第11章
算法初步、推理与证明
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式高考在本章一般命制1～2道小题，分值点5～10分．2.考查内容(1)算法中的循环结构和条件结构是高考考查的热点，题型以选择题为主，属容易题．(2)推理题偶有考查，属容易题.
算法与算法框图
[考试要求]
1.了解算法的含义，了解算法的思想.
2.理解算法框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环.
3.了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．
1．常用算法框图及其功能
2．三种基本逻辑结构
(1)顺序结构：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．其结构形式为
(2)选择结构：需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构．
其结构形式为
(3)循环结构：指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．其基本模式为
3．基本算法语句
任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它分别是：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句．
4．赋值语句
(1)一般形式：变量＝表达式．
(2)作用：将表达式所代表的值赋给变量．
5．条件语句
(1)If－Then－Else语句的一般格式为：
If 条件 Then
语句1
Else
语句2
End
If
(2)If－Then语句的一般格式是：
If 条件 Then
语句
End
If
6．循环语句
(1)For语句的一般形式：
For循环变量＝初始值To终值
循环体
Next
(2)Do
Loop语句的一般形式：
Do
循环体
Loop
While 条件为真
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个算法框图一定包含顺序结构，但不一定包含选择结构和循环结构．( )
(2)选择结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．( )
(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．( )
(4)在赋值语句中，x＝x＋1是错误的．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．如图所示的算法框图的运行结果为( )
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
B [因为a＝2，b＝4，所以输出S＝＋＝2.5.故选B.]
第1题图
第2题图
2．执行如图所示的算法框图，若输出的S为4，则输入的x应为( )
A．－2
B．16
C．－2或8
D．－2或16
D [算法框图是求函数S＝
的函数值，S＝4时，x＝－2或16.故选D.]
3．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )
A．－10
B．6
C．14
D．18
B [由题意知：i＝2，S＝20－2＝18；i＝4，S＝18－4＝14；i＝8，S＝14－8＝6，
满足i＞5的条件，结束循环，输出S的值为6，故选B.]
4．已知函数y＝|x－3|，如图所示算法框图表示的是给定x值，求其相应函数值y的算法．请将该算法框图补充完整．其中①处应填_____，②处应填_____．
x＜3？ y＝x－3 [由y＝|x－3|＝及算法框图知，①处应填x＜3？，②处应填y＝x－3.]
考点一 算法框图的执行问题
解决“输入、输出型”问题的思路
(1)要明确算法框图的顺序结构、条件结构和循环结构．注意区分当型循环和直到型循环，循环结构中要正确控制循环次数，要注意各个框的顺序．
(2)要识别运行算法框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
1．(2020·吉安一中、九江一中等重点中学联考)下列算法框图输出a，b，c的含义是( )
A．输出的a是原来的c，输出的b是原来的a，输出的c是原来的b
B．输出的a是原来的c，输出的b是原来的b，输出的c是原来的b
C．输出的a，b，c均等于a
D．输出的a，b，c均等于x
A [结合框图的含义及赋值语句可知选项A正确．]
2．(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的算法框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于( )
A．2－
B．2－
C．2－
D．2－
C [输入的ε为0.01，x＝1，s＝0，x＝＞0.01，不满足条件；
s＝0＋1＋，x＝＞0.01，不满足条件；
…
s＝0＋1＋＋…＋，x＝＝0.007
812
5<0.01，满足条件，
输出s＝1＋＋…＋＝2＝2－，故选C.]
3．执行如图所示的算法框图，若输出的结果为48，则输入k的值可以为
( )
A．6
B．10
C．8
D．4
C [执行算法框图，可知：
第一次循环：n＝1＋3＝4，S＝2×1＋4＝6；
第二次循环：n＝4＋3＝7，S＝2×6＋7＝19；
第三次循环：n＝7＋3＝10，S＝2×19＋10＝48，
要使得输出的结果为48，根据选项可知k＝8，故选C.]
