人教A版数学高三数学一轮复习第一章第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

(共33张PPT)
第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题．其
中 的语句叫真命题， 的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
判断真假
判断为真
判断为假
(2) 四种命题间的逆否关系
(3) 四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 .
相同
没有关系
3.充分条件与必要条件
(1)如果p q，则p是q的 ，q是p的 ；
(2)如果p q，q p，则p是q的 .
充分条件
必要条件
充要条件
1．(2012年湖南模拟，2)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N M”
的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】　显然a＝1时一定有N M，反之则不一定成立，如a＝－1.故是充分
不必要条件．
【答案】　A
2．命题“若x＝1或x＝6，则(x－1)(x－6)＝0”的逆否命题是4 (　　)
A．若x≠1或x≠6，则(x－1)(x－6)≠0
B．若x≠1且x≠6，则(x－1)(x－6)≠0
C．若(x－1)(x－6)≠0，则x≠1或x≠6
D．若(x－1)(x－6)≠0，则x≠1且x≠6
【解析】　首先根据命题“若p则q”的逆否命题为“若綈q则綈p”，排除A、
B，再根据命题“p且q”的否定是“綈p或綈q”，命题“p或q”的否定是“綈p
且綈q”，可知C错误，D正确．
【答案】　D
3．已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结
论正确的是 (　　)
A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真
命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假
命题
C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是
真命题
D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，
是真命题
【解析】　f′(x)＝ex－m≥0在(0＋∞)上恒成立，即m≤ex在(0，＋∞)上恒成立，
故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立 ，故
逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D.
【答案】　D
4．i、j是不共线的单位向量，若a＝5i＋3j，b＝3i－5j，则a⊥b的充要条件是________．
【解析】　a⊥b a·b＝0，即(5i＋3j)·(3i－5j)＝0，
即15i2－16i·j－15j2＝0，
∵|i|＝|j|＝1，∴16i·j＝0，即i·j＝0，∴i⊥j.
【答案】　i⊥j
5．“若a≤b，则ac2≤bc2.”则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命
题的个数是________．
【解析】　其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
【答案】　2
考点一　命题的关系及真假的判断
1．命题真假的判定
对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分
清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．
2．四种命题的关系的应用
掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它
的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假．
【特别提醒】　当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，
大前提不动．
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并
判断它们的真假：
(1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0；
(4)若x2＋y2＝0，则x、y全为0.
【思路点拨】　
【自主解答】　(1)原命题是真命题；
逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，为真命题；
否命题：若q＞1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为真命题；
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q＞1，为真命题；
命题的否定：若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．
(2)原命题是真命题；
逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题；
否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题；
逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题；
命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题．
(3)原命题为真命题；
逆命题：若x＝0或y＝0，则xy＝0，是真命题；
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题；
逆否命题：若x≠0且y≠0，则xy≠0，是真命题；
命题的否定：若xy＝0，则x≠0且y≠0，是假命题．
(4)原命题为真命题．
逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0，为真命题；
否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0，为真命题；
逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0，为真命题；
命题的否定：若x2＋y2＝0，则x、y不全为0，是假命题．
1．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B＝B，则A B”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
【解析】　①的逆命题为：若x，y互为倒数，则xy＝1，是真命题；②的否命
题：不相似的三角形的周长不相等，是假命题；对③，若方程x2－2bx＋b2＋b＝0
有实根，则Δ＝4b2－4(b2＋b)≥0，∴b≤0，故命题“若b≤－1，则方程x2－2bx＋
b2＋b＝0有实根”是真命题，其逆否命题也为真命题．对④，∵若A∪B＝B，则
A B, ∴命题“若A∪B＝B，则A B”是假命题，其逆否命题也是假命题．
【答案】　①③
考点二　充要条件的判定
判断一个命题是另一个命题的什么条件，关键是利用定义：如果p q，则
p叫做q的充分条件，原命题(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也可
称q是p的必要条件；如果q p，则p叫做q的必要条件，逆命题(或否命题)成立，
命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件；如果既有p q，又有q p，
则p叫做q的充分必要条件，简称充要条件，记作p q，原命题和逆命题(或逆否
命题和否命题)都成立，命题中的条件是充要的．
【特别提醒】　从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推
出小范围．
指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝2，
q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切；
(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0；
(3)设l，m均为直线，α为平面，其中l α，m α，p：l∥α，q：l∥m；
考点三　利用充分条件与必要条件求参数的取值范围
解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的
关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
【思路点拨】　可以直接求綈p、綈q的命题转化为集合运算，也可以利用綈
p 綈q的逆否命题再转化为集合运算．
3．设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必
要不充分条件，求实数a的取值范围．
一、选择题
1．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在
它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (　　)
A．3　　　　　　　　　 　　B．2
C．1 D．0
【解析】　原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题．
原命题的逆命题为：若y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数，显
然此命题为假．又因为逆命题与否命题同真假，所以否命题为假．故选C.
