0.
(4)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数?a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数?z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数?z2＜0.
1．(2020·广州模拟)如果复数z＝，则( )
A．z的共轭复数为1＋i
B．z的虚部为－i
C．|z|＝2
D．z的实部为－1
D [∵z＝＝＝＝－1－i，∴z的实部为－1，故选D.]
2．(2020·大连模拟)设(1＋2i)x＝x＋yi，其中x，y是实数，i为虚数单位，则＝( )
A.1
B.
C.
D.
D [由x＋2xi＝x＋yi，x，y∈R，则y＝2x，＝|2＋i|＝，故选D.]
3．如果复数是纯虚数，那么实数m等于( )
A．－1
B．0
C．0或1
D．0或－1
D [＝＝，因为此复数为纯虚数，所以解得m＝－1或0，故选D.]
考点二 复数的运算
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i的幂写成最简形式．
[典例1] (1)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)(2020·武汉调研)已知复数z满足z＋|z|＝1＋i，则z＝( )
A．－i
B．i
C．1－i
D．1＋i
(1)C (2)B [(1)αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，①不正确；＝＝＝－i，②正确；＝|－i|＝1，③正确；α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝－2i＋2i＝0，④正确．
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝1＋i，所以解得所以z＝i，故选B.]
点评：(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；
(2)在含有z，，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.
1．(2020·全国卷Ⅲ)若(1＋i)＝1－i，则z＝( )
A．1－i
B．1＋i
C．－i
D．i
D [
∵(1＋i)＝1－i，∴＝＝＝－i，∴z＝i，故选D.]
2．(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )
A．0
B．1
C.
D．2
D [法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2i－2|＝|－2|＝2.故选D.
法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝×|－1＋i|＝×＝2.故选D.]
考点三 复数的几何意义
与复数几何意义相关的问题的一般解法
[典例2] (1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
(2)(2020·黄冈模拟)已知i是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点的坐标为( )
A．(0,1)
B．(－1,0)
C．(1,0)
D．(0，－1)
(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1)
B．(－1,3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
(1)C (2)A (3)A [(1)由题意可知z＝x＋yi，
所以|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝＝1.
∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
(2)∵＝＝i，∴该复数在复平面上所对应的点的坐标为(0,1)，故选A.
(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1，故选A.]
点评：复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．
1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1·z2对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [由已知＝(－2，－1)，＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，
它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．]
2．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________.
2 [设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x＋y＝x＋y＝4.
因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x＋y＋x＋y＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝()2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝
＝
＝＝2.]
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