第十五章
第三节
第一课时
分式方程（一）
教学目标：
理解分式方程的概念，能识别分式方程。
掌握解分式方程的基本思路与步骤，会解分式方程。
理解分式方程无解的原因，掌握分式方程的验根方法。
教学重难点：
解分式方程的方法
解分式方程为什么要验根
教学过程：
导入新课：
问题：一艘轮船在静水中航速为30千米/小时，顺水航行90千米与逆水航行60千米所用的时间相等，求水流的速度？
解：设水流速度为______千米/时，则顺水航速为______千米/小时，顺水航行90千米所用时间为________小时，逆水航速为
千米/小时，逆水航行60千米所用的时间为_______小时，根据两次航行时间相等，可列方程式为__________________________
观察：上面所列方程与以前所学方程有何不同？如何解该方程？
归纳：①
中含有
的方程叫做分式方程。
②
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法。
练习：
判断下列各式哪些是分式方程？哪些是整式方程？
解下列方程：
★解分式方程的步骤：
（1）基本思路：将分式方程化成
方程；
（2）解整式方程；
（3）检验最简公分母是否为0，判断其是否是分式方程的解（注：是整式方程的解而不是分式方程的解叫做增根）
★归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使分母为0，这样的解分式方程无意义。因此，必须进行检验。
检验方法如下：将整式方程的解代入最简公分母，如果
的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解。否则，这个解
原分式方程的解。
当堂练习：
若分式方程的解为正数，求k的取值范围。
拓展：若分式方程无解时，求k的取值范围。
作业布置：
完成课时练121、122页相关练习新人教版八年级数学上册
15．3分式方程(一)
一、教学目标：
知识与技能：能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方
程的模型思想
过程与方法：经历探索分式方程概念的过程，探索“实际问题”建立模型的方法
情感、态度与价值观：培养从实际问题抽象、概括分式方程的数学化思想，体会数学的应用价值
二、重点、难点
1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的解.
2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的解.
3．学习方法：采用先回顾已学过的一元一次方程概念、解法、建模，然后利用本章引言中的问题引入，理解分式方程化归整式方程这一本质思想
三、教学互动设计
1、情境导入
提出本册书封面上的一道方程.比较分析新方程和整式方程的区别，揭示新方程的本质特征.
像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
跟踪训练：下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程?
2、充分暴露学生的思维过程，探索解分式方程
（1）学生独立探究的解法
（2）全班交流分式方程的解法
解法一：学生会用比例的性质化为一元一次方程去求.
解法二：去分母的方法.
解法三：通分法.
(3)师生共同小结
上述解法依据虽不同，但解分式方程的基本思想是一致的，即将分式方程转化为整式方程。
3、分析无解的原因，突出验根的必要，完善求解的步骤
（1）学生独立解方程：
（2）全班交流，学生会发现解出的整式方程的x=5这个数会使原分式方程分母为零。
引导学生思考为什么会出现这一情况？怎么处理？
4师生共同总结解分式方程的步骤
（1）
去分母。确定最简公分母，方程两边乘以最简公分母，化成整式方程。
（2）
解这个整式方程。
（3）
检验。即把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
（4）
写出分式方程的解。
四、学生独立练习，而后相互评价纠错。
基本训练：（1）解方程=
（2）解方程-1=
提高训练：
1.如果关于x的方程
无解,则m的值等于（
）
A.-3
B.-2
C.-1
D.3
2.如果关于x的方程
的解是非正数,则a的取值范围值是（
）
A.a≤-1
B
a≤-1且a≠-2
C.
a≤1且a≠-2
D.
