人教A版（2019）选择性必修第一册《12_空间向量基本定理》2021年同步练习卷（5）（Word含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册《1.2
空间向量基本定理》2021年同步练习卷（5）
一、选择题
?
1.
若向量是空间的一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（
）
A.
B.
C.
D.
?
2.
如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，．则下列向量中与相等的向量是
A.
B.
C.
D.
?
3.
若向量的起点和终点，，互不重合，且无三点共线，则能使向量成为空间一个基底的关系式是（
）
A.
B.
C.
D.
?
4.
如图所示，在四面体中，，，，点在上，且＝，为的中点，则＝（
）
A.-+
B.-++
C.
D.
?
5.
在平行六面体中，向量,,两两的夹角均为，且，，，则等于(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
?
在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则________（用，，表示）
?
已知{，，}是空间的一个单位正交基底，{+，-，}是空间的另一个基底，若向量在基底{，，}下表示为＝，则在基底，{+，-，}下可表示为________．
?
在四棱锥中，为平行四边形，与交于，为上一点，＝，＝，＝，＝，试用基底{，，}表示向量＝________．
三、解答题
?
如图所示，正方体，且＝，＝，＝．
（1）用，，表示向量，；
（2）设，分别是侧面和的中心，用，，表示．
?
如图，在平行六面体中，＝-，＝，设＝，＝，＝，试用，，表示．
四、选择题
?
已知，，是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是（
）
A.，-，
B.，-，
C.，，-
D.，+，-
?
给出下列命题，其中是真命题的是（
）
A.若{，，}可以作为空间的一个基底，与共线，，则{，，}也可以作为空间的一个基底
B.已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.已知，，，是空间中的四点，若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面
D.已知{，，}是空间的一个基底，若＝+，则{，，}也是空间的一个基底
五、填空题
?
已知空间的一个基底{，，}，＝-+，＝+，若与共线，则＝________，＝________．
?
已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，，则________，________，________．
?
在平行六面体中，设＝，＝，＝，，分别是，的中点．
（1）用向量，，表示，；
（2）若＝，求实数，，的值．
参考答案与试题解析
人教A版（2019）选择性必修第一册《1.2
空间向量基本定理》2021年同步练习卷（5）
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
【解析】
空间向量的一组基底，要满足不为零向量，且三个向量不共面，逐个判断即可．
【解答】
解：由已知及向量共面定理，结合，
可知向量，，共面，同理可得，
故向量，，共面，故向量，都不可能与，构成基底，
又可得，
故向量也不可能与，构成基底，只有符合题意，
故选
2.
【答案】
A
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
相等向量与相反向量
【解析】
由题意可得，化简得到结果．
【解答】
解：由题意可得
，
故选．
3.
【答案】
C
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
．由，，利用平面向量基本定理可知：点在平面内；
．由，利用平面向量基本定理可知：向量，，共面；
．由，且向量，，的起点与终点、、互不重合且无三点共线，由空间平行六面体法则即可判断出；
．由可知：向量，，共面．
【解答】
解：．∵
，，
∴
点在平面内，
因此向量，，不能构成一个空间基底；
．∵
，
∴
向量，，共面，不能构成一个空间基底；
．由，且向量，，的起点与终点、、互不重合且无三点共线，
由空间平行六面体法则可知：
是以点为顶点的对角线，
∴
向量，，能构成一个空间基底；
．由可知：向量，，共面，
因此不能构成空间的一个基底．
综上可得：只有正确．
故选：．
4.
【答案】
B
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
根据向量加法和减法的三角形法则得出．
【解答】
连接，
∵
是的中点，∴
＝，
∵
＝，∴
＝，
∴
＝＝-＝-++，
5.
【答案】
A
【考点】
平面向量的夹角
向量在几何中的应用
【解析】
由题设知，故，由此能求出．
【解答】
解：如图，
∵
在平行六面体中，?
向量、、两两的夹角均为，
且，，，
∴
，
∴
，
∴
．
故选A．
二、填空题
【答案】
【考点】
空间向量的加减法
中点坐标公式
【解析】
利用为的中点，为的中点，，，化简可得结果．
【解答】
解：在四面体中，，，，为的中点，为的中点，
∴
，
故答案为：．
【答案】
＝（+）-（-））
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】
设＝（+）（-）），利用向量相等列方程组求出、、的值即可．
【解答】
由题意知，＝，
设＝（+-）），
所以＝，
由向量相等得，
解得；
所以在基底{+，-，
＝（+）-（-）．
【答案】
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】
由题意画出图形，然后利用向量加减法的三角形法则求得．
【解答】
如图，
＝
＝．
三、解答题
【答案】
正方体，且＝，＝，＝．
所以，
．
根据三角形法则：连接和，
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】
（1）直接利用三角形法则和向量的线性运算的应用求出结果．
（2）直接利用三角形法则和向量的线性运算的应用求出结果．
【解答】
正方体，且＝，＝，＝．
所以，
．
根据三角形法则：连接和，
【答案】
连接，
∴
＝+，
∵
＝-（+），＝+＝+（-）＝+，
∴
＝-（++＝-++．
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】
根据向量的加减的几何意义即可求出．
【解答】
连接，
∴
＝+，
∵
＝-（+），＝+＝+（-）＝+，
∴
＝-（++＝-++．
四、选择题
【答案】
A,B,D
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
空间向量的正交分解及其坐标表示
平面向量的基本定理
【解析】
分别判断向量是否共面即可．
【解答】
，因为＝（-（）、-、，故它们不能构成一个基底；
，因为＝（-（）、-、，故它们不能构成一个基底；
，因为找不到实数、，使（-，故、、-三个向量不共面；
对于，因为＝（+（-），得、+、-三个向量共面，
【答案】
A,B,C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定、、、的结果．
【解答】
对于选项：若{，，}可以作为空间的一个基底，与，，则{，，，真命题．
对于选项：已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底．
对于选项：已知，，，是空间中的四点，若，，，则，，，真命题．
对于选项：已知{，，}是空间的一个基底，若＝+，，}也是空间的一个基底．
五、填空题
【答案】
,
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
由与共线，得存在实数，使，列出方程组能求出结果．
【解答】
因为空间的一个基底{，，}，
＝-+，＝+，与共线，
所以存在实数，使，
即-+＝，
∴
，解得．
【答案】
,,
【考点】
空间向量的数量积运算
平面向量数量积的运算
【解析】
由题意和数量积的运算可得，不妨设，，由已知可解，可得，由题意可得当，时，取最小值，由模长公式可得．
【解答】
解：∵
，
∴
，不妨设，，，
则由题意可知，，解得，，∴
，
∵
，
∴
，
由题意当，时，取最小值，
此时，故
故答案为：；；
【答案】
如图，＝+＝-+-＝--，
＝+＝+
＝-（+）+（+（-）．
＝（+）
＝（-+）
＝（-+--）
＝--，
∴
＝，＝-．
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量的基本定理
【解析】
（1）如图，＝+＝-+-，＝+＝+＝-（+）+（+），进而得到答案；
（2）＝（+）＝（-+），结合＝，可得实数，，的值．
【解答】
如图，＝+＝-+-＝--，
＝+＝+
＝-（+）+（+（-）．
＝（+）
＝（-+）
＝（-+--）
＝--，
∴
＝，＝-．
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