【答案】　C
2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的 (　　)
A．逆否命题 B．逆命题
C．否命题 D．原命题
【解析】　由四种命题的逆否关系知，s是p的逆否命题．
【答案】　A
3．(2012年天津模拟，4)设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝
{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的 (　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，∵A∪B＝C，
∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．故选C.
【答案】　C
4．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是 (　　)
A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d
B．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象不过第二象限
C．p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a＞1，q：f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
【解析】　由于a＞b，c＞d a＋c＞b＋d，而a＋c＞b＋d却不一定推出a＞b，
c＞d.故A中p是q的必要不充分条件．B中，当a＞1，b＞1时，函数f(x)＝ax－b不
过第二象限，当f(x)＝ax－b不过第二象限时，有a＞1，b≥1.故B中p是q的充分不
必要条件．C中，因为x＝1时有x2＝x，但x2＝x时不一定有x＝1，故C中p是q的充
分不必要条件．D中p是q的充要条件．
【答案】　A
5．已知条件p：(x＋1)2＞4，条件q：x＞a，且綈p是綈q的充分而不必要条件，
则a的取值范围是 (　　)
A．a≥1 B．a≤1
C．a≥－3 D．a≤－3
【解析】　由(x＋1)2＞4得x＞1或x＜－3，∴p：x＞1或x＜－3，∵綈p是綈q
的充分而不必要条件，即p是q的必要不充分条件，∴p /q，但q p，∴a≥1.
【答案】　A
二、填空题
6．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a
＝________.
【解析】　由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，而a＝3时，两条直线重合，
所以a＝－1.
【答案】　－1
7．给定下列命题：
①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是________．
【解析】　①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，∴①是真命题．②其逆否命题为真，
故②是真命题．③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．④否命题：
“若xy≠0，则x、y都不为零”是真命题．
【答案】　①②④
三、解答题
8．设计如下四个电路图，条件A：“开关A闭合”，条件B：“灯泡B亮”，问A
是B的什么条件？
【解析】　图(1)中开关A闭合则灯泡B亮，反之，灯泡B亮不一定有开关A闭合．
∴A B，但B /A，于是A是B的充分非必要条件．
图(2)中，A B，A是B的充要条件．
图(3)中，A /B，但B A，A是B的必要非充分条件．
图(4)中，条件A的有无对条件B没有影响，所以A是B的既不充分又不必要条件．
9．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，
则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
【解析】　(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
则a＋b≥0为真命题．
用反证法证明：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真．
(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，
则a＋b＜0为真命题．
因为原命题 它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可．
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
所以逆否命题为真．
【答案】　B
从近两年的高考试题看，充要条件的判定、命题真假的判断等是高考的热
点，题型以选择题、填空题为主，分值为5分，属中低档题目．本节知识常和函
数、不等式、向量、三角函数及立体几何中直线、平面的位置关系等有关知识
相结合，考查学生对函数的有关性质、不等式的解法及直线与平面位置关系判
定的掌握程度．
预测2013年高考仍将以充要条件的判定、判断命题的真假为主要考点，重点
考查学生的逻辑推理能力．
【答案】　A
【答案】　D
【方法指导】　1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大
前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题
时，应把其中一个(或n个)作为大前提．
2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题
有真假之分，而定理都是真的．
3．命题的充要关系的判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)等价法：利用A B与 B A，B A与 A B，A B与 B A的等价关系，
对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；
若A＝B，则A是B的充要条件．
【解析】　只需将原命题的结论变为新命题的条件，同时将原命题的条件变成新
命题的结论既可，即“若|a|＝|b|，则a＝－b”．
【答案】　D
2．(2012年福建调研)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的 (　　)
A．充分而不必要条件　　　 　B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】　由a＝2能得到(a－1)(a－2)＝0，但由(a－1)(a－2)＝0得到a＝1或a＝2，
而不是a＝2，所以a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分不必要条件．
【答案】　A
(文)(2011年高考福建卷)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的 (　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】　若a＝1，则|a|＝1是真命题，即a＝1 |a|＝1，由|a|＝1可得a＝±1，所
以若|a|＝1，则有a＝1是假命题，即|a|＝1 a＝1不成立，所以a＝1是|a|＝1的充分而
不必要条件，故选A.
【答案】　A
【答案】　B