(共12张PPT)
北师大版数学八年级
精品教学课件
探索勾股定理
八年级数学（上册） 北师大版
如图，受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4米
3米
自学探究
1.独立完成自学报告。(8分钟)
2.与同桌交流探究结果。 （2分钟）
3.向小组内成员介绍自己的探究方法与过程，使你的同伴能理解的你探究的过程与结论。
（8分钟）
a
b
c
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a
b
c
勾
股
弦
在西方又称毕达哥拉斯定理！
读一读
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高 就提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即“勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式。
1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三边的数，其年代远在商高之前。
相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。
如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4米
3米
解：设折断部分的长为x米
x
根据勾股定理得： 32+42=x2
x2=25
x=5
树高：5+4=9
答:这棵树折断前为9米
已知直角三角形任意两边可以求第三边
例：求出下列直角三角形中未知边的长度
9
15
y
解：根据勾股定理得： 92+y2=152
y2=144
y=12
这一节课我们一起学习了哪些知识,你是怎么得到的呢？都运用了哪些数学方法？
课堂小结
作业布置
1.上网了解更多的关于勾股定理的不同证明方法
2.完成课后作业1-4题
1.下图中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求图中字母所表示的正方形的面积.
225
A
400
225
B
81
发现图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
图1-3
a
b
c
a2+b2=c2登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《探索勾股定理》说课稿
说课人： 深圳市龙岗区梧桐学校 金康衎
一、教材分析
1、教材的地位与作用
《探索勾股定理》选自北师大教版数学八年级上册第一章。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种数量关系,将形与数密切联系起来，是数形结合的典范，在数学的发展和现实世界中有着广泛的应用。本节课是直角三角形相关知识的延续，同时也是解直角三角形的主要根据之一，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性和连续性；在探求勾股定理的过程中，蕴含了丰富的数学思想与人文价值。
2、目标分析
新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上。新课程理念下的数学教学不仅是知识的教学，技能的训练， 更应重视能力的培养及情感的教育，因此我制定了如下的教学目标：
【知识与技能目标】能说出勾股定理的内容,并能进行简单的计算和实际应用.
【能力与方法目标】经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.
【情感与态度目标】通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.
3、教学重点与难点
重点：勾股定理的探索和运用。
难点：勾股定理的推导和应用。
二、教法设计与学法指导
1、教学方法
针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选用“引导探究式”教学方法，先由浅入深，引导学生通过实验操作，归纳验证，在学生的自主探究与合作交流中解决问题，这样既遵循了学生的认知规律，又充分体现了“学生是数学学习的主人、教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念.
2、学法指导
“操作＋思考”的方式符合八年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征，本节课在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，充分调动学生动手、动脑，主动探索获取新知的积极性，进一步理解并运用归纳猜想，由特殊到一般，数形结合等数学思想方法解决问题。
三、教学过程设计
针对八年纪学生的知识结构和心理特征，根据新课程标准，引导学生自主探索，合作交流，我设计了如下教学流程：问题情境—探究学习—学以致用—学习总结—布置作业。
（一）问题情境
1、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，
树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
设计意图：通过日常生活中的实际问题抽象建模出
数学问题，设置悬疑，激发学生的求知欲，引领学生进
入学习情境，并体现了数学知识来源于生活。
2、提出问题：将实际问题转化为数学问题：已知两直角边，能求出斜边吗？直角三角形的三边是否存在着我们未知的等量关系呢？带着这个问题，让我们走进今天的探究学习。
（二）探究学习、猜想归纳
1、根据要求，完成自学报告
①独立完成自学报告。
②与同桌交流探究结果。
③向小组内成员介绍自己的探究方法与过程，使你的同伴能理解的你探究的过程与结论。