4．如图的算法框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该算法框图，若输入的a，b分别为176,320，则输出的a为
( )
A．16
B．18
C．20
D．15
A [由a＝176，b＝320，a≠b，且不满足a>b，
则b＝320－176＝144，
由a>b，则a＝176－144＝32，
由a
由a由a由a由a>b，则a＝32－16＝16，
由a＝b，退出循环，输出a＝16.
故选A.]
点评：(1)解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到程序终止．(2)对于算法案例，可依据算法框图将抽象的数学问题转变为具体步骤化的逻辑思维问题．
考点二 算法框图的功能识别
辨析算法框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．
1．已知某算法的算法框图如图所示，则该算法的功能是( )
A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2
017项和
B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2
018项和
C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1
009项和
D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1
010项和
C [由算法框图可得S＝1＋5＋9＋…＋4
033，故该算法的功能是求首项为1，公差为4的等差数列的前1
009项和．故选C.]
2．如图所示的算法框图所实现的功能是( )
A．输入a的值，计算(a－1)×32
021＋1的值
B．输入a的值，计算(a－1)×32
020＋1的值
C．输入a的值，计算(a－1)×32
019＋1的值
D．输入a的值，计算(a－1)×32
018＋1的值
B [由算法框图，可知a1＝a，an＋1＝3an－2，由i的初值为1，末值为2
019，可知，此递推公式共执行了2
019＋1＝2
020次，又由an＋1＝3an－2，得an＋1－1＝3(an－1)，得an－1＝(a－1)×3n－1.
即an＝(a－1)×3n－1＋1，
故a2
021＝(a－1)×32
021－1＋1＝(a－1)×32
020＋1，故选B.]
3．如果执行如图的算法框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则( )
A．A＋B为a1，a2，…，aN的和
B．为a1，a2，…，aN的算术平均数
C．A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数
D．A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数
C [易知A，B分别为a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数．故选C.]
考点三 算法框图的补充与完善
具体解题方法有以下两种：一是先假定空白处填写的条件，再正面执行程序，来检验填写的条件是否正确；二是根据结果进行回溯，直至确定填写的条件是什么．
[典例] (2019·全国卷Ⅰ)如图是求的算法框图，图中空白框中应填入( )
A．A＝
B．A＝2＋
C．A＝
D．A＝1＋
A [执行第1次，A＝，k＝1≤2，是，因为第一次应该计算＝，k＝k＋1＝2，循环，执行第2次，k＝2≤2，是，因为第二次应该计算＝，k＝k＋1＝3，循环，执行第3次，k＝3≤2，否，输出A，故循环体为A＝，故选A.
秒杀速解：认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A＝.]
点评：确定控制循环变量的思路，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．
1．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，利用如图算法框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是( )
A．n≤2
012?
B．n≤2
015?
C．n≤2
017?
D．n≤2
018?
C [通过分析，本算法框图为“当型”循环结构，
判断框内为满足循环的条件，
循环前，A＝，n＝1；
第1次循环，A＝1－2＝－1，n＝1＋1＝2；
第2次循环，A＝1＋1＝2，n＝2＋1＝3；
第3次循环，A＝1－＝，n＝3＋1＝4；
…
所以，程序运行时计算A的值是以3为周期循环，
当程序运行后输出A＝2时，n＋1能被3整除，此时不满
足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的为C项．故选C.]
2．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知f(x)＝2
019x2
018＋2
018x2
017＋…＋2x＋1，算法框图设计的是求f(x0)的值，在M处应填的执行语句是( )
A．n＝2
018－i
B．n＝2
019－i
C．n＝i＋1
D．n＝i＋2
B [由已知中的算法框图可知：该算法框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，结合算法框图的功能可知：
n的值为多项式的系数，为2
019,2
018,2
017，…，1，由算法框图可知，处理框处应该填入n＝2
019－i.故选B.]
PAGE 归纳与类比
[考试要求]
1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.
