初中数学人教版八年级上册 第十三章 13.1轴对称
一、单选题
1．（2020八下·高新期末）如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E。若△BCE的周长为17，则AC的长为（ ）
A．8 B．9 C．15 D．17
2．（2020八下·北京期中）下列图形，①角；②两相交直线；③圆；④平行四边形，其中一定是轴对称图形的有（ ）
A．四个 B．三个 C．两个 D．一个
3．（2020·津南模拟）下列图形中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020八下·西安月考）到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点．
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高线
5．（2020八下·深圳期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果 cm， cm，那么△ 的周长是（ ）
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
6．如图，在3×3的网格中，与ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
7．（2020八下·凤县月考）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与△ABC的外角∠CAM的平分线相交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AM于点F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CA－AB＝2AE；③∠BDC＋∠FAE＝180°；④∠DAF＋∠CBD＝90°.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
8．（2020八下·河源月考）如图， 中， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020八下·甘州期中）已知一个等腰三角形的底角为 ，则这个三角形的顶角为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020八下·甘州期中）在 中， ，若 ，则 的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
11．（2020八上·椒江期末）如图，已知△ABC，AB=5，∠ABC=60°，D为BC边上的点，AD=AC，BD=2，则DC=（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
12．（2020八上·海曙期末）已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
13．（2020八上·巴东期末）等边三角形的对称轴有（ ）条
A．2 B．3 C．4 D．1
14．（2020八上·鄞州期末）等腰△ABC中，AB=AC，∠A的平分线交BC于点D，有下列结论：①AD⊥BC；②BD=DC；③∠B=∠C；④∠BAD=∠CAD，其中正确的结论个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
15．（2020八下·中卫月考）在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 .
16．（2020八上·常州期末）北京天安门雄伟壮丽，用数学的眼光看，天安门主视图是 图形.
17．（2019八上·右玉期中）在镜子中看到时钟显示的时间是 ，则实际时间是
18．（2020八上·自贡期末）在△ 中， ,分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧分别交于点 ，作直线 交 于点 ,则 的度数是 .
19．（2020八上·新乡期末）如图，已知钝角 ，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以 为圆心， 为半径画弧①；步骤2：以 为圆心， 为半径画弧②；步骤3：连接 ，交 延长线于点 ；下列结论：① 垂直平分线段 ；② 平分 ；③ ；④ .其中一定正确的有 （只填序号）
20．（2018八上·孝感月考）如图，△ABC中，线段BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC= °．
三、解答题
21．（2018八上·江都月考）如图：有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠A=50°，将其沿CD折叠，使点A落在边CB上的点A’处，求∠A’DB的度数。
22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．
23．（2020八下·北镇期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接CD，交BE于点F.
求证：BE垂直平分CD.
24．（2019八上·浦东期中）已知：如图所示，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，交AC于点G．求证：∠CAE=∠B．
25．已知：OC平分∠AOB，点P、Q都是OC上不同的点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，连接EQ、FQ.求证：FQ＝EQ
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵△BCE的周长为17，
∴BC+BE+CE=17，
∴BC+AE+CE=AC+BC=17，
∵BC=8，
∴AC=9.
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，则△BCE的周长可转化为AC+BC，结合BC的长度即可求解.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：①②③一定是轴对称图形，
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、是轴对称图形，符合题意
B、不是轴对称图形，不符题意
C、不是轴对称图形，不符题意
D、不是轴对称图形，不符题意
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就称为轴对称图形”逐项判断即可．
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的三边垂直平分线的交点.
故答案为：B.
【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得结果。
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AC是AB的垂直平分线
∴AD=BD
∴CD+BD=CD+AD=AC=5
∴△DBC的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=5+4=9（cm）.
故答案为：D.
【分析】先利用线段的垂直平分线的性质得AD=BD，则CD+BD=CD+AD=AC=5，进而可求出△DBC的周长。
6．【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图：与△ABC成轴对称的三角形有：
故答案为：D
【分析】把一个图形沿着某条直线折叠，若直线两旁的部分能完全重合，则这个图形就是轴对称图形；利用方格纸的特点，轴对称图形的概念，首先确定出对称轴，即可一一的做出满足条件的三角形。
7．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】由题意得BD＝CD，DE＝DF，∠DFB＝∠DEC＝90°，∴Rt△CDE≌Rt△BDF，∴①正确；易知AE＝AF，BF＝CE，∴CA－AB＝AE＋CE－(BF－AF)＝AE＋AF＝2AE，∴②正确；∵∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB，∠FAE＝∠ABC＋∠ACB，∠FBD＝∠ECD，∴∠BDC＋∠FAE＝180°－∠DBC－∠DCB＋(∠FBD＋∠DBC)＋(∠DCB－∠ECD)＝180°，∴③正确；∵∠DAF＝ ∠FAE，∠CBD＝ (180°－∠BDC)＝ (∠FAE＋∠BDC－∠BDC)＝ ∠FAE，∴∠DAF＝∠CBD，无法判断∠DAF＋∠CBD＝90°，∴④错误.