设计意图：从学生全面发展的需要出发，尊重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程学生主体地位的体现和主体作用的发挥，帮助他们养成良好的学习习惯，形成基本的自学能力，发展初步的探究品质。
2、学生展示探究成果，分享收获
请两名学生上台讲解探究过程和方法，提炼出探究的结果。
设计意图：助燃了学生主动求知、积极发言的热情，会使他在日后的学习中更加主动地去自主探究，并且能够更好地形成全班同学的互动，形成答疑、辩疑、正疑、明疑的良好气氛围，当然也便于更好地暴露出学生理解上的不足，这样，教师就可以针对学生的不足而调整课堂教学内容和教学方式，使课堂教学更加有效。
3、定理归纳
文字语言：勾股定理——直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
符号语言：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2＋b2＝c2（或AC2+BC2＝ AB2）
设计意图：此处还要引导学生用符号语言表示勾股定理，
培养学生严谨的数学态度，体会数形结合的数学思想。
4、数学与文化
介绍“勾，股，弦”的含义及古今中外勾股定理的相关历史等。
设计意图：让学生更好地体会勾股定理的丰富内涵与文化背景，陶冶情操，丰富自我，从中得到深层次的发展，并激发学生的爱国热情。
（三）学以致用、体验成功
1、解决“情境引入”提出的问题。课件演示解答过程。
设计意图：首尾呼应，让学生自我解决疑难，既是对所学知识的巩固应用，又让学生体验成功的喜悦。
2、典型例题讲解
例题：求出下列直角三角形中未知边的长度
解：根据勾股定理得：
92+y2=152
y2=144
y=12
学生观察思考后自主完成，并让学生代表上台板书。
3、当堂检测(见附三)
设计意图：强化了学生对勾股定理的理解，促进了知识的深化、巩固，进一步完善知识结构，反馈学习情况，体验自主成功的乐趣。
（四）学习总结、内化提高
1、数学知识：勾股定理
2、数学方法：探究、猜想、归纳
3、数学思想：（1）数形结合（2）由特殊到一般
学生讨论交流，畅谈自己对勾股定理的认识以及学习体会。
设计意图：训练学生的概括归纳能力，并让学生在归纳过程中把所学知识条理化、系统化。
（五）布置作业
1.上网了解更多的关于勾股定理的不同证明方法
2.完成课后作业1-4题
四、评价分析
建构主义认为：学习是建构形的，是在“活动——体验”模式下的“生成本体论”,是在现实的交往互动中探索生命意义，创造人生体验的过程。现代课程不再只是承载特定知识的文本，而是学生生活世界的经验和体验。本节课的教学设计力争体现建构主义的教学理念，对新课标下的新课堂的丰富内涵进行了积极的探索和有效的尝试，着力做到新课堂是数学活动的场所，是讨论交流的学堂，是思维发展的主阵地，是德育教育的基地，是学生发现、创造、展示自我的舞台。
4米
4米
3米
3米
15
9
y
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附件一
自学报告
姓名 班级 组号
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系，下面聪明的你来探索一下吧！
1．观察图1-1,1-2,1-3并填写下表：（图中每个小方格代表一个单位面积）
A的面积 B的面积 C的面积
图1-1
图1-2
图1-3
2．三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？
3.你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
4.你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴交流．
图1-3
C
A
B
A
B
C
图1-1
图1-2
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附件一
自学报告
姓名 班级 组号
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系，下面聪明的你来探索一下吧！
1．观察图1-1,1-2,1-3并填写下表：（图中每个小方格代表一个单位面积）
A的面积 B的面积 C的面积
图1-1
图1-2
图1-3
2．三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？
3.你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
4.你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴交流．
图1-3
C
A
B
A
B
C
图1-1
图1-2
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附件二
自学报告
姓名 班级 组号
看下面的图案，这个图案是公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形可以如图围成一个大正方形（直角三角形三边如图所示分别为a,b,c），中间的部分是一个小正方形 （阴影部分）．他通过设计这么一个图证明了直角三角形三边特殊的数量关系，聪明的您也来探索一下吧！
S直角三角形=
S大正方形 =
小正方形的边长= ，
S小正方形 =
可得一个等式：
化简得：
你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴交流．
c
b
a
b
a
b
a
b
a
c
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课题： 1.1探索勾股定理
[教材:义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）八年级上册]
授课人： 深圳龙岗区梧桐学校 金康衎
一、教学目标
【知识与技能】能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.
