平面解析几何
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式高考在本章一般命制1～2道小题，1道解答题，分值约占20～24分．2.考查内容(1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基．(2)对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力.
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[考试要求]
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
1．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．
(2)当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0，倾斜角的范围是[0，π)．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
3．直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距，斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点，斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点，且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面内所有直线都适用
提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
如图，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
2．特殊直线的方程
(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；
(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；
(3)y轴的方程为x＝0；
(4)x轴的方程为y＝0.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的斜率为tan
α，则其倾斜角为α.( )
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )
(3)直线的截距就是直线与坐标轴的交点到原点的距离．( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程
(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．已知两点A(－3，)，B(，－1)，则直线AB的斜率是( )
A.
B．－
C.
D．－
D [kAB＝＝－，故选D.]
2．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为( )
A.x－3y＋6＋＝0
B.x－3y－6＋＝0
C.x＋3y＋6＋＝0
D.x＋3y－6＋＝0
A [直线的斜率k＝tan
30°＝.
由点斜式方程得y－2＝(x＋1)，即x－3y＋6＋＝0，故选A.]
3．在x轴、y轴上的截距分别是4，－3的直线方程为________．
3x－4y－12＝0 [由题意知，直线方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0.]
4．已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________．
或 [设直线的倾斜角为α，则|tan
α|＝1，∴tan
α＝±1.
又α∈[0，π)，∴α＝或.]
考点一 直线的倾斜角与斜率
斜率取值范围的两种求法
1．若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y等于( )
A．－1
B．－3
C．0
D．2
B [由题意可知＝tan
＝－1，
解得y＝－3.故选B.]
2．若直线l的斜率k∈[－1,1]，则直线l的倾斜角θ的范围是________．
∪ [当－1≤k＜0时，≤θ＜π，
当0≤k≤1时，0≤θ≤.
因此θ的取值范围是∪.]
3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________．
(－∞，－]∪[1，＋∞) [如图，
∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．]
点评：(1)解决直线的倾斜角与斜率问题，常采用数形结合思想．注意区分含有90°和不含90°两种情况的讨论．
(2)根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．
考点二 直线方程的求法
求直线方程的两种方法
[典例1] 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半；
(3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求直线MN的方程．
[解] (1)法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(3,2)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
法二：由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，
设直线方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－，
令x＝0，得y＝2－3k，
由已知3－＝2－3k，
解得k＝－1或k＝，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
(2)由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.
又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0.
(3)设C(x0，y0)，则
M，N.
因为点M在y轴上，所以＝0，
所以x0＝－5.
因为点N在x轴上，所以＝0，
所以y0＝－3，即C(－5，－3)，
所以M，N(1,0)，
所以直线MN的方程为＋＝1，
即5x－2y－5＝0.
点评：当直线在x轴、y轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，此时横、纵截距均不为零，可直接用待定系数法求解．
已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
[解] (1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.
(2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2.
BC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D的坐标为(0,2)．
所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
考点三 直线方程的综合应用
处理直线方程综合应用的两大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
[典例2] 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
[解] (1)证明：法一：直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．
法二：方程kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然直线恒过定点(－2,1)．
(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．
依题意得解得k＞0.
∵S＝·|OA|·|OB|
＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，
即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
点评：本例(3)在求解中常忽略条件“”的书写，进而导致S最值的求解失误．
1．已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，则当||·||取得最小值时，直线l的方程为________．
x＋y－3＝0 [设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，
直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.
||·||＝－·
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)－5
＝＋≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.]
2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.
[由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，
所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)
＝a2－a＋4＝2＋，
当a＝时，四边形的面积最小，
故实数a的值为.]
PAGE 两条直线的位置关系
[考试要求]
1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2?k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3．三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
直线系方程的常见类型
(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；
(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )
[答案] (1)× (2)× (3)
√ (4)√
二、教材习题衍生
1．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.
B.2－
C.－1
D.＋1
C [由题意得＝1，即|a＋1|＝，
又a>0，∴a＝－1.]
2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
1 [由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，
所以m＝1.]
3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
－9 [由得
所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.]
4．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
2 [由两直线平行可知＝，即m＝8.
∴两直线方程分别为3x＋4y－3＝0和3x＋4y＋7＝0，
则它们之间的距离d＝＝2.]
考点一 两条直线的位置关系
由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2平行的充要条件
A1B2－A2B1＝0且A1C2≠A2C1
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2相交的充要条件
A1B2≠A2B1
l1与l2重合的充要条件
A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C1
1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [当a＝1时，显然l1∥l2，
若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，
所以a＝1或a＝－2.
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．]
2．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为( )
A.
B.
C.
D.
D [由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝.]
3．已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )
A.
B.
C.
D.
D [∵三条直线不能构成一个三角形，
∴①当l1∥l3时，m＝；
②当l2∥l3时，m＝－；
③当l1，l2，l3交于一点时，也不能构成一个三角形，
由得交点为，代入mx－y－1＝0，得m＝－.故选D.]
点评：解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
考点二 两条直线的交点与距离问题
1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
2．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
[典例1] (1)(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为
( )
A．1
B．
C．
D．2
(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．
(3)已知两直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程为________．
(1)B (2)x＋3y－5＝0或x＝－1 (3)2x＋3y－1＝0
[(1)法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B.
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1,0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B.
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，
∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
(3)∵P(2,3)在已知的两条直线上，
∴
∴点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直线2x＋3y＝1上的两个点，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y＝1.]
点评：本例(3)在求解中巧妙应用了两点确定一条直线的原理，学习中应反思这个解题要点．
1．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
C [因为＝≠－，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.]
