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专题06
导数及其应用
重点题型
题型一、导数的计算
1．基本初等函数的导数公式
函数
导数
f
(x)=C(C为常数)
=
f
(x)=sin
x
f
(x)=cos
x
f
(x)=ln
x
2．导数的运算法则
（1）.
（2）.
（3）.
3．复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f
(u)，u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
题型二、导数的几何意义
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.
【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．
（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y?y0=f
′(x0)(x?x0)；
（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f
(x1))；
第二步：写出过P′(x1，f
(x1))的切线方程为y?f
(x1)=f
′
(x1)(x?x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y?f
(x1)=f
′(x1)(x?x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．
题型三、导数的应用
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求f
′(x)；
（2）确认f
′(x)在(a，b)内的符号；
（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
5．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数极值的方法：
①确定函数的定义域．
②求导函数．
③求方程的根．
④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
6．求函数f
(x)在[a，b]上最值的方法
（1）若函数f
(x)在[a，b]上单调递增或递减，f
(a)与f
(b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数f
(x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f
(x)在区间(a，b)上的极值，与f
(a)、f
(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数f
(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
7．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
考点集训
一、单选题
1．记函数的导函数为．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．曲线在处的切线如图所示，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．直线是曲线的一条切线，则实数k的值为（
）
A．
B．
C．1
D．
4．的图象关于轴对称，则的图象在处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：①；②；③；④，其中有“巧值点”的函数是（
）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．②④
6．已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数，若对任意，且，都有，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
10．若a+lna=2b+lnb，则（
）
A．a<2b
B．a>2b
C．a>b2
D．a11．已知非负函数的导函数为，且的定义域为，若对于定义域内的任意，均满足，则下列式子中不一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
13．已知函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
14．已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（
）
A．
B．在处取得极大值
C．当时，
D．的图象关于点中心对称
15．已知过点A（a，0）作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（
）
A．－2
B．4
C．0
D．6
16．已知函数，则下列结论中正确的是（
）
A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则
B．曲线与直线相切
C．若为增函数，则的取值范围为
D．在上最多有个零点
17．已知和是函数的两个极值点，且函数有且仅有两个不同零点，则值为（
）
A．
B．
C．
D．0
三、填空题
18．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则a的值为___________
19．若有两个不同零点，且，则的取值范围是___________．(其中)
20．若对任意的，且，，则的最小值是_____.
21．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设，则________，其在点处的切线方程为________．
22．已知函数，，，若与的图象上分别存在点?，使得?关于直线对称，则实数的取值范围是________.
23．若对于恒成立，当时，的最小值为_____；当时，的最小值是_______________．
四、解答题
24．已知函数，其中.若函数的图象在点处的切线与直线平行.
（1）求的值；
（2）求函数的极值.
25．已知函数，.
（1）若，求的取值范围；
（2）当时，证明：.
26．已知函数，．
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．
27．已知函数（）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若在（0，+∞）上恒成立，求的取值范围；
（3）求证：（）.
28．已知函数.
（1）选择下列两个条件之一：①；②；判断在区间是否存在极小值点，并说明理由；
（2）已知，设函数若在区间上存在零点，求实数的取值范围.
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导数及其应用
重点题型
题型一、导数的计算
1．基本初等函数的导数公式
函数
导数
f
(x)=C(C为常数)
=
f
(x)=sin
x
f
(x)=cos
x
f
(x)=ln
x
2．导数的运算法则
（1）.
（2）.
（3）.
3．复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f
(u)，u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
题型二、导数的几何意义
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.
【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．
（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y?y0=f
′(x0)(x?x0)；
（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f
(x1))；
第二步：写出过P′(x1，f
(x1))的切线方程为y?f
(x1)=f
′
(x1)(x?x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y?f
(x1)=f
′(x1)(x?x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．
题型三、导数的应用
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求f
′(x)；
（2）确认f
′(x)在(a，b)内的符号；
（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
5．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数极值的方法：
①确定函数的定义域．
②求导函数．
③求方程的根．
④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
6．求函数f
(x)在[a，b]上最值的方法
（1）若函数f
(x)在[a，b]上单调递增或递减，f
(a)与f
(b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数f
(x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f
(x)在区间(a，b)上的极值，与f
(a)、f
(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数f
(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
7．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
考点集训
一、单选题
1．记函数的导函数为．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先求出导函数，再计算导数值．
【详解】
由已知，所以．
故选：A．
2．曲线在处的切线如图所示，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
求出切线方程，利用导数的几何意义求出的值，利用切线方程求出的值，进而可求得的值.
【详解】
设曲线在处的切线方程为，则，解得，
所以，曲线在处的切线方程为，所以，，，
因此，.
故选：C.