故正确的结论有①②③。
故答案为：A.
【分析】利用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，可证得BD=CD，DE=DF，利用HL证明Rt△CDE≌Rt△BDF，可对①作出判断；易证AE=AF，利用全等三角形的性质，可证得BF=CE，再根据CA－AB＝AE＋CE，由此可对②作出判断；利用三角形内角和定理可证得∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB，利用三角形的外角性质，可得到∠FAE＝∠ABC＋∠ACB，利用全等三角形的对应角相等可证得∠FBD＝∠ECD，据此可推出∠BDC＋∠FAE＝180°，可对③作出判断；利用已知条件易证∠DAF＝∠CBD，无法判断∠DAF＋∠CBD＝90°，可对④作出判断。
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=40°，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠B的度数即可．
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵等腰三角形的底角为
∴这个三角形的顶角为
故答案为：C
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和解答即可.
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：在 中， ，则 为等腰三角形，
又 ，
所以 是等边三角形.
故答案为：B
【分析】根据有一个是60°的等腰三角形是等边三角形解答即可.
11．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如下图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AD=AC，AE⊥DC，
∴DE=DC，
在Rt△ABE中，AB=5，∠ABC=60°，∴∠BAE=30°，
∴BE=AB=2.5，
∴DE=BE-BD=2.5-2=0.5，
∴DC=2DE=1.
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，在等腰△ADC中，根据三线合一的性质得出AE是△ADC的中线. 再在Rt△ABE中，根据直角三角形30°所对直角边等于斜边的一半，得出BE的长，利用线段和差计算即可.
12．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰△ABC中，腰AB=8，底BC=5
∴此三角形的周长为：8×2+5=21.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件将三角形的三边求和即可。
13．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】等边三角形有3条对称轴.
故答案为：B.
【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解.
14．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如下图：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=DC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
∴①②③④均正确.
故答案为：A.
【分析】利用等腰三角形的性质逐项进行判断即可. 解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质.
15．【答案】PA=PB=PC
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线相交于P，
∴PA=PB，
∵边BC的垂直平分线相交于P，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC.
故答案为：PA=PB=PC.
【分析】根据线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等得出PA=PB，PB=PC，进而根据等量代换即可得出结论.
16．【答案】轴对称
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】解：根据题意可知，天安门的主视图是轴对称图形；
故答案为：轴对称.
【分析】利用轴对称图形的定义，即可得到答案.
17．【答案】16：25：08．
【知识点】镜面对称
【解析】【解答】∵实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，∴实际时间是16：25：08，
故答案为：16：25：08．
【分析】根据轴对称高的性质可写出实际时间。
18．【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵∠C=80°,∠A=40°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=60°
由作图可知，EF为线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠A=40°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-40°=20°.
故答案为：20°.
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC=60°，再根据线段垂直平分线的性质得出∠ABD=40°，进而可得出∠CBD的度数.
19．【答案】①③④
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】连接CD，BD
由作图可知：CA=CD，BA=BD，
∴直线BC垂直平分线段AD，
∴AH=DH，
∴S△ABC= BC AH，
故①③④正确，
故答案为：①③④.
【分析】连接CD，BD,根据作图可得直线BC垂直平分线段AD，可得AH=DH，利用三角形的面积公式可得S△ABC= BC AH，据此判断即可.
