人教A版（2019）必修第一册《22_基本不等式》2021年同步练习卷（4）（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册《2.2
基本不等式》2021年同步练习卷（4）
一、单选题
?
1.
函数＝（其中）的最大值是（
）
A.
B.
C.
D.
?
2.
已知，，且，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
?
3.
已知实数、满足、，且，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
?
4.
若正数，满足＝，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
?
5.
若正实数，满足＝，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
?
6.
若，，且，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
?
7.
若正数，满足：则的最小值为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
8.
已知，，，则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
?
9.
若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（
）
A.
B.
C.
D.
?
10.
若正数，满足＝，则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
二．多选题
?
下列说法正确的是（
）
A.的最小值是
B.的最小值是
C.的最小值是
D.的最大值是
?
《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连结，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
若，，＝，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
?
若正实数，满足＝，则下列说法正确的是（
）
A.有最大值
B.+有最大值
C.+有最小值
D.有最大值
三．填空题
?
已知实数，，且，则的最小值为________，的最小值为________．
?
若正数，满足＝，则的最小值是________，的最小值是________．
?
已知，，且+＝，则的最小值为________．
?
已知，，为正数，则的最小值为________．
四、解答题
?
（1）证明：
（2）已知，，，且，求证：．
?
（1）已知，，，求证：；
（2）已知，，＝，求证：．
?
已知某公司生产某款手机的年固定成本为万元，每生产万部还需另投入万元．设公司一年内共生产该款手机万部且并全部销售完，每万部的收入为万元，且．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万部的函数关系式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
参考答案与试题解析
人教A版（2019）必修第一册《2.2
基本不等式》2021年同步练习卷（4）
一、单选题
1.
【答案】
D
【考点】
二次函数的图象
二次函数的性质
【解析】
法一：由＝，可求函数的最大值；
法二：由＝＝，结合二次函数的性质可求．
【解答】
法一：∵
，
∴
＝＝，
当且仅当＝即＝时取等号，
函数的最大值是．
法二：∵
，
∴
＝＝＝，
根据二次函数的性质可知，当＝时函数取得最大值．
2.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由可求的范围，进而可求的最小值
【解答】
解：∵
，，且，
∴
，
∴
，
∴
的最小值为.
故选.
3.
【答案】
D
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．
【解答】
∵
，，且，
∴
，
当且仅当时等号成立．
4.
【答案】
B
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
将条件＝进行转化，利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值
【解答】
由＝得，
∴
＝，
当且仅当时取等号．
故的最小值是，
5.
【答案】
D
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
将＝变成＝，将原式后，用基本不等式可得．
【解答】
∵
，，＝，
∴
＝，
（当且仅当，取等号），
6.
【答案】
D
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
可设＝，＝，即有+＝，则＝，＝＝，可得＝，由＝（+）＝+，运用基本不等式可得所求最小值，注意等号成立的条件．
【解答】
，，且，
设＝，＝，即有+＝，
则＝，＝＝，
可得＝
＝，
由＝（+）＝+
＝，
当且仅当＝＝时，上式取得等号．
则）＝+．
则的最小值为+．
7.
【答案】
A
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由题意可得且，代入消元并化简可得，由基本不等式可得．
【解答】
解：∵
正数，满足，
∴
，由可得，
∴
，
当且仅当即时取等号.
故选.
8.
【答案】
B
【考点】
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析?
∵
，
∴
上式可化为．
又∵
，∴
．
当时取等号．故选．
9.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
基本不等式
【解析】
将不等式有解，转化为求∴
，利用“”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于的一元二次不等式的解集即可得到答案．
【解答】
解：∵
不等式有解，
?∴
，
?∵
，，且，
?∴
，
?当且仅当，即，时取“”，
?∴
，
?故，即，
?解得或，
?∴
实数的取值范围是．
?故选：B．
10.
【答案】
A
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由＝二元换一元，表示出＝，利用基本不等式求出最小值即可．
【解答】
因为＝，
所以＝，
所以＝＝，当且仅当＝时等号成立，
二．多选题
【答案】
A,B
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由已知结合基本不等式，检验各选项的成立条件是否成立即可判断．
【解答】
由基本不等式可知，时，，当且仅当即＝时取等号，故正确；
，当＝时取得等号，故正确；
，令，则，
因为在上单调递增，当＝时，取得最小值，故错误；
在时，没有最大值，故错误．
【答案】
A,C
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可得：，
因为，
所以．
由于，
所以，
所以由，
整理得：．
故选.
【答案】
A,C,D
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
首先对于此类填空题需要一个一个判断，用排除法求解，对于命题直接用特殊值法代入排除，其他命题用基本不等式代入求解即可判断．
【解答】
对于命题：由，正确；
对于命题：令＝，＝时候不成立，错误；
对于命题＝＝，正确；
对于命题：，命题正确．
【答案】
A,B
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断．
【解答】
因为正实数，满足＝，
由基本不等式可得＝，当且仅当＝时取等号，故正确；
因为＝＝＝，当且仅当＝时取等号，
所以的最大值为，故正确；
＝＝，即有最小值，故错误；
＝＝，结合可知有最小值，当且仅当＝时取等号，故错误；
三．填空题
【答案】
,
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由题意利用基本不等式，得出结论．
【解答】
实数，，且，则，当且精当＝，＝时，等号成立．
＝＝，当且仅当?＝时，等号成立，
【答案】
,
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由已知结合基本不等式即可直接求解．
【解答】
因为正数，满足＝，
解可得，，
解可得，当且仅当＝时取等号，
因为＝，当且仅当＝时取等号，
解可得，，
【答案】
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
先换元，令＝，＝，则＝，＝；再采用“乘法”，求出的最小值即可得解．
【解答】
令＝，＝，则，，且＝，
∴
＝＝，
而＝（）＝+）＝），当且仅当＝，即＝时，等号成立．
∴
的最小值为），
∴
＝）＝．
【答案】
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
结合，即可直接求解．
【解答】
因为，，，
当且仅当＝＝时，上述三个不等式同时取得等号＝，
故，
所以，当且仅当＝＝时取等号．
四、解答题
【答案】
证明：（1）∵
，
∴
，
∴
（2）∵
，，，且，
∴
左边（时取等号），
∴
．
【考点】
不等式的证明
【解析】
（1）利用，即可证明结论；
（2）先利用“”的代换，再利用基本不等式，即可得到结论．
【解答】
证明：（1）∵
，
∴
，
∴
（2）∵
，，，且，
∴
左边（时取等号），
∴
．
【答案】
由，，，可得：
，，，
相加可得（），
即有，
当且仅当＝＝取得等号；
，，＝，
可得，即有，
即为，
即有++＝，
当且仅当＝＝时，取得等号．
【考点】
不等式的证明
【解析】
（1）由，，，可得，，，相加即可得证；
（2），，＝，可得，求得，即可得证．
【解答】
由，，，可得：
，，，
相加可得（），
即有，
当且仅当＝＝取得等号；
，，＝，
可得，即有，
即为，
即有++＝，
当且仅当＝＝时，取得等号．
【答案】
＝＝（-）＝＝，
由（1）可得＝＝＝，
当且仅当当且仅当＝，即＝时取等号，
所以当＝时，取得最大值万元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
函数最值的应用
【解析】
（1）当时，＝，化简即可求出；
（2）利用基本不等式即可求出．
【解答】
＝＝（-）＝＝，
由（1）可得＝＝＝，
当且仅当当且仅当＝，即＝时取等号，
所以当＝时，取得最大值万元．
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