2．经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________．
x＋2y－7＝0 [由得∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．
设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋C＝0，
则1＋2×3＋C＝0，∴C＝－7.
∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.]
考点三 对称问题
对称问题的求解方法
(1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(3)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有
(4)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
中心对称问题
[典例2－1] 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
x＋4y－4＝0 [设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.]
点评：点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题，利用中点坐标公式求解．
轴对称问题
[典例2－2] (1)已知直线y＝2x是△ABC中角C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A．(－2,4)
B．(－2，－4)
C．(2,4)
D．(2，－4)
(2)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
(1)C (2)6x－y－6＝0 [(1)设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)，则
解得∴A′(4，－2)，由题意知，A′在直线BC上，∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2,4)．
(2)设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以解得a＝1，b＝0.即M
′(1,0)．
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，
即6x－y－6＝0.]
点评：在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．
1.如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．3
B．6
C．2
D．2
C [直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.]
2．若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
[由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是
解得
故m＋n＝.]
PAGE 圆的方程
[考试要求]
1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
1．圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心(a，b)，半径r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)
圆心，半径
提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
1．圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．( )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2,3)，3
B．(－2,3)，
C．(－2，－3)，13
D．(2，－3)，
D [圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.]
2．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1
D．x2＋y2＝4
A [AB的中点坐标为(0,0)，
|AB|＝＝2，所以圆的方程为x2＋y2＝2.]
3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是
( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C [设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.]
4．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．
x2＋y2－2x＝0 [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
∴
解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.]
考点一 圆的方程
求圆的方程的两种方法
1．若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为________．
7 [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，分别代入A，B，C三点坐标，得
解得
所以A，B，C三点确定的圆的方程为
x2＋y2－4x－y－5＝0.
因为D(a,3)也在此圆上，所以a2＋9－4a－25－5＝0.
所以a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值为7.]
2．(2020·包头青山区模拟)已知圆C过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，则圆C的方程为________．
(x－3)2＋(y－2)2＝13 [法一：(几何法)kAB＝＝－1，
则AB的垂直平分线方程为y－＝x－，
即x－y－1＝0，
联立方程解得
r＝＝，
故圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
法二：(待定系数法)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意可得
解得
故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.]
3．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________．
(x－1)2＋(y＋1)2＝2 [法一：由圆C的圆心在直线x＋y＝0上，∴设圆C的圆心为(a，－a)．
又∵圆C与直线x－y＝0相切，
∴半径r＝＝|a|.
又圆C在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，
圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴d2＋2＝r2，即＋＝2a2，
解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心为，半径r＝，
∵圆心在直线x＋y＝0上，
∴－－＝0，即D＋E＝0，①
又∵圆C与直线x－y＝0相切，
∴＝，
即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，
∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②
又知圆心到直线x－y－3＝0的距离
d＝，
由已知得d2＋2＝r2，
∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③
联立①②③，解得
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.]
4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4) 5 [由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．]
点评：(1)几何法的关键是定圆心．
(2)已知圆心位置常设圆的标准形式，已知圆上三点常设圆的一般式．
(3)涉及圆的弦长问题，一般是利用半弦长、弦心距和半径构成直角三角形求解．
(4)方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件为A＝B＞0，C＝0，D2＋E2－4AF＞0.
考点二 与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
斜率型、截距型、距离型最值问题
[典例1－1] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1)．
所以的最大值为，最小值为－.
图1
图2 图3
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2)．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
点评：
与圆有关的斜率型、截距型、距离型最值问题一般根据相应几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
利用对称性求最值
[典例1－2] 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4
B.－1
C．6－2
D.
A [P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3(图略)，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.]
点评：求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6]
B．[4,8]
C．[，3]
D．[2，3]
A [圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．]
2．(2020·南宁模拟)一束光线从点A(－3,2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是( )
A．4
B．5
C．5－1
D．2－1
C [根据题意，设A′与A关于x轴对称，且A(－3,2)，则A′的坐标为(－3，－2)，又由A′C＝＝5，则A′到圆C上的点的最短距离为5－1.故这束光线从点A(－3,2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是5－1，故选C.]
考点三 与圆有关的轨迹问题
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
[典例2] 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[解] (1)法一：(直接法)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二：(定义法)设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)(代入法)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
点评：此类问题在解题过程中，常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误．
1．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ＞0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹围成区域的面积为( )
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
D [以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则B(3,0)．设M(x，y)，依题意有＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，则圆的面积为4π.故选D.]
2．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
A [设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ中点为M(x，y)，根据中点坐标公式得，因为Q(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.]
PAGE 直线与圆、圆与圆的位置关系
[考试要求]
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
1．直线与圆的位置关系及常用的两种判断方法
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)两种判断方法：
①
②
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|
两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
2．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式
.
3．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是
( )
A．[－3，－1]
B．[－1,3]
C．[－3,1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C [由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.]
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
∵3－2∴两圆相交．]
3．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．
x－y＋2＝0 [因为点P(1，)是圆Q：x2＋y2－4x＝0上的一点，所以点P为切点，从而圆心与P的连线与切线垂直．又圆心(2,0)，所以·k＝－1，解得k＝.
故在点P处的切线方程为x－y＋2＝0.]
4．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．
4 [由题意知圆心C(3,1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长为2＝4.]
考点一 直线与圆的位置关系
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
[典例1] (1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是
( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
(2)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(1)A (2)C [(1)法一：(代数法)由
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．
法二：(几何法)∵圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<.故直线l与圆相交．
法三：(点与圆的位置关系法)直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，∴直线l与圆C相交．
(2)如图所示，因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．]
点评：(1)已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围，就是利用d＝r，d>r或d(2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助图形，转化为点到直线的距离求解．
如图1，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t.
