高三数学各章教材知识点回扣
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(共76张PPT)
教材知识回扣
1．集合元素具有确定性、无序性和互异性．集合元素的互异性法则是考查的重点．
2．遇到A∩B＝ 时，注意到“极端”情况：A＝ 或B＝ ；同样当A B时，不要忘记A＝ 的情形，要注意到 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
集合与常用逻辑用语
3．集合的运算性质：(1)A∪B＝A B A ；(2)A∩B＝B B A；(3)A B UA UB；(4)A∩( UB)＝ A B；(5)( UA)∪B＝U A B；(6) U(A∩B)＝( UA)∪( UB)；
(7) U(A∪B)＝( UA)∩(CUB)．
4．复合命题真假的判断．“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”．
5．充要条件：(1)A是B的充分不必要条件是指：A B且B / A；(2)A的充分不必要条件是B是指：B 且A / B；且这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容易混淆的说法，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现判断错误．
1．函数的概念
注意把握两点①一个自变量只有唯一函数值，②每个自变量都有函数值．
2．函数有三要素
定义域、值域、对应法则．研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则．
函数、基本初等函数的
图象与性质
3．分段函数
对分段函数的值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论．
4．函数的奇偶性和单调性
(1)函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的，确定奇偶性方法有定义法、图象法等；
5．二次函数
二次函数的三种表示形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，其中(m，n)为图象顶点；
(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，即为图象与x轴的两交点的横坐标．
6．指数函数、对数函数
(1)指数与对数运算性质
(2)指数函数与对数函数的图象与性质
可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)．
函数与方程及函数的
实际应用
1．方程的根与函数的零点
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值．
不等式
2．简单的不等式的解法
(1)不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．
(2)解分式不等式：移项通分，分子分母分解因式，转化为整式不等式．
(3)解指数不等式与对数不等式：化同底，观察底数与1的大小，利用单调性，对数不等式要注意真数大于0.
创设应用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常见的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立．另外，在运用基本不等式时，不能忽视“正数”和“和”或“积”为定值这两个条件．
4．线性规划
确定可行域，平移目标函数，确定最优解．
导数及其应用
4．导数与极值、导数与最值
(1)函数f(x)在x0处有f′(x0)＝0且“左正右负” f(x)在x0处取极大值;函数f(x)在x0处有f′(x0)＝0且“左负右正” f(x)在x0处取极小值．
(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”;函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”.
三角函数的图象与性质
1．三角函数诱导公式的本质
奇变偶不变，符号看象限．
2．三角函数的图象与性质
(1)五点法作图(一个最高点，一个最低点)；
(4)周期性与奇偶性
y＝sinx最小正周期为2π，奇函数；y＝cosx最小正周期为2π，偶函数．y＝tanx最小正周期为π，奇函数．
3．三角函数图象的三种基本变换
y＝sin x的图象向左平移φ个单位得到y＝sin(x＋φ)的图象(当φ<0时，则向右平移|φ|个单位)；
y＝sin x图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到y＝sin ωx的图象；
y＝sin x图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y＝Asin x的图象．
三角变换与解三角形
平面向量
注意：〈a，b〉为锐角 a·b>0且a、b不同向；
〈a，b〉为直角 a·b＝0且a、b≠0；
〈a，b〉为钝角 a·b<0且a、b不反向．
4．向量的平行与垂直
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a∥b b＝λa x1y2－x2y1＝0.a⊥b(a≠0)
a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
等差数列、等比数列
(2)m＋n＝l＋k am＋an＝al＋ak(反之不一定成立)；特别地，当m＋n＝2p时，有am＋an＝2ap；
(3)若{an}、{bn}是等差数列，则{kan＋tbn}(k、t是非零常数)是等差数列；
(4)等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，……(注：各项均不为0)仍是等差数列．
(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中间到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n项和公式的推导方法)．
(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法．(这也是等比数列前n项和公式的推导方法之一)．
立体几何初步
1．空间几何体的三视图
(1)正视图：从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；
(2)侧视图：从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；
(3)俯视图：从几何体的上面向下面正投影得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度．
3．证明位置关系的主要方法
空间向量与立体几何(理)
3．证明空间中的平行与垂直
(1)线线平行：a∥b(b≠0) x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；
(2)线面平行：设平面的法向量为n，则直线a∥平面α a⊥n；
(3)线面垂直：设平面的法向量为n，则直线a⊥平面α a∥n；
(4)面面平行：设平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，则α∥β n1∥n2；
(5)面面垂直：设平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
直线与圆
2．两条直线的位置关系
设l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0则
(1)平行 A1B2－A2B1＝0(斜率)且B1C2－B2C1≠0(在y轴上截距)；
(2)相交 A1B2－A2B1≠0；(3)重合 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0.