a≤1
五课堂总结，发展潜能
1、解分式方程的基本思路，是把分式方程转化为整式方程来解，即把方程两边同时乘以各分母的最简公分母，从而约去分母，化为整式方程，然后再解整式方程
2、解分式方程要验根
六、布置作业，专题突破
必做题：解分式方程：（1）（2）
(3)
(4)
选做题：1、方程无解，此时m=__________
2、已知关于x的方程
的解是负数，则n的取值范围是_____________
PAGE
3分式方程（1）
15.3
分式方程（1）
一、内容和内容解析
1．内容
分式方程的概念和解法．
2．内容解析
分式方程是分母中含未知数的方程，它是整式方程的延伸和发展，是人们对方程认识的一次提升．
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，其关键步骤是去分母．去分母时可能引起方程同解性的变化．因此，检验分式方程的根是解分式方程过程中必不可少的重要环节．
利用去分母的方法将分式方程化为整式方程，并把整式方程逐步化为的形式，然后对分式方程的根进行检验，这一过程蕴含着化归思想和程序化思想．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用去分母的方法解分式方程．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）了解分式方程的概念．
（2）掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想．
（3）了解解分式方程需要检验的原因．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：学生知道分式方程的特征，能识别分式方程．
达成目标（2）的标志是：学生知道解分式方程要经历“去分母”“解整式方程”“检验”“得出分式方程的解”4个步骤，并能按照步骤解分式方程；知道“去分母”就是在分式方程两边乘最简公分母，将分式方程化为整式方程；“解整式方程”目前就是解一元一次方程，逐步化为的形式；“检验”就是指用代入的方法检验所求的整式方程的解是否为原分式方程的解．在解分式方程的过程中，体会化归思想和程序化思想．
达成目标（3）的标志是：学生知道在解分式方程时，当整式方程的解使得所乘最简公分母等于0时，相当于原分式方程两边同时乘0，使原方程的解发生变化，因此需要检验．
三、教学问题诊断分析
学生第一次接触分式方程，在对整式方程的认识还不够深入的情况下，就遇到比解整式方程复杂的求解过程和可能产生增根的新情境，学生对此内容的接受会有很大困难，特别是产生增根的原因，学生没有认知准备．学生在解整式方程时往往会有一种思维定式，即所有遇到的方程都是有解的，因此对有些分式方程“无解”产生疑惑和不理解，尤其不明白产生增根时，为什么有些方程“无解”．教学时，教师要从等式的性质2出发，让学生认识到解分式方程时产生增根的原因．
本节课的教学难点是：了解用去分母的方法解分式方程产生增根的原因．
四、教学过程设计
1．创设情境
引入课题
引言
一艘轮船在静水中的最大航速为30
km/h，它以最大航速沿江顺流航行90
km所用时间，与以最大航速逆流航行60
km所用时间相等，江水的流速为多少？
分析：如果设江水流速为
v
km/h，则轮船顺流航行
90
km所用时间为
h
，逆流航行
60
km
所用时间为h
,根据所用时间相等，我们得到方程．
问题1仔细观察方程，未知数在方程中的位置有什么特点？
师生活动：学生独立思考并作答．
设计意图：由实际问题引出分母中含有未知数的方程，让学生了解研究分式方程的必要性．
追问：方程，，，与上面的方程有什么共同特征？
分母中含有未知数．
师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括，发现这几个方程不同于原来熟悉的方程，其特征是分母中含未知数．师生共同概括出分式方程的概念——分母中含未知数的方程叫做分式方程．教师指出，我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．
设计意图：让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性——分母中含有未知数，同时为后续探索解分式方程的基本思路（转化为整式方程）和关键步骤（去分母）做好铺垫．
分式方程的概念：
方程的分母中含未知数
v
,像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程．
你能再写出几个分式方程吗？
师生活动：学生思考并作答．
设计意图：让学生进一步巩固对分式方程概念的认识．
注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．
练习?下列式子中，属于分式方程的是_________，
属于整式方程的是________（只填序号）．
（1）；（2）；（3）；（4）．
师生活动：学生思考并作答．
设计意图：用概念作判断，让学生进一步理解分式方程的概念．
2．类比探究
获取新知
问题2?你能试着解分式方程吗？
回顾含分母的一元一次方程是怎样解的，从中能否得到一点启发？
解方程：．
解：去分母（方程两边乘4），得
．
去括号，得
．
移项，得
．
合并同类项，得
．
系数化为1，得
．
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，并尝试解这个方程，学生代表将不同的解法展示在黑板上，学生互相交流．
设计意图：让学生在已有知识经验基础上，尝试解分式方程．
师生活动：学生讨论之后，教师总结，这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．进而通过以下几个问题明确解分式方程的方法和依据．
思考：
如何把分式方程化为整式方程呢？
通过去分母将分式方程化为整式方程．
怎样去分母？
方程两边乘最简公分母．
在分式方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？
分式方程两边乘各分母的最简公分母．
这样做的依据是什么？
利用等式的性质
2
可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母，结果仍相等．
师生共同分析解法：解方程．
解：方程两边乘，得
．
解得 ．
设计意图：通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解决问题的关键是去分母.