如图2，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t.
图1 图2
由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t.
若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t.
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
B [因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1，所以直线与圆相交．]
2．若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝有且只有两个公共点，则m的取值范围是________．
[1，) [画出图像如图，当直线l经过点A，B时，m＝1，此时直线l与曲线y＝有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m＝，因此当1≤m<时，直线l：x＋y＝m与曲线y＝有且只有两个公共点．]
考点二 圆与圆的位置关系
几何法判断圆与圆的位置步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
[典例2] 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
[解] 两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)法一：(作差法)由
两式相减得8x＋6y－1－m＝0.
又两圆相内切，
∴－＝5，
∴m＝25－10.
∴所求公切线方程为4x＋3y＋5－13＝0.
法二：(直接法)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值．
故有－＝5，
解得m＝25－10.
因为kMN＝＝，
所以两圆公切线的斜率是－.
设切线方程为y＝－x＋b，
则有＝.
解得b＝±.
容易验证，当b＝＋时，直线与圆x2＋y2－10x－12y＋m＝0相交，舍去．
故所求公切线方程为y＝－x＋－，即4x＋3y＋5－13＝0.
(3)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×＝2.
点评：求两圆的公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半径长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
1．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
B [由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．]
2．(2020·南通模拟)已知点A(0,2)，O(0,0)，若圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上存在点M，使·＝3，则圆心C的横坐标a的取值范围为________．
[0,3] [设M(x，y)，因为A(0,2)，O(0,0)，
所以＝(－x,2－y)，＝(－x，－y)．
因为·＝3，
所以(－x)(－x)＋(2－y)(－y)＝3，
化简得：x2＋(y－1)2＝4，
所以M点的轨迹是以(0,1)为圆心，2为半径的圆．
因为M在C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，
所以两圆必须相交或相切．
所以1≤≤3，解得0≤a≤3.
所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0,3]．]
考点三 直线、圆的综合问题
几何法解决直线与圆的综合问题
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
切线问题
[典例3－1] 已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
[解] 由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，
∴切线的斜率k＝－＝1.
∴过点P的圆C的切线方程是
y－(2－)＝x－(＋1)，
即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
点评：(1)已知切点常用“圆心与切点的连线垂直于切线”这个条件求解，也可利用向量法求解：如图O是圆心，A是切点，P是切线l上任意一点，则·＝0.
(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．
提醒：过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线．
弦长问题
[典例3－2] (1)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.
(1)B (2)4 [(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得得或∴|AB|＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，∵d2＋2＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B.
(2)由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到
直线l的距离为
d＝.
由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直线l的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.]
点评：求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．
提醒：对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条．常因漏掉直线斜率不存在的情形致误，如本例(1)．
探索性问题
[典例3－3] 已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设圆心C(a,0)，则＝2?a＝0或a＝－5(舍)．所以圆C：x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN?＋＝0?＋＝0?2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0?－＋2t＝0?t＝4，
所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
点评：本例是探索性问题，求解的关键是把几何问题代数化，即先把条件“x轴平分∠ANB”等价转化为“直线斜率的关系：kAN＝－kBN”，然后借助方程思想求解．
1．由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1
B．2
C.
D．3
C [如图，切线长|PM|＝，显然当|PC|为C到直线y＝x＋1的距离即＝2时，|PM|最小为，故选C.]
2．(2020·长春模拟)已知在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．3
B．6
C．4
D．2
D [将圆的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心坐标为F(2，－1)，半径r＝，如图，显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|＝2，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，
|EF|＝＝，
|BD|＝2＝2，
∴S四边形ABCD＝|AC|×|BD|＝2.]
3．已知圆O：x2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2.
(1)若直线l与圆O相切，求k的值；
(2)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；
(3)若k＝，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点．
[解] (1)∵圆O：x2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2，直线l与圆O相切，
∴圆心O(0,0)到直线l的距离等于半径r＝，
即d＝＝，
解得k＝±1.
(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
将直线l：y＝kx－2代入x2＋y2＝2，整理得(1＋k2)x2－4kx＋2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ＝(－4k)2－8(1＋k2)＞0，即k2＞1，
当∠AOB为锐角时，
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝＞0，
解得k2＜3，
又k2＞1，∴－＜k＜－1或1＜k＜.
故k的取值范围为(－，－1)∪(1，
)．
(3)由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上．
设P，以OP为直径的圆的方程为x(x－t)＋y＝0，
∴x2－tx＋y2－y＝0，
又C，D在圆O：x2＋y2＝2上，
两圆作差得lCD：tx＋y－2＝0，即t－2y－2＝0，
由得
∴直线CD过定点.
PAGE 椭圆
[考试要求]
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.理解数形结合思想.
4.了解椭圆的简单应用．
1．椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①若a＞c，则集合P为椭圆；
②若a＝c，则集合P为线段；
③若a＜c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a－b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内?.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上?.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外?.
2．焦点三角形
如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．设r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.
(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.
(5)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为.
(6)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
θ.
3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.
4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
5．椭圆中点弦的斜率公式
若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有
，即.
6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝
(k为直线的斜率)．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(4)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
D [依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
D [设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，所以解得
故椭圆C的标准方程为＋＝1.]
3．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
(3,4)∪(4,5) [由已知得
解得3＜k＜5且k≠4.]
4．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．
或 [设P(xP，yP)，xP＞0，由题意知|F1F2|＝2.
则S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|＝1，解得|yP|＝1.
代入椭圆的方程，得＋＝1，解得xP＝，
因此点P的坐标为或.]
