人教A版数学高三数学一轮复习第一章第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
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| 名称 | 人教A版数学高三数学一轮复习第一章第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 494.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-06-02 16:00:47 | ||
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文档简介
(共38张PPT)
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
2.全称量词
3．含有一个量词的命题的否定
x0∈M，綈p(x0)
x∈M，綈p(x)
1．已知命题：p：3≥3；q：3＞4，则下列选项正确的是 ( )
A．p∨q为假，p∧为假，綈p为真
B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真
C．p∨q为假，p∧q为假，綈p为假
D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假
【解析】 ∵命题p：3≥3是真命题，q：3＞4是假命题，
∴p∨q为真，p∧q为假，綈p为假．
【答案】 D
【解析】 由全称命题的定义可知：
“圆有内接四边形”，即为“所有圆都有内接四边形”，是全称命题．
【答案】 A
3．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是 ( )
A．不存在x0∈R,2x0＞0
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x＞0
【解析】 特称命题的否定是全称命题，故命题的否定是“对任意的x∈R,2x＞0”．
【答案】 D
4．在下列各组“綈p”，“p∧q”，“p∨q”形式的命题中“p∨q”为真，“p∧q”
为假，“綈p”为真，那么p，q的真假为p________，q________.
【解析】 ∵p∨q为真，
∴p，q至少有一个为真．
p∧q为假，
∴p，q至少有一个为假．
而綈p为真，
∴p为假，q为真．
【答案】 假 真
5．若对任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则a的范围是________．
【答案】 [2，＋∞)
考点一 含有逻辑联结词的命题真假判定
1．对“或”“且”“非”的理解
(1)“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同．对于逻辑用语“或”的理
解我们可以借助于集合中的并集的概念．在A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“
或”是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个成立，可以是“x∈A且x B”，
也可以是“x A且x∈B”，也可以是“x∈A且x∈B”，逻辑用语中的“或”与
并集中的“或”的含义是一样的．
(2)对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在A∩B＝{x|x∈A，且
x∈B}中的“且”是指“x∈A”、“x∈B”都要满足的意思，即x既要属于集
合A，又要属于集合B.
(3)对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：若将命题p对应集合P，
则命题非p就对应着集合P在全集U中的补集 UP.对于非的理解，还可以从字意
上来理解，“非”本身就具有否定的意思．一般地，写一个命题的否定，往往
需要对正面叙述的词语进行否定．
2．“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题p、q的真假；
(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题的真假．
写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复
合命题，并判断真假．
(1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；
(2)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝
对值相等．
【思路点拨】 (1)利用“或”、“且”、“非”把两个命题联结成新命题；
(2)根据命题p和命题q的真假判断复合命题的真假．
【自主解答】 (1)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．
p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题．
綈p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．
(2)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等．假命题．
p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等．假命题．
綈p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不相同．真命题．
1．已知命题p： x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，
下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”
是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是 ( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
【自主解答】 命题p： x∈R，使tan x＝1正确，命题q：x2－3x＋2＜0的解集
是{x|1＜x＜2}也正确，∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；
③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题，故应选D.
【答案】 D
【思路点拨】
2．判断下列命题的真假：
(1)每个指数函数都是单调函数；
(2)任何实数都有算术平方根；
(3)任意x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(4)存在x∈R，x3≤0；
考点二 含有一个量词的命题的否定
【特别提醒】 p或q的否定为：非p且非q：p且q的否定为：非p或非q.
【自主解答】 (1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．
因为该方程的判别式Δ＝m2＋4＞0恒成立，故綈p为假命题．
(2)綈p：所有的三角形的三条边不全相等．显然綈p为假命题．
(3)綈p：有的菱形对角线不垂直．显然綈p为假命题．
(4)綈p： x∈N，x2－2x＋1＞0.
显然当x＝1时，x2－2x＋1＞0不成立，故綈p是假命题．
3．写出下列命题的否定形式：
(1)有些三角形的三个内角都等于60°；
(2)能够被3整除的整数，能够被6整除；
(3) θ∈R，使得函数y＝sin(2x＋θ)是偶函数；
(4) x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|＞0.
【自主解答】 (1)任意一个三角形的三个内角不能都等于60°.
(2)存在一个能够被3整除的整数，不能够被6整除．
(3) θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)都不是偶函数．
(4) x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|≤0.