2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．
1．归纳推理
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．
2．类比推理
由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．
3．合情推理
根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式，称为合情推理．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
A．an＝3n－1
B．an＝4n－3
C．an＝n2
D．an＝3n－1
C [a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]
2．下面几种推理是合情推理的是
( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，
归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③李锋某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.
A．①②
B．①③
C．①②④
D．②④
C [合情推理分为类比推理和归纳推理．其中①是类比推理，②④是归纳推理．故选C.]
3．如图1有面积关系：＝，则由图2有体积关系：＝________.
图1 图2
[平面上的面积可类比到空间上的体积．
＝＝.]
4．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n
(n<19，n∈N
)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________．
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N
) [利用类比推理，借助等比数列的性质，
b＝b1＋n·b17－n，
可知存在的等式为b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N
)．]
考点一 归纳推理
与数字或式子有关的推理
(1)与数字有关的数阵(或数表)问题，要观察数字特征，数字与序号间的关系及其变化规律，一般要结合数列知识求解．
(2)与式子有关的问题，要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律，归纳推理得出一般结论．
[典例1－1] (1)将正整数依次排列如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
…
…
…
…
…
…
由表知第5行第3列的数是13，若第2
020行第2列的数是a，则a的各位数字中，数字0的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．2
(2)观察下列式子，ln
2＞，ln
3＞＋，ln
4＞＋＋，…，根据上述规律，第n个不等式应该为________．
(1)B (2)ln(n＋1)＞＋＋…＋ [(1)由题意知，前n行中共有1＋2＋3＋…＋n＝个整数，故第2
019行中最后一个数：＝2
039
190，
第2020行中第2列的数为：2
039
190＋2＝2
039
192，故0的个数为1，故选B.
(2)根据题意，对于第一个不等式，ln
2＞，则有ln(1＋1)＞，
对于第二个不等式，ln
3＞＋，则有
ln(2＋1)＞＋，
对于第三个不等式，ln
4＞＋＋，则有
ln(3＋1)＞＋＋，
依此类推：
第n个不等式为：ln(n＋1)＞＋＋…＋.]
与图形变化有关的推理
与图形变化有关的推理，其解题切入点：
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系；(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，结构、数值发生了怎样的变化，探求规律．
[典例1－2] 如图所示，第n个图形是由正n＋2边形拓展而来(n＝1,2，…)，则第n－2(n≥3)个图形共有________个顶点．
①
② ③ ④
n2＋n [第一个图有3＋3×3＝4×3个顶点；
第二个图有4＋4×4＝5×4个顶点；
第三个图有5＋5×5＝6×5个顶点；
第四个图有6＋6×6＝7×6个顶点；
……
第n个图有(n＋3)(n＋2)个顶点，
第n－2个图形共有n(n＋1)＝n2＋n个顶点．]
点评：与图形变化有关的推理常借助特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．
1．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
震
001
1
坎
010
2
兑
011
3
以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是
( )
A．18
B．17
C．16
D．15
B [由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故选B.]
2．分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为( )
n＝1
n＝2 n＝3
A．81
B．121
C．364
D．1
093
C [由题图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，
所以，n＝1时，a1＝1；
n＝2时，a2＝3＋1＝4；
n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；
n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；
n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；
n＝6时，a6＝3×121＋1＝364，故选C.]
3．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：
22＝1＋3；32＝1＋3＋5；42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19.
根据上述分解规律，则52＝1＋3＋5＋7＋9，若m3(m∈N
)的分解中最小的数是73，则m的值为________．
9 [根据23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19，从23起，m3的分解规律恰为数列3,5,7,9…中若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首个数为m2－m＋1.因为m3(m∈N
)的分解中最小的数是73，所以m2－m＋1＝73，解得m＝9.]
考点二 类比推理
类比推理的应用类型及解题方法
类比定义
在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解
类比性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键
类比方法
有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移
[典例2] (1)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x(x＞0)求得x＝.类比上述方法，则＝( )
A．3
B.
