人教A版数学高三数学一轮复习第二章第三节 函数的单调性与最大（小）值

(共38张PPT)
第三节　函数的单调性与最大（小）值
一、函数的单调性
f(x1)增函数 减函数
定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2.
当x1图象
描述
自左向右看图象是_________
自左向右看图象是________
f(x1)>f(x2)
逐渐上升
逐渐下降
2.单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是______或_______，则称函数f(x)在这一区间上具有
(严格的)单调性，______叫做f(x)的单调区间
增函数
减函数
区间D
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 ①对于任意x∈I，都_______
②存在x0∈I，使得__________ ①对于任意x∈I，都有_______
②存在x0∈I，使得__________
结论 M为最大值 M为最小值
二、基本初等函数的值域
f(x)≤M
f(x0)＝M
f(x)≥M
f(x0)＝M
1．下列函数中，在区间(－∞，0]上为增函数的是 (　　)
【解析】　由函数单调性的定义易知y＝x3在(－∞，0]上增函数．
【答案】　D
【答案】　D
3．函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0间是 (　　)
【答案】　C
【解析】　作y＝f(x)*g(x)的图象如下图所示，由图可知，当x＝2时，y＝f(x)*g(x)
取得最大值1.
【答案】　1
5．若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)＜f(m2)的实数m的取值范围是________．
【解析】　∵f(x)在R上为增函数，
∴2－m＜m2，
∴m2＋m－2＞0，
∴m＞1或m＜－2.
【答案】　(－∞，－2)∪(1，＋∞)
考点一 函数单调性的判定与证明　
用定义证明函数单调性的一般步骤
1．取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.
2．作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向
有利于判断差的符号的方向变形．
3．定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．
当符号不确定时，可以进行分类讨论．
4．判断：根据定义得出结论．
考点二　求函数的单调区间
　
1．求函数的单调性或单调区间的方法
(1)利用已知函数的单调性．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的
直观性写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
2．求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤
(1)确定定义域．
(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)．
(3)分别确定这两个函数的单调区间．
(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若一增一减，则y＝f[g(x)]为
减函数，即“同增异减”．
求出下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝|x2－4x＋3|；
(2)f(x)＝log2(x2－1)．
【思路点拨】　注意(1)函数含有绝对值，故可将其转化为分段函数并作出图象求
解；(2)中的函数为函数y＝log2u，u＝x2－1的复合函数，要注意其定义域
【自主解答】　(1)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下
方的部分翻折到上方，可得函数的图象．如图①所示．
由图可知，函数的增区间为[1,2]，(3，＋∞)，减区间为(－∞，1)，(2,3]．
图①
(2)函数的定义域为x2－1＞0，
即{x|x＞1或x＜－1}．
令u(x)＝x2－1，图象如图②所示．
由图象知，u(x)在(－∞，－1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
而f(u)＝log2u是增函数．
故f(x)＝log2(x2－1)的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(－∞，－1)．
图②
2．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；
(2)f(x)＝log2(6＋x－2x2)．
考点三　函数的最值
　函数的最值求法
1．若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法．
2．单调性函数的是求最值和值域的主要依据，函数的单调区间求出后，再判断其
增减性是求最值和值域的前提，当然，函数图象是函数单调性的最直观体现．
3．基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法．
4．导数法：当函数较复杂(如指数、对数函数与多项式结合)时，一般采用此法．
5．数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找
其变化范围．
【自主解答】　(1)解法一　∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)
＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，
f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．
又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
因此f(x)在R上是减函数．
解法二　设x1＞x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．
又∵x＞0时，f(x)＜0.而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．
(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在
[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．
而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
一、选择题
【答案】　D
【答案】　B
【解析】
【答案】　B
【答案】　D
5．定义新运算 ：当a≥b时，a b＝a；当a＜b时，a b＝b2，则函数f(x)＝
(1 x)x－(2 x)，x∈[－2,2]的最大值等于 (　　)
A．－1 B．1
C．6 D．12
【答案】　C
二、填空题
6．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．
7．设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，f(－1)＝－1.若函数f(x)≤t2－2at＋1对所
有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时，t的取值范围是________．
【解析】　若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，由已知易得f(x)
的最大值是1，
∴1≤t2－2at＋1 2at－t2≤0，
设g(a)＝2at－t2(－1≤a≤1)，欲使2at－t2≤0恒成立，
则 t≥2或t＝0或t≤－2.
【答案】　t≤－2或t＝0或t≥2
三、解答题
9．已知函数f(x)对任意的a、b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x＞0时，f(x)＞1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)＜3.
【解析】　(1)证明：任取x1＜x2，
∴x2－x1＞0.
∴f(x2－x1)＞1.
∴f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)－1＞f(x1)，
∴f(x)是R上的增函数．
(2)f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
∴f(3m2－m－2)＜3＝f(2)．
又由(1)的结论知，f(x)是R上的增函数，
∴3m2－m－2＜2，∴－1＜m＜ .
10．【创新预测题】
【答案】　A
从近两年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高
考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考
查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法
的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．
预测2013年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求
最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
(2011年高考新课标全国卷)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)
上单调递增的函数是 (　　)
A．y＝x3　　　　　　　　　B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
【答案】　B
【方法指导】　1.根据函数的单调性的定义，证明(判定)函数f(x)在其区间上的
单调性，其步骤是
(1)设x1、x2是该区间上的任意两个值，且x1＜x2(或x1＞x2)；
(2)作差 f(x1)－f(x2)，然后变形；
(3)判定 f(x1)－f(x2)的符号；
(4)根据定义得出结论．
2．求函数的单调区间
首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一
次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法有：根据定义，利用图象
和单调函数的性质，还可以利用导数的性质．
3．复合函数的单调性
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a.b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间
(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为
增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减
函数．
简称为：同增异减．
【答案】　B
【答案】　
2．(2010年课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝(　　)
A．{x|x＜－2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜－2或x＞2}
【解析】　f(x－2)＞0等价于f(|x－2|)＞0＝f(2)，
又∵f(x)＝x3－8(x≥0)为增函数，
∴|x－2|＞2.解得x＞4或x＜0.
【答案】　B
3．(2011年高考江苏卷)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．