3．直线是曲线的一条切线，则实数k的值为（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】
设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据切线过定点，即可求出，从而求出切线的斜率；
【详解】
解：设切点为，
由，得，则，
则曲线在切点处的切线方程为，
由已知可得，切线过定点，
代入切线方程可得：，解得，
则.
故选：A.
4．的图象关于轴对称，则的图象在处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
依题意求得，则可得，进而可得结果.
【详解】
的图象关于轴对称，则，
所以，，，所以，，所以的图象在处的切线方程为.
故选：A.
5．已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：①；②；③；④，其中有“巧值点”的函数是（
）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．②④
【答案】B
【分析】
①，，有“巧值点”；
②，无解，无“巧值点”；
③令，所以在上必有零点，有“巧值点”；
④由题得，无解，所以无“巧值点”．
【详解】
①，，，，，有“巧值点”；
②，，无解，无“巧值点”；
③，，，令，，．由零点在性定理，所以在上必有零点，有“巧值点”；
④，，，，即，无解，所以无“巧值点”．
所以有“巧值点”的是①③，
故选：B．
6．已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据导数的几何意义可求得在点处的切线方程，设其与相切于点，由切线斜率可求得，利用两点连线斜率公式构造方程求得.
【详解】
，，，，
在点处的切线方程为：；
设与相切于点，则，解得：，
又，，解得：.
故选：C.
7．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由在区间上不单调，可得在区间上有解，构造，判断函数与直线解的情况即可.
【详解】
由，得在区间上有解，
即在区间上有解，
令，则，
当时，；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减；
又因为，，，且当，即时，在区间上单调递减，
所以，即
，
故选：B.
8．已知函数，若对任意，且，都有，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
不妨设，可得：，可得函数在，上单调递增，可得导函数在，上恒成立，进而用分参法结合导数研究其单调性和最值即可得出结果．
【详解】
不妨设，可得：，
可得函数在，上单调递增，则导函数在，上恒成立，
，可得：．
令，
则，所以在上恒成立，在上恒成立，
函数在上单调递减，在上单调递增，
时，．
．
故选：
【点睛】
关键点点睛：将问题转化为构造的新函数的单调性问题，原函数单增转化为导函数大于等于0，再利用分参法求最值即可．
9．函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据的特征，构造，研究其单性与奇偶性，又，得到，将，转化为，利用单调性与奇偶性求解.
【详解】
设，
所以，
因为时
，都有x+2f（x）＞0恒成立，
所以，
所以在上是增函数，
又因为函数f（x）是定义在R上的偶函数
所以也是定义在R上的偶函数
所以在上是减函数，
又因为，
所以，
又因为，
即.
所以
故选：A
10．若a+lna=2b+lnb，则（
）
A．a<2b
B．a>2b
C．a>b2
D．a【答案】A
【分析】
首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，由单调性可判断A、B；求出，构造函数，，判断函数的单调性，由函数值的正、负即可判断C、D.
【详解】
构造函数，，为增函数，
，
，故A正确、B错误；
，
构造函数，，
，
整理可得，在上恒成立；
为增函数，
而，即时，，即，此时，
，即时，，此时，故C、D错误.
故选：A
11．已知非负函数的导函数为，且的定义域为，若对于定义域内的任意，均满足，则下列式子中不一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意可得，构造函数，对其求导判断单调性，根据单调性即可判断四个选项的正误，进而可得正确选项.
【详解】
因为，且，可得，即，
令，则，所以，
所以在上单调递增，
对于选项A：由可得，即，故选项A正确；
对于选项B：由可得，即，得不出
，故选项B不正确；
对于选项C：由可得，即，因为
，所以，可得，故选项C正确；
对于选项D：由可得，即，故选项D正确；
所以不一定正确的是选项B，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是根据已知条件构造函数，并根据单调性比较大小.
12．已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先分析极值点的最多个数，然后根据极值点的最多个数确定出极值点个数的分布情况，由此得到关于的不等式组，从而求解出的取值范围.
【详解】
设，，令，所以，
设，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
且当时，，时，，
所以方程最多仅有两个解，
又因为在上最多仅有一个极值点，
所以有两个极值点，有一个极值点；
当方程有两个解时，，所以，
当在有一个极值点时，，所以，
综上可知，若要使在上恰有三个极值点，则，
故选：A.
二、多选题
13．已知函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】
计算得函数解析式，计算判断A，求导数确定函数的单调性得最值判断B，计算，判断正负后可判断C，利用可判断D．
【详解】
因为，所以，所以，所以，所以A正确．
因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，所以B正确．
因为，所以，所以C错误．
因为，所以，所以，所以D正确．
故选：ABD．
14．已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（
）
A．
B．在处取得极大值
C．当时，
D．的图象关于点中心对称
【答案】ABD
【分析】
A由导数的几何意义即可求参数a；B利用导数研究函数的单调性，进而确定是否存在极大值；C根据B判断区间内的端点值、极值，进而确定区间值域；D令，则，即可确定对称中心.
