1 1集合的概念（课件）29张- 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第一册)

高中数学 人教A版（2019） 必修第一册
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
山东沂水县第四中学
教材分析
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第一章《集合与常用逻辑用语》的第一节《集合的概念》。以下是集合单元的课时安排：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第一节
第二节
第三节
课时内容
集合的概念
集合间的基本关系
集合的基本运算
所在位置
教材第2页
教材第7页
教材第10页
新教材内容分析
教材选取了丰富的实例，既涵盖了实数、方程、不等式、函数、简单的几何图形等数学领域，也包含了贴近学生生活的实际问题，以帮助学生理解元素与集合的概念、体会元素与集合之间的关系，学习集合的表示法.
以实例为载体，对照实数之间的相等关系、大小关系，通过类比，得到集合间的相等关系、包含关系.
从类比实数的运算入手，联想集合的运算，确定研究方法后，通过实例抽象概括出集合的并、交、补运算，并利用Venn图的直观性，帮助学生加以理解.
核心素养培养
通过观察实例，理解集合的含义、进行集合的表示，都体现了数学抽象的核心素养.
通过概括共同特征，探究集合间的基本关系，体现了数学抽象的核心素养；利用韦恩图表达集合间的基本关系，体现了直观想象的核心素养.
通过类比实数，理解集合的运算，强化了数学抽象的核心素养；利用数轴或韦恩图表达集合的运算，体现了直观想象的核心素养；在进行集合运算的过程中，提升了数学运算的核心素养.
教学主线
元素与集合的关系
学习目标

3. 会用列举法、描述法表示集合，强化数学抽象核心素养。
1. 通过实例，了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,
培养学生的数学抽象核心素养；
2. 针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，
提升数学抽象核心素养；
重点、难点
2. 难点：用描述法表示集合——对“共同特征”的描述、符号的表示
1. 重点：元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合；
（一）新知导入

创设情境、问题生成
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义。
于是，他就请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”
数学家只是笑了笑，没有当时就回答这位渔民。
有一天，数学家来到这位渔民的船上，看到他撒下渔网，一拉动，
许多鱼儿在网中跳动.数学家就激动的大喊：“找到了，找到了，这就
是一个集合”。
【想一想】 数学家所说的集合指的是什么？
（一）新知导入