【能力与方法】经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.
【情感与态度】通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.
二、教学重点与难点
重点：探索勾股定理.
难点：勾股定理的推导和应用．
三、教学过程
（一）问题情境
1、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，
树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
通过日常生活中的实际问题抽象建模出数学问题，
设置悬疑，激发学生的求知欲，引领学生进入学习
情境，并体现了数学知识来源于生活。
2、提出问题：将实际问题转化为数学问题：已知两直角边，能求出斜边吗？直角三角形的三边是否存在着我们未知的等量关系呢？带着这个问题，让我们走进今天的探究学习。
（以生活情景重现的方式调动学生的学习热情，同时让学生直觉感知：直角三角形的三边应该有着特殊的关系。）
（二）探究学习、猜想归纳
1、根据要求，完成自学报告
①独立完成自学报告。
②与同桌交流探究结果。
③向小组内成员介绍自己的探究方法与过程，使你的同伴能理解的你探究的过程与结论。
自学报告一（见附件一）
分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，请学生求出这三个正方形的面积。
（此处重在引导学生如何计算出以斜边为边的正方形面积。同时学生通过正方形面积之间的关系探究可以初步感受到对于直角三角形而言，三边满足两直角边的平方和等于斜边的平方。）
提出问题：是否所有的直角三角形都有这个性质呢？请动手验证。
（用表格的形式展示部分学生的实验结果，为归纳提供基础，同时进一步加深学生对直角三角形三边关系的认识。）
自学报告二（见附件二）
利用四个全等的直角三角拼成的图案，通过两种方法计算小正方形的面积验证出勾股定理，运用了面积自等的方法，体现了数形结合的思想。
设置两种不同的半开放式探究方法，目的是从学生全面发展的需要出发，尊重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程学生主体地位的体现和主体作用的发挥，帮助他们养成良好的学习习惯，形成基本的自学能力，发展初步的探究品质。
2、学生展示探究成果，分享收获
请两名学生上台讲解探究过程和方法，提炼出探究的结果。
助燃了学生主动求知、积极发言的热情，会使他在日后的学习中更加主动地去自主探究，并且能够更好地形成全班同学的互动。
3、定理归纳
文字语言：勾股定理——直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
符号语言：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2＋b2＝c2（或AC2+BC2＝ AB2）
此处还要引导学生用符号语言表示勾股定理，
4、数学与文化
介绍“勾，股，弦”的含义及古今中外勾股定理的相关历史等。
让学生更好地体会勾股定理的丰富内涵与文化背景，陶冶情操，丰富自我，从中得到深层次的发展，并激发学生的爱国热情。
（三）学以致用、体验成功
1、解决“情境引入”提出的问题。课件演示解答过程。
首尾呼应，让学生自我解决疑难，既是对所学知识的巩固应用，又让学生体验成功的喜悦。
2、典型例题讲解
例题：求出下列直角三角形中未知边的长度
解：根据勾股定理得：
92+y2=152
y2=144
y=12
学生观察思考后自主完成，并让学生代表上台板书。
3、当堂检测(见附件三)
强化了学生对勾股定理的理解，促进了知识的深化、巩固，进一步完善知识结构，反馈学习情况，体验自主成功的乐趣。
（四）学习总结、内化提高
1、数学知识：勾股定理
2、数学方法：探究、猜想、归纳
3、数学思想：（1）数形结合（2）由特殊到一般
学生讨论交流，畅谈自己对勾股定理的认识以及学习体会。
（五）布置作业
1.上网了解更多的关于勾股定理的不同证明方法
2.完成课后作业1-4题
教学反思
新课程改革要求我们：将数学教学置身于学生自主探究与合作交流的数学活动中；将知识的获取与能力的培养置身于学生形式各异的探索经历中；关注学生探索过程中的情感体验，并发展实践能力及创新意识。为此我在教学设计中注重了以下几点：
1、重视知识过程与思想方法的教学
让学生经历了知识的发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想，从而更好地理解勾股定理，应用勾股定理，发展学生应用数学的意识与能力，增强了学生学好数学的愿望和信心。
探索定理采用了面积法，引导学生利用实验由特殊到一般再到更一般的对直角三角形三边关系的研究，得出结论。这种方法是认识事物规律的重要方法之一，
2、鼓励学生自主探究与合作交流
课程标准明确指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。斯托利亚尔也说过：“数学教学是数学活动的教学（思维活动的教学）。因此，在本节课中努力为学生提供充分的数学活动机会，让学生在自主探究和合作交流的过程中，去理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想和方法，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效地学习策略。