5．直线与圆的位置关系
设直线l与圆C的距离为d，则
(1)l与圆C相离 d>r；(2)l与圆C相切 d＝r；
(3)l与圆C相交 d6．圆与圆的位置关系
设圆C1与圆C2的距离为d且R>r，则两圆
(1)相离 d>R＋r；(2)外切 d＝R＋r；
(3)相交 R－r(5)内含 0椭圆、双曲线、抛物线
5．求轨迹方程的常用方法(理)
(1)直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x，y)＝0，是求轨迹的最基本的方法．
(2)待定系数法:可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.
(3)代入法(相关点法或转移法)．
(4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.
计数原理、
二项式定理(理)
6．排列组合主要解题方法
(1)优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；
(2)捆绑法：(相邻问题)；(3)插空法(不相邻问题)；
(4)间接扣除法(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉)；
(5)多排问题单排法．
1．事件的关系
(1)A B；(2)A＝B；(3)A∪B(或A＋B)；(4)A∩B(或AB)；(5)事件A与B互斥；(6)事件A与B互为对立事件．
2．概率公式
(1)互斥事件(不可能同时发生)概率公式：
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
概率、随机变量
及其分布列
(2)离散型随机变量及其分布：
期望：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；
方差：D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn.
注：E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(aX＋b)＝a2D(X).
(3)两点分布：
期望：E(X)＝p；方差：D(X)＝p(1－p)．
统计、统计案例
(1)r>0时，变量x，y正相关；r<0时，变量x，y负相关；
(2)|r|越接近于1，两个变量的线性相关性越强；|r|接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系．
推理与证明
1．推理：合情推理主要是归纳和类比，所得结论真实性有待检验；演绎推理的主要形式是三段论，只要大前提正确，推理过程正确，所得结论一定正确．
2．证明：证明有直接证明和间接证明．直接证明主要有综合法和分析法．综合法是由因导果的一种证明方法，分析法是执果索因的证明方法；间接证明主要是反证法，是一种反设结论、导出矛盾的一种证明方法．
3．数学归纳法(理)
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0时，结论正确；
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．
由(1)(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数都正确．
算法初步、复数
1．程序框图
(1)图形符号：①终端框(起止框)；②输入、输出框；③处理框(执行框)；④判断框；⑤流程线；⑥连接点．
(2)程序框图分类：①顺序结构；②条件结构；③循环结构．
(3)循环结构分为：①当型(while型)——先判断条件，再执行循环体；
②直到型(until型)——先执行一次循环体，再判断条件．
教材知识回扣
1．集合元素具有确定性、无序性和互异性．集合元素的互异性法则是考查的重点．
2．遇到A∩B＝ 时，注意到“极端”情况：A＝ 或B＝ ；同样当A B时，不要忘记A＝ 的情形，要注意到 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
集合与常用逻辑用语
3．集合的运算性质：(1)A∪B＝A B A ；(2)A∩B＝B B A；(3)A B UA UB；(4)A∩( UB)＝ A B；(5)( UA)∪B＝U A B；(6) U(A∩B)＝( UA)∪( UB)；
(7) U(A∪B)＝( UA)∩(CUB)．
4．复合命题真假的判断．“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”．
5．充要条件：(1)A是B的充分不必要条件是指：A B且B / A；(2)A的充分不必要条件是B是指：B 且A / B；且这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容易混淆的说法，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现判断错误．
1．函数的概念
注意把握两点①一个自变量只有唯一函数值，②每个自变量都有函数值．
2．函数有三要素
定义域、值域、对应法则．研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则．
函数、基本初等函数的
图象与性质
3．分段函数
对分段函数的值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论．
4．函数的奇偶性和单调性
(1)函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的，确定奇偶性方法有定义法、图象法等；
5．二次函数
二次函数的三种表示形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，其中(m，n)为图象顶点；
(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，即为图象与x轴的两交点的横坐标．
6．指数函数、对数函数
(1)指数与对数运算性质
(2)指数函数与对数函数的图象与性质
可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)．
函数与方程及函数的
实际应用
1．方程的根与函数的零点
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值．
不等式
2．简单的不等式的解法
(1)不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．
(2)解分式不等式：移项通分，分子分母分解因式，转化为整式不等式．
(3)解指数不等式与对数不等式：化同底，观察底数与1的大小，利用单调性，对数不等式要注意真数大于0.
创设应用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常见的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立．另外，在运用基本不等式时，不能忽视“正数”和“和”或“积”为定值这两个条件．
4．线性规划
确定可行域，平移目标函数，确定最优解．
导数及其应用
4．导数与极值、导数与最值
(1)函数f(x)在x0处有f′(x0)＝0且“左正右负” f(x)在x0处取极大值;函数f(x)在x0处有f′(x0)＝0且“左负右正” f(x)在x0处取极小值．
(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”;函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”.