【详解】
A：，由题意，得，正确；
B：，由得：或，易知在，上，为增函数，在上，为减函数，所以在处取得极大值，正确；
C：由B知：，，，故在上的值域为，错误；
D：令且为奇函数，则，而图象关于中心对称，所以关于中心对称，正确；
故选：ABD.
15．已知过点A（a，0）作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（
）
A．－2
B．4
C．0
D．6
【答案】AD
【分析】
设出切点，写出切线方程，将点代入，化简后方程有两根，即可得到的取值范围.
【详解】
设切点为，则，所以切线方程为：，切线过点A（a，0），代入得：，即方程有两个解，则有或．
故选：AD.
16．已知函数，则下列结论中正确的是（
）
A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则
B．曲线与直线相切
C．若为增函数，则的取值范围为
D．在上最多有个零点
【答案】ACD
【分析】
由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况.
【详解】
因为对于任意，都有，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确.
又，令，得(
)，
因为，，所以方程(
)无实数解，
即曲线的所有切线的斜率都不可能为，故B错误.
若为增函数，则大于等于0，
即，，
当且仅当时等号成立，所以，故C正确.
令，得或().设，
则，令，
则.当时，，
当时，，当时，，
所以函数为增函数，且，所以当时，，
从而，单调递增.又因为对于任意，都有，
所以为偶函数，其图象关于轴对称.
综上，在上单调递减，在上单调递增，
则直线与最多有2个交点，所以在上最多有3个零点，故D正确.
故选ACD.
17．已知和是函数的两个极值点，且函数有且仅有两个不同零点，则值为（
）
A．
B．
C．
D．0
【答案】BD
【分析】
依题意解得，然后求得的极值.
要使函数有两个零点，则的极大值为0或的极小值为0，进而可得结果.
【详解】
，依题意，是的两个根，
所以，解得.
故.
易求得函数的极大值为和极小值为.
要使函数有两个零点，则极大值或极小值.
所以或．
故选：BD.
三、填空题
18．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则a的值为___________
【答案】
【分析】
根据点Ｐ在函数的图象上，求得ｂ的值，得到，利用导数的几何意义和直线垂直的条件求得．
【详解】
由已知可得在函数的图象上，所以，即，解得，所以，故.则函数的图象在点处的切线的斜率，因为切线与直线垂直，所以，
即.
故答案为：.
19．若有两个不同零点，且，则的取值范围是___________．(其中)
【答案】
【分析】
由，令，讨论单调性，作出图像，由得出即可.
【详解】
因为，所以，在上有两个不同的根，
令，则，
由得：,
且时，，且时，，如图，
所以，
因为，所以，所以
因为
所以．
20．若对任意的，且，，则的最小值是_____.
【答案】
【分析】
将已知不等式变形可得，令，可知在上单调递减；利用导数可求得的单调递减区间，由此可确定的最小值.
【详解】
由，得：，
令，则在上单调递减，
，当时，；当时，；
的单调递减区间为，，的最小值为.
故答案为：.
21．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设，则________，其在点处的切线方程为________．
【答案】
【分析】
利用复合函数的求导法则可求得，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程.
【详解】
，故，则.
故曲线在点处的切线方程为.
故答案为：；.
22．已知函数，，，若与的图象上分别存在点?，使得?关于直线对称，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】
利用数学转化思想，本题转化为函数的图像关于直线对称的函数图像与函数的图像在上有交点．又可通过求的反函数来求得前面对称图像函数．有交点转化为方程有解问题，再转化为函数值域问题，从而本题得解．
【详解】
与的图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，
函数的图象关于直线对称图像与函数图像有交点．
函数图像关于直线对称图像函数为的反函数．
函数的反函数为，
关于对称的函数为．
此图像与函数的图像在上有交点
可转化为关于的方程在上有解．
可得．
问题又可转化为求函数的值域．
得，
函数在，上的递减区间为，，递增区间为，
的最小值为（e），的最大值为，
函数的值域为
的取值范围为
故选：B
23．若对于恒成立，当时，的最小值为_____；当时，的最小值是_______________．
【答案】1
【分析】
令得到，构造函数，则求出，即可求出的最小值；作出的图像，运用函数图像的性质数形结合确定的最小值.
【详解】
解：时，，令，
则，
令，
解得：，
且当时，单调递增；
当时，单调递减，
∴，
∴，
故的最小值为，
的图像如下所示：
当时，
令，可得，
故取得最小值，直线在轴的截距最大，
又，
结合图像可知：令，
可得，
则，
故.