第1课时 椭圆及其性质
考点一 椭圆的定义及其应用
椭圆定义的应用类型及方法
(1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
(2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF1|＋|PF2|＝2a实现等量转换．
(3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题．
[典例1] (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1
B.＋＝1
C.－＝1
D.＋＝1
(2)如图，椭圆＋＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为( )
A.
B.
C.
D.
(3)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________．
(1)D (2)D (3)－5 [(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且
2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，
由余弦定理得
4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°，
即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，
∴|PF1||PF2|＝，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin
60°＝，故选D.
(3)由题意知，点M在椭圆外部，且|PF1|＋|PF2|＝10，则|PM|－|PF1|＝|PM|－(10－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－10≥|F2M|－10(当且仅当点P，M，F2三点共线时等号成立)．
又F2(3,0)，则|F2M|＝＝5.
∴|PM|－|PF1|≥－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.]
点评：解答本例T(3)的关键是差式(|PM|－|PF1|)转化为和式(|PM|＋|PF2|－10)．而转化的依据为|PF1|＋|PF2|＝2a.
1．已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为( )
A.＋＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.＋＝1
D [由题意得|PA|＝|PB|，
∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，
∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，
∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.]
2．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
3 [法一：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.
法二：∵PF1⊥PF2，∴∠F1PF2＝90°，
∴S△PF1F2＝b2tan
45°＝9，∴b2＝9，∴b＝3.]
考点二 求椭圆的标准方程
待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
[典例2] (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为________．
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
(3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3,0)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程为________．
(1)＋＝1 (2)＋＝1 (3)＋＝1或＋＝1 [(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．
由
解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)法一：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，
2a＝＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，
且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，
∴＋＝1，
则＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心率e＝，所以c＝，b＝2，所以椭圆方程是＋＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝＝，解得a2＝，所以椭圆方程是＋＝1.]
点评：利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为
( )
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
D [由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D.]
2．(2020·通州模拟)设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为________，离心率为________．
＋＝1或＋＝1 [焦点与椭圆的最短距离为a－c＝，
a＝2c，∴c＝，a＝2，b＝3，
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
离心率e＝＝.]
考点三 椭圆的几何性质
(1)求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
①直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
②由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．
③构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路
①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
②将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．
椭圆中的基本量a，b，c
[典例3－1] 嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3
476公里，对该椭圆有四个结论：
①焦距长约为300公里 ②长轴长约为3988公里 ③两焦点坐标约为(±150,0) ④离心率约为
则上述结论正确的是( )
A．①②④
B．①③④
C．①④
D．②③④
C [设该椭圆的半长轴长为a，半焦距长为c.
依题意可得月球半径约为×3
476＝1
738，
a－c＝100＋1
738＝1
838，
a＋c＝400＋1
738＝2
138，
2a＝1
838＋2
138＝3
976，a＝1
988，
c＝2
138－1
988＝150，
椭圆的离心率约为e＝＝＝，
可得结论①④正确，②错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以③错误．故选C.]
点评：探求椭圆的长轴、短轴、焦距等问题，只要抓住题设中的信息，直译解方程即可．
离心率
[典例3－2] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－
B．2－
C．
D．－1
(2)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
(1)D (2) [(1)由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1.故选D.
(2)若存在点P，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，则∠F1BF2≥90°(B为短轴端点)，
即b≤c＜a，即b2≤c2，
∴a2－c2≤c2，∴a2≤2c2，
∴≤e＜1.]
点评：与几何图形有关的离心率问题，常借助勾股定理、正(余)弦定理求解；对于(2)这种探索性问题常采用临界点法求解．
与椭圆有关的最值(范围问题)
[典例3－3] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞)
B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞)
D．(0，]∪[4，＋∞)
(2)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2
B．3
C．6
D．8
(1)A (2)C [(1)由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．
①如图1，当焦点在x轴，即m＜3时，
a＝，b＝，tan
α＝≥tan
60°＝，∴0＜m≤1.
图1
图2
②如图2，当焦点在y轴，即m＞3时，
a＝，b＝，tan
α＝≥tan
60°＝，∴m≥9.
综上，m的取值范围(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.
(2)由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝
(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，
∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.
∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]
点评：本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x的有界性解模的思路．
1．已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A．8
B．7
C．6
D．5
A [因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以
解得62．(2020·攀枝花模拟)如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.－1
D.－1
B [由题意，F1(－c,0)，F2(c,0)，
因为四边形F1F2PQ为菱形，所以P(2c，c)，
将点P坐标代入＋＝1可得：＋＝1，整理得4c4－8a2c2＋a4＝0，
所以4e4－8e2＋1＝0，因0＜e＜1，故e＝.]
PAGE第2课时 直线与椭圆
考点一 直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆位置关系判断的步骤
(1)联立直线方程与椭圆方程．
(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程．
(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．
1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m＞1
B．m＞0
C．0＜m＜5且m≠1
D．m≥1且m≠5
D [∵直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，
∴要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，
只需＋≤1，
即m≥1，
又m≠5，
故m的取值范围为m≥1且m≠5，故选D.]
2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解] 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
点评：(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数；
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
考点二 弦长及中点弦问题
(1)弦长问题
常用“根与系数的关系”设而不求，利用弦长公式|AB|＝·＝，(A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率)计算弦长．
(2)中点弦问题
常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
弦长问题
[典例1－1] 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆C的一个焦点．点M(0,2)，直线MF的斜率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且|AB|＝|MN|，求l的方程．
[解] (1)由题意，可得解得则b2＝a2－c2＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2，|MN|＝2，|AB|≠|MN|，不合题意，故直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝kx＋2，联立
得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
Δ＝(16k)2－32(1＋4k2)＝128k2－32＞0，即k2＞.