通过上面的回顾与反思，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想与转化思想的理解．
追问：你得到的解是此分式方程的解吗？
检验：将代入分式方程中，左边右边，因此是原分式方程的解．
由上可知，江水的流速为
6
km/h．
师生活动：学生回答问题，相互补充．
设计意图：让学生知道检验分式方程的解的方法──将未知数的值代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等；学生通过检验，发现这个整式方程的解就是原分式方程的解；说明上述解分式方程的方法是有效的，进而得知：将分式方程去分母化为整式方程是解分式方程必要和有效的步骤．
归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法．
问题3
?讨论分式方程．
原分式方程可化为：．
为去分母，在方程两边乘最简公分母，得整式方程．解得．
师生活动：教师提出问题，学生在独立思考后解此方程，得出去分母后的整式方程的解．有的学生认为是原分式方程的解，有的学生发现当时，分式，都没有意义，但不能解释其原因．
设计意图：（1）让学生积累去分母的经验，去分母的通法是分式两边同乘最简公分母；（2）让学生感受到在去分母解分式方程的过程中已经对原分式方程进行了变形，这种变形可能会使方程的解发生变化．
追问：你得到的解是原分式方程的解吗？该如何验证呢？
师生活动：学生先独立思考问题，然后相互交流．最后达成共识：是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．
将代入原分式方程检验，发现这时分母和的值都为0，相应的分式无意义．因此，虽是整式方程的解，但不是原分式方程
的解．实际上,这个分式方程无解．
设计意图：让学生发现问题---整式方程的解使原分式方程的分母为0，无法说明原分式方程两边的值是否相等；得出结论---这个整式方程的解不是原分式方程的解，所以原分式方程无解；获得猜想---可能存在一些分式方程，它们无解．
思考：上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是分式方程的解，而去分母后所得整式方程的解却不是分式方程的解呢？
观察去分母的过程：
(
两边乘
)
(
当
时，
)
分式方程两边乘了同一个不为0的式子，所得整式方程的解与原分式方程的解相同．
(
两边乘
)
(
当
时，
)
分式方程两边乘了同一个等于0的式子，所得整式方程的解使分母为0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解．
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
师生活动：教师针对上述两个分式方程的解答过程提出问题，学生独立思考，然后小组交流，教师适时点拨．最后达成共识：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0；对解进行检验时，主要有两种方式，其一是将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；其二是将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．
设计意图：让学生了解分式方程产生增根的原因---当整式方程的解使得所乘最简公分母不等于0时，相当于方程两边同时乘以非0数，方程的解不发生变化；当整式方程的解使得所乘最简公分母等于0时，相当于方程两边同时乘0，方程的解发生变化，就出现了分母为0的情况．
(
转化
去分母
分式方程
整式方程
)问题4
回顾解分式方程与的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？
基本思路：
解分式方程的一般步骤：
(1)
去分母：方程两边乘最简公分母；
(2)
解整式方程；
(3)
检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解；
(4)得出结论.
简记为：“一化、二解、三检验、最后出结论”．
解分式方程应该注意什么？
注意：
由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．
师生活动：学生回答，并相互补充，最后达成共识：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，一般步骤是“去分母”“解整式方程”“检验”“得出结论”，其中“去分母”是关键．去分母的通法是将方程两边同乘最简公分母，由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验.检验的方法有两种，一是将整式方程的解代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等；另一种是将整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0．其中第二种方法更简捷．
设计意图：让学生在解具体的分式方程后，反思解题思路和步骤，体会化归思想和程序化思想，积累解题经验．
学以致用
应用新知
例1
?解方程.
