福建省四地六校2011-2012学年高二下学期第三次月考试题数学理

“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考
2011-2012学年下学期第三次月考
高二数学（理科）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，可求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为（ ）
A.4 B.3.15 C.4.5 D.3
3. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 （ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
4．二项式展开式中的常数项是( )
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
5.如图，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于 （ ）
A． B．
C． D．
6.已知，，，。。。，若 , （∈R) , 则（ ）
A.=5,=24 B.=6,=24 C.=6,=35 D.=5,=35
7．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 箱子里有５个黑球，４个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第４次取球之后停止的概率为 （ ）
A． B． C． D．
10. 如图所示，是定义在区间（）上的奇函数，令，并有关于函数的四个论断：
①若，对于内的任意实数（）， 恒成立；
②函数是奇函数的充要条件是；
③若，，则方程必有3个实数根；
④，的导函数有两个零点；
其中所有正确结论的序号是( )．
A. ①② B. ①②③ C. ①④ D. ②③④
二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)
11．设随机变量服从正态分布，若 ，则=
12. 若X～B(20,p)，当p=且P(X=k)取得最大值时，k=________.
13. 现有一个关于平面图形的命题,如图所示,同一个平面内有两个
边长都是的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两
个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间,有两个棱长均为
的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体
重叠部分的体积恒为 .
14. 设复数z=cosθ+i sinθ，，则的最大值为 .
15. 已知数组：，，，，， 记该数组为：则= ．
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16. (本题满分13分)
已知甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装有2个红球，3个白球，所有球大小都相同，现从甲袋中任取2个球，乙袋中任取2个球.
(1)求取到的4个球全是白球的概率；
(2)求取到的4个球中红球个数不少于白球个数的概率.
17．(本题满分13分)
某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.
(1)求这名同学得300分的概率;
(2)求这名同学至少得300分的概率.
18．(本题满分13分)
设函数在及处取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）当时，求函数在区间上的最大值．
19．（本小题满分13分）
当时， ，
．
（Ⅰ）求，，，；
（Ⅱ）猜想与的大小关系，并用数学归纳法证明．
20．（本题满分14分）
张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张 先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
21. (本小题满分14分)
已知函数，．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）当，且时，证明：．
“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考
2011-2012学年下学期第三次月考
高二数学（理科）试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C B C A B B A
二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)
11. 2 12. 10 13. 1４. 2 15．
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本题满分13分)
解：基本事件为“从甲袋中任取2个球，乙袋中任取2个球”，故基本事件的总数N=;………………2分
(1)设“取到的4个球全是白球”为事件A，则事件A中包含的基本事件数为
n1=；………………4分
∴P(A)=. ………………6分
(2)设“取到的4个球中红球个数不少于白球个数”为事件B，则事件B中包含的基本事件数为：
………………10分
∴P(B)= ………………13分.
17（本小题满分13分）
解：17.设事件A为“答对第一题”，事件B为“答对第二题”，事件C为“答对第三题”，则P(A)=0.8，P(B)=0.7,P(C)=0.6. ………………2分
(1)这名同学得300分可表示为(∩B∩C)∪(A∩∩C).
所以P((∩B∩C)∪(A∩∩C))，
=P(∩B∩C)+P(A∩∩C)=P()·P(B)·P(C)+P(A)·P()·P(C)
=(1-0.8)×0.7×0.6+0.8×(1-0.7)×0.6=0.228. ………………7分
(2)这名同学至少得300分包括得300分或400分.
该事件表示为(∩B∩C)∪(A∩∩C)∪(A∩B∩C)，
所以P((∩B∩C)∪(A∩∩C)∪(A∩B∩C))
=P((∩B∩C)∪(A∩∩C))+P(A∩B∩C)
=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.………13分
18. （本小题满分13分）
解：①解： ，………………1分
因为函数在及取得极值，则有，．………………3分
即………………4分
解得，．………………6分
②由（Ⅰ）可知，，
．………………7分
当时，；
当时，；
当时，．………………9分
所以，当时，取得极大值，
又，．………………11分
则当时，的最大值为．…13分
19. （本小题满分13分）
解：(1) ，；………………2分
（2）猜想：（）………………4分
证明：(1)当时，；
（2）假设当时，，
即，………………6分
当时
………………8分
………………10分
，即，………………12分
结合（1）（2），可知，成立.………………………13分
20. （本小题满分14分）
解: （Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则
． ………………3分
所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为．………4分
（II）依题意，X的可能取值为0，1，2………………5分
=(1-)=
+
………………7分
随机变量的分布列为：
0 1 2
…………9分
（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，
，…11分
所以． ………………13分
因为，所以选择L2路线上班最好． ………………14分
21. （本大题满分14分）
解：（1）函数的定义域为，．
又曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，即．--------- 4分
（2）由于．--------- 5分
当时，对于，有在定义域上恒成立，
即在上是增函数．--------- 7分
当时，由，得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．------- 10分
（3）当时，，．
令．．
当时，，在单调递减．
又，所以在恒为负．　　　------- 12分
所以当时，．
即．
故当，且时，成立．----- 14分