设N(x0，y0)，则x0＝＝－，
因为|AB|＝|MN|，所以|x1－x2|＝|x0－0|，
则＝|x0|，
即＝，
整理得k2＝＞.故k＝±，所以直线l的方程为y＝±x＋2.
点评：涉及弦长问题在求解时务必注意两点：一是所设直线方程其斜率是否存在．二是保证直线与椭圆相交，即消元后对应方程其判别式Δ＞0.
中点弦问题
[典例1－2] (1)已知直线x－y＋1＝0与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，且线段AB中点为M，若直线OM(O为坐标原点)的倾斜角为150°，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________．
(1)D (2)＋＝1 [(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)．
∵＋＝1，＋＝1，
两式相减可得＋＝0，
把x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝k＝，＝tan
150°＝－，代入可得＝－·，
解得＝.∴e＝＝.故选D.
(2)法一：(直接法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，∴设椭圆方程为＋＝1(b>0)，由
消去x，
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知＝1，
∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
法二：(点差法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，∴设椭圆的方程为＋＝1(b>0)．
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得
＋＝0，
即·＝－，
又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，
k＝＝3，代入上式得3×＝－，解得b2＝8，故所求的椭圆方程为＋＝1.]
点评：与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式kAB·kOM＝－，即kAB＝－比较方便快捷，其中点M的坐标为(x0，y0)．
1．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是
( )
A．4x＋3y－13＝0
B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0
D．3x－4y＋5＝0
B [设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由题意得
①－②得＋＝0，
又P(3,1)是AB的中点．
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴kAB＝＝－.
故直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，
即3x＋4y－13＝0，故选B.]
2．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝，求出直线l的方程．
[解] 设直线l的方程为y＝－x＋m，由题意知F1，F2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，
所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，由题意知圆心(0,0)到直线l的距离d＝＜1，得|m|＜.
|AB|＝2＝2＝×，
联立消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，
由题意得Δ＝(－8m)2－4×7×(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)＞0，解得m2＜7，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
|CD|＝|x1－x2|＝×＝×＝×＝|AB|＝××，
解得m2＝＜2，得m＝±.
即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±.
考点三 直线与椭圆的综合问题
转化思想在直线与椭圆综合问题中的应用
(1)以向量为背景的综合题：常先将向量关系坐标化，然后借助根与系数的关系求解．
(2)以几何图形为背景的综合题：常体现数形结合思想，可先把几何图形中的平行、垂直等关系代数化(借助向量或斜率公式)，再利用根与系数的关系求解．
[典例2] 如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，点在椭圆C上，过原点O的直线与椭圆C相交于M，N两点，且|MF|＋|NF|＝4.
图1 图2
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P(1,0)，Q(4,0)，过点Q且斜率不为零的直线与椭圆C相交于A，B两点，证明：∠APO＝∠BPQ.
[解] (1)如图，取椭圆C的左焦点F′，连接MF′，NF′，由椭圆的几何性质知|NF|＝|MF′|，则|MF′|＋|MF|＝2a＝4，得a＝2.将点代入椭圆C的方程得＋＝1，解得b＝1.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
由图可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－4)(k≠0)．联立方程消去y得，(4k2＋1)x2－32k2x＋64k2－4＝0，Δ＝(－32k2)2－4(4k2＋1)·(64k2－4)＞0，k2＜，直线AP的斜率为＝.同理直线BP的斜率为.由＋
＝
＝
＝
＝
＝＝0.
由上得直线AP与BP的斜率互为相反数，可得∠APO＝∠BPQ.
点评：圆锥曲线中的两角相等问题，其实就是有公共边的两个角(公共边所在直线垂直于坐标轴)的不相同的边所在直线的倾斜角互补的问题，即已知点B，D在垂直于坐标轴的同一直线上，若要证明∠ABD＝∠CBD，需证kAB＋kBC＝0.
(2020·天津高考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C满足3＝，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．
[解] (1)∵椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，∴b＝3，
由|OA|＝|OF|，得c＝b＝3，
又由a2＝b2＋c2，得a2＝32＋32＝18，
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)∵直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以CP⊥AB，
根据题意可知，直线AB和直线CP的斜率均存在，
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＋3＝kx，即y＝kx－3，
由方程组消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，
解得x＝0或x＝.
将x＝代入y＝kx－3，得y＝k·－3＝，
所以，点B的坐标为，
因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，
所以点P的坐标为，
由3＝，得点C的坐标为(1,0)，
所以，直线CP的斜率为kCP＝＝，
又因为CP⊥AB，所以k·＝－1，
整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.
所以，直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3.
PAGE 抛物线
[考试要求]
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.理解数形结合思想.
3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
1．设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦．
(1)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(2)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(3)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
2．过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )
(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.( )
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．抛物线y＝x2的准线方程是( )
A．y＝－1
B．y＝－2
C．x＝－1
D．x＝－2
A [∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]
2．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A.
B.
C.
D.0
B [M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，
∴y＝.]
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9
B．8
C．7
D．6
B [抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]
4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
y2＝－8x或x2＝－y [设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]
考点一 抛物线的定义及其应用
抛物线定义的应用
(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
[典例1] (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3 C．6 D．9
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
(1)C (2)4 [法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y＝18p.又点A到焦点的距离为12，所以＝12，所以2＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故选C.
法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6.故选C.
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.]
[母题变迁]
1．若将例(2)中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
[解] 由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．
∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|
＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值为2.
2．若将例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
[解] 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．
点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，
所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
故d2＋|PF|的最小值为＝3，
所以d1＋d2的最小值为3－1.
点评：与抛物线有关的最值问题的转换方法
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到准线的距离为( )
A．
B．
C．1
D．3
B [∵F是抛物线y2＝x的焦点，
∴F，准线方程x＝－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可得
|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝3.