20．【答案】96
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，做DM⊥AB延长线于M，做DN⊥AC于N
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN
∵DP垂直平分BC
∴BD=DC
∴Rt△BDM≌Rt△CDN
∴∠MDB=∠CDN
∠MDN=∠BDC
又∠DMA=∠DNA=90°，∠BAC=84°
∴∠MDN=96°；
∠BDC=96°
【分析】做DM⊥AB延长线于M，做DN⊥AC于N，易由角平分线性质和线段垂直平分线性质得Rt△BDM≌Rt△CDN，从而得∠MDN=∠BDC，再利用四边形内角和为180°可得∠MDN=96°，因此∠BDC=96°
21．【答案】证明：∵∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠B=40°，∠CA’D=∠A=50°，
∵∠B+∠A’DB=∠CA’D，
∴∠A’DB=10°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；轴对称的性质
【解析】【分析】根据三角形的内角和得出∠B的度数，根据折叠的性质得出 ∠CA'D=∠A=50°， 进而根据三角形的外角定理，由∠A'DB=∠CA'D-∠B即可算出答案。
22．【答案】（1）解：点D如图所示，
（2）解：∵DE垂直平分线线段AC，
∴AD=DC，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB，
∵AB+AC+BC=21，BC=5，
∴AB=AC=8，
∴△BCD的周长为13。
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，利用尺规作出线段AC的垂直平分线，与AB的交点即为D点；
（2）由等腰三角形ABC的周长21底边长5，可求出腰长AB为8，再结合（1）即可得到△BDC的周长。
23．【答案】∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC.∵ED⊥AB，∴∠EDB=90°，∴∠EDB-∠BDC=∠ACB-∠BCD，即∠ECD=∠EDC，即DE=CE，∴点E在CD的垂直平分线上.又∵BD=BC，∴点B在CD的垂直平分线上，∴BE垂直平分CD.
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】首先根据互余的等量代换，得出∠EBC=∠EBD，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明.
24．【答案】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA，
∵∠EAC=∠EAD-∠CAD，∠B=∠ADE-∠BAD，
∴∠CAE=∠B．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，根据线段垂直平分线的性质得到AE=DE，由等腰三角形的性质得到∠EAD=∠EDA，根据三角形的外角的即可得到结论．
25．【答案】证明：∵OC平分AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴ PE＝PF，在Rt△OPE与Rt△OPF中， OP＝OP，PE＝PF，∴Rt△OPE≌Rt△OPF， ∴OE＝OF，∴OC是线段EF的垂直平分线， ∴FQ＝EQ
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 PE＝PF，然后利用HL判断出Rt△OPE≌Rt△OPF，根据全等三角形的对应边相等得出OE＝OF，根据到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，由OE＝OF，PE＝PF，得出点O，P都在线段EF的垂直平分线上，再根据过两点有一条而且只有一条直线，从而得出OC是线段EF的垂直平分线，再根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出FQ＝EQ。
1 / 1初中数学人教版八年级上册 第十三章 13.1轴对称
一、单选题
1．（2020八下·高新期末）如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E。若△BCE的周长为17，则AC的长为（ ）
A．8 B．9 C．15 D．17
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵△BCE的周长为17，
∴BC+BE+CE=17，
∴BC+AE+CE=AC+BC=17，
∵BC=8，
∴AC=9.
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，则△BCE的周长可转化为AC+BC，结合BC的长度即可求解.
2．（2020八下·北京期中）下列图形，①角；②两相交直线；③圆；④平行四边形，其中一定是轴对称图形的有（ ）
A．四个 B．三个 C．两个 D．一个
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：①②③一定是轴对称图形，
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
3．（2020·津南模拟）下列图形中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、是轴对称图形，符合题意
B、不是轴对称图形，不符题意
C、不是轴对称图形，不符题意
D、不是轴对称图形，不符题意
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就称为轴对称图形”逐项判断即可．
4．（2020八下·西安月考）到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点．
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高线
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的三边垂直平分线的交点.
故答案为：B.
【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得结果。
5．（2020八下·深圳期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果 cm， cm，那么△ 的周长是（ ）
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AC是AB的垂直平分线
∴AD=BD
∴CD+BD=CD+AD=AC=5
∴△DBC的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=5+4=9（cm）.
故答案为：D.
【分析】先利用线段的垂直平分线的性质得AD=BD，则CD+BD=CD+AD=AC=5，进而可求出△DBC的周长。
6．如图，在3×3的网格中，与ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图：与△ABC成轴对称的三角形有：
故答案为：D
【分析】把一个图形沿着某条直线折叠，若直线两旁的部分能完全重合，则这个图形就是轴对称图形；利用方格纸的特点，轴对称图形的概念，首先确定出对称轴，即可一一的做出满足条件的三角形。
7．（2020八下·凤县月考）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与△ABC的外角∠CAM的平分线相交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AM于点F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CA－AB＝2AE；③∠BDC＋∠FAE＝180°；④∠DAF＋∠CBD＝90°.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】由题意得BD＝CD，DE＝DF，∠DFB＝∠DEC＝90°，∴Rt△CDE≌Rt△BDF，∴①正确；易知AE＝AF，BF＝CE，∴CA－AB＝AE＋CE－(BF－AF)＝AE＋AF＝2AE，∴②正确；∵∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB，∠FAE＝∠ABC＋∠ACB，∠FBD＝∠ECD，∴∠BDC＋∠FAE＝180°－∠DBC－∠DCB＋(∠FBD＋∠DBC)＋(∠DCB－∠ECD)＝180°，∴③正确；∵∠DAF＝ ∠FAE，∠CBD＝ (180°－∠BDC)＝ (∠FAE＋∠BDC－∠BDC)＝ ∠FAE，∴∠DAF＝∠CBD，无法判断∠DAF＋∠CBD＝90°，∴④错误.
