人教A版数学高三数学一轮复习第二章第二节 函数的定义域和值域

(共36张PPT)
第二节　函数的定义域和值域
1．分式函数中分母________
2．偶次根式函数被开方式____________.
3．一次函数、二次函数的定义域均为___
4．y＝ax，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为____.
5．y＝tan x的定义域为_________________．
6．函数f(x)＝x0的定义域为__________
7．实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际
问题对函数自变量的制约．
一、常见基本初等函数的定义域
不等于零
R
大于或等于0
R
{x|x≠0}．
二、基本初等函数的值域
1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是____.
2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为____________；
当a<0时，值域为_________________．
3．y＝ (k≠0)的值域是_________
4．y＝ax(a>0且a≠1)的值域是________
5．y＝logax(a>0且a≠1)的值域是_____.
6．y＝sin x，y＝cos x的值域是________
7．y＝tan x的值域是_____.
R
{y|y≠0}．
{y|y>0}．
R
{y|y>0}．
R
【答案】　A
【答案】　A
2．函数y＝x2－2x的定义域是{0,1,2}，则该函数的值域为 (　　)
A．{－1,0} B．{0,1,2}
C．{y|－1≤y<0} D．{y|0≤y≤2}
【解析】　当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝－1；当x＝2时，y＝0故选A
3．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝ 的定义域是 (　　)
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
【解析】　∵f(x)的定义域为[0,2]，∴要使g(x)＝ 有意义，则有0≤2x≤2且
x－1≠0，解得0≤x<1.
【答案】　B
【答案】　[－5，＋∞)
【解析】　由题意知2x2＋2ax－a－1≥0恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，
其等价于Δ＝4a2＋4a≤0 －1≤a≤0.
【答案】　[－1,0]
考点一 求函数的定义域　
1．求函数定义域的步骤
对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自
变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条件，建立不等式，再
解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际问题给出时，注意自变量x的实
际意义．
2．抽象函数的定义域
要弄清所给函数间有何关系，进而求解，如已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，
求y＝f(x＋2)的定义域：其实质是求a≤x＋2≤b中x的范围，即其定义域为[a－2，
b－2]．反之，若y＝f(x＋2)的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，则应求x＋2的范
围，即a≤x≤b，a＋2≤x＋2≤b＋2，即f(x)的定义域为[a＋2，b＋2]，即f(x)与f(x
＋2)中的x含义不同．
(1)求函数f(x)＝ 的定义域；
(2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域．
【思路点拨】　(1)只给出解析式求定义域，只需要使解析式有意义列不等式
组求解．
(2)抽象函数定义域：看清x2－3x与f(x)中的x的含义相同．
考点二　求函数的值域
　
【特别提醒】　(1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变量的范围变化；
用判别式求函数值域时，一定要注意自变量x是否属于R.
(2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立；利用单调性求函数值
域时，准确地找出其单调区间是关键．分段函数的值域应分段分析，再取并集．
(3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义域，这是求值域的重要
环节
求下列函数的值域，并指出函数有无最值．
【思路点拨】　(1)分离常数，
(2)利用函数的单调性或基本不等式，
(3)换元法．
(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a、b是常数，且a≠0)满足条件：
f(2)＝0，且方程f(x)＝x有两个相等实根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m,2n]？
如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由．
【思路点拨】　(1)由f(x)＝x有两个相等实根，则Δ＝0；
(2)求二次函数的值域，要注意二次函数的对称轴，再利用其单调性求最值．
考点三　函数定义域、值域的综合应用
1．对既给出定义域又给出解析式的函数，可直接在定义域上用相应方法求函数值域．
2．若函数解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影响，即要考虑分类讨论．
3．可借助函数图象确定函数的值域或最值．
3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x＋x2.
(1)求x＜0时，f(x)的解析式；
(2)问是否存在这样的非负数a，b，当x∈[a，b]时，f(x)的值域为[4a－2,6b－6]？
若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由．
【自主解答】　(1)设x＜0，则－x＞0，于是f(－x)＝－x＋x2，
又f(x)为奇函数，f(x)＝－f(－x)＝x－x2.
(2)假设存在这样的数a，b.
∵a≥0，且f(x)＝x＋x2在x≥0时为增函数，
∴x∈[a，b]时，f(x)∈[f(a)，f(b)]＝[4a－2,6b－6]，
A．{x|x＞－3}　　　　　　　B．{x|－3＜x＜2}
C．{x|x＜2} D．{x|－3＜x≤2}
【解析】　M＝{x|x＞－3}，N＝{x|x＜2}．
∴M∩N＝{x|－3＜x＜2}．
一、选择题
【答案】　B
【答案】　D
【解析】
【解析】
【答案】　C
4.定义域为R的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为 (　　)
A．[2a，a＋b] B．[0，b－a]
C．[a，b] D．[－a，a＋b]
【解析】　函数y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)
平移|a|个单位得到的．
【答案】　C
5．(2011年南通模拟)若函数y＝f(x)的值域是[1,3]，则函数F(x)＝1－2f(x＋3)的值
域是 (　　)
A．[－5，－1] B．[－2,0]
C．[－6，－2] D．[1,3]
【解析】　∵1≤f(x)≤3，∴1≤f(x＋3)≤3
∴－6≤－2f(x＋3)≤－2，∴－5≤F(x)≤－1.
【答案】　A
二、填空题
【解析】　使f(x)有意义且大于零的自变量x的取值范围为(2,8]．
【答案】　(2,8)
【答案】　(1)1　(2)[1，＋∞)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．
10．【创新预测题】
从近两年的高考试题来看，求函数的定义域是高考必考内容，它主要考查有
解析式的函数定义域，对抽象函数定义域的考查较少．而值域多与函数性质结合
命题，一般有一定难度．
预测2013年高考仍会考查函数的定义域，在考查时多与对数函数结合，而值
域考查离不开导数．
【解析】　令x即x2－x－2>0，
解得x－1或x>2.
令x≥g(x)，而x2－x－2≥0，
解得－1≤x≤2.
【答案】　D
【答案】　A
【答案】　C
【答案】　C
3．(2012广东质检)函数f(x)＝lg(x－2)的定义域是________．
【解析】　∵x－2＞0，∴x＞2，
即函数的定义域为(2，＋∞)．
【答案】　(2，＋∞)