3、重视学生的表达和交流
数学课程标准指出，要让学生经历使用各种数学语言、符号表达和交流的过程，以促进其形成对数学较为积极的态度。本节课中的学生对邮票的观察发现，对直角三角形三边关系的发现，自我小结等，都给学生提供了充分的表达和交流的机会，发展了语言表达和概括能力，增强了合作意识。
整节课都是在生生互动、师生互动的和谐气氛中进行的，在教师的鼓励、引导下学生进行了自主学习。学生上讲台表达自己的思路、解法，体验了数形结合的数学思想方法，培养了细心观察、认真思考的态度。但本节课拼图验证的方法以前学生没接触过，稍嫌吃力。另在举勾股定理在生活中的例子时，学生思路不够开阔。以后要多培养学生实验操作能力及应用拓展能力，使学生思路更开阔。
4米
4米
3米
3米
15
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附件三
当堂检测
姓名 班级 组号
1.下图中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列图中字母所表示的正方形的面积.（每题20分,共40分）
2.求出下列直角三角形中未知边的长度（每题20分,共40分）
3.如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m处折断倒下，树顶落在离树根12m处. 大树在折断之前高多少？（20分）
225
A
400
225
81
B
5
13
y
x
6
8
EMBED Word.Picture.8
9m
12mm
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北师大版数学八年级
精品说课课件
八年级数学（上册） 北师大版
探索勾股定理
教材的地位与作用
《探索勾股定理》选自北师大教版数学八年级上册第一章。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种数量关系,将形与数密切联系起来，是数形结合的典范，在数学的发展和现实世界中有着广泛的应用。
本节课是直角三角形相关知识的延续，同时也是解直角三角形的主要根据之一，充分体现了数学知识承前启后的连续性；在探究勾股定理的过程中，蕴含了丰富的数学思想与人文价值。
教学目标
【知识与技能】能说出勾股定理的内容,并能进行简单的计算和实际应用.
【能力与方法】经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.
【情感与态度】通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.
教学重点与难点
重点：勾股定理的探索和运用。
难点：勾股定理的推导和应用。
教法设计与学法指导
本节课选用“引导探究式”教学方法，由浅入深，引导学生自主探索、合作交流的研讨式学习方式，充分调动学生动手、动脑，主动探索获取新知的积极性，进一步理解并运用归纳猜想，由特殊到一般，数形结合等数学思想方法解决问题。
教学过程设计
问题情境
探究学习
学以致用
学习总结
布置作业
如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4米
3米
探究学习——自学报告
自学要求
自学报告1
自学报告2
1.独立完成自学报告。
2.与同桌交流探究结果。
3.向小组内成员介绍自己的探究方法与过程，使你的同伴能理解的你探究的过程与结论
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a
b
c
勾
股
弦
在西方又称毕达哥拉斯定理！
自学探究——定理归纳
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高 就提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即“勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。
1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三边的数，其年代远在商高之前。
相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。
自学探究——数学与文化
如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4米
3米
解：设折断部分的长为x米
x
根据勾股定理得： 32+42=x2
x2=25
x=5
树高：5+4=9
答:这棵树折断前为9米
学以致用、体验成功
已知直角三角形任意两边可以求第三边
1、例题：求出下列直角三角形中未知边的长度
9
15
y
解：根据勾股定理得： 92+y2=152
y2=144
y=12
学以致用——典型例题+当堂小测
2、当堂小测
学习总结
1、数学知识：勾股定理
2、数学方法：探究、猜想、归纳
3、数学思想：（1）数形结合
（2）由特殊到一般
Thank You!