三角函数的图象与性质
1．三角函数诱导公式的本质
奇变偶不变，符号看象限．
2．三角函数的图象与性质
(1)五点法作图(一个最高点，一个最低点)；
(4)周期性与奇偶性
y＝sinx最小正周期为2π，奇函数；y＝cosx最小正周期为2π，偶函数．y＝tanx最小正周期为π，奇函数．
3．三角函数图象的三种基本变换
y＝sin x的图象向左平移φ个单位得到y＝sin(x＋φ)的图象(当φ<0时，则向右平移|φ|个单位)；
y＝sin x图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到y＝sin ωx的图象；
y＝sin x图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y＝Asin x的图象．
三角变换与解三角形
平面向量
注意：〈a，b〉为锐角 a·b>0且a、b不同向；
〈a，b〉为直角 a·b＝0且a、b≠0；
〈a，b〉为钝角 a·b<0且a、b不反向．
4．向量的平行与垂直
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a∥b b＝λa x1y2－x2y1＝0.a⊥b(a≠0)
a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
等差数列、等比数列
(2)m＋n＝l＋k am＋an＝al＋ak(反之不一定成立)；特别地，当m＋n＝2p时，有am＋an＝2ap；
(3)若{an}、{bn}是等差数列，则{kan＋tbn}(k、t是非零常数)是等差数列；
(4)等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，……(注：各项均不为0)仍是等差数列．
(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中间到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n项和公式的推导方法)．
(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法．(这也是等比数列前n项和公式的推导方法之一)．
立体几何初步
1．空间几何体的三视图
(1)正视图：从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；
(2)侧视图：从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；
(3)俯视图：从几何体的上面向下面正投影得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度．
3．证明位置关系的主要方法
空间向量与立体几何(理)
3．证明空间中的平行与垂直
(1)线线平行：a∥b(b≠0) x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；
(2)线面平行：设平面的法向量为n，则直线a∥平面α a⊥n；
(3)线面垂直：设平面的法向量为n，则直线a⊥平面α a∥n；
(4)面面平行：设平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，则α∥β n1∥n2；
(5)面面垂直：设平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
直线与圆
2．两条直线的位置关系
设l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0则
(1)平行 A1B2－A2B1＝0(斜率)且B1C2－B2C1≠0(在y轴上截距)；
(2)相交 A1B2－A2B1≠0；(3)重合 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0.
5．直线与圆的位置关系
设直线l与圆C的距离为d，则
(1)l与圆C相离 d>r；(2)l与圆C相切 d＝r；
(3)l与圆C相交 d
设圆C1与圆C2的距离为d且R>r，则两圆
(1)相离 d>R＋r；(2)外切 d＝R＋r；
(3)相交 R－r
5．求轨迹方程的常用方法(理)
(1)直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x，y)＝0，是求轨迹的最基本的方法．
(2)待定系数法:可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.
(3)代入法(相关点法或转移法)．
(4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.
计数原理、
二项式定理(理)
6．排列组合主要解题方法
(1)优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；
(2)捆绑法：(相邻问题)；(3)插空法(不相邻问题)；
(4)间接扣除法(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉)；
(5)多排问题单排法．
1．事件的关系
(1)A B；(2)A＝B；(3)A∪B(或A＋B)；(4)A∩B(或AB)；(5)事件A与B互斥；(6)事件A与B互为对立事件．
2．概率公式
(1)互斥事件(不可能同时发生)概率公式：
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
概率、随机变量
及其分布列
(2)离散型随机变量及其分布：
期望：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；
方差：D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn.
注：E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(aX＋b)＝a2D(X).
(3)两点分布：
期望：E(X)＝p；方差：D(X)＝p(1－p)．
统计、统计案例
(1)r>0时，变量x，y正相关；r<0时，变量x，y负相关；
(2)|r|越接近于1，两个变量的线性相关性越强；|r|接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系．
推理与证明
1．推理：合情推理主要是归纳和类比，所得结论真实性有待检验；演绎推理的主要形式是三段论，只要大前提正确，推理过程正确，所得结论一定正确．
2．证明：证明有直接证明和间接证明．直接证明主要有综合法和分析法．综合法是由因导果的一种证明方法，分析法是执果索因的证明方法；间接证明主要是反证法，是一种反设结论、导出矛盾的一种证明方法．
3．数学归纳法(理)
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0时，结论正确；
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．
由(1)(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数都正确．
算法初步、复数
1．程序框图
(1)图形符号：①终端框(起止框)；②输入、输出框；③处理框(执行框)；④判断框；⑤流程线；⑥连接点．
(2)程序框图分类：①顺序结构；②条件结构；③循环结构．
(3)循环结构分为：①当型(while型)——先判断条件，再执行循环体；
②直到型(until型)——先执行一次循环体，再判断条件．
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