人教A版数学高三数学一轮复习第二章第一节 函数及其表示

(共38张PPT)
第一节　函数及其表示
一、函数与映射的概念
函数 映射
两集合A、B 设A、B是两个_________ 设A、B是两个__________
对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_____一个数x，在集合B中有_____的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_____一个元素x在集合B中有__________的元素y与之对应
名称 称__________为从集合A到集合B的一个函数 称对应_________为从集合A到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射
非空数集
任意
唯一
任意
非空集合
唯一确定
f：A→B
f：A→B
1．函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，____________A叫做函数的定义域；与x的
值相对应的y值叫做函数值，_____________叫做函数的值域．显然，值域是集合B
的子集．
2．函数的三要素：_______、______和__________
二、函数的有关概念
x的取值范围
函数值的集合
定义域
定义域
值域
对应关系．
三、相等函数
　 如果两个函数的_______相同，并且_________完全一致，则这两个函数为相等函
数.
对应关系
四、函数的表示方法
　 表示函数的常用方法有：_______、________和________
五、分段函数
解析法
列表法
图象法
若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式
子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____，其值域等于各段函数的值
域的_____，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
对应法则
并集
并集
1．若对应关系f：A→B是从集合A到集合B的一个映射，则下面说法错误的是(　　)
A．A中的每一个元素在集合B中都有对应元素
B．A中两个元素在B中的对应元素必定不同
C．B中两个元素若在A中有对应元素，则它们必定不同
D．B中的元素在A中可能没有对应元素
【解析】　根据映射的概念可知，A中两个元素可以和B中的同一个元素对应，即
允许多对一，不允许一对多．
【答案】　B
2．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}．函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)
的图象可以是下图中的 (　　)
【解析】　该题考查函数的概念，由图象知A项定义域为[－2,0]，D项值域不是
[0,2]，C项中在[－2,2]内任一x都有两个y与之对应，B符合条件．
【答案】　B
【解析】　判断两个函数是否相等，从定义域、值域、对应关系入手，所以排
除A、B、C，故选D.
【答案】　D
5．已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出：

则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．
【解析】　
f[g(1)]＝f(3)＝1.
故f[g(x)]>g[f(x)]的解为x＝2.故填1；2.
【答案】　1；2
x 1 2 3
f[g(x)] 1 3 1
g[f(x)] 3 1 3
【答案】　3
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
　　
考点一　函数的基本概念
1．函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词．
2．构成函数的三要素是：定义域、值域和对应法则，而值域由定义域和对应法
则可以确定．分析判断两函数是否为同一函数时，就从这三个方面进行分析，
只有三者完全相同时才为同一个函数．
x x≤1 1y 1 2 3
(3)f1：y＝
f2：
(4)f1：y＝2x；f2：如图所示．
【思路点拨】　(3)中分别用解析法
和列表法表示函数，(4)中分别用解析法和图象法．
【自主解答】　(1)不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定义域为R.
(2)不同函数．f1(x)的定义域为R，f2(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．
(3)同一函数．x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同
表示方式．
(4)同一函数，理由同(3)．
【答案】　A
考点二　求函数的解析式
　 求函数解析式的常用方法
1．配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替
两边的所有“g(x)”即可；
2．换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，使f(t)的解析式即可；
3．待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确
定相关的系数即可；
4．赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式．
5．解方程组法：利用已给定的关系式，构造出一个新的关系式，通过解关于f(x)的
方程组求f(x)．
【特别提醒】　函数的解析式是函数表示法的一种．求函数的解析式一定要说明
函数的定义域．
(12分)(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，
求f(x)的解析式；
【思路点拨】　
考点三　分段函数问题
分段函数是指自变量x在不同取值范围内对应关系不同的函数，解决与分段函
数有关的问题，最重要的就是逻辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌
握研究分段函数性质(奇偶性、单调性)的一般方法．
【特别提醒】　分段函数的解析式虽然由几部分构成，但它表示的是一个函数．
【答案】　C
【自主解答】　当x>0时，sgnx＝1.
由(x＋1)sgnx>2得x>1.
当x＝0时，sgnx＝0.
不等式(x＋1)sgnx>2解集为 .
当x<0时，sgnx＝－1，
由不等式(x＋1)sgnx>2得x<－3.
综上可知不等式(x＋1)sgnx>2的解集为{x|x<－3或x>1}．
【答案】　{x|x<－3或x>1}
一、选择题
1．设f：x→x2是从集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B为 (　　)
A． 　　　　　　　　　B．{1}
C． 或{2} D． 或{1}
【答案】　D
【解析】
【答案】　B
【答案】　B
3．若f(x)对任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝ (　　)
A．x－1 B．x＋1
C．2x＋1 D．3x＋3
【解析】　∵2f(x)－f(－x)＝3x＋1， ①
用－x代x得，2f(－x)－f(x)＝－3x＋1， ②
①×2＋②得，3f(x)＝3x＋3，
∴f(x)＝x＋1.
【答案】　D
【答案】　A
5．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设
小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则
y＝f(x)的图象是 (　　)
二、填空题
7．已知函数f(x)＝ ，则不等式x·f(x－1)<10的解集是________．
【答案】　{x|－5三、解答题
8．下面是一个电子元件在处理数据时的流程图：
(1)试确定y与x的函数关系式；
(2)求f(－3)、f(1)的值；
(3)若f(x)＝16，求x的值．
10．【创新预测题】
如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是
a m(0＜a＜12)、4 m，不考虑树的粗细．现在用16 m长的篱笆，借助墙角围成一
个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围
在花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是 (　　)
【答案】　C
从近两年的高考试题看，表示函数的解析法、图象法，分段函数以及函数与其他
知识的综合问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏
上；客观题主要考查解析法、图象法、分段函数的应用及对函数概念的理解．
主观题考查较为全面，在考查函数概念、表示的基础上，又注重考查函数方程、
分类讨论、数形结合等思想方法．
预测2013年仍将以函数的概念、解析法、图象法、分段函数的应用为主要考点，重
点考查数形结合、分类讨论思想及逻辑理解能力．
(2012年北京模拟已知函数 若关于x的
方程f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
【解析】　作出函数f(x)的图象，如图，由图象可知，当0＜k＜1时，函数f(x)
与y＝k的图象有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1)．
【答案】　(0,1)
【方法指导】　1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域
相同；二是对应关系相同．
2．求用解析式y＝f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意
义的实数集合；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题．
3．在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相
应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．
【答案】　A
1．(2012年福建模拟)已知函数 若f(a)＋f(1)＝0，则
实数a的值等于 (　　)
A．－3　　　　　　　　B．－1
C．1 D．3
【解析】　解法一　当a＞0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，可见不存在实数a满
足条件，当a＜0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件，故选A.
解法二　由指数函数的性质可知：2x＞0，又因为f(1)＝2，所以a＜0，所以f(a)＝
a＋1，即a＋1＋2＝0，解得：a＝－3，故选答案A.
解法三　验证法，把a＝－3代入f(a)＝a＋1＝－2，又因为f(1)＝2，所以f(a)＋f(1)
＝0，满足条件，从而选A.
2．已知函数f(x)＝|lg x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值
范围是 (　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
【答案】　C
【答案】　2
【解析】　f(0)＝3×0＋2＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a a＝2.
【答案】　C