C．6
D．2
(2)若点P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为＋＝1.那么对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为________．
(1)A (2)－＝1 [(1)由题意结合所给的例子类比推理可得＝x(x＞0)，整理得(x＋1)(x－3)＝0，则x＝3，x＝－1(舍)，即＝3，故选A.
(2)若点P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过点P0作该双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为－＝1.]
点评：类比推理的关键是找到合适的类比对象，推理的一般步骤为：先找出两类事物之间的相似性或一致性，再用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
在平面几何中，若正方形ABCD的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到立体几何中，若正方体ABCD?A1B1C1D1的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.
[正方形ABCD的内切圆的半径为r1，外接圆的半径为r2，半径比＝，面积比为半径比的平方，＝，正方体ABCD?A1B1C1D1的内切球的半径为R1，外接球的半径为R2，半径比＝，所以体积比是半径比的立方，＝.]
考点三 逻辑推理题
假设反证法解决逻辑推理问题：先假设题中给出的某种情况是正确的，并以此为起点进行推理．如果推理导致矛盾，则证明此假设是错误的，再重新提出一个假设继续推理，直到得到符合要求的结论为止．
[典例3] 甲、乙、丙三位考生参加某高校自主招生测试，共有A，B，C，D，E五道题目，测试结束后三人得到如下信息：(1)本次测试中没有一道题目三人都做对，但是每道题至少有一人做对；(2)第三道题只有一人做对；(3)甲只做对了前三道题；(4)只有乙做错了第一题，乙做对的题目不相邻；(5)丙连续做错了三道题．
从以上信息中可以判断丙连续做错的三道题是________．
B，C，D [由“甲只做对了前三道题”得出下表的第二行；由“第三道题只有一人做对”得出下表的第四列；由“只有乙做错了第一题”得出下表的第二列．
如果丙做对B，则乙做错B，
易知丙后三道题都做错，
则乙做对D和E，
这与“乙做对的题目不相邻”矛盾，
所以丙做错B，C，D，如下表．故填B，C，D.
A
B
C
D
E
甲
对
对
对
错
错
乙
错
对/错
错
对
错
丙
对
错
错
错
对
]
点评：本题是给出多种条件的推理题，用表格的形式直观、形象、鲜明地呈现出来，便于解题．从易判定的条件出发，逐个填满表格，筛选、假设、归纳贯穿其中，能有效考查学生的逻辑推理能力．
1．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”以下推论可能正确的是( )
A．乙、丙两个人去了
B．甲一个人去了
C．甲、丙、丁三个人去了
D．四个人都去了
C [因为乙说“丙去我就不去”，且丙一定去，所以A，D不可能正确．因为丁说“甲、乙中只要有一人去，我就去”，所以B不可能正确．故选C.]
2．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
A [若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲、乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A.]
3．甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是________．
乙 [假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意；假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾．故答案是乙．]
PAGE 综合法、分析法、反证法、数学归纳法
[考试要求]
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.
3.了解数学归纳法的原理.
4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
1．综合法、分析法
内容
综合法
分析法
定义
从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法
从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法
实质
由因导果
执果索因
框图表示
→→…→
→→…→
文字语言
因为……所以……或由……得……
要证……只需证……即证……
2．反证法
(1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．
(2)反证法的证题步骤：
①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．
3．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N
)时命题成立；
(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N
)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫作数学归纳法．
利用归纳假设的技巧
在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( )
(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )
(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )
(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C [凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.]
2．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是
( )
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
B [“至少有一个”的否定为“都不是”，故B正确．]
3．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q
B．P＝Q
C．PD．不能确定
A [假设P>Q，只需P2>Q2，即2a＋13＋2>2a＋13＋2，只需a2＋13a＋42>a2＋13a＋40.因为42>40成立，所以P>Q成立．故选A.]
4．已知数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N
，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.