解：方程两边乘，得
．
解得
．
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
例2
解方程．
解：方程两边乘，得
．
解得
．
检验：当时，，因此不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解．
?师生活动：师生共同分析解答例1，教师板书．学生独立完成例2，然后分组交流．并对错解进行展示，师生共同分析错误原因．
设计意图：规范解分式方程的步骤和格式，加深对分式方程解法的认识．
归纳
解分式方程的一般步骤如下（思维导图）：
(
去分母
分式方程
整式方程
是分式方程的解
检验
目标
不是分式方程的解
解整式方程
最简公分母为
0
最简公分母不为
0
)
基础训练
巩固新知
练习1
解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
练习2
解方程．
练习3
解方程．
练习4
解方程．
师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，指导．然后小组交流，并评价．
设计意图：让学生按照规范的步骤和格式解分式方程，在积累解题经验的同时，体会化归思想和程序化思想．
小结归纳
自我完善
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解分式方程应该注意什么？
(
分
式
方
程
定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程．
解分式方程的一般步骤
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）；
四得出结论
．
)
注意：去分母时，原方程的整式部分不要漏乘；约去分母后，分子是多项式时，应该添括号（因分数线有括号的作用）．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心──分式方程的解法．
6．布置作业
教科书第154页习题15.3的第1（1）（2）（3）（4）题．
五、目标检测设计
1．下列方程中，是分式方程的是(???
?)?．
A．???
??B．??????C．????????
D．
设计意图：考查学生对分式方程概念的了解情况．
2．将分式方程化为整式方程时，方程两边可以同时乘(????
)．
A．??????
B．??????
C．???????
D．
设计意图：考查学生对解分式方程的关键步骤“去分母”的理解情况．
3．解方程：
（1）；（2）；（3）．
设计意图：考查学生对分式方程的解法的掌握情况．
说明：本课程结合了义务教育教科书数学八年级上册（人民教育出版社）第15章第15.3节的内容，见教科书第149页至第152页．
1015.3《分式方程1》
【课标内容】
了解分式方程的概念，会解一些简单的可化为一元一次方程的分式方程，懂得解分式方程可能产生增根、理解检验的必要性并会进行检验。
【教材分析】
本节课是在学生已掌握了一元一次方程的解法、分式的四则运算等有关知识的基础上进行学习的。它即可看成是分式的有关知识在解方程中的应用；也可看成是进一步学习其它分式方程的基础，因此它有着承前启后的作用。
【学情分析】
从认知状况来说，学生在此之前已学习了一元一次方程及二元一次方程组的解法，对分式方程也有了一定的初步认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于将分式方程转化为整式方程的理解，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应给予简单明白、深入浅出的分析。
【教学目标】
1．理解分式方程的意义．
2．掌握分式方程的基本思路和解法．
3．理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根的方法．
【教学重点】
解分式方程的基本思路和解法。
【教学难点】
分式方程产生增根的原因。
【教学方法】五步教学法
【教具准备】多媒体、课件
【课时安排】1课时
【教学过程】
一、预学自检
互助点拨
阅读教材P149～151，完成预习内容．
1．填空：
(1)________________________的方程叫做整式方程
(2)__________________________的方程叫做分式方程．
2．判断下列说法是否正确：
①＝5是分式方程；②＝是分式方程；
③＝1是分式方程；④＝是分式方程．
【设计意图】
通过举例让学生自己判断是不是分式方程，及时归纳总结，巩固所学知识。
二、自学反馈
应用新知
1．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
①＝；②＋＝7；
③＝；④＝－1；
⑤＝；⑥2x＋＝10；
⑦x－＝2；⑧＋3x＝1.
2．解方程：＝.