解得x1＋x2＝，∴线段AB的中点横坐标为，
∴线段AB的中点到准线的距离为＋＝.故选B.]
2．已知动圆P与定圆C：(x－2)2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝－1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是( )
A．y2＝4x
B．y2＝－4x
C．y2＝8x
D．y2＝－8x
C [令P点坐标为(x，y)，A(2,0)，动圆的半径为r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，|PA|＝1＋r，d＝r，
P在直线的右侧，故P到定直线的距离是d＝x＋1，
所以|PA|－d＝1，即－(x＋1)＝1，
化简得y2＝8x.故选C.]
考点二 抛物线的标准方程及其性质
(1)求抛物线标准方程的方法
①先定位：根据焦点或准线的位置；
②再定形：即根据条件求p.
(2)抛物线性质的应用技巧
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；
②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
[典例2] (1)(2020·全国卷Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A.
B.
C．(1,0)
D．(2,0)
(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝4x
C．y2＝2x
D．y2＝x
(1)B (2)B [(1)将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2，不妨设D(2,2)，E(2，－2)，由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为.故选B.
(2)如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°
，
则在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，从而得a＝，∵AE∥FG，
∴＝，即＝，p＝2.∴抛物线的方程为y2＝4x.故选B.]
点评：在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
1．在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.
4 [法一：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°.又tan
60°＝，所以yA＝2.因为PA⊥l，所以yP＝yA＝2.将其代入y2＝4x，得xP＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.
法二：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为PA⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF为等边三角形，所以|PF|＝|AF|＝＝4.]
2．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
x2＝4y [由△FPM为等边三角形，得|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以
解得因此抛物线方程为x2＝4y.]
考点三 直线与抛物线的位置关系
求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解．
[典例3] (1)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．
(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
①若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
②若＝3，求|AB|.
(1)3 [结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．]
(2)[解] 设直线l：y＝x＋t，A，B.
①由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，
由题设可得x1＋x2＝.
由
，可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－.
从而由－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
②由＝3得y1＝－3y2.
由得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2.
从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
故|AB|＝.
点评：解答本例(2)第②问的关键是从条件“＝3”中发现变量间的关系“y1＝－3y2”，从而为方程组的消元提供明确的方向．
(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
[解] (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由
y＝，得y′＝.
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.
从而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，
解得m＝7.
所以直线AB的方程为y＝x＋7.
备考技法5 活用抛物线焦点弦的四个结论
抛物线的焦点弦问题一直是高考命题的一个热点，该问题常与弦长、三角形面积、向量、不等式等知识相融合，考查学生的转化化归意识和灵活解题能力．命题点主要体现在焦点弦的四个结论上：设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1·x2＝.(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)．(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点).
过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4
B.
C．5
D．6
B [法一：(通性通法)易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，
即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
法二：(巧用结论)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos
θ＝＝，所以tan
θ＝2.则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.
法三：因为|AF|＝2|BF|，所以＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.]
[评析] 本例给出了三种解法，既有通性通法又有秒杀绝技，学习中要多总结，提升自己灵活解题的素养．
如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5
B．6
C.
D.
C [法一：(通性通法)
如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3,2)，又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.
法二：(巧用结论)如上解得p＝2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，p＝2，
所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝.
法三：因为＋＝，|AF|＝4，p＝2，
所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.]
设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.
B.
C.
D.
D [法一：(通性通法)由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
法二：(巧用结论)由2p＝3，及|AB|＝，
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin
30°＝，
故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.]
[评析] 巧用结论解题避免了通性通法的繁杂计算．解题中务必熟记结论，灵活应用求解．
结论：S△AOB＝，其中α为焦点弦AB的倾斜角．
(2020·成都模拟)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A.
B.
C．2
D．3
B [法一：(通性通法)由y2＝4x可得抛物线的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，如图，过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为M，根据抛物线的定义可知PM＝PF＝4，
设P(x，y)，则x－(－1)＝4，解得x＝3，将x＝3代入y2＝4x可得y＝±2，所以△POF的面积为|y||OF|＝×2×1＝.故选B.
法二：(巧用结论)设∠PFx＝θ，则|PF|＝＝＝4，∴cos
θ＝，即θ＝60°.
设P(x，y)，则|y|＝|PF|sin
θ＝4×＝2.
∴S△POF＝×|OF|×|y|＝×1×2＝.故选B.]
PAGE 双曲线
[考试要求]
1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
3.理解数形结合思想.
4.了解双曲线的简单应用．
1．双曲线的定义
(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，
其中a，c为常数且a>0，c>0.
①若a＜c，则集合P为双曲线；
②若a＝c，则集合P为两条射线；
③若a＞c，则集合P为空集．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实、虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3．等轴双曲线及性质
(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线?离心率e＝?两条渐近线y＝±x相互垂直．
1．双曲线中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2.
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线
(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为
( )
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C．x2－＝1
D.－＝1
A [设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由椭圆＋＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0).
所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1.]
2．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
－＝1 [设等轴双曲线的方程为
x2－y2＝λ(λ≠0)．
由题意得9－1＝λ，∴λ＝8.
即－＝1.]
3．若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．
(－∞，－2)∪(－1，＋∞) [因为方程－＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.]
4．双曲线－＝－1的实轴长为________，离心率为________，渐近线方程为________．
10 y＝±x [双曲线－＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49，
∴实轴长为2a＝10，离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.]
考点一 双曲线的定义及其应用
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，当∠F1PF2＝90°时，S△PF1F2＝b2，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
[典例1] (1)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
(3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
(1)6 (2)x2－＝1(x≤－1) (3) [(1)设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6.