故正确的结论有①②③。
故答案为：A.
【分析】利用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，可证得BD=CD，DE=DF，利用HL证明Rt△CDE≌Rt△BDF，可对①作出判断；易证AE=AF，利用全等三角形的性质，可证得BF=CE，再根据CA－AB＝AE＋CE，由此可对②作出判断；利用三角形内角和定理可证得∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB，利用三角形的外角性质，可得到∠FAE＝∠ABC＋∠ACB，利用全等三角形的对应角相等可证得∠FBD＝∠ECD，据此可推出∠BDC＋∠FAE＝180°，可对③作出判断；利用已知条件易证∠DAF＝∠CBD，无法判断∠DAF＋∠CBD＝90°，可对④作出判断。
8．（2020八下·河源月考）如图， 中， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=40°，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠B的度数即可．
9．（2020八下·甘州期中）已知一个等腰三角形的底角为 ，则这个三角形的顶角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵等腰三角形的底角为
∴这个三角形的顶角为
故答案为：C
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和解答即可.
10．（2020八下·甘州期中）在 中， ，若 ，则 的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：在 中， ，则 为等腰三角形，
又 ，
所以 是等边三角形.
故答案为：B
【分析】根据有一个是60°的等腰三角形是等边三角形解答即可.
11．（2020八上·椒江期末）如图，已知△ABC，AB=5，∠ABC=60°，D为BC边上的点，AD=AC，BD=2，则DC=（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如下图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AD=AC，AE⊥DC，
∴DE=DC，
在Rt△ABE中，AB=5，∠ABC=60°，∴∠BAE=30°，
∴BE=AB=2.5，
∴DE=BE-BD=2.5-2=0.5，
∴DC=2DE=1.
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，在等腰△ADC中，根据三线合一的性质得出AE是△ADC的中线. 再在Rt△ABE中，根据直角三角形30°所对直角边等于斜边的一半，得出BE的长，利用线段和差计算即可.
12．（2020八上·海曙期末）已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰△ABC中，腰AB=8，底BC=5
∴此三角形的周长为：8×2+5=21.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件将三角形的三边求和即可。
13．（2020八上·巴东期末）等边三角形的对称轴有（ ）条
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】等边三角形有3条对称轴.
故答案为：B.
【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解.
14．（2020八上·鄞州期末）等腰△ABC中，AB=AC，∠A的平分线交BC于点D，有下列结论：①AD⊥BC；②BD=DC；③∠B=∠C；④∠BAD=∠CAD，其中正确的结论个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如下图：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=DC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
∴①②③④均正确.
故答案为：A.
【分析】利用等腰三角形的性质逐项进行判断即可. 解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质.
二、填空题
15．（2020八下·中卫月考）在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 .
【答案】PA=PB=PC
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线相交于P，
∴PA=PB，
∵边BC的垂直平分线相交于P，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC.
故答案为：PA=PB=PC.
【分析】根据线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等得出PA=PB，PB=PC，进而根据等量代换即可得出结论.
16．（2020八上·常州期末）北京天安门雄伟壮丽，用数学的眼光看，天安门主视图是 图形.
【答案】轴对称
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】解：根据题意可知，天安门的主视图是轴对称图形；
故答案为：轴对称.
【分析】利用轴对称图形的定义，即可得到答案.
17．（2019八上·右玉期中）在镜子中看到时钟显示的时间是 ，则实际时间是
【答案】16：25：08．
【知识点】镜面对称
【解析】【解答】∵实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，∴实际时间是16：25：08，
故答案为：16：25：08．
【分析】根据轴对称高的性质可写出实际时间。
18．（2020八上·自贡期末）在△ 中， ,分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧分别交于点 ，作直线 交 于点 ,则 的度数是 .