3．解分式方程的一般步骤：(1)________；(2)________；(3)________；(4)________．
【设计意图】
通过探究引发学生的思考，让学生在自主探究合作交流中归纳总结解分式方程的基本思路和步骤，在合作交流中获得成功的快乐。
三、自我检测
成果展示
1．下列关于x的方程是分式方程的是(
)
A.－3＝ B.＝3－x
C.－＝－
D.＝1
2．解分式方程＝2＋q
\f(3,x－2)，去分母后的结果是(
)
A．x＝2＋3
B．x＝2(x－2)＋3
C．x(x－2)＝2＋3(x－2)
D．x＝3(x－2)＋2
3. 解方程：q
\f(2,x－1)＝.
4. 解方程：
(1)＝＋1；
(2)－＝0.
【设计意图】
巩固分式方程的解法，并通过学生展示出问题，以及学生对易错点的总结，可以促进学生的思考。
四、应用提升
挑战自我
1．已知x＝3是方程＋2)＋＝1的一个根，求k．
2．解方程：(1)＝；
(2)＋＝；
(3)－＝；
(4)＋＝
五、经验总结
反思收获
本节课你学到了什么？写出来
??
【设计意图】
师引导学生归纳总结，旨在让学生学会归纳总结，梳理知识，提高认识。
【板书设计】
15.3《分式方程1》
分式方程的概念：
解分式方程的一般步骤：
【备课反思】
本节由于时间安排原因，在前面的探究过程中，有些拖沓，造成后面问题解决不彻底，并且关于增根问题提及较少。15.3《分式方程2》
【课标内容】
能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并解决实际问题．
【教材分析】
这节课是在学过解分式方程的基础上进行的，此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组解决实际问题，本节将进一步探讨利用方程模型来解决等量关系更为复杂的实际问题，进一步培养学生用数学知识解决实际问题的兴趣和意识，提高了学生把实际问题转化为数学问题的能力，同时，又为以后用方程模型解决实际问题提供了重要的思想方法。
【学情分析】
在上一节课的基础上，学生已基本了解分式方程的概念，以及如何解分式方程，在此基础上，学生也已学习了如何用一元一次方程解决实际问题，所以运用分式方程解决实际问题对于学生来说不难于接受。
【教学目标】
能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并解决实际问题．
【教学重点】
利用分式方程解决实际问题。
【教学难点】
列分式方程表示实际问题中的等量关系，会变式思考问题。
【教学方法】
五步教学法、类比探究
【教具准备】多媒体、课件
【课时安排】1课时
【教学过程】
一、预习导学
阅读教材P152～153，完成预习内容．
1．列方程解应用题的一般步骤是
(1)________________；
(2)________________；
(3)________________；
(4)________________；
(5)________________．
2．类比一般方程，列分式方程解应用题的一般步骤是
(1)________________；
(2)________________；
(3)________________；
(4)________________；
(5)________________；
(6)________________．
【设计意图】
以旧引新，实现知识之间的衔接，让学生快速的探究出新知。
二、合作互学
探究新知
重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半．后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半．乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖________________，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天，那么一天挖________；两台挖土机一天共挖__________；两台一天完成另一半．所以方程为________________；解得x＝________.经检验：x＝________是原分式方程的解．
答：乙单独挖需________天．
【设计意图】
逐步分析，帮助学生轻松的学会如何用分式方程解决实际问题。
三、自我检测
成果展示
1．甲乙两人分别从相距36千米的A，B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇．已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？
2．A、B两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟．已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度．
【设计意图】
趁热打铁，进一步巩固分式方程的实际应用。
四、应用提升
挑战自我
一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
五、经验总结
反思收获
本节课你学到了什么？写出来
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【设计意图】
师引导学生归纳总结，旨在让学生学会归纳总结，梳理知识，提高认识。
【板书设计】
15.3《分式方程2》
列分式方程解应用题的一般步骤
【备课反思】
应用题历来是个“老大难”，学生痛苦，老师无奈，怎么办？降低门槛，找准认识的生长点是关键，引导学生喜欢应用题是关键。