考点三 求参数范围问题
(1)含有逻辑联结词的命题要先求出构成命题的(一个或两个)命题真假，求此
时参数成立的条件；
(2)其次求出含逻辑联结词的命题成立的条件；
(3)注意p∧q为假，p∨q为真，说明p、q中有一个为真，另一个为假．
(12分)已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等
式ax2－ax＋1＞0对 x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．
【思路点拨】 可先求每个命题为真时，相应a的取值范围，再根据p、q之间
的关系确定a的取值范围．
【规范解答】 ∵y＝ax在R上单调递增，∴p：a＞1； (2分)
又不等式ax2－ax＋1＞0对 x∈R恒成立，
∴Δ＜0，即a2－4a＜0，∴0＜a＜4，∴q：0＜a＜4. (4分)
而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．(6分)
(1)若p真，q假，则a≥4；(8分)
(2)若p假，q真，则0＜a≤1.(10分)
所以a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．(12分)
4．设p：关于x的不等式ax＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的
定义域为R，如果“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数a的取值范围．
一、选择题
1．“p∨q为真命题”是“p∧q 为真命题”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，
但p∧q不一定为真．
若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，
∴p∨q一定为真，
∴“p∨q为真”是“p∧q为真”的必要不充分条件．
【答案】 B
2．对下列命题的否定，其中说法错误的是 ( )
A．p：能被3整除的整数是奇数：綈p：存在一个能被3整除的整数不是奇数
B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；綈p：每一个四边形的四个顶点共圆
C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D．p： x∈R，x2＋2x＋2≤0；綈p： x∈R，x2＋2x＋2＞0
【解析】 若p：有的三角形为正三角形，则綈p：所有的三角形都不是正三角形，
C错．
【答案】 C
3．(2011年大连质检)下列命题中真命题的个数是 ( )
① x∈R，x4＞x2；
②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；
③命题“ x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“ x∈R，x3－x2＋1＞0”．
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 当x＝0时，x4＝x2，①错；p∧q是假命题，p与q至少有一个是假命
题，②错；③正确．
【答案】 B
4．下列全称命题中，正确的是 ( )
A． x，y∈{锐角}，sin(x＋y)＞sin x＋sin y
B． x，y∈{锐角}，sin(x＋y)＞cos x＋cos y
C． x，y∈{锐角}，cos(x＋y)＜sin x＋cos y
D． x，y∈{锐角}，cos(x－y)＜cos x＋sin y
【解析】 由于cos(x－y)＝cos xcos y＋sin xsin y，而当x，y∈{锐角}时，0＜
cos y＜1,0＜sin x＜1，所以cos(x－y)＝cos xcos y＋sin xsin y＜cos x＋sin y.
【答案】 D
5．已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋
2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为” ( )
A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
【解析】 由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤1，由命题q为真
得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a＝1.
【答案】 A
二、填空题
【解析】 x＝±1时，p成立，所以p真，q假，p∧q假，p∨q真．
【答案】 p、p∨q
7．命题“ x∈R,2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
8．写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的新命题，并
判断其真假．
(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；
(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
(3)p：正弦函数y＝sin x是奇函数，q：正弦函数y＝sin x是增函数．
【解析】 (1)p或q：2是 4的约数或2是6的约数，真命题；
p且q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；
非p：2不是4的约数，假命题．
(2)p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p且q：矩形的对角线相等且相互平分，真命题；
非p：矩形的对角线不相等，假命题．
(3)p∧q：正弦函数y＝sin x是奇函数且是增函数．因p真q假，则p∧q假，所
以该命题是假命题；
p∨q：正弦函数y＝sin x是奇函数或是增函数．因p真q假，则p∨q真，所以
该命题是真命题；
綈p：正弦函数y＝sin x不是奇函数，为假命题．
【解析】 它们的否定及其真假分别为：
(1) x∈R，x2－4≠0(假命题)．
(2) T0＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T0)≠sin x(假命题)．
(3)存在集合A既不是集合A∪B的子集，也不是A∩B的子集(假命题)．
(4)a，b是异面直线， A∈a，B∈b，有AB既不垂直于a，也不垂直于b(假命题)．
通过对近两年高考试题的统计分析可以看出，在高考中，对全称量词与存在
量词的考查，主要以选择题、填空题的形式出现．更多的是将其作为工具进行考
查，一般以两种方式出现：一是直接考查，主要判断含有全称量词与存在量词命
题的真假；二是考查含有全称量词与存在量词命题的否定．尤其全称命题、特称
命题为新课标新增内容，在课改区高考中有升温的趋势，应引起重视．
预测2013年高考仍将以全称命题、特称命题的否定和真假判断为主要考点，
重点考查学生的逻辑推理能力．
(2010年新课标全国)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，
p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈
p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是 ( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
【解析】 p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；
∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，
∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．∴真命题是q1，q4，
故选C.