(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(3)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
所以|PF1|＝2|PF2|＝4，
所以cos∠F1PF2＝
＝＝.]
[母题变迁]
1．将本例(3)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
[解] 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝2.
2．将本例(3)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
[解] 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵·＝0，∴⊥，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2.
点评：(1)求双曲线上的点到焦点的距离时，要注意取舍，如本例T(1)．
(2)利用定义求双曲线方程时，要注意所求是双曲线一支，还是整个双曲线，如本例T(2)．
1．虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为( )
A．3
B．16＋
C．12＋
D．24
B [由于2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a，
∴9a2＝a2＋1，∴a＝.
由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝，①
|BF2|－|BF1|＝，②
①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，
∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，
则△ABF2的周长为16＋，故选B.]
2．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
9 [设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图像(图略)，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.]
考点二 双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程的方法
1．(2020·兰州诊断)经过点M(2，2)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
D [设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
又双曲线过点M(2，2)，
所以λ＝－6.即双曲线方程为－＝1，故选D.]
2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D．x2－＝1
D [由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得－＝2a，即c＝a.又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1，故选D.]
3．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________．
－＝1 [设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴解得
∴双曲线方程为－＝1.]
点评：结合题设条件，灵活选择双曲线的设法，可以快速求解双曲线的标准方程．
考点三 双曲线的几何性质
1.求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.
2．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
求双曲线的渐近线方程
[典例2－1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
(2)(2020·广州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A．x±y＝0
B.x±y＝0
C．x±2y＝0
D．2x±y＝0
(1)A (2)B [(1)法一：(直接法)由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
法二：(公式法)由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
(2)假设点P在双曲线的右支上，
则∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
∵|F1F2|＝2c＞2a，∴△PF1F2最短的边是PF2，
∴△PF1F2的最小内角为∠PF1F2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos
30°，
∴c2－2ac＋3a2＝0，
∴e2－2e＋3＝0，∴e＝，∴＝，
∴c2＝3a2，∴a2＋b2＝3a2，∴b2＝2a2，∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，故选B.]
点评：双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：
k＝＝＝，或e＝＝＝.
双曲线的离心率
[典例2－2] (1)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(1,2)
C．(2,1＋)
D．(1,1＋)
(2)(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A.
B.
C．2
D.
(1)B (2)A [(1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.
(2)令双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝.
如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，
由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，
得2＋2＝a2，
∴＝，即离心率e＝.
故选A.]
点评：解答双曲线与圆的综合问题一般要画出几何图形，多借助圆的几何性质，挖掘出隐含条件，如垂直关系、线段或角的等量关系等．
1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A.
B．5
C.
D．2
A [由题意可知b＝2a，
∴e＝＝＝，故选A.]
2．(2020·衡水模拟)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A.
B.
C．(1,2)
D．(2，＋∞)
A [由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.]
3．(2020·安徽示范高中联考)如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线交于A，B两点．若|AB|∶|BF1|∶|AF1|＝3∶4∶5，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x
B．y＝±2x
C．y＝±x
D．y＝±x
A [由题意可设|AB|＝3k，则|BF1|＝4k，|AF1|＝5k，则易得BF1⊥BF2，由双曲线的定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，则可得|AF2|＝5k－2a，|BF2|＝8k－2a，再根据双曲线的定义得|BF2|－|BF1|＝2a，得k＝a，即|BF1|＝4a，|BF2|＝6a，|F1F2|＝2c，在直角三角形BF1F2中，得16a2＋36a2＝4c2＝4(a2＋b2)，则＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选A.]
备考技法6 “设而不求”在解析几何中的妙用
“设而不求”是解析几何解题简化运算的一种重要手段，它的精彩在于通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，最大限度地减少运算；同时，“设而不求”也是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用.
活用定义，转化坐标
在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
y＝±x [设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝yA＋＋yB＋＝4×?yA＋yB＝p，
由
可得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以yA＋yB＝＝p，解得a＝b，故该双曲线的渐近线方程为y＝±x.]
[评析] 设出点的坐标，先通过抛物线的定义，实现点的坐标与几何关系|AF|＋|BF|＝4|OF|的转换，然后借助根与系数的关系建立参数a，b的等量关系，达到设而不求，从而求得双曲线的渐近线方程．
抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则的最小值为________．
[设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，
知|PF|＝xP＋m，
又|PA|2＝(xP＋m)2＋y＝(xP＋m)2＋4mxP，
则2＝＝≥＝(当且仅当xP＝m时取等号)，
所以≥，
所以的最小值为.]
妙用“点差法”，构造斜率
已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
①－②得＋＝0，
所以kAB＝＝－＝.
又kAB＝＝，所以＝.
又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，
所以椭圆E的方程为＋＝1.]
[评析] 该题目属于中点弦问题，可设出A，B两点的坐标，通过“点差法”，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．
1．抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是________．
(－，) [当k＝0时，显然成立．
当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y＝2x1，y＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝＝，由对称性知kBC＝－，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1.由点M在抛物线内，得y<2x0，即(－k)2<2，所以－综上，k的取值范围为(－，)．]
2．已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
[解] 假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠x2，由
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，
又＝1，＝1，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以kAB＝＝2，
故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由
消去y得2x2－4x＋3＝0，
因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．
巧引参数，整体代入
已知椭圆＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点．
(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
[解] (1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0.
解得x1＝－2，x2＝－，所以M.
(2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为y＝k(x＋2)，
联立方程
化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.
则xA＋xM＝，
xM＝－xA－＝2－＝.
同理，可得xN＝.
由(1)知若存在定点，则此点必为P.
证明如下：
因为kMP＝＝＝，
同理可计算得kPN＝.