故答案为：1，.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是运用转化思想和构造函数，结合导数判断函数的单调性和最值.
四、解答题
24．已知函数，其中.若函数的图象在点处的切线与直线平行.
（1）求的值；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）；（2）极大值，极小值.
【分析】
（1）由导数的几何意义求解即可；
（2）由导数研究函数的单调性，进而求得极值即可.
【详解】
（1）由已知，可得.
函数的图象在点处的切线与直线平行，
，解得.
经验证，符合题意.
（2）由（1）得，求导.
令，得或
当变化时，与的变化情况如下表：
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单挑递增
当时，取得极大值，且；
当时，取得极小值，且.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值，求切线常见考法：
(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．
(2)已知斜率k，求切点，即解方程.
(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．
25．已知函数，.
(1)若，求的取值范围；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】
(1)对函数f(x)求导，按导函数值恒正、恒负、可正可负三类讨论，求解得a的范围；
(2)利用分析法把要证不等式等价转化为，再构造函数，利用函数单调性推理得证.
【详解】
(1)，
当时，，函数在单调递增，故，满足题意；
时，，函数在单调递减，故，不满足题意；
时，令，在上存在，使得成立，
故时，，在单调递减，则，不满足题意，
综上：的取值范围是；
(2)时，，
要证，即证，即证，
设，
则，
，
由(1)得，而，
即，在单调递增，，
所以，时，.
【点睛】
(1)由不等式成立，求参数范围，可以分离参数，转化为恒成立问题；也可以求导，再对参数分类讨论处理.
(2)证明函数不等式，通过等价转化，构造新函数，利用函数的性质解决.
26．已知函数，．
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）．
【分析】
（1）通过求导，分、讨论即可得到单调性；（2）要使在区间上恒成立，通过变形、换元，则即可，进而可求出的取值范围．
【详解】
（1），求导得：．
当时，，，，在上单调递增．
当时，令，得，，单调递增；
令，得，，单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由得，．
令，则，上式变为．
①当时，上式恒成立；
②当时，时，，不成立；
③当时，，求导得：，
所以，，则，即．
综上，．
【点睛】
本题难点在于第（2）问中，对做等价处理成“”，进而借助换元进行分类讨论．
27．已知函数（）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若在（0，+∞）上恒成立，求的取值范围；
（3）求证：（）
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）；（3）证明见解析．
【分析】
（1）求导得，根据参数的取值判断导函数的正负，进而判断原函数的单调性；（2）结合（1）得到只能，要想在（0，+∞）上恒成立只需，构造函数，求导判断新函数的单调性得到最大值，最后求出的取值范围；（3）根据（2）中不等式，分别赋值和得到不等关系，最后利用裂项相加求和即可证明不等式.
【详解】
解：（1）因为函数，其定义域为（0，+∞）
所以
即
当时，,所以增区间为（0，+∞）；
当时，令得，
当时，，所以减区间为，
当时，，所以增区间为；
综上：当时，
增区间为（0，+∞）；
当时，
减区间为，增区间为；
（2）1°当时，函数增区间为（0，+∞），
此时不满足在（0，+∞）上恒成立；
2°当时，减区间为，增区间为，
要使在（0，+∞）上恒成立，
只需即可，
即，
令（）
则，
解得，因此在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以当时，取最大值0，
故在（0，+∞）上恒成立，
当且仅当时成立，即；
（3）由（2）知，令时，（）
∴（）
∴
令，则（）
∴（）
∴
综上：成立．
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
28．已知函数.
（1）选择下列两个条件之一：①；②；判断在区间是否存在极小值点，并说明理由；
（2）已知，设函数若在区间上存在零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）若选择①，则，由于在上单调递增，且，从而可求出求出的单调区间，进而可求出的最小值非负，则无极值；若选择②，则，由在上单调递增，且，可得的单调区间，从而得其最小值小于0
，进而可判断函数的极值，
（2）令，则可得，令，即转化为有解，构造函数，由导数可得由唯一零点，从而将问题转化为在有解，即，再构造函数，利用导数求出函数的值域可得的范围，从而可求出实数的取值范围
【详解】
解：（1）若选择①，则，
由在上单调递增，且，
所以在上单调递减，上单调递增，
有，则在上单调递增，不存在极小值点.
若选择②，则，
由在上单调递增，且，
所以在上单调递减，上单调递增，
有，而，
所以存在极小值点.
（2）令，有，又，
所以，
令，
即转化为有解，设，
则由可得，在单调递减，在单调递增，而，
所以由唯一零点.
若在区间存在零点，即为在有解.
整理得：，
设，由知，在单调递减，
在单调递增，
则，所以，故有.
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决零点问题，解题的关键是由可得，令，将问题转化为有解，构造利用导数讨论其解的情况即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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