【答案】 C
【方法指导】
1.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，
对照否定结构去写，并注意与否命题区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，
也可以先判定原命题，再判定其否定．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证
明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．
2．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题，或命题的否定来判断简单
命题的真假．
3．全称命题与特称命题可以互相转化，即从反面外理，再求其补集．
1．(2011年高考安徽卷，7)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】 由于全称命题的否定是存在性命题，本题“所有能被2整除的整数都
是偶数”是全称命题，其否定为存在性命题”存在一个能被2整除的整数不是偶数”．
【答案】 D
2．(2010年天津)下列命题中，真命题是 ( )
A． m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B． m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C． m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D． m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
【解析】 由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“ m∈R，使
函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶数”是真命题，选A.
【答案】 A
3．(2010年湖南)(文)下列命题中的假命题是 ( )
A． x∈R，lg x＝0 B． x∈R，tan x＝1
C． x∈R，x3＞0 D． x∈R,2x＞0
【解析】 选项A，lg x＝0 x＝1；选项B，tan x＝1 x＝＋kπ(k∈Z)；选项C，
x3＞0 x＞0；选项D,2x＞0 x∈R，故选C.
【答案】 C
(2010年湖南)(理)下列命题中的假命题是 ( )
A． x∈R,2x－1＞0 B． x∈N*，(x－1)2＞0
C． x∈R，lg x＜1 D． x∈R，tan x＝2
【解析】 对于选项B，当x＝1时，结论不成立，故选B.
【答案】 B
章 末 整 合 提 升
知 识 网 络
集合与常用逻辑用语
集合
含义
关系
运算
补集
交集
并集
相等
真子集
子集
Venn图法
描述法
列举法
无序性
互异性
确定性
无限集
有限集
表示法
元素特性
集合的分类
集合与常用逻辑用语
常用逻辑用语
充分条件与必要条件
必要条件
充要条件
充分条件
命题及其关系
四种命题的相互关系
命题
四种命题
基本逻辑联结词
且∧
或∨
非（否定） ┐
量词
全称量词
存在量词
特称命题
全称命题
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
2.全称量词
3．含有一个量词的命题的否定
x0∈M，綈p(x0)
x∈M，綈p(x)
1．已知命题：p：3≥3；q：3＞4，则下列选项正确的是 ( )
A．p∨q为假，p∧为假，綈p为真
B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真
C．p∨q为假，p∧q为假，綈p为假
D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假
【解析】 ∵命题p：3≥3是真命题，q：3＞4是假命题，
∴p∨q为真，p∧q为假，綈p为假．
【答案】 D
【解析】 由全称命题的定义可知：
“圆有内接四边形”，即为“所有圆都有内接四边形”，是全称命题．
【答案】 A
3．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是 ( )
A．不存在x0∈R,2x0＞0
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x＞0
【解析】 特称命题的否定是全称命题，故命题的否定是“对任意的x∈R,2x＞0”．
【答案】 D
4．在下列各组“綈p”，“p∧q”，“p∨q”形式的命题中“p∨q”为真，“p∧q”
为假，“綈p”为真，那么p，q的真假为p________，q________.
【解析】 ∵p∨q为真，
∴p，q至少有一个为真．
p∧q为假，
∴p，q至少有一个为假．
而綈p为真，
∴p为假，q为真．
【答案】 假 真
5．若对任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则a的范围是________．
【答案】 [2，＋∞)
考点一 含有逻辑联结词的命题真假判定
1．对“或”“且”“非”的理解
(1)“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同．对于逻辑用语“或”的理
解我们可以借助于集合中的并集的概念．在A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“
或”是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个成立，可以是“x∈A且x B”，
也可以是“x A且x∈B”，也可以是“x∈A且x∈B”，逻辑用语中的“或”与
并集中的“或”的含义是一样的．
(2)对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在A∩B＝{x|x∈A，且
x∈B}中的“且”是指“x∈A”、“x∈B”都要满足的意思，即x既要属于集
合A，又要属于集合B.