3 4 5 n＋1 [易得a2＝3，a3＝4，a4＝5，故猜想an＝n＋1.]
考点一 综合法的应用
掌握综合法证明问题的思路
(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．
(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
[典例1] 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.
证明：(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
[证明] (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，
即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为a，b，c均为正数，
＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
所以＋＋≥1.
[母题变迁]
本例的条件不变，证明a2＋b2＋c2≥.
[证明] 因为a＋b＋c＝1，
所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
因为2ab≤a2＋b2,2bc≤b2＋c2,2ac≤a2＋c2，
所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)，
所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，
即a2＋b2＋c2≥.
点评：(1)不等式的证明常借助基本不等式，注意其使用的前提条件“一正、二定、三相等”；
(2)
应用重要不等式a2＋b2≥2ab放缩时要注意待证不等式的方向性．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin
Asin
B＋sin
Bsin
C＋cos
2B＝1.
(1)求证：a，b，c成等差数列；
(2)若C＝，求证：5a＝3b.
[证明] (1)由已知得sin
Asin
B＋sin
Bsin
C＝2sin2B，
因为sin
B≠0，所以sin
A＋sin
C＝2sin
B，
由正弦定理，得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．
(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得
(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，
即5a＝3b.
考点二 分析法的应用
分析法证明问题的思路及适用范围
利用分析法证明问题，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件；当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
[典例2] 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：＋＝.
[证明] 要证＋＝，
即证＋＝3，
也就是＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos
60°，
即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立．
点评：(1)用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论．
(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，如本例中，通过分析法找出与结论等价(或充分)的中间结论“c2＋a2＝ac＋b2”，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
若a，b∈(1，＋∞)，证明＜.
[证明] 要证＜，
只需证()2＜()2，
只需证a＋b－1－ab＜0，
即证(a－1)(1－b)＜0.
因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0，
即(a－1)(1－b)＜0成立，
所以原不等式成立．
考点三 反证法的应用
用反证法证明问题的步骤
[典例3] 设a>0，b>0，且a＋b＝＋.
证明：(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
[证明] 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，
有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0同理，0故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
点评：(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．
(2)在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等．
等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N
)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得
所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)(n∈N
)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋，
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N
，且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr.
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0，
因为p，q，r∈N
，所以
所以2＝pr，(p－r)2＝0，
所以p＝r，与p≠r矛盾，
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
考点四 数学归纳法的应用
(1)应用数学归纳法证明不等式应注意的问题
①当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
②用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．
(2)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性．
[典例4] (2019·浙江高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N
，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn＝，n∈N
，证明：c1＋c2＋…＋cn＜2，n∈N
.
[解] (1)设数列{an}的公差为d，
由题意得解得a1＝0，d＝2，
∴an＝2n－2，n∈N
.
∴Sn＝n2－n，n∈N
.
∵数列{bn}满足：对每个n∈N
，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列，
∴(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)，
解得bn＝(S－SnSn＋2)，
即bn＝n2＋n，n∈N
.
(2)证明：cn＝＝＝，n∈N
，
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，c1＝0＜2，不等式成立；
②假设当n＝k(k∈N
)时不等式成立，
即c1＋c2＋…＋ck＜2，
则当n＝k＋1时，
c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1＜2＋＜2＋＜2＋＝2＋2(－)＝2，
即n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②得c1＋c2＋…＋cn＜2，n∈N
.
点评：用数学归纳法证明与n有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．
已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N
.
(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．
[解] (1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，
所以f(1)＝g(1)；
当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)；
当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，
所以f(3)＜g(3)．
(2)由(1)猜想，f(n)≤g(n)，用数学归纳法证明．
①当n＝1,2,3时，不等式显然成立．
②假设当n＝k(k＞3，k∈N
)时不等式成立，
即1＋＋＋＋…＋＜－，
则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋.
因为－
＝－
＝＜0，
所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)．
由①②可知，对一切n∈N
，都有f(n)≤g(n)成立．
PAGE