所以直线MN过x轴上的一定点P.
[评析] 第(2)问先设出AM的方程为y＝k(x＋2)，联立方程，利用根与系数的关系求出xM，在此基础上借助kAM·kAN＝－1，整体代入求出xN.
已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，求|AB|＋|DE|的最小值．
[解] 法一：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，设l1：x＝ty＋，则直线l1的斜率为，联立方程得
消去x得y2－2ty－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－1.
所以|AB|＝|y1－y2|＝·＝·＝2t2＋2，
同理得，用替换t可得|DE|＝＋2，所以|AB|＋|DE|＝2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t2＝，即t＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.
法二：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，不妨设l1的斜率为k，则l1：y＝k，l2：y＝－.
由消去y得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝1＋.
由抛物线的定义知，
|AB|＝x1＋x2＋1＝1＋＋1＝2＋.
同理可得，用－替换|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2，所以|AB|＋|DE|＝2＋＋2＋2k2＝4＋＋2k2≥4＋4＝8，当且仅当＝2k2，即k＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.
PAGE 曲线与方程
[考试要求]
1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.
3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．
1．曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
提醒：“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．求动点的轨迹方程的基本步骤
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( )
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( )
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( )
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．到点F(0,4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为( )
A．y＝16x2
B．y＝－16x2
C．x2＝16y
D．x2＝－16y
C [由题意可知，动点M到点F(0,4)的距离等于到直线y＝－4的距离，故点M的轨迹为以点F(0,4)为焦点，以y＝－4为准线的抛物线，其轨迹方程为x2＝16y.]
2．P是椭圆＋＝1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹方程为( )
A.x2＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
B [设中点坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x,2y)，
代入椭圆方程得＋y2＝1.故选B.]
3．若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为________．
x＋y－1＝0 [设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM.∵l1⊥l2，
∴|PM|＝|OM|，
而|PM|＝，
|OM|＝.
∴＝，
化简，得x＋y－1＝0，
即为所求的轨迹方程．]
4．已知线段AB的长为6，直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是________．
－＝1(x≠±3) [以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－3,0)，B(3,0)．设点M的坐标为(x，y)，则直线AM的斜率kAM＝(x≠－3)，直线BM的斜率kBM＝(x≠3)．由已知有·＝(x≠±3)，化简整理得点M的轨迹方程为－＝1(x≠±3)．]
考点一 直接法求轨迹方程
利用直接法求轨迹方程
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简．
(2)运用直接法应注意的问题
①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；
②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．
[典例1] 已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．
[解] (1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ，整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
(2)当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；
当－1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；
当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)．
当λ＜－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．
点评：(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．
(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹的形状、位置、大小等．
1．(2020·全国卷Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若·＝1，则C的轨迹为( )
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
A [以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设A(－a,0)，B(a,0)，C(x，y)，则＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)，∵·＝1，∴(x＋a)(x－a)＋y·y＝1，∴x2＋y2＝a2＋1，∴点C的轨迹为圆，故选A.]
2．已知两点M(－1,0)，N(1,0)且点P使·，·，·成公差小于0的等差数列，则点P的轨迹是什么曲线？
[解] 设P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)得
＝－＝(－1－x，－y)，
＝－＝(1－x，－y)，
＝－＝(2,0)，
所以·＝2(1＋x)，·＝x2＋y2－1，
·＝2(1－x)．
于是·，·，·是公差小于0的等差数列等价于
即
所以点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆(不含端点)．
考点二 定义法求轨迹方程
定义法求轨迹方程及其注意点
(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
[典例2] 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求
C的方程．
[解] 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
[母题变迁]
1．把本例中圆M的方程换为：(x＋3)2＋y2＝1，圆N的方程换为：(x－3)2＋y2＝1，求圆心P的轨迹方程．
[解] 由已知条件可知圆M和N外离，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2＜|MN|＝6，由双曲线的定义知点P的轨迹是双曲线的右支，
其方程为x2－＝1(x＞1)．
2．在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x＝－1相切，求圆心P的轨迹方程．
[解] 由于点P到定点N(1,0)和定直线x＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1,0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y2＝4x.
点评：应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系式结合曲线的定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．
已知圆N：x2＋(y＋)2＝36，P是圆N上的点，点Q在线段NP上，且有点D(0，)和DP上的点M，满足＝2，·＝0.当P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．
[解] 连接QD(图略)，由题意知，MQ是线段DP的中垂线，所以|NP|＝|NQ|＋|QP|＝|QN|＋|QD|＝6＞|DN|＝2.
由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以D，N为焦点的椭圆，依题意设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝，a＝3，b＝2，
所以点Q的轨迹方程是＋＝1.
考点三 相关点(代入)法求轨迹方程
“相关点法”求轨迹方程的基本步骤
[典例3] (2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
[解] (1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则
＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，
故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
点评：本例第(1)问在求解中巧用“＝”实现了动点P(x，y)与另两个动点M(x0，y0)，N(x0,0)之间的转换，并借助动点M的轨迹求得动点P的轨迹方程；对于本例第(2)问的求解，采用的是“以算待证”的方法，即求得l的方程后，借助直线系的特点，得出直线过定点．
1．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0)
B.＋y2＝1(y≠0)
C.＋3y2＝1(y≠0)
D.x2＋y2＝1(y≠0)
C [依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)(y0≠0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标公式可得
即
代入椭圆C：＋＝1，
得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．]
2.如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2,1[解] 由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)，
设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，－y0)，设点M的坐标为(x，y)，
直线AA1的方程为y＝(x＋3)．①
直线A2B的方程为y＝(x－3)．②
由①②相乘得y2＝(x2－9)．③
又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y＝1－.④
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0)．
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