(3)对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：若将命题p对应集合P，
则命题非p就对应着集合P在全集U中的补集 UP.对于非的理解，还可以从字意
上来理解，“非”本身就具有否定的意思．一般地，写一个命题的否定，往往
需要对正面叙述的词语进行否定．
2．“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题p、q的真假；
(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题的真假．
写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复
合命题，并判断真假．
(1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；
(2)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝
对值相等．
【思路点拨】 (1)利用“或”、“且”、“非”把两个命题联结成新命题；
(2)根据命题p和命题q的真假判断复合命题的真假．
【自主解答】 (1)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．
p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题．
綈p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．
(2)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等．假命题．
p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等．假命题．
綈p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不相同．真命题．
1．已知命题p： x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，
下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”
是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是 ( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
【自主解答】 命题p： x∈R，使tan x＝1正确，命题q：x2－3x＋2＜0的解集
是{x|1＜x＜2}也正确，∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；
③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题，故应选D.
【答案】 D
【思路点拨】
2．判断下列命题的真假：
(1)每个指数函数都是单调函数；
(2)任何实数都有算术平方根；
(3)任意x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(4)存在x∈R，x3≤0；
考点二 含有一个量词的命题的否定
【特别提醒】 p或q的否定为：非p且非q：p且q的否定为：非p或非q.
【自主解答】 (1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．
因为该方程的判别式Δ＝m2＋4＞0恒成立，故綈p为假命题．
(2)綈p：所有的三角形的三条边不全相等．显然綈p为假命题．
(3)綈p：有的菱形对角线不垂直．显然綈p为假命题．
(4)綈p： x∈N，x2－2x＋1＞0.
显然当x＝1时，x2－2x＋1＞0不成立，故綈p是假命题．
3．写出下列命题的否定形式：
(1)有些三角形的三个内角都等于60°；
(2)能够被3整除的整数，能够被6整除；
(3) θ∈R，使得函数y＝sin(2x＋θ)是偶函数；
(4) x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|＞0.
【自主解答】 (1)任意一个三角形的三个内角不能都等于60°.
(2)存在一个能够被3整除的整数，不能够被6整除．
(3) θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)都不是偶函数．
(4) x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|≤0.
考点三 求参数范围问题
(1)含有逻辑联结词的命题要先求出构成命题的(一个或两个)命题真假，求此
时参数成立的条件；
(2)其次求出含逻辑联结词的命题成立的条件；
(3)注意p∧q为假，p∨q为真，说明p、q中有一个为真，另一个为假．
(12分)已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等
式ax2－ax＋1＞0对 x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．
【思路点拨】 可先求每个命题为真时，相应a的取值范围，再根据p、q之间
的关系确定a的取值范围．
【规范解答】 ∵y＝ax在R上单调递增，∴p：a＞1； (2分)
又不等式ax2－ax＋1＞0对 x∈R恒成立，
∴Δ＜0，即a2－4a＜0，∴0＜a＜4，∴q：0＜a＜4. (4分)
而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．(6分)
(1)若p真，q假，则a≥4；(8分)
(2)若p假，q真，则0＜a≤1.(10分)
所以a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．(12分)
4．设p：关于x的不等式ax＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的
定义域为R，如果“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数a的取值范围．
一、选择题
1．“p∨q为真命题”是“p∧q 为真命题”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，
但p∧q不一定为真．
若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，
∴p∨q一定为真，
∴“p∨q为真”是“p∧q为真”的必要不充分条件．
【答案】 B
2．对下列命题的否定，其中说法错误的是 ( )
A．p：能被3整除的整数是奇数：綈p：存在一个能被3整除的整数不是奇数
B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；綈p：每一个四边形的四个顶点共圆
C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D．p： x∈R，x2＋2x＋2≤0；綈p： x∈R，x2＋2x＋2＞0
【解析】 若p：有的三角形为正三角形，则綈p：所有的三角形都不是正三角形，
C错．
【答案】 C
3．(2011年大连质检)下列命题中真命题的个数是 ( )
① x∈R，x4＞x2；
②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；
③命题“ x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“ x∈R，x3－x2＋1＞0”．
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 当x＝0时，x4＝x2，①错；p∧q是假命题，p与q至少有一个是假命
题，②错；③正确．
【答案】 B
4．下列全称命题中，正确的是 ( )
A． x，y∈{锐角}，sin(x＋y)＞sin x＋sin y
B． x，y∈{锐角}，sin(x＋y)＞cos x＋cos y
C． x，y∈{锐角}，cos(x＋y)＜sin x＋cos y
D． x，y∈{锐角}，cos(x－y)＜cos x＋sin y
【解析】 由于cos(x－y)＝cos xcos y＋sin xsin y，而当x，y∈{锐角}时，0＜
cos y＜1,0＜sin x＜1，所以cos(x－y)＝cos xcos y＋sin xsin y＜cos x＋sin y.