探索交流、解决问题
【问题1】 探索下列问题
（1）1～10之间的所有偶数；
（2）立德中学今年入学的全体高一学生；
（3）所有的正方形；
（4）到直线l的距离等于定长d的所有点;
（5）方程的所有实数根；
（6）地球上的四大洋。
【思考1】
（1）实例中的每组对象的全体能组成集合吗？
（2）把研究对象看作元素，每个集合的元素是什么？
（3）构成集合元素的对象可以是什么？
（二）集 合
集合的概念 ：
（1）一般地，我们把研究对象统称为 ，把一些元素组成的 叫做集合(简称为集)．
（2）我们通常用 表示集合，用 表示集合中的元素．
【思考2】 （1）所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？ （2）由1,3,0,5,︱-3 ︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？由此说明什么？ （3）高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？ （4）如果两个集合中，元素完全一样，那么这两集合相等，这种说法正确吗？ （5）由以上思考题，可以得到集合有什么特性？
确定性、互异性、无序性
元素
总体
大写拉丁字母A，B，C，…
小写拉丁字母a，b，c，…
（二）集 合
下列对象能组成集合的是(　　) A．的所有近似值 B．某个班级中学习好的所有同学 C．2021年全国高考数学试卷中所有难题 D．屠呦呦实验室的全体工作人员
【做一做】
[解析]　D中的对象都是确定的，而且是不同的．
A中的“近似值”，
B中的“学习好”，
C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，
因此A、B、C都不能构成集合．
[答案]　D
（三）元素与集合的关系
【思考3】 已知下面的两个实例： （1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学. 思考：a，b与集合A分别有什么关系?
元素与集合的关系：
如果a是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 ；
如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 .
属于
不属于
（三）元素与集合的关系
元素与集合关系：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}唯一性
a是不是集合A中的元素，只有属于与不属于两种关系
方向性
符号 具有方向性，左边是元素，右边是集合
常用数集及其记法：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}数集
非负整数集
（自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
与
（三）元素与集合的关系
例 1.
【多选题】 下列所给关系正确的是(　　)
[解 析]　选项A，π是实数，所以 正确
选项B，是无理数，所以 正确
选项C，0不是正整数，所以0∈N*错误
选项D，|－5|＝5为正整数，所以|－5|?N*错误
[答 案]　A B
例 1.
【多选题】 下列所给关系正确的是(　　)
（三）元素与集合的关系
【类题通法】 判断元素与集合关系的两种方法
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}直接法
使用前提
集合中的元素是直接给出的
判断方法
首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可
推理法
使用前提
对于某些不便直接表示的集合
判断方法
首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可
（三）元素与集合的关系
巩固练习1
[答 案]　D
已知集合A中的元素x满足x－1< ，则下列各式正确的是(　　)
A．3∈A且－3?A
C．3?A且－3?A
[解 析] ∵3－1＝2> ，∴3?A. 又－3－1＝－4< ，∴－3∈A.
B．3∈A且－3∈A
D．3?A且－3∈A
已知集合A中的元素x满足x－1< ，则下列各式正确的是(　　)
A．3∈A且－3?A
C．3?A且－3?A
（四）集合的表示
【思考4】
（1） 地球上的四大洋组成的集合如何表示？ （2） 方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何表示呢？ （3） 通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的特点吗？
列举法：
把集合的所有元素一 一列举出来，
并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
⑴大括号不能缺失，元素中间
用逗号隔开；
⑵ 元素按一定的顺序列举，可以保证元素不重不漏，如：从小到大等。
（四）集合的表示
用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合. （2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.
例 2.
[答案]（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. （2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B， 那么B={1,0}.
【类题通法】 列举法表示集合的步骤及注意点
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}分清元素
列举法表示集合，要分清是数集还是点集
书写集合
列元素时要做到不重复、不遗漏
（四）集合的表示
【巩固练习2】
用列举法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于3.1小于12.8的整数的全体； (3)方程＋|y＋1|＝0的解集； (4)正奇数组成的集合．
【探究1】
集合 ， ， ，
是否是相等的集合？
[答 案]
根据集合元素的互异性，判断集合A与D相等；
集合A，D是数集，集合B，C是点集，所以不会相等；
集合B，C中的点不一样，所以不相等。
[答 案]
(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．
(2){4,5,6,7,8,9,10,11,12}．
(3)由方程 ＋|y＋1|＝0可知，即
解得x=2,y=-1,从而方程的解集用列举法
表示为{(2，－1)}．
(4)正奇数组成的集合可用列举法表示为{1,3,5,7，…}．
（四）集合的表示
【思考5】
（1）能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗？ （2）能否用列举法表示不等式 x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？ （3）不能用列举法表示的集合怎样表示？
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
描述法：
描述法表示集合的写法：
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取
值(或变化)范围,画一条竖线,在竖线后写出这个集合中
元素所具有的共同特征.
（四）集合的表示
【探究2】
,C=
集合 ， ，
是否是相等的集合？
的自变量x的取值集合，是实数集；
【提示】
集合A表示函数
的函数值y的取值集合，是非负实数集；
集合B表示函数
的图象上的点组成的集合，所以这三个集合都不相等。
集合C是函数
（四）集合的表示
例 3.
试分别用列举法和描述法表示下列集合. (1)方程 -2=0的所有实数根组成的集合. (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
(2) 设大于10小于20的整数 为x，它满足条件x∈Z,且10 用描述法表示为B={x∈Z∣10 用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
[解答]
(1)设方程 -2=0的实数根为x,并且满足条件 -2=0，因此，用描述法表示为A={x∈R| -2=0}.
方程 -2=0有两个实数根为 ，因此，用列举法表示为A={ }.
（四）集合的表示
【类题通法】 描述法表示集合的几点注意
（1）用描述法表示集合，应先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型． 一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素．
（2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，
需对新字母说明其含义或取值范围．
（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．
（四）集合的表示
【巩固训练3】
用描述法表示下列集合：
(1) 不等式2x－3＜1的解组成的集合A；
(2) 被3除余2的正整数的集合B；
(3) C＝{2,4,6,8,10}；
(4) 平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.
[解答]
(1)不等式2x－3＜1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3＜1，则A＝{x|2x－3＜1}，即A＝{x|x＜2}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.
所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*. 所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}．
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x＜0，y＞0， 故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x＜0，y＞0}．
（四）集合的表示
例 4.
用适当的方法表示下列集合：
(1) 绝对值小于5的全体实数组成的集合；
(2) 所有正方形组成的集合；
(3) 除以3余1的所有整数组成的集合；
(4) 构成英文单词mathematics的全体字母．
[解答]
(1） 绝对值小于5的全体实数组成的集合可表示为{x||x|＜5}．
(2) 所有正方形组成的集合可表示为{正方形}．
(3) 除以3余1的所有整数组成的集合可表示为{a|a＝3x＋1，x∈Z}．
(4) 构成英文单词mathematics的全体字母可表示为{m，a，t，h，e，i，c，s}．
（四）集合的表示
【类题通法】 选用列举法或描述法表示集合的原则
（1）要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．
（2）列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，
当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；
（3）描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，
当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．　　
（四）集合的表示
【巩固训练4】
[解答]
(1)当x＝1时，62+????＝2∈N；当x＝2时，62+????＝?N，∴1∈B,2?B.
?
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.
所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*. 所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}．
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x＜0，y＞0， 故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x＜0，y＞0}．
设集合
(1) 试判断元素1和2与集合B的关系；
(2) 用列举法表示集合B.
（五）操作演练 素养提升
1.（2021·浙江高三专题练习）下列各对象可以
组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2021-2022学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数
相差很小的全体实数
2. 若一个集合中的三个元素a，b，c 是△ABC 的
三边长，则此三角形一定不是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形 C．钝角三角形
D．等腰三角形
[答案] 1.B 2.D
（五）操作演练 素养提升
3.【多选题】（2021秦皇岛一中高一期中）下列结论不正确的是（ ）
A．{1，2，3，4}
B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5}
D．{0，1，2，3，4}
A.
B．
C．
D．
4.集合 用列举法表示是（ ）
[答案] 3.B C 4.D
（六）课堂小结 反思感悟
知识总结：
学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


作业布置
完成教材—— 第5页 练习 第1，2，3题 第5页 习题1.1 第1,2,3,4 题
不积跬步，无以至千里；
不积小流，无以成江海。
山东沂水县第四中学
谢 谢 ~~
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