【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵∠C=80°,∠A=40°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=60°
由作图可知，EF为线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠A=40°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-40°=20°.
故答案为：20°.
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC=60°，再根据线段垂直平分线的性质得出∠ABD=40°，进而可得出∠CBD的度数.
19．（2020八上·新乡期末）如图，已知钝角 ，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以 为圆心， 为半径画弧①；步骤2：以 为圆心， 为半径画弧②；步骤3：连接 ，交 延长线于点 ；下列结论：① 垂直平分线段 ；② 平分 ；③ ；④ .其中一定正确的有 （只填序号）
【答案】①③④
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】连接CD，BD
由作图可知：CA=CD，BA=BD，
∴直线BC垂直平分线段AD，
∴AH=DH，
∴S△ABC= BC AH，
故①③④正确，
故答案为：①③④.
【分析】连接CD，BD,根据作图可得直线BC垂直平分线段AD，可得AH=DH，利用三角形的面积公式可得S△ABC= BC AH，据此判断即可.
20．（2018八上·孝感月考）如图，△ABC中，线段BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC= °．
【答案】96
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，做DM⊥AB延长线于M，做DN⊥AC于N
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN
∵DP垂直平分BC
∴BD=DC
∴Rt△BDM≌Rt△CDN
∴∠MDB=∠CDN
∠MDN=∠BDC
又∠DMA=∠DNA=90°，∠BAC=84°
∴∠MDN=96°；
∠BDC=96°
【分析】做DM⊥AB延长线于M，做DN⊥AC于N，易由角平分线性质和线段垂直平分线性质得Rt△BDM≌Rt△CDN，从而得∠MDN=∠BDC，再利用四边形内角和为180°可得∠MDN=96°，因此∠BDC=96°
三、解答题
21．（2018八上·江都月考）如图：有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠A=50°，将其沿CD折叠，使点A落在边CB上的点A’处，求∠A’DB的度数。
【答案】证明：∵∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠B=40°，∠CA’D=∠A=50°，
∵∠B+∠A’DB=∠CA’D，
∴∠A’DB=10°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；轴对称的性质
【解析】【分析】根据三角形的内角和得出∠B的度数，根据折叠的性质得出 ∠CA'D=∠A=50°， 进而根据三角形的外角定理，由∠A'DB=∠CA'D-∠B即可算出答案。
22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．
【答案】（1）解：点D如图所示，
（2）解：∵DE垂直平分线线段AC，
∴AD=DC，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB，
∵AB+AC+BC=21，BC=5，
∴AB=AC=8，
∴△BCD的周长为13。
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，利用尺规作出线段AC的垂直平分线，与AB的交点即为D点；
（2）由等腰三角形ABC的周长21底边长5，可求出腰长AB为8，再结合（1）即可得到△BDC的周长。
23．（2020八下·北镇期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接CD，交BE于点F.
求证：BE垂直平分CD.
【答案】∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC.∵ED⊥AB，∴∠EDB=90°，∴∠EDB-∠BDC=∠ACB-∠BCD，即∠ECD=∠EDC，即DE=CE，∴点E在CD的垂直平分线上.又∵BD=BC，∴点B在CD的垂直平分线上，∴BE垂直平分CD.
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】首先根据互余的等量代换，得出∠EBC=∠EBD，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明.
24．（2019八上·浦东期中）已知：如图所示，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，交AC于点G．求证：∠CAE=∠B．
【答案】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA，
∵∠EAC=∠EAD-∠CAD，∠B=∠ADE-∠BAD，
∴∠CAE=∠B．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，根据线段垂直平分线的性质得到AE=DE，由等腰三角形的性质得到∠EAD=∠EDA，根据三角形的外角的即可得到结论．
25．已知：OC平分∠AOB，点P、Q都是OC上不同的点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，连接EQ、FQ.求证：FQ＝EQ
【答案】证明：∵OC平分AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴ PE＝PF，在Rt△OPE与Rt△OPF中， OP＝OP，PE＝PF，∴Rt△OPE≌Rt△OPF， ∴OE＝OF，∴OC是线段EF的垂直平分线， ∴FQ＝EQ
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 PE＝PF，然后利用HL判断出Rt△OPE≌Rt△OPF，根据全等三角形的对应边相等得出OE＝OF，根据到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，由OE＝OF，PE＝PF，得出点O，P都在线段EF的垂直平分线上，再根据过两点有一条而且只有一条直线，从而得出OC是线段EF的垂直平分线，再根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出FQ＝EQ。
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