【答案】 D
5．已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋
2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为” ( )
A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
【解析】 由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤1，由命题q为真
得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a＝1.
【答案】 A
二、填空题
【解析】 x＝±1时，p成立，所以p真，q假，p∧q假，p∨q真．
【答案】 p、p∨q
7．命题“ x∈R,2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
8．写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的新命题，并
判断其真假．
(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；
(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
(3)p：正弦函数y＝sin x是奇函数，q：正弦函数y＝sin x是增函数．
【解析】 (1)p或q：2是 4的约数或2是6的约数，真命题；
p且q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；
非p：2不是4的约数，假命题．
(2)p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p且q：矩形的对角线相等且相互平分，真命题；
非p：矩形的对角线不相等，假命题．
(3)p∧q：正弦函数y＝sin x是奇函数且是增函数．因p真q假，则p∧q假，所
以该命题是假命题；
p∨q：正弦函数y＝sin x是奇函数或是增函数．因p真q假，则p∨q真，所以
该命题是真命题；
綈p：正弦函数y＝sin x不是奇函数，为假命题．
【解析】 它们的否定及其真假分别为：
(1) x∈R，x2－4≠0(假命题)．
(2) T0＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T0)≠sin x(假命题)．
(3)存在集合A既不是集合A∪B的子集，也不是A∩B的子集(假命题)．
(4)a，b是异面直线， A∈a，B∈b，有AB既不垂直于a，也不垂直于b(假命题)．
通过对近两年高考试题的统计分析可以看出，在高考中，对全称量词与存在
量词的考查，主要以选择题、填空题的形式出现．更多的是将其作为工具进行考
查，一般以两种方式出现：一是直接考查，主要判断含有全称量词与存在量词命
题的真假；二是考查含有全称量词与存在量词命题的否定．尤其全称命题、特称
命题为新课标新增内容，在课改区高考中有升温的趋势，应引起重视．
预测2013年高考仍将以全称命题、特称命题的否定和真假判断为主要考点，
重点考查学生的逻辑推理能力．
(2010年新课标全国)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，
p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈
p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是 ( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
【解析】 p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；
∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，
∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．∴真命题是q1，q4，
故选C.
【答案】 C
【方法指导】
1.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，
对照否定结构去写，并注意与否命题区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，
也可以先判定原命题，再判定其否定．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证
明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．
2．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题，或命题的否定来判断简单
命题的真假．
3．全称命题与特称命题可以互相转化，即从反面外理，再求其补集．
1．(2011年高考安徽卷，7)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】 由于全称命题的否定是存在性命题，本题“所有能被2整除的整数都
是偶数”是全称命题，其否定为存在性命题”存在一个能被2整除的整数不是偶数”．
【答案】 D
2．(2010年天津)下列命题中，真命题是 ( )
A． m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B． m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C． m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D． m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
【解析】 由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“ m∈R，使
函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶数”是真命题，选A.
【答案】 A
3．(2010年湖南)(文)下列命题中的假命题是 ( )
A． x∈R，lg x＝0 B． x∈R，tan x＝1
C． x∈R，x3＞0 D． x∈R,2x＞0
【解析】 选项A，lg x＝0 x＝1；选项B，tan x＝1 x＝＋kπ(k∈Z)；选项C，
x3＞0 x＞0；选项D,2x＞0 x∈R，故选C.
【答案】 C
(2010年湖南)(理)下列命题中的假命题是 ( )
A． x∈R,2x－1＞0 B． x∈N*，(x－1)2＞0
C． x∈R，lg x＜1 D． x∈R，tan x＝2
【解析】 对于选项B，当x＝1时，结论不成立，故选B.
【答案】 B
章 末 整 合 提 升
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或∨
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