作业布置
1.上网了解更多的关于勾股定理的不同证明方法
2.完成课后作业1-4题登陆21世纪教育 助您教考全无忧
附件二
自学报告
姓名 班级 组号
看下面的图案，这个图案是公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形可以如图围成一个大正方形（直角三角形三边如图所示分别为a,b,c），中间的部分是一个小正方形 （阴影部分）．他通过设计这么一个图证明了直角三角形三边特殊的数量关系，聪明的您也来探索一下吧！
S直角三角形=
S大正方形 =
小正方形的边长= ，
S小正方形 =
可得一个等式：
化简得：
你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴交流．
c
b
a
b
a
b
a
b
a
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附件三
当堂检测
姓名 班级 组号
1.下图中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列图中字母所表示的正方形的面积.（每题20分,共40分）
2.求出下列直角三角形中未知边的长度（每题20分,共40分）
3.如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m处折断倒下，树顶落在离树根12m处. 大树在折断之前高多少？（20分）
225
A
400
225
81
B
5
13
y
x
6
8
EMBED Word.Picture.8
9m
12mm
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勾股定理教学反思
新课程改革要求我们：将数学教学置身于学生自主探究与合作交流的数学活动中；将知识的获取与能力的培养置身于学生形式各异的探索经历中；关注学生探索过程中的情感体验，并发展实践能力及创新意识。为学生的终身学习及可持续发展奠定坚实的基础。为此我在教学设计中注重了以下几点：
一、让学生主动想学
上这节课前一个星期教师布置给学生任务：查有关勾股定理的资料（可上网查，也可查阅报刊、书籍）.提前两三天由几位学生汇总(教师可适当指导)。这样可使学生在上这节课前就对勾股定理历史背景有全面的理解，从而使学生认识到勾股定理的重要性，学习勾股定理是非常必要的，激发学生的学习兴趣，对学生也是一次爱国主义教育，培养民族自豪感，激励他们奋发向上．同时培养学生的自学能力及归类总结能力。
二、在课堂教学中，始终注重学生的自主探究
首先，创设情境，由实例引入，激发学生的学习兴趣，然后通过动手操作、大胆猜想、勇于验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理，并运用定理进一步巩固提高。体现了学生是数学学习的主人，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
对于拼图验证，学生还没有接触过，所以在教学中教师给予学生适当指导与鼓励。充分体现了教师是学生数学学习的组织者、引导者、合作者。
三、教会学生思维，培养学生多种能力
课前查资料，培养学生的自学能力及归类总结能力；课上的探究培养学生的动手动脑的能力、观察能力、猜想归纳总结的能力、合作交流的能力……
四、注重了数学应用意识的培养
数学来源于实践，而又应用于实践。因此从实例引入，最后通过定理解决引例中的问题，并在定理的应用中，让学生举生活中的例子，充分体现了数学的应用价值。
整节课都是在生生互动、师生互动的和谐气氛中进行的，在教师的鼓励、引导下学生进行了自主学习。学生上讲台表达自己的思路、解法，体验了数形结合的数学思想方法，培养了细心观察、认真思考的态度。但本节课拼图验证的方法以前学生没接触过，稍嫌吃力。另在举勾股定理在生活中的例子时，学生思路不够开阔。以后要多培养学生实验操作能力及应用拓展能力，